高中物理人教版选修3-4 学案 第十一章 第4节 单摆 Word版含解析
文档属性
| 名称 | 高中物理人教版选修3-4 学案 第十一章 第4节 单摆 Word版含解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 210.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2019-12-27 09:36:57 | ||
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文档简介
第4节 单摆
1．理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源。
2．了解影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式。
一、单摆的回复力
1．单摆：由小球和细线组成，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径和线的长度相比可以忽略，与小球受到的重力及绳的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略，这样的装置叫做单摆。单摆是实际摆的理想化模型。
2．单摆的回复力
(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。
(2)回复力的特点：在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，方向总指向平衡位置，若单摆摆长为l、摆球质量为m，则回复力F＝－x，因此单摆做简谐运动。
二、单摆的周期
1．定性探究影响单摆周期的因素
(1)探究方法：控制变量法。
(2)实验结论：单摆振动的周期与摆球质量无关，振幅较小时周期与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越大。
2．定量探究单摆的周期与摆长的关系
(1)周期的测量：用停表测出单摆N(30或50)次全振动的时间t，利用T＝计算它的周期。
(2)摆长的测量：用刻度尺测出细线长度l0，用停表测出小球直径D，利用l＝l0＋求出摆长。
(3)数据处理：改变摆长，测量不同摆长及对应周期，作出T-l、T-l2或T- 图象，得出结论。
3．周期公式
(1)提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。
(2)公式：T＝2π ，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与(单摆所在处的)重力加速度g的二次方根成反比。
判一判
(1)一根细线一端固定，另一端拴一小球就构成一个单摆。( )
(2)单摆回复力的方向总是指向悬挂位置。( )
(3)单摆的回复力是由摆球重力的分力提供的。( )
(4)单摆的振幅越大周期越大。( )
(5)单摆的周期与摆球的质量无关。( )
提示：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
想一想
(1)摆球经过平衡位置时，合外力是否为零？摆球到达最大位移处时v＝0，加速度是否等于0?
提示：单摆摆动过程中经过平衡位置时不处于平衡状态，有向心力和向心加速度，回复力为零，合外力不为零。摆球到达最大位移处时速度等于零，合外力等于重力沿圆弧切线方向的分力，所以加速度不等于零。
(2)把单摆从赤道处移至两极处时，要保证单摆的周期不变，应如何调整摆长？
提示：两极处的重力加速度大于赤道处的重力加速度，由T＝2π 知，应增大摆长，才能使周期不变。
课堂任务 单摆及其回复力
1．单摆
(1)单摆是实际摆的理想化模型。
(2)实际摆看做单摆的条件
①摆线的形变量与摆线长度相比可忽略；
②摆线的质量与摆球质量相比可忽略；
③摆球的直径与摆线长度相比可忽略；
④空气阻力与摆球的重力及绳的拉力相比可忽略。
2．单摆的回复力
如图所示，重力G沿圆弧切线方向的分力G2是摆球沿运动方向的合力，正是这个力提供了使摆球做简谐运动的回复力：F＝G2＝mgsinθ。
3．单摆的运动特点
(1)摆球以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，半径方向都受向心力(最高点其向心力为零)。向心力由细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力提供。
(2)摆球同时在平衡位置附近做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都受回复力。
4．单摆做简谐运动的推证
