人教版2019-2020学年八年级上册期末复习《轴对称》基础常考题型专题（有解析）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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人教版2019-2020学年八年级上册期末复习《轴对称》基础常考题型专题
轴对称、等腰三角形、等边三角形、最短路径问题、作图题
一、选择题
1.下列图形中，是轴对称图形的是（????? ）
A.???????????????B.???????????????C.???????????????D.?
2.下列图形中，是轴对称图形的是（? ?）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
3.下列交通标志图案是轴对称图形的是
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
4.在下图中，是轴对称图形的是（?? ）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
5.在平面直角坐标系中,点P(3,5)关于 轴对称的点的坐标是（ ??）
A.?(3,5）??????????????????????????????????B.?(3,-5)??????????????????????????????????C.?(-3,5)??????????????????????????????????D.?(-3,-5)
6.在平面直角坐标系中，点A(5，6)与点B关于x轴对称，则点B的坐标为(?? )
A.?(5，6)????????????????????????????B.?(－5，－6)????????????????????????????C.?(－5，6)????????????????????????????D.?(5，－6)
7.等腰三角形的一个角为70°，则这个等腰三角形的顶角为(??? )
A.?70°????????????????????????????????????B.?55°????????????????????????????????????C.?40°????????????????????????????????????D.?40°或70°
8.如图，AD是△ ABC的高，AD也是△ABC的中线，则下列结论不一定成立的是（?? ）

A.?AB=AC???????????????????????????B.?AD=BC???????????????????????????C.?∠B=∠C???????????????????????????D.?∠BAD=∠BCD
9.点 关于x轴的对称点的坐标是 ??
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
10.已知点A（m﹣1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称，则m+n的值为（ ??）
A.?﹣1?????????????????????????????????????????B.?﹣7?????????????????????????????????????????C.?1?????????????????????????????????????????D.?7
二、填空题
11.点A 和点B 关于 轴对称，则ab＝________.
12.已知点A（m，3）与点B（2，n）关于x轴对称，则m+n=________．
13.若点M(﹣3，b)与点N(a，2)关于x轴对称，则a+b=________.
14.如图，等腰三角形ABC底边BC的长为 4cm，面积是12cm2 ， 腰 AB的垂直平分线EF交AC于点F，若 D为 BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为________cm.

15.在平面直角坐标系中，点 关于x轴对称的点的坐标是________.
16.等腰三角形的顶角为76°，则底角等于________.
17.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是________.

18.如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AC的中点，则DE的长为________．

19.如图，△ABC中，AD为角平分线，若∠B＝∠C＝60°，AB＝8，则CD的长度为________．

20.已知：如图，△ABC是等边三角形，延长AC到E，C为线段AE上的一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ,OC．以下五个结论：①AD=BE；②AP=BO；③PQ//AE；④∠AOB=60°；⑤OC平分∠AOE；结论正确的有________（把你认为正确的序号都填上）

三、解答题
21.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE、DF分别是∠ADB、∠ADC的平分线，若DE=2，求DF的长.

22.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．

求证：AD=AE．
23.如图，在△ABC中，AB=AC ， ∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D ．
求证：AD=BC ．

24.如图，在等腰三角形 ?中，两腰上的中线 ， 相交于点 ．求证： ．

25.如图，已知D，E在三角形ABC的边BC上，且AB＝AC，AD＝AE。求证：BD＝CE

26.如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，求∠APE的度数.

27.已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF是CD的垂直平分线，求证：∠B=∠E.

四、作图题
28.如图，已知△ABC，∠C=90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等.

（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，若∠B=33°，则∠CAD=________°.
29.如图，已知△ABC的三个顶点在格点上.

（1）画出△A1B1C1 ， 使它与△ABC关于直线a对称；
（2）求出△A1B1C1的周长.
30.已知：如图，在平面直角坐标系中.

①作出△ABC关于 轴对称的 ，并写出 三个顶点的坐标.
②直接写出△ABC的面积.
③在 轴上画点P，使PA+PC最小.

