24.1.1 旋转(基础达标+巩固提升+答案)

沪科版数学九年级下册同步课时训练
第24章 圆
24.1　旋　转
第1课时　旋　转
要点测评 基础达标
要点1　旋转
1. 如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是(　 )
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
2. 如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置.
(1)请指出旋转中心；
(2)旋转了多少度；
(3)指出线段AE的对应线段；
(4)指出∠B和∠BAD的对应角；
(5)若点F是线段AD的中点，则经过上述旋转后，点F旋转到了什么位置?请在图中画出来.

要点2　旋转对称图形
3. 如图，该图形绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是(　 　)
A. 60° B. 120° C. 180° D. 200°
4. 规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度(小于周角)后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形.下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是 (　 　)
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 正十边形
要点3　旋转的性质及应用
5. 如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为(　 　)
A. 70° B. 80° C. 84° D. 86°
6. 如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴，y轴上，点D(5，3)在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是(　 　)
A. (2，10) B. (－2，0)
C. (2，10)或(－2，0) D. (10，2)或(－2，0)
课后集训 巩固提升
7. 如图四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合的是(　 　)
A B C D
8. 如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为(　 　)
A. 35° B. 40° C. 50° D. 65°
9. 如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP逆时针旋转后，与△ACP′重合，如果AP=4，那么P，P′两点间的距离为(　 　)
A. 4 B. 4 C. 4 D. 8
10. 如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为(　 　)
A. 4，30° B. 2，60° C. 1，30° D. 3，60°
11. 如图，已知在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3 cm，BO=4 cm，将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D=　 　cm.
12. 如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A，B，C分别落在点A′，B′，C′处，并且点A′，C′，B在同一条直线上，则tan ∠ABA′的值为　　 .
13. 如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F.
(1)求证：△AEC≌△ADB；
(2)若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长.

14. 如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，求C′B的长.

参 考 答 案
1. D　【解析】旋转角是∠CAC′=180°－30°=150°，故选D.
2. 解：(1)图形在旋转过程中“不动”的点就是旋转中心即点A是旋转中心.
(2)点B与点C是对应点，∠BAC=60°，所以旋转了60°.
(3)点D与点E是对应点，所以线段AE的对应线段是AD.
(4)点B与点C是对应点，点D与点E是对应点，所以∠B的对应角是∠ACE，∠BAD的对应角是∠CAE.
(5)AD与AE是对应线段，点F是线段AD的中点，所以点F的对应点是线段AE的中点M(如图).
3. D　【解析】360°÷6=60°，故该图形只需旋转60°的整数倍都能与自身重合.
4. C　【解析】正三角形的最小旋转角是120°，故A错误；正方形的旋转角度是90°，故B错误；正六边形的最小旋转角是60°，故C正确；正十边形的最小旋转角是36°，故D错误；故选C.
5. B　【解析】由旋转的性质可知∠B=∠AB1C1，AB=AB1；∠BAB1=100°，所以∠B=∠BB1A=40°，所以∠AB1C1=40°，所以∠BB1C1=∠BB1A＋∠AB1C1=40°＋40°=80°.故选B.
6. C　【解析】因为点D(5，3)在边AB上，所以BC=5，BD=5－3=2，①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，所以D′(－2，0)，②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以D′(2，10)，综上所述，点D′的坐标为(2，10)或(－2，0)，故选C.
7. D　【解析】选项A图形顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合，故A不正确；选项B图形顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合，故B不正确；选项C图形顺时针旋转180°后，能与原图形完全重合，故C不正确；选项D图形顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合，故D正确.故选D.
8. C　【解析】因为CC′∥AB，所以∠ACC′=∠CAB=65°，因为△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，所以AC=AC′，所以∠CAC′=180°－2∠ACC′=180°－2×65°=50°，所以∠CAC′=∠BAB′=50°.故选C.
9. B　【解析】如图，连接PP′，因为△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，所以△ABP≌△ACP′，即线段AB旋转后到AC，所以旋转了90°，所以∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=4，所以PP′===4，故选B.
10. B　【解析】因为∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，所以∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，所以△A′B′C是等边三角形，所以B′C=4，∠B′A′C=60°，所以BB′=6－4=2，所以平移的距离和旋转角的度数分别为2，60°.故选B.
11. 15　【解析】因为D点为AB的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得OD=AB=×=2.5 cm.由题意可得OB1=OB=4 cm.所以B1D=OB1－OD=4－2.5=1.5 cm.
12. 　【解析】因为四边形ABCD是矩形，所以AD=BC=2，∠A=90°，C′D∥BC，因为将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，所以AB=C′D，BC=B′C′=AD=2，设AB=x，则AB=C′D=x，A′C=A′D＋CD=x＋2，因为C′D∥BC，所以△A′C′D∽△A′BC，所以C′D∶BC=A′D∶A′C，即x∶2=2∶(x＋2)，解得x=－1＋或x=－1－(小于0，不合题意，舍去)，所以AC′=2－C′D=2－(－1＋)=3－，所以tan ∠ABA′===.
13. 解：(1)由旋转的性质得△ABC≌△ADE，且AB=AC，所以AE=AD，∠BAC=∠DAE，所以∠BAC＋∠BAE=∠DAE＋∠BAE，即∠CAE=∠DAB，在△AEC和△ADB中，所以△AEC≌△ADB(SAS).
(2)因为四边形ADFC是菱形，且∠BAC=45°，所以∠DBA=∠BAC=45°，因为AB=AD，所以∠DBA=∠ADB=45°，所以BD2=2AB2，即BD=2，又AD=DF=FC=AC=AB=2，所以BF=BD－DF=2－2.
14. 解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点M；由题意得∠BAB′=60°，BA=B′A，所以△ABB′为等边三角形，所以∠ABB′=60°，AB=B′B.在△ABC′与△B′BC′中，所以△ABC′≌△B′BC′，所以∠MBB′=∠MBA=30°，所以BM⊥AB′，且AM=B′M.由题意得AB2=(2)2＋(2)2=16，所以AB′=AB=4，AM=2，所以C′M=AB′=2.由勾股定理可求BM=2，所以C′B=2－2.