在θ很小时(理论值为≤5°)，sinθ≈θ≈。G2＝Gsinθ＝x，G2方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F回＝－x＝－kx。因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动。
例1 (多选)关于单摆，下列说法中正确的是( )
A．单摆振动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力mgsinα，其中α是摆线与竖直方向之间的夹角
B．单摆的回复力是重力和摆线拉力的合力
C．单摆的摆球在平衡位置时(最低点)的加速度为零
D．单摆的振动周期在偏角很小的条件下跟振幅无关
(1)摆球通过平衡位置时，做何种运动？加速度是零吗？
提示：摆球做圆周运动。加速度不为零。
(2)“振幅很小”的含义是什么？
提示：“振幅很小”时，摆球的运动可看成简谐运动，此时，周期与振幅无关。
[规范解答] 单摆运动的轨迹是一段圆弧，在摆动的过程中，摆球受重力G和摆线的拉力FT两个力的作用，提
供回复力的是重力沿圆弧切线方向的分力mgsinα，而不是重力和摆线拉力的合力，A正确，B错误；摆球在平衡位置时有向心加速度，加速度不为零，C错误；通常情况下单摆的振动不是简谐运动，只有在偏角很小的情况下才可近似为简谐运动，单摆做简谐运动的条件下，周期与振幅无关，D正确。
[完美答案] AD
回复力、向心力、合外力的区别与联系
(1)区别
①回复力：使物体回到平衡位置且指向平衡位置的力；对单摆来说，重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsinθ提供回复力。
②向心力：使物体做曲线运动且指向圆心的力；对单摆来说，摆线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力。
③合外力：物体所受的合力，它使物体的运动状态发生变化。
(2)联系：回复力、向心力、合外力均为效果力且均为矢量。回复力、向心力一定是变力，合外力可以为恒力，也可为变力。对单摆来说，回复力与向心力的合力等于合外力。
对于单摆振动，以下说法中正确的是( )
A．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等
B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力
C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零
D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零
答案 C
解析 单摆振动过程中受到重力和细线拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，细线拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为m，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，在平衡位置处为零，故应选C。
课堂任务 单摆的周期
1．单摆的周期
荷兰物理学家惠更斯发现单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与当地的重力加速度g的二次方根成反比，他确定周期公式为：T＝2π 。
(1)单摆的周期T＝2π ，只与摆长l及单摆所在处的重力加速度有关，与振幅及摆球的质量无关。(单摆的等时性就是指单摆的周期与振幅无关的性质。)
(2)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)。
(3)单摆周期公式中的g为单摆所在处的重力加速度，它会随地理位置的改变而改变。l为单摆的摆长。摆长是指从悬点到摆球重心的长度，l＝l′＋，l′为摆线长，d为摆球直径。
2．计算单摆的周期的方法
(1)用单摆的周期公式T＝2π 计算，计算的关键是正确确定摆长。
(2)根据T＝计算。这是粗测周期的一种方法，周期的大小虽然不取决于t和N，但可以利用该方法计算周期，它会受到时间t和振动次数N测量的准确性的影响。
3．等效单摆
如图是一半径为R的光滑凹槽，现将一半径为r的小球从稍稍偏离最低点的位置释放，小球做往复运动的回复力与单摆振动的回复力均为重力沿圆弧切线方向的分力，其运动与摆长为(R－r)的单摆等效，故其周期T＝2π 。
例2 有一单摆，其摆长l＝1.02 m，摆球的质量m＝0.10 kg，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t＝60.8 s，试求：
(1)当地的重力加速度是多大？
(2)如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少？
(1)根据周期公式如何求重力加速度？
提示：由T＝2π 得g＝。
(2)要改变单摆的周期，可采用哪些措施？
