高中物理人教版选修3-4 学案 第十一章 第3节 简谐运动的回复力和能量 Word版含解析

第3节　简谐运动的回复力和能量
1．掌握简谐运动的动力学特征，明确回复力的概念和特点。
2．知道简谐运动中机械能守恒，能量大小与振幅有关。
3．会分析水平弹簧振子中动能、势能的变化规律，能定性地说明势能与动能的转化过程。
4．掌握简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等各物理量的变化规律。
一、简谐运动的回复力
1．简谐运动的动力学定义：如果质点在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
2．回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向相反，总是指向平衡位置，它的作用是使振子能够回到平衡位置。
3．表达式：F＝－kx，即回复力的大小与物体的位移大小成正比，负号表示回复力与位移方向始终相反，k是常数。对于弹簧振子，k为弹簧的劲度系数。
二、简谐运动的能量
1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系：弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零。
(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。
2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。
3．对于弹簧劲度系数和小球质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大。
判一判
(1)简谐运动是匀变速运动。(　　)
(2)简谐运动的回复力总是指向平衡位置。(　　)
(3)简谐运动的回复力可以是恒力。(　　)
(4)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此机械能一定为零。(　　)
(5)回复力的大小与速度大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小。(　　)
(6)回复力的方向总是与速度的方向相反。(　　)
(7)弹簧振子位移最大时，势能也最大。(　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×　(7)√
想一想
(1)公式F＝－kx中的k是否就是指弹簧的劲度系数？
提示：不一定。做简谐运动的物体，其回复力F＝－kx，这是判断物体是否做简谐运动的依据，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
(2)振子经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、速度、动能、势能各物理量的关系如何？
提示：振子经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、动能、势能一定相同，但速度不一定相同，速度大小一定相等，但方向可能相反。
课堂任务　简谐运动的回复力
1．回复力
做简谐运动的物体受到的指向平衡位置的力，叫做回复力，它的作用总是要把物体拉回到平衡位置。回复力是根据力的效果命名的，它可能由几个力的合力、某个力或某个力的分力提供。回复力一定等于物体在振动方向上所受的合力。
2．简谐运动的动力学特征：回复力F＝－kx。
(1)凡是满足F＝－kx的运动都是简谐运动。k是比例系数，并非一定是弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中k为弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关。
(2)“－”号表示回复力的方向与物体偏离平衡位置的位移的方向相反。
(3)判断一个物体是否做简谐运动，可找出回复力F与位移x之间的关系，若满足F＝－kx，则物体做简谐运动，否则就不是简谐运动。
3．简谐运动的运动学特征：加速度a＝－k′x。
(1)a＝＝－x可以简化为a＝－k′x。表示加速度也跟位移大小成正比，并总指向平衡位置。当然k′也可以写为k，这里用k′表示是为了与F＝－kx的比例系数相区别，k′＝。
(2)a＝－k′x表明简谐运动是变加速运动，且加速度和速度都在做周期性的变化。
(3)判断一个振动是否为简谐运动就看它是否满足动力学特征或运动学特征。F＝－kx与a＝－k′x都可以作为判断的依据。
例1　如图所示，在劲度系数为k、原长为l0的一端固定的弹簧下端挂一质量为m的小物块，释放后小物块做上下振动，此过程中弹簧没有超出弹性限度。证明：小物块的振动是简谐运动。
(1)物块在平衡位置时的受力有何特点？
提示：物块在平衡位置时，所受合外力为零，即kx0＝mg。
(2)物块运动时，回复力由谁来提供？
提示：回复力由重力与弹力的合力提供。
[规范解答]　如图所示，设物块静止在平衡位置O时，弹簧的形变量为x0，有mg＝kx0。当物块向下运动x时，物块所受重力与弹簧弹力的合力提供物块所需的回复力。
设向下为正方向，有F＝mg－k(x＋x0)＝－kx。
可见物块所受回复力的大小与位移的大
小成正比，方向与位移方向相反，且指向平衡位置，因此小物块的振动是简谐运动。
[完美答案]　见规范解答
判断物体是否做简谐运动的一般方法
