高中物理人教版选修3-4 学案 第十二章 第3节 波长、频率和波速 Word版含解析

第3节　波长、频率和波速
1．理解波长、频率和波速的物理意义，能从波的图象中求出波长。
2．理解波长、频率和波速之间的关系，并能进行相关的计算。
3．知道时间Δt前后波形图的确定方法，会画出其波形图。
4．了解波的多解问题，掌握解决多解问题的方法。
一、波长
1．定义：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离，用物理符号λ表示。
2．特征：在横波中，两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离等于波长。在纵波中，两个相邻密部或两个相邻疏部之间的距离等于波长。
二、周期和频率
1．概念：波的周期(频率)等于波源及介质中各个质点的振动周期(振动频率)，周期用符号T表示，频率用符号f表示。
2．规律：在波动中，各个质点的振动周期(或频率)均由波源决定，并且均相同，它们都等于波源的振动周期(或频率)。
3．关系：周期T和频率f互为倒数，即T＝。
4．时空关系：在一个周期内，振动在介质中传播的距离等于一个波长。
三、波速
1．定义：机械波在介质中传播的速度。波速等于波长和周期的比值。
2．定义式：v＝，它又等于波长和频率的乘积，公式为v＝λf。
3．决定因素：机械波在介质中的传播速度由介质本身的性质决定。在不同的介质中，波速一般不同。另外，波速还与温度有关。
判一判
(1)两个波峰(或波谷)之间的距离为一个波长。(　　)
(2)两个密部(或疏部)之间的距离为一个波长。(　　)
(3)振动在介质中传播一个波长的时间是一个周期。(　　)
提示：(1)×　(2)×　(3)√
想一想
频率越大的机械波在介质中传播得越快吗？
提示：波的传播速度与频率无关，只与介质的性质有关。
课堂任务　波长、频率、周期和波速
一、波长
1．定义：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。
2．特征：在横波中，两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离等于波长。在纵波中，两个相邻密部或两个相邻疏部之间的距离等于波长。
二、周期(T)与频率(f)
1．波的周期(或频率)就等于波源质点振动的周期(或频率)。
2．物理意义
波的周期(或频率)是反映波变化快慢的物理量，它不能反映波传播的快慢。
(1)波的周期由波源决定，与传播介质无关。同一列波在不同介质中传播时能够保持不变的是周期(或频率)。
(2)每经历一个周期，各振动质点完成一次全振动，波形图将恢复原状。
三、波速(v)
1．定义
单位时间内振动所传播的距离叫做波速，即v＝。
2．物理意义
波速描述的是机械波在介质中传播的快慢程度，它不表示介质中质点运动的快慢。
(1)机械波的传播速度的大小由介质的性质决定，同一列波在不同介质中传播速度是不同的。
(2)机械波在同一均匀介质中是匀速传播的，所以传播距离Δx＝vΔt。
四、波长、频率(或周期)
1．由于每经过一个周期T的时间振动传播的距离等于一个波长λ，所以波速v＝。
2．由于周期和频率互为倒数，所以v＝λf。
例1　(多选)关于公式v＝λf，下列说法中正确的是(　　)
A．v＝λf适用于一切波
B．由v＝λf知，f增大，则波速v也增大
C．v、λ、f三个量中，对同一列波来说，在不同介质中传播时保持不变的只有f
D．由v＝λf知，波长是6 m的声波为波长是3 m的声波传播速度的2倍
(1)公式v＝λf的适用范围？
提示：只要是波，波速和波长均满足关系式v＝λf。
(2)波速的大小由什么决定？
提示：波速大小由介质决定，只要介质相同波速就相同。
[规范解答]　公式v＝λf适用于一切波，无论是机械波还是电磁波，A正确；机械波的波速仅由介质决定，与频率f、波长λ无关，所以B、D错误；对同一列波，其频率由振源决定，与介质无关，C正确。
[完美答案]　AC
?1?波从一种介质进入另外一种介质，波源没变，波的频率不会发生变化；波速的大小由介质决定，介质不同波速就不同，由于波速的改变，波长改变。
?2?波长也是波的周期性的体现，它体现的是波在空间上的周期性。
?3?波传播的速度与质点振动的速度无必然关系。
?4?注意波长、频率、波速的关系。
　如图甲所示，一根水平张紧的弹性长绳上有等间距的Q′、P′、O、P、Q质点，相邻两质点间距离为1 m。t＝0时刻O质点从平衡位置开始沿y轴正方向振动，并产生分别向左、向右传播的波，O质点振动图象如图乙所示，当O点第一次达到正方向最大位移的时刻，P点刚开始振动，则(　　)