提示：由T＝2π 可知，改变l和g均可使单摆的周期改变。
[规范解答] (1)当单摆做简谐运动时，其周期公式T＝2π ，由此可得g＝，只要求出T值代入即可。
因为T＝＝ s≈2.027 s，
所以g＝≈ m/s2≈9.79 m/s2。
(2)秒摆的周期是2 s，设其摆长为l0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动规律有：
＝，
故有：l0＝＝ m≈0.993 m。
其摆长要缩短，缩短量Δl＝l－l0＝1.02 m－0.993 m＝0.027 m。
[完美答案] (1)9.79 m/s2 (2)缩短 0.027 m
如图所示是半径很大的光滑凹球面的一部分，有一个小球第一次自A点由静止开始滑下，到达最低点O时的速度为v1，用时为t1；第二次自B点由静止开始滑下，到达最低点O时的速度为v2，用时为t2，下列关系正确的是( )
A．t1＝t2，v1>v2 B．t1>t2，v1C．t1v2 D．t1>t2，v1>v2
答案 A
解析 小球从A、B点由静止开始滑下均做等效单摆的运动，t1＝＝ ，t2＝＝ ，R为球面半径，故t1＝t2；A点离平衡位置远些，与平衡位置的高度差较大，由机械能守恒定律可知从A点滑下到达平衡位置O时的速度较大，即v1＞v2。故A正确。
如图所示是处于同一地点的两个单摆的振动图象。
(1)甲、乙两个摆的摆长之比是多少？
(2)以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，从t＝0起，乙第一次到达右方最大位移处时，甲振动到了什么位置？向什么方向运动？
答案 (1)1∶4 (2)平衡位置 向左运动
解析 (1)由题图可以看出，单摆甲的周期是单摆乙的周期的，即T甲＝T乙，又由单摆的周期与摆长的关系可知，l甲∶l乙＝1∶4。
(2)由题图可以看出，当乙第一次到达右方最大位移处时，t＝2 s，乙振动了个周期，甲振动了个周期，位移为0，位于平衡位置，此时甲向左运动。
课堂任务 单摆模型的综合问题
一、利用单摆求所处位置
通过单摆周期公式求所在处的重力加速度，然后应用万有引力等知识求所在高度、深度、纬度等。
二、等效摆长和等效重力加速度
1．等效摆长问题
等效摆长为摆球运动轨迹所在圆弧的圆心到摆球球心间的距离。如图甲、乙所示，忽略摆球直径且摆球在垂直纸面的竖直平面内做小角度的摆动，则其等效摆长分别为L甲＝Lsinθ，L乙＝Lsinθ＋L1，周期分别为
T甲＝2π，T乙＝2π。
2．等效重力加速度问题
等效重力加速度为单摆处于静止状态时，摆线的拉力F(相当于视重)与摆球质量的比值，即g等＝。有关等效重力加速度的题比较复杂，但只要求出g等就可以求出对应的周期。
(1)摆球为带电小球，摆线为轻质绝缘细线，竖直方向有电场的单摆。
如图甲所示，电场方向竖直向下，摆球带正电，单摆处于静止状态时摆线的拉力F＝mg＋Eq，其等效重力加速度为g等＝＝g＋，所以单摆的周期为T＝2π＝2π。同理可得，如果电场强度竖直向上，则单摆的周期为T＝2π。
(2)摆线一端固定在光滑斜面上，另一端连接摆球，摆球在光滑斜面上小角度摆动的单摆。
如图乙所示，在斜面上摆球静止时摆线的拉力F＝mgsinα，所以g等＝gsinα，在斜面上该单摆的周期为T＝2π。
例3 有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是T，当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T′，求该气球此时离海平面的高度h。(把地球看做质量均匀分布的半径为R的球体)
(1)单摆的周期与什么有关？
提示：与单摆所在处的重力加速度和摆长有关。
(2)同一经纬度处，离海平面越高，重力加速度越大还是越小？
提示：越小。
[规范解答] 设摆长为l，海平面处和离海平面的高度为h处的重力加速度分别是g和g′。
根据单摆周期公式得
T＝2π，T′＝2π，
故＝
根据万有引力公式有G＝mg(M为地球质量)，
得g＝G，同理g′＝G，得＝，
由以上结论可得
＝，则h＝R。
[完美答案] R
本题是一个既考查天体运动又考查单摆的综合题。重力加速度g是联系“单摆”与“天体运动”的纽带，无论从单摆到天体运动，还是从天体运动到单摆，首先必须求出或表示出g。这类问题经常会用到万有引力定律及黄金代换GM＝gR2。
一单摆在地面上的摆动周期与在某矿井底部的摆动周期的比值为k。设地球的半径为R，假定地球的密度均匀，已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d。
答案 (1－k2)R
解析 单摆在地面和矿井底部的周期分别为
T＝2π，①
T′＝2π，②
由题目知＝k，③
单摆在地面和矿井底部的重力加速度分别为
g＝，④
g′＝，⑤
由质量和体积的关系知
M＝πR3ρ，⑥
M′＝π(R－d)3ρ，⑦
联立①②③④⑤⑥⑦式解得d＝(1－k2)R。