参考答案及解析
一、选择题
1.【答案】 B
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
3.【答案】 B
【解析】【解答】A图形中三角形和三角形内部图案的对称轴不一致，所以不是轴对称图形；
B为轴对称图形，对称轴为过长方形两宽中点的直线；
C外圈的正方形是轴对称图形，但是内部图案不是轴对称图形，所以也不是；
D图形中圆内的两个箭头不是轴对称图象，而是中心对称图形，所以也不是轴对称图形.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，故错误，不符合题意；
B不是轴对称图形，故错误，不符合题意；
C不是轴对称图形，故错误，不符合题意；
D是轴对称图形，故正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：点P（3，5）关于x轴的对称点的坐标为(3,-5)
故答案为：B
【分析】关于x轴对称的点，其横坐标不变，纵坐标互为相反数.
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵点A（5，6）与点B关于x轴对称，
∴点B的坐标是（5，-6）．
故答案为：D．
【分析】关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，根据性质即可得出答案。
7.【答案】 D
【解析】【解答】解：本题可分两种情况：
①当70°角为底角时，顶角为180°-2×70°=40°；
②70°角为等腰三角形的顶角；
因此这个等腰三角形的顶角为40°或70°.
故答案为：D.
【分析】分①当70°角为底角时，②70°角为等腰三角形的顶角两种情况根据等腰三角形的两个底角相等及三角形的内角和即可算出答案.
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵AD是△ ABC的高，AD也是△ABC的中线，
∴△ABC是等腰三角形，AD也是∠BAC的角平分线，
∴A. AB=AC，C.∠B=∠C，D.∠BAD=∠BCD均正确，
故答案为：B.
【分析】根据题意可知：AD是BC边上的中垂线，根据中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出AB=AC，进而根据等腰三角形的性质即可得出∠B=∠C，∠BAD=∠BCD，从而即可一一判断得出答案.
9.【答案】 A
【解析】【解答】解：点P（-3，5）关于x轴对称的点的坐标为（-3，-5）.
故答案为：A.
【分析】根据关于x轴对称的点，其横坐标不变，纵坐标互为相反数即可一一判断得出答案.
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵点A（m﹣1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称，
∴m-1=2，n+1+3=0，
∴m=3，n=-4，
∴m+n=3+（﹣4）=﹣1.
故答案为：A.
【分析】如果两个点关于x轴对称，其横坐标一样，纵坐标互为相反数，从而即可列出方程组，求解得出m,n的值，进而即可算出m,n的和.
二、填空题
11.【答案】 -6
【解析】【解答】∵点A（a，2）和点B（3，b）关于x轴对称，
∴a=3，b=-2，
∴ab=-6，
故答案为：-6.
【分析】关于x轴对称点的坐标的特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此求出a、b的值，然后代入计算即可.
12.【答案】-1
【解析】【解答】∵点A(m,3)与点B(2,n)关于x轴对称，
∴m=2，n=?3，
所以m+n=2?3=-1.
故答案为：-1.
【分析】关于x轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数.
13.【答案】 -5
【解析】【解答】解：∵点M(﹣3，b)与点N(a，2)关于x轴对称，
∴a=﹣3，b=﹣2，
则a+b=﹣3﹣2=﹣5.
故答案为：﹣5.
【分析】根据关于x轴对称的点，其横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出答案.
14.【答案】 8
【解析】【解答】解：连接AD，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC= BC?AD= ×4×AD=12，解得AD=6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+ BC=6+ ×4=6+=8cm.
【分析】连接AD，根据等腰三角形的三线合一得出AD⊥BC，从而根据三角形的面积计算方法列出方程求出AD的长，根据垂直平分线的性质得出点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，从而即可解决问题.
15.【答案】
【解析】【解答】解：点 关于x轴对称的点的坐标是 ，
故答案为： .
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案.
16.【答案】 52°
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的顶角为76°，
∴底角为： ，
故答案为：52°.
【分析】根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和定理即可算出答案.
17.【答案】 9.6
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP.
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示.

∵S△ABC BC?AD AC?BQ，∴BQ 9.6.
故答案为：9.6.
【分析】根据等腰三角形的三线合一得出AD垂直平分BC，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出BP＝CP，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，然后根据三角形的面积法，得出 BC?AD =AC?BQ，根据等积式即可求出BQ的长.
18.【答案】 2
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，
∴AB＝AC＝4，BC⊥AD，
∵E为AC的中点，
∴DE＝ AC＝ ×4＝2，
故答案是：2．
【分析】由等边三角形的性质证得BD＝DC，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求得结论．
19.【答案】 4
【解析】【解答】解∵∠B=∠C=60°
∴∠BAC=180°-60°-60°=60°
∴△ABC为等边三角形
∵AB=8
∴BC=AB=AC=8
∵AD为角平分线
∴BD=CD
∴CD=BD= BC=4 ．
故答案为：4．
【分析】由∠B=∠C=60°及三角形的内角和，得出∠BAC=60°，从而△ABC为等边三角形，再由等腰三角形的“三线合一”性质，得出BD=CD，而已知AB=8，即可得答案．
20.【答案】 ①③④⑤
【解析】【解答】①∵正三角形ABC和正三角形CDE，
∴BC=AC，DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD △BCE（SAS），
∴AD=BE；故①正确.②∵△ACD △BCE（已证），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠BCA=∠DCE=60°（已证），
∴ =60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP △BCQ（ASA），
∴AP=BO，
故②错误.③∵△ACP △BCQ（已证），
∴PC=QC，
∴△PCQ是等边三角形.
∴∠CPQ=60°，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ//AE，
故③正确.④∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
在正三角形CDE中，
∠DEC =60°=∠BCD，
∴ BC//DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.
故④正确.⑤过C作 于M， 于N，