A．P′、P两点的振动步调始终相反
B．当Q′点振动第一次达到负向最大位移时，O质点已经通过25 cm的路程
C．t＝4 s时P点处于波峰
D．若O质点振动加快，波的传播速度变大
答案　B
解析　依题意知，向左、向右传播的两列波关于y轴左右对称的两点，步调总是相同，A错误；t＝1 s时，O点第一次达到正方向最大位移，P点刚开始向上运动，T＝4 s，λ＝4 m，振动从O点传到Q′时，O点已经振动了半个周期，Q′起振方向向上，当Q′点振动第一次达到负向最大位移时，质点O共运动了1周期，第二次到达正向最大位移处，通过的路程为x＝5A＝25 cm，B正确；T＝4 s，故t＝4 s时，质点O回到平衡位置向上运动，所以此时P点处于波谷，C错误；波速由介质决定，与频率无关，故O质点振动加快，波的传播速度不变，D错误。
课堂任务　时间Δt前后波形图的确定方法
1．Δt后波形图的画法
(1)平移法
①原理：波传播的是运动形式，即波形的传播。
②方法与步骤
a．算出波在Δt时间内传播的距离：Δx＝vΔt＝·λ＝(n＋x)λ(n＝0,1,2,3…)。
b．把波形沿波的传播方向平移x，如图所示的②图象。
c．然后将图线向左顺延即可，如图中虚线部分。
(2)特殊点法
①原理：参与波动的介质质点都在各自的平衡位置附近振动，并不随波迁移。
②方法与步骤
a．取平衡位置相距为的两个特殊点(最大位移处与平衡位置处)为研究对象。
b．根据图示时刻质点的振动方向，判定出Δt[通常要算出Δt＝(n＋t)T(n＝0,1,2,3…)]时间后两质点的位置。
c．过这两位置画出正弦图象即可。如图所示，假设Δt＝T，Δt后波形如图中②所示。
2．Δt前波形图的画法
如果运用平移法，只需将波形逆着波的传播方向推进；如果运用特殊点法，只需沿着质点振动的反方向找出Δt后的质点位置，其他做法不变。
例2　如图所示是一列简谐波在某时刻的波形图，若每隔0.2 s波沿＋x方向行进0.8 m，试画出17 s后的波形图。
(1)该简谐波的波速应该怎样求解？
提示：利用v＝求解，其中x、t分别为波传播的距离和时间。
(2)若17秒内波向＋x方向传播(nλ＋x) m，应将此时的波如何移动才能得出17秒后的波形？
提示：应将波沿＋x方向移动x m即可。
[规范解答]　解法一：平移法
由题知波速v＝ m/s＝4 m/s，由题图知波长λ＝8 m。
可知周期T＝＝ s＝2 s,17 s内的周期数n＝＝＝8，将8舍弃，取λ，根据波动的时间与空间的周期性，将波向＋x方向平移λ即可，如图中虚线所示；
解法二：特殊点法
如图所示，在题图中原波形上取两特殊质点a、b，因Δt＝8T，舍弃8，取T，找出a、b两质点再振动后的位置a′、b′，过a′、b′画一条正弦曲线即可。
[完美答案]　见规范解答
平移法确定Δt前后波形图要点
用平移法作图时，既可通过Δx与λ的关系确定波形移动，也可通过Δt与T的关系确定，因为在一个周期内，波向前传播一个波长的距离，如上例。
　如图甲所示是一列简谐横波在t＝0.2 s时的波形图，其中O是波源，图乙是波上某一点P的振动图象。
(1)该波的波长为________m，周期为________s，波速为________m/s；
(2)说明P质点的位置；
(3)画出t＝0.4 s和t＝0.55 s的波形图。
答案　(1)4　0.2　20　(2)见解析　(3)见解析
解析　(1)由甲图知波长λ＝4 m，由乙图知周期T＝0.2 s。
所以波速v＝＝20 m/s。
(2)由乙图知在t＝0.2 s时P质点经过平衡位置正向上运动，且它已振动了一个周期，所以它应是甲图中的波源O，其横坐标x＝0。
(3)t＝0.4 s时，从甲图算起Δt1＝0.2 s＝T，波形正好向右平移了一个波长，因此此时0～4 m之间的波形与t＝0.2 s时的波形相同，此时的波形如图中实线所示。
t＝0.55 s时，从甲图算起Δt2＝0.35 s＝1T。由画图的一般做法：去整取零法，只需把t＝0.2 s时的波形向右平移λ即可，结果如图中虚线所示。
课堂任务　波的多解问题
1．造成波动问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形图完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确会导致多解。
②空间周期性：沿传播方向上，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确会导致多解。
(2)双向性
对给定的波形图，波的传播方向不同，质点的振动方向也不同，反之亦然。
