2018-2019学年安徽省池州市石台县九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2018-2019学年安徽省池州市石台县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．sin60°的值等于（　　）
A． B． C． D．
2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）
A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t+1 D．y＝x2+
3．将抛物线y＝x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（　　）
A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x+2）2﹣2 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣2）2﹣2
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinB＝（　　）

A． B． C． D．
5．对于反比例函数，下列说法中不正确的是（　　）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上
B．它的图象在第一、三象限
C．y随x的增大而减小
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
6．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　）

A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（　　）

A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝0
8．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（　　）

A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
9．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（　　）

A．（，0） B．（2，0） C．（，0） D．（3，0）
10．如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为1的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．已知点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，且MP＝（﹣1）cm，则MN等于　 　cm．
12．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长度是　 　．

13．已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y＝﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　 　．
14．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为　 　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：（﹣1）2﹣2sin45°+（π﹣2018）0+|﹣|
16．已知＝＝，且3a﹣2b+c＝9，求2a+4b﹣3c的值．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标．
18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（1）把△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；
（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）

20．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．

六、（本题满分12分）
21．如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y＝﹣x+4的图象交于A和B（6，n）两点．
（1）求k和n的值；
（2）若点C（x，y）也在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围．

七、（本题满分12分）
22．某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量＝销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝﹣x+26．
（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；
（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．
八、解答题（共1小题，满分14分）
23．如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N．
【问题引入】
（1）若点O是AC的中点，＝，求的值；
温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G．
【探索研究】
（2）若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证：??＝1；
【拓展应用】
（3）如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F，若＝，＝，求的值．




2018-2019学年安徽省池州市石台县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．sin60°的值等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：sin60°＝．
故选：C．
2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）
A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t+1 D．y＝x2+
【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数，故A错误；
B、y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B错误；
C、s＝2t2﹣2t+1是二次函数，故C正确；
D、y＝x2+不是二次函数，故D错误；
故选：C．
3．将抛物线y＝x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（　　）
A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x+2）2﹣2 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣2）2﹣2
【解答】解：抛物线y＝x2+1的顶点坐标为（0，1），把点（0，1）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的对应点的坐标为（﹣2，﹣2），所以所得抛物线的函数关系式y＝（x+2）2﹣2．
故选：B．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinB＝（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，
∴AB＝5，
∴sinB＝＝，
故选：A．
5．对于反比例函数，下列说法中不正确的是（　　）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上
B．它的图象在第一、三象限
C．y随x的增大而减小
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【解答】解：A、把点（﹣2，﹣1）代入反比例函数y＝得﹣1＝﹣1，本选项正确；
B、∵k＝2＞0，∴图象在第一、三象限，本选项正确；
C、当x＞0时，y随x的增大而减小，本选项不正确；
D、当x＜0时，y随x的增大而减小，本选项正确．
故选：C．
6．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　）

A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC＝3：1，
∴DE：DC＝3：4，
∴DE：AB＝3：4，
∴S△DFE：S△BFA＝9：16．
故选：B．

7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（　　）

A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝0
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，所以B选项错误；
∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，∴2a+b＝0，所以C选项错误；
∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，所以D选项正确；
故选：D．
8．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（　　）

A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴＝，
∵BG＝6，
∴AD＝BC＝2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴＝，
∴＝，
解得：OA＝1，
∴OB＝3，
∴C点坐标为：（3，2），
故选：A．
9．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（　　）

A．（，0） B．（2，0） C．（，0） D．（3，0）
【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵∠ACO+∠BCD＝90°，
∠OAC+∠ACO＝90°，
∴∠OAC＝∠BCD，
在△ACO与△BCD中，

∴△ACO≌△BCD（AAS）
∴OC＝BD，OA＝CD，
∵A（0，2），C（1，0）
∴OD＝3，BD＝1，
∴B（3，1），
∴设反比例函数的解析式为y＝，
将B（3，1）代入y＝，
∴k＝3，
∴y＝，
∴把y＝2代入，
∴x＝，
当顶点A恰好落在该双曲线上时，
此时点A移动了个单位长度，
∴C也移动了个单位长度，
此时点C的对应点C′的坐标为（，0）
故选：A．

10．如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为1的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：如图①，当0≤t＜1时，BE＝t，DE＝t，

∴s＝S△BDE＝×t×t＝；
如图②，当1≤t＜2时，CE＝2﹣t，BG＝t﹣1，

∴DE＝（2﹣t），FG＝（t﹣1），
∴s＝S五边形AFGED＝S△ABC﹣S△BGF﹣S△CDE＝×2×﹣×（t﹣1）×（t﹣1）﹣×（2﹣t）×（2﹣t）＝﹣+3t﹣；
如图③，当2≤t≤3时，CG＝3﹣t，GF＝（3﹣t），