如图，一可视为质点的小球用长为L的细线系于与水平面成α角的光滑斜面内，小球呈平衡状态。若使细线偏离平衡位置，其偏角小于5°，然后将小球由静止释放，则小球到达最低点所需的时间至少为多少？
答案
解析 此单摆做简谐运动，将其与竖直平面内振动的单摆比较可以发现，其等效重力加速度为gsinα，故其振动周期T＝2π ，小球到达最低点所需的时间至少为t＝＝ 。
1．理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源。
2．了解影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式。
一、单摆的回复力
1．单摆：由小球和细线组成，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径和线的长度相比可以忽略，与小球受到的重力及绳的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略，这样的装置叫做单摆。单摆是实际摆的理想化模型。
2．单摆的回复力
(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。
(2)回复力的特点：在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，方向总指向平衡位置，若单摆摆长为l、摆球质量为m，则回复力F＝－x，因此单摆做简谐运动。
二、单摆的周期
1．定性探究影响单摆周期的因素
(1)探究方法：控制变量法。
(2)实验结论：单摆振动的周期与摆球质量无关，振幅较小时周期与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越大。
2．定量探究单摆的周期与摆长的关系
(1)周期的测量：用停表测出单摆N(30或50)次全振动的时间t，利用T＝计算它的周期。
(2)摆长的测量：用刻度尺测出细线长度l0，用停表测出小球直径D，利用l＝l0＋求出摆长。
(3)数据处理：改变摆长，测量不同摆长及对应周期，作出T-l、T-l2或T- 图象，得出结论。
3．周期公式
(1)提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。
(2)公式：T＝2π ，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与(单摆所在处的)重力加速度g的二次方根成反比。
判一判
(1)一根细线一端固定，另一端拴一小球就构成一个单摆。( )
(2)单摆回复力的方向总是指向悬挂位置。( )
(3)单摆的回复力是由摆球重力的分力提供的。( )
(4)单摆的振幅越大周期越大。( )
(5)单摆的周期与摆球的质量无关。( )
提示：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
想一想
(1)摆球经过平衡位置时，合外力是否为零？摆球到达最大位移处时v＝0，加速度是否等于0?
提示：单摆摆动过程中经过平衡位置时不处于平衡状态，有向心力和向心加速度，回复力为零，合外力不为零。摆球到达最大位移处时速度等于零，合外力等于重力沿圆弧切线方向的分力，所以加速度不等于零。
(2)把单摆从赤道处移至两极处时，要保证单摆的周期不变，应如何调整摆长？
提示：两极处的重力加速度大于赤道处的重力加速度，由T＝2π 知，应增大摆长，才能使周期不变。
课堂任务 单摆及其回复力
1．单摆
(1)单摆是实际摆的理想化模型。
(2)实际摆看做单摆的条件
①摆线的形变量与摆线长度相比可忽略；
②摆线的质量与摆球质量相比可忽略；
③摆球的直径与摆线长度相比可忽略；
④空气阻力与摆球的重力及绳的拉力相比可忽略。
2．单摆的回复力
如图所示，重力G沿圆弧切线方向的分力G2是摆球沿运动方向的合力，正是这个力提供了使摆球做简谐运动的回复力：F＝G2＝mgsinθ。
3．单摆的运动特点
(1)摆球以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，半径方向都受向心力(最高点其向心力为零)。向心力由细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力提供。
(2)摆球同时在平衡位置附近做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都受回复力。
4．单摆做简谐运动的推证
在θ很小时(理论值为≤5°)，sinθ≈θ≈。G2＝Gsinθ＝x，G2方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F回＝－x＝－kx。因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动。
例1 (多选)关于单摆，下列说法中正确的是( )