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
2．波动问题的几种可能性
(1)质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。
(2)质点由平衡位置开始振动，则有起振方向向上、向下(或向左、向右)的两种可能。
(3)只告诉波速不指明波的传播方向，应考虑沿x轴正方向和x轴负方向两个方向传播的可能。
(4)只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能等。
3．解决波的多解问题的方法
(1)解决周期性多解问题时，往往采用从特殊到一般的思维方法，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上，再加上时间nT；或找到一个波长内满足条件的特例，在此基础上再加上距离nλ。
(2)解决双向性多解问题时，养成全面思考的习惯，熟知波有向正、负(或左、右)两方向传播的可能，质点有向上、向下(或向左、向右)两方向振动的可能。
例3　一列简谐横波图象如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt＝t2－t1＝0.5 s，问：
(1)这列波的可能波速的表达式？
(2)若波向左传播，且3T＜Δt＜4T，波速多大？
(3)若波速v＝68 m/s，则波向哪个方向传播？
(1)题目中未明确波的传播方向应如何处理？
提示：首先看能否通过振动方向得到波的传播方向，因本题也未明确Δt与T的关系，故无法得知波中质点振动方向及波的传播方向，所以应对波的传播方向进行讨论。
(2)确定Δx与λ的关系时，考虑周期性吗？
提示：是的。这是波的空间周期性造成的。
[规范解答]　(1)未明确波的传播方向和Δt与T的关系，故有两组系列解。当波向右传播时：v右＝＝ m/s＝4(4n＋1) m/s(n＝0,1,2，…)①
当波向左传播时：
v左＝＝ m/s
＝4(4n＋3) m/s(n＝0,1,2，…)②
(2)明确了波的传播方向，并限定3T＜Δt＜4T，
设此时间内波传播距离为s，则有3λ＜s＜4λ，即n＝3，代入②式v左＝4(4n＋3) m/s＝4(4×3＋3) m/s＝60 m/s。
(3)给定的波速v＝68 m/s，则给定时间Δt内波传播距离x＝v·Δt＝68×0.5 m＝34 m＝4λ，故波向右传播。
[完美答案]　(1)向右传播时：4(4n＋1) m/s(n＝0,1,2，…)　向左传播时：4(4n＋3) m/s(n＝0,1,2，…)
(2)60 m/s　(3)向右传播
解决波的多解问题的一般思路
(1)首先考虑双向性，若题目未告知波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播的可能性进行讨论。
(2)对设定的传播方向，确定Δt和T的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内的情况，然后在此基础上加nT。
(3)应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等，所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意。
(4)空间的周期性与时间的周期性是一致的，实质上是波形平移规律的应用，所以应用时我们可以针对不同题目选择其中一种方法求解。
　(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，t＝0时的波形如图中实线所示，t＝0.1 s时的波形如图中的虚线所示。波源不在坐标原点处，P是传播介质中离坐标原点2.5 m处的一个质点，则下列说法正确的是(　　)
A．波的频率可能为7.5 Hz
B．波的传播速度可能为50 m/s
C．质点P的振幅为0.1 m
D．在t＝0.1 s时与P相距5 m处的质点也一定向上振动
答案　BC
解析　从题图中可以看出波形从实线传播到虚线的时间为t＝T(n＝0,1,2，…)，波的频率为f＝＝＝ Hz＝2.5(4n＋1) Hz(n＝0,1,2，…)，A错误；从题图中得出波长为λ＝4 m，波的传播速度为v＝λf＝10(4n＋1) m/s(n＝0,1,2，…)，当n＝1时，v＝50 m/s，B正确；从题图中可以看出质点P的振幅为0.1 m，C正确；从题图中可知t＝0.1 s时，质点P向上振动，与质点P相距5 m的质点与质点P相距1个波长，若该质点在P点左侧，它正在向下振动，若该质点在P点右侧，它正在向上振动，D错误。