∴s＝S△CFG＝×（3﹣t）×（3﹣t）＝﹣3t+，
综上所述，当0≤t＜1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当1≤t＜2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当2≤t≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．已知点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，且MP＝（﹣1）cm，则MN等于　2　cm．
【解答】解：∵点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，
∴MP＝MN＝﹣1，
∴MN＝2（cm），
故答案为：2．
12．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长度是　10m　．

【解答】解：Rt△ABC中，BC＝5m，tanA＝1：；
∴AC＝BC÷tanA＝5m，
∴AB＝＝10m．
故答案为10m．
13．已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y＝﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　（1，4）　．
【解答】解：∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y＝﹣x2+bx+c上两点，
∴代入得：，
解得：b＝2，c＝3，
∴y＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4，
顶点坐标为（1，4），
故答案为：（1，4）．
14．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为　或3　．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝＝10，
当PD＝DA＝8时，BP＝BD﹣PD＝2，
∵△PBE∽△DBC，
∴＝，即＝，
解得，PE＝，
当P′D＝P′A时，点P′为BD的中点，
∴P′E′＝CD＝3，
故答案为：或3．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：（﹣1）2﹣2sin45°+（π﹣2018）0+|﹣|
【解答】解：原式＝1﹣2×+1+
＝1﹣+1+
＝2．
16．已知＝＝，且3a﹣2b+c＝9，求2a+4b﹣3c的值．
【解答】解：设＝＝＝k（k≠0），
则a＝5k，b＝7k，c＝8k，
代入3a﹣2b+c＝9得，15k﹣14k+8k＝9，
解得k＝1，
所以，a＝5，b＝7，c＝8，
所以，2a+4b﹣3c＝2×5+4×7﹣3×8＝10+28﹣24＝14．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标．
【解答】解：（1）由顶点A（﹣1，4），可设二次函数关系式为y＝a（x+1）2+4（a≠0）．
∵二次函数的图象过点B（2，﹣5），
∴点B（2，﹣5）满足二次函数关系式，
∴﹣5＝a（2+1）2+4，
解得a＝﹣1．
∴二次函数的关系式是y＝﹣（x+1）2+4；

（2）令x＝0，则y＝﹣（0+1）2+4＝3，
∴图象与y轴的交点坐标为（0，3）；
令y＝0，则0＝﹣（x+1）2+4，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
故图象与x轴的交点坐标是（﹣3，0）、（1，0）．
18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（1）把△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；
（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．

【解答】解：如图

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）

【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
∵∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640，
∴CD＝320，AD＝320，
∴BD＝CD＝320，BC＝320，
∴AC+BC＝640+320≈1088，
∴AB＝AD+BD＝320+320≈864，
∴1088﹣864＝224（公里），
答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．
20．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．

【解答】解：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠D＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∵BC＝4，
∴CD＝4，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝2CE，
∵AC＝6＝AE+CE，
∴AE＝4．
六、（本题满分12分）
21．如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y＝﹣x+4的图象交于A和B（6，n）两点．
（1）求k和n的值；
（2）若点C（x，y）也在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围．

【解答】解：（1）当x＝6时，n＝﹣×6+4＝1，
∴点B的坐标为（6，1）．
∵反比例函数y＝过点B（6，1），
∴k＝6×1＝6．
（2）∵k＝6＞0，
∴当x＞0时，y随x值增大而减小，
∴当2≤x≤6时，1≤y≤3．
七、（本题满分12分）
22．某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量＝销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝﹣x+26．
（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；
（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．
【解答】解：（1）W1＝（x﹣6）（﹣x+26）﹣80＝﹣x2+32x﹣236．

（2）由题意：20＝﹣x2+32x﹣236．
解得：x＝16，
答：该产品第一年的售价是16元．

（3）∵公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．
∴14≤x≤16，
W2＝（x﹣5）（﹣x+26）﹣20＝﹣x2+31x﹣150，
∵抛物线的对称轴x＝15.5，又14≤x≤16，
∴x＝14时，W2有最小值，最小值＝88（万元），
答：该公司第二年的利润W2至少为88万元．
八、解答题（共1小题，满分14分）
23．如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N．
【问题引入】
（1）若点O是AC的中点，＝，求的值；
温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G．
【探索研究】
（2）若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证：??＝1；
【拓展应用】
（3）如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F，若＝，＝，求的值．

【解答】解：（1）过点A作AG∥MN交BN延长线于点G，
∴∠G＝∠BNM，
又∠B＝∠B，
∴△ABG∽△MBN，
∴＝，
∴﹣1＝﹣1，
∴＝，即＝，
同理，在△ACG和△OCN中，＝，
∴＝，
∵O为AC中点，
∴AO＝CO，
∴NG＝CN，
∴＝＝＝；

（2）由（1）知，＝、＝，
∴??＝??＝1；

（3）在△ABD中，点P是AD上的一点，过点P的直线与AC、BD的延长线相交于点C，
由（2）得??＝1，
在△ACD中，点P是AD上一点，过点P是AD上一点，过点P的直线与AC、AD的延长线分别相交于点E、B，
由（2）得??＝1，
∴??＝??，
∴＝??＝?＝×＝．