A．单摆振动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力mgsinα，其中α是摆线与竖直方向之间的夹角
B．单摆的回复力是重力和摆线拉力的合力
C．单摆的摆球在平衡位置时(最低点)的加速度为零
D．单摆的振动周期在偏角很小的条件下跟振幅无关
(1)摆球通过平衡位置时，做何种运动？加速度是零吗？
提示：摆球做圆周运动。加速度不为零。
(2)“振幅很小”的含义是什么？
提示：“振幅很小”时，摆球的运动可看成简谐运动，此时，周期与振幅无关。
[规范解答] 单摆运动的轨迹是一段圆弧，在摆动的过程中，摆球受重力G和摆线的拉力FT两个力的作用，提
供回复力的是重力沿圆弧切线方向的分力mgsinα，而不是重力和摆线拉力的合力，A正确，B错误；摆球在平衡位置时有向心加速度，加速度不为零，C错误；通常情况下单摆的振动不是简谐运动，只有在偏角很小的情况下才可近似为简谐运动，单摆做简谐运动的条件下，周期与振幅无关，D正确。
[完美答案] AD
回复力、向心力、合外力的区别与联系
(1)区别
①回复力：使物体回到平衡位置且指向平衡位置的力；对单摆来说，重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsinθ提供回复力。
②向心力：使物体做曲线运动且指向圆心的力；对单摆来说，摆线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力。
③合外力：物体所受的合力，它使物体的运动状态发生变化。
(2)联系：回复力、向心力、合外力均为效果力且均为矢量。回复力、向心力一定是变力，合外力可以为恒力，也可为变力。对单摆来说，回复力与向心力的合力等于合外力。
对于单摆振动，以下说法中正确的是( )
A．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等
B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力
C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零
D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零
答案 C
解析 单摆振动过程中受到重力和细线拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，细线拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为m，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，在平衡位置处为零，故应选C。
课堂任务 单摆的周期
1．单摆的周期
荷兰物理学家惠更斯发现单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与当地的重力加速度g的二次方根成反比，他确定周期公式为：T＝2π 。
(1)单摆的周期T＝2π ，只与摆长l及单摆所在处的重力加速度有关，与振幅及摆球的质量无关。(单摆的等时性就是指单摆的周期与振幅无关的性质。)
(2)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)。
(3)单摆周期公式中的g为单摆所在处的重力加速度，它会随地理位置的改变而改变。l为单摆的摆长。摆长是指从悬点到摆球重心的长度，l＝l′＋，l′为摆线长，d为摆球直径。
2．计算单摆的周期的方法
(1)用单摆的周期公式T＝2π 计算，计算的关键是正确确定摆长。
(2)根据T＝计算。这是粗测周期的一种方法，周期的大小虽然不取决于t和N，但可以利用该方法计算周期，它会受到时间t和振动次数N测量的准确性的影响。
3．等效单摆
如图是一半径为R的光滑凹槽，现将一半径为r的小球从稍稍偏离最低点的位置释放，小球做往复运动的回复力与单摆振动的回复力均为重力沿圆弧切线方向的分力，其运动与摆长为(R－r)的单摆等效，故其周期T＝2π 。
例2 有一单摆，其摆长l＝1.02 m，摆球的质量m＝0.10 kg，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t＝60.8 s，试求：
(1)当地的重力加速度是多大？
(2)如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少？
(1)根据周期公式如何求重力加速度？
提示：由T＝2π 得g＝。
(2)要改变单摆的周期，可采用哪些措施？
提示：由T＝2π 可知，改变l和g均可使单摆的周期改变。
[规范解答] (1)当单摆做简谐运动时，其周期公式T＝2π ，由此可得g＝，只要求出T值代入即可。
因为T＝＝ s≈2.027 s，
所以g＝≈ m/s2≈9.79 m/s2。