(1)通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，看看是否满足正弦函数的规律，如果满足，则物体做简谐运动。
(2)对物体进行受力分析，求振动方向上的合力，看看此合力是否满足简谐运动的动力学特征F＝－kx，如果满足，则物体做简谐运动。
(3)由运动学规律，求解振动的加速度，利用简谐运动的运动学特征a＝－x进行判断。
如图所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于(　　)
A．0 B．kx
C.kx D.kx
答案　D
解析　以整体为研究对象，当物体离开平衡位置的位移为x时，回复力(即弹簧弹力)的大小为kx，此时m与M具有相同的加速度，根据牛顿第二定律kx＝(m＋M)a，得a＝。以A为研究对象，设使m产生加速度的力即为B对A的静摩擦力F，由牛顿第二定律可得F＝ma＝kx。故D正确。
课堂任务　简谐运动的能量
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．简谐运动的能量
(1)不考虑阻力，水平弹簧振子振动过程中只有弹力做功，在任意时刻振动系统的动能与势能之和不变，即机械能守恒。
(2)简谐运动的机械能的大小由振子的振幅决定
对同一振动系统来说，振幅越大，振动的能量越大。如果没有能量损耗，振幅保持不变，它将永不停息地振动下去，因此简谐运动又称等幅振动。
(3)动能、势能随位置的变化情况
①在最大位移处，势能最大，动能为零。
②在平衡位置处，动能最大，势能最小。
(4)实际的运动都有一定的能量损耗，所以简谐运动是一种理想化的物理模型。
2．简谐运动中各物理量的变化规律
如图所示，振子以O为平衡位置在A、B之间做简谐运动，各物理量的变化规律为：
总结：(1)在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反。
(2)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点。
(3)最大位移处是速度方向变化的转折点。
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　如图所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M。
(1)简谐运动的能量取决于________，物体振动时动能和________能相互转化，总机械能________。
(2)关于振子的振动，下列说法中正确的是(　　)
A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小
B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变
(3)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是(　　)
A．振幅不变 B．振幅减小
C．最大动能不变 D．最大动能减小
弹簧振子的能量由什么决定？与振子的质量有关吗？
提示：弹簧振子一定时，系统的能量由振子的振幅决定，此题中就是弹簧的最大形变量，与振子的质量无关。
[规范解答]　(1)振动系统一定时，系统的能量由振幅决定，物体振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。
(2)振子在平衡位置两侧往复运动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变最大，势能最大，B正确；在振子运动的过程中，只有弹簧的弹力做功，所以任意时刻动能与势能之和不变，D正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，A正确；振幅的大小与振子的位置无关，C错误。
(3)振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，故简谐运动的机械能不变，所以振幅保持不变，A正确，B错误；由于机械能守恒，故最大动能不变，C正确，D错误。
[完美答案]　(1)振幅　弹性势　守恒　(2)ABD　(3)AC
?1?要明确简谐运动的动能和势能的变化规律，就必须明确物体的实际振动情况。结合路径草图或振动图象，确定物体所处的位置、状态及运动过程中的速度、位移的变化规律。
?2?做简谐运动的物体，在同一位置位移相同，回复力、加速度、动能、势能、速率也都相同，但速度方向可能相同也可能相反。关于平衡位置对称的两点，动能、势能相同，加速度、回复力大小相等、方向不同；速度大小相等，方向可能相同，也可能不同。
　(多选)如图所示是某一质点做简谐运动的振动图象，下列说法正确的是(　　)
A．在第1 s内，质点的速度逐渐增大
B．在第1 s内，质点的加速度逐渐增大
C．在第1 s内，质点的回复力逐渐增大
D．在第4 s内，质点的动能逐渐增大
E．在第4 s内，质点的势能逐渐增大
F．在第4 s内，质点的机械能逐渐增大
答案　BCD
解析　在第1 s内，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，位移增大，回复力和加速度都增大，A错误，B、C正确；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小，动能增大，势能减小，机械能守恒，D正确，E、F错误。