∵△ACD △BCE，
∴ ，BE=AD，
∴
∴CM=CN，
∴OC平分∠AOE，故⑤正确；
故答案为①③④⑤.
【分析】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明△ACD △BCE，根据全等三角形对应边相等可得AD=BE，所以①正确；
由△ACD △BCE得∠CAD=∠CBE，加上∠BCA=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP △BCQ（ASA），所以AP=BO，故②错误；
根据△ACP △BCQ，再根据PC=QC，推出△PCQ是等边三角形，又由∠ACB=∠CPQ，根据内错角相等，两直线平行，故③正确；
利用等边三角形的性质，BC//DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.故④正确；
根据三角形面积公式求出CN=CM，根据角平分线性质即可判断⑤.
三、解答题
21.【答案】 解：如图，

∵AB=AC，D为BC中点，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠1=∠2，
∵DE、DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，
∴∠ADE=∠BDE=45°，∠ADF=∠FDC=45°，
∴∠ADE=∠ADF，
在△ADE和△ADF中，

∴△ADE≌△ADF(ASA)，
∴DF=DE=2.
【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一得出 ∠ADB=∠ADC=90°，∠1=∠2， 根据角平分线的定义得出 ∠ADE=∠ADF=45°，从而利用ASA判断出 △ADE≌△ADF ，根据全等三角形的对应边相等得出DF=DE.
22.【答案】证明：过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，
∴BF=CF，
∵BD=CE，
∴DF=EF，
∴AD=AE．
【解析】【分析】过点A作AF⊥BC于点F，根据等腰三角形的三线合一得出BF=CF，然后根据等式的性质得出DF=EF，根据中垂线定理得出AD=AE.
23.【答案】 解：∵AB=AC， ∠A=36°∴∠ABC=∠C= ?(180°-∠A)= ×(180°-36°)=72°，又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC= ×72°=36°， ∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°， ∴∠C=∠BDC， ∠A=AB，
∴AD=BD=BC.
【解析】【解答】由等腰三角形性质及三角形内角和定理，可求出∠ABD=∠C=BDC. 再据等角对等边，及等量代换即可求解.
24.【答案】 解：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，
∵CD、BE分别是腰AB、AC的中线，
∴BD= AB，CE= AC，
∴BD=CE，
在△BDC与△CEB中，
?
∴△BDC≌△CEB（SAS），
∴∠BCD=∠CBE，
即∠BCO=∠CBO
∴OB=OC
【解析】【分析】证明△BDC≌△CEB即可得出OB=OC.
25.【答案】 证明：∵AD=AE，∴∠ADC=∠ACD，
∵AB=AC，∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ADC=∠ABD+∠BAD，∠ACE=∠ACE+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACD中， ，
∴△ABD≌△ACD（SAS）,
∴BD=CE.

【解析】【分析】由等边对等角结合三角形外角的性质，先求得∠BAD=∠CAE，然后利用边角边定理证明△ABD≌△ACD，则对应边BD=CE.
26.【答案】 解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°.
在△ABD和△BCE中， ，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE.
∵∠APE＝∠ABP＋∠BAP，
∴∠APE＝∠ABP＋∠CBE＝∠ABC＝60°.
【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，根据“SAS”可得△ABD≌△BCE，可得∠BAD＝∠CBE.根据三角形外角的性质可得∠APE＝∠ABP＋∠BAP=∠ABP＋∠CBE＝∠ABC，从而求出结论.
27.【答案】 解：连接AC，AD

∵AF⊥CD且F是CD的中点
∴可知AF是CD的垂直平分线，
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
∴AC=AD，
在 和 中



【解析】【分析】 连接AC，AD ，由题意可知： AF是CD的垂直平分线， 根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得出AC=AD，从而利用SSS判断出△ABC≌△AED，根据全等三角形的对应角相等即可得出∠B=∠E.
四、作图题
28.【答案】 （1）如图，点D即为所求；


（2）24
【解析】【解答】解：（2）∵AD=BD，∠B=33°，
∴∠BAD=∠B=33°.
∵∠C=90°，
∴∠CAB=90°﹣33°=57°，
∴∠CAD=∠CAB﹣∠BAD=57°﹣33°=24°.
故答案为：24.

【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可知点D一定在线段AB的垂直平分线上，又点D在BC上，故点D是线段AB垂直平分线与BC的交点，从而利用尺规作图法作出图形即可;
（2）根据等边对等角得出∠BAD=∠B=33°，根据直角三角形的两锐角互余得出∠CAB=57°，最后根据角的和差，由∠CAD=∠CAB﹣∠BAD算出答案.
29.【答案】 （1）解：如图，△A1B1C1为所求；


（2）解：由题意，可知：
，
，
，
∴周长为：
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A,B,C关于直线a的对称点 A1、B1、C1，再顺次连接即可；
（2）利用方格纸的特点，根据勾股定理算出 △A1B1C1 各边的长，再求出其和即可.
30.【答案】 解：①③如图所示：

A1(0，?2)，B1(?2，?4)，C1(?4，?1)；
②△ABC的面积为：12? ×1×4? ×2×2? ×2×3=5；
【解析】【分析】①直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；②直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；③直接利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置