(2)秒摆的周期是2 s，设其摆长为l0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动规律有：
＝，
故有：l0＝＝ m≈0.993 m。
其摆长要缩短，缩短量Δl＝l－l0＝1.02 m－0.993 m＝0.027 m。
[完美答案] (1)9.79 m/s2 (2)缩短 0.027 m
如图所示是半径很大的光滑凹球面的一部分，有一个小球第一次自A点由静止开始滑下，到达最低点O时的速度为v1，用时为t1；第二次自B点由静止开始滑下，到达最低点O时的速度为v2，用时为t2，下列关系正确的是( )
A．t1＝t2，v1>v2 B．t1>t2，v1
答案 A
解析 小球从A、B点由静止开始滑下均做等效单摆的运动，t1＝＝ ，t2＝＝ ，R为球面半径，故t1＝t2；A点离平衡位置远些，与平衡位置的高度差较大，由机械能守恒定律可知从A点滑下到达平衡位置O时的速度较大，即v1＞v2。故A正确。
如图所示是处于同一地点的两个单摆的振动图象。
(1)甲、乙两个摆的摆长之比是多少？
(2)以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，从t＝0起，乙第一次到达右方最大位移处时，甲振动到了什么位置？向什么方向运动？
答案 (1)1∶4 (2)平衡位置 向左运动
解析 (1)由题图可以看出，单摆甲的周期是单摆乙的周期的，即T甲＝T乙，又由单摆的周期与摆长的关系可知，l甲∶l乙＝1∶4。
(2)由题图可以看出，当乙第一次到达右方最大位移处时，t＝2 s，乙振动了个周期，甲振动了个周期，位移为0，位于平衡位置，此时甲向左运动。
课堂任务 单摆模型的综合问题
一、利用单摆求所处位置
通过单摆周期公式求所在处的重力加速度，然后应用万有引力等知识求所在高度、深度、纬度等。
二、等效摆长和等效重力加速度
1．等效摆长问题
等效摆长为摆球运动轨迹所在圆弧的圆心到摆球球心间的距离。如图甲、乙所示，忽略摆球直径且摆球在垂直纸面的竖直平面内做小角度的摆动，则其等效摆长分别为L甲＝Lsinθ，L乙＝Lsinθ＋L1，周期分别为
T甲＝2π，T乙＝2π。
2．等效重力加速度问题
等效重力加速度为单摆处于静止状态时，摆线的拉力F(相当于视重)与摆球质量的比值，即g等＝。有关等效重力加速度的题比较复杂，但只要求出g等就可以求出对应的周期。
(1)摆球为带电小球，摆线为轻质绝缘细线，竖直方向有电场的单摆。
如图甲所示，电场方向竖直向下，摆球带正电，单摆处于静止状态时摆线的拉力F＝mg＋Eq，其等效重力加速度为g等＝＝g＋，所以单摆的周期为T＝2π＝2π。同理可得，如果电场强度竖直向上，则单摆的周期为T＝2π。
(2)摆线一端固定在光滑斜面上，另一端连接摆球，摆球在光滑斜面上小角度摆动的单摆。
如图乙所示，在斜面上摆球静止时摆线的拉力F＝mgsinα，所以g等＝gsinα，在斜面上该单摆的周期为T＝2π。
例3 有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是T，当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T′，求该气球此时离海平面的高度h。(把地球看做质量均匀分布的半径为R的球体)
(1)单摆的周期与什么有关？
提示：与单摆所在处的重力加速度和摆长有关。
(2)同一经纬度处，离海平面越高，重力加速度越大还是越小？
提示：越小。
[规范解答] 设摆长为l，海平面处和离海平面的高度为h处的重力加速度分别是g和g′。
根据单摆周期公式得
T＝2π，T′＝2π，
故＝
根据万有引力公式有G＝mg(M为地球质量)，
得g＝G，同理g′＝G，得＝，
由以上结论可得
＝，则h＝R。
[完美答案] R
本题是一个既考查天体运动又考查单摆的综合题。重力加速度g是联系“单摆”与“天体运动”的纽带，无论从单摆到天体运动，还是从天体运动到单摆，首先必须求出或表示出g。这类问题经常会用到万有引力定律及黄金代换GM＝gR2。
一单摆在地面上的摆动周期与在某矿井底部的摆动周期的比值为k。设地球的半径为R，假定地球的密度均匀，已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d。
答案 (1－k2)R
解析 单摆在地面和矿井底部的周期分别为
T＝2π，①
T′＝2π，②
由题目知＝k，③
单摆在地面和矿井底部的重力加速度分别为
g＝，④
g′＝，⑤
由质量和体积的关系知
M＝πR3ρ，⑥
M′＝π(R－d)3ρ，⑦
联立①②③④⑤⑥⑦式解得d＝(1－k2)R。
如图，一可视为质点的小球用长为L的细线系于与水平面成α角的光滑斜面内，小球呈平衡状态。若使细线偏离平衡位置，其偏角小于5°，然后将小球由静止释放，则小球到达最低点所需的时间至少为多少？
答案
解析 此单摆做简谐运动，将其与竖直平面内振动的单摆比较可以发现，其等效重力加速度为gsinα，故其振动周期T＝2π ，小球到达最低点所需的时间至少为t＝＝ 。