人教版高中数学选修2-3《随机变量及其分布》导学案（学生版）

2．1．1离散型随机变量
【学习目标】理解随机变量的意义；
【自学导航】
定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为______________
随机变量常用字母_____________… 表示．
定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为_______________
判断：1。电灯的寿命X是离散型随机变量。
2．如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度是离散型随机变量。
3．投掷一枚硬币，X=0，表示正面向上，X=1，表示反面向上X是离散型随机变量。
【合作探究】
探究1． 写出下列随机变量可能取的值
(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出1只球，被取出的球的数X；
(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数Y






探究2． 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，写出X，并试问：“X> 4”表示的试验结果是什么？




探究3。一批产品共100件，其中有5件次品。现在从中认取10件检查，求取出的次品数X。









2．?1．2离散型随机变量的分布列
【学习目标】会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。
【自学导航】
1. 分布列:设离散型随机变量X可能取得值为
x1，x2，…，x3，…，
X取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表
X
P
为随机变量X的概率分布，简称X的分布列
2. 分布列的两个性质：

⑴_______________，i＝1，2，…；

⑵_________________
3.两点分布列:在掷一枚图钉的随机试验中，令
X
P

4. 超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X件次品数，则事件 {X=k｝发生的概率为称分布列
X 0 1 …
P …
超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布








【合作探究】
探究 1．某一射手射击所得的环数X的分布列如下：
X 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．







探究2 掷一颗骰子，所掷出的点数为随机变量X，
（1） 求X的分布列
（2） 求“点数大于4”的概率
（3） 求“点数不超过5”的概率。








探究3在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求：
(1)取到的次品数X 的分布列；
（2）至少取到1件次品的概率．










探究4．一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列．










【反馈练习】
在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．
（1）求中奖的概率．
（2）如果要将这个游戏的中奖率控制在55%左右，那么应该如何设计中奖规则？
　







【重点归纳】
⑴根据随机变量的概率分步（分步列），可以求随机事件的概率；⑵两点分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它是概率论中最重要的几种分布之一 (3) 离散型随机变量的超几何分布
【作业】



2．?2．1条件概率
【学习目标】通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。
【自学导航】
1. 定义 条件概率
2. 条件概率公式：______________.

【合作探究】
探究1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求：
(l）第1次抽到理科题的概率；
(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．











探究2.一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
(1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；
(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．








探究3.一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P（AB），P（A︱B）。









【反馈练习】
1.抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}，B={1，2，4，5，6}，求P（A），P（B），P（AB），P（A︱B）。
2.在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10和红球，10个白球。求第1个人摸出1个红球，紧接着第2个人摸出1个白球的概率。
3.书49页例题1-3








2．2．2事件的相互独立性
【学习目标】理解两个事件相互独立的概念。
【自学导航】
1． 相互独立事件的定义：
2． 相互独立事件性质：若与是相互独立事件，则______，________，_________也相互独立
3。一般地，如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 ．
【合作探究】
探究 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：
(1)都抽到某一指定号码； (2)恰有一次抽到某一指定号码； (3)至少有一次抽到某一指定号码．




探究2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：
（1）人都射中目标的概率；（2）人中恰有人射中目标的概率；
（3）人至少有人射中目标的概率；（4）人至多有人射中目标的概率？






探究 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率
变式题1：如图添加第四个开关与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率
变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率

探究 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．
（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；
（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？




【反馈练习】
1．在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )

2．从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，从两个口袋内各摸出1个球，那么等于（ ）2个球都是白球的概率 2个球都不是白球的概率
2个球不都是白球的概率 2个球中恰好有1个是白球的概率
3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（ ）0.128 0.096 0.104 0.384
4．某道路的、、三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 （ ）

5．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是 ；
（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 ．
6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，
（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为 ；此穴无壮苗的概率为 ．
（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为 ；此穴有壮苗的概率为 ．
7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.
8．制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？
2．2．3独立重复实验与二项分布
【学习目标】理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
【自学导航】
二、讲解新课：
1XXX独立重复试验的定义：
2．独立重复试验的概率公式： ________________________________．
3.离散型随机变量的二项分布: ，（k＝0,1,2,…，n，）．
于是得到随机变量X的概率分布如下：
X 0 1 … k … n
P … …
这样的随机变量X服从二项分布,记作X～B(n，p)
【合作探究】
探究1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，
(1)恰有 8 次击中目标的概率；
(2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)



探究2．（2000年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数X的概率分布．



探究3．重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为X，求P(X>3)．



探究4．某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留两个有效数字）：
（1）5次预报中恰有4次准确的概率；
（2）5次预报中至少有4次准确的概率


探究5．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）
探究6．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？




探究7．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？



探究8．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．
（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．
（2）按比赛规则甲获胜的概率．




【反馈练习】
1．每次试验的成功率为，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）

2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ ）

3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）

4．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为 ．（设每次命中的环数都是自然数）

5．一名篮球运动员投篮命中率为，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 ．
2．3．1离散型随机变量的期望
【学习目标】
了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．
【自学导航】
1. 均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为
X x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …

则称 _______________________________________________为X的均值或数学期望，简称期望．
　2. 均值或数学期望意义：是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的______
3. 性质：
4．若X～B(n，p)，则np．
【合作探究】
探究1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分X的期望





探究2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望




探究3.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数X的期望



探究4.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用X表示得分数
x的概率分布列.2.求X的数学期望



（拔高）探究5.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程X是一个随机变量．设他所收租车费为Y
(Ⅰ)求租车费Y关于行车路程X的关系式；
(Ⅱ)若随机变量X的分布列为
X 15 16 17 18
P 0.1 0.5 0.3 0.1
求所收租车费Y的数学期望．
(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?


【反馈练习：
1.口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（ ）
A．4；　　B．5；　　C．4.5；　　D．4.75
2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分X的数学期望；⑵他罚球2次的得分Y的数学期望；
⑶他罚球3次的得分X的数学期望．

3．设有m升水，其中含有大肠杆菌n个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为X，求X的数学期望．
【重点归纳】 (1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；
(2)求离散型随机变量X的期望的基本步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出EX 公式E（aX+b）= aEX+b，以及服从二项分布的随机变量的期望EX=np
【重点归纳】【作业】

2．3．2离散型随机变量的方差
【学习目标】
解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

【自学导航】
1. 方差:
2. 标准差:
3.方差的性质：（1）；（2）；
（3）若X～B(n，p)，则np(1-p)
4.方差意义：
随机变量X的方差、标准差也是随机变量X的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛
【合作探究】
探究1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.


探究2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800
获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1

乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2000
获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？


探究3．设随机变量X的分布列为
X 1 2 … n
P …
求DX
探究4．已知离散型随机变量的概率分布为
1 2 3 4 5 6 7
P
离散型随机变量的概率分布为
3．7 3．8 3．9 4 4．1 4．2 4．3
P
求这两个随机变量期望、均方差与标准差


探究5．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平
【反馈练习】
1 .已知，则的值分别是（ ）
A．；　　B．；　　C．；　　D．

2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．
3. 有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：
XA 110 120 125 130 135 XB 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中XA、XB分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好


【重点归纳】
【作业】

2．4正态分布
【学习目标】掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 。
【自学导航】
1．总体密度曲线:
2．正态曲线：图象来表示或近似表示： 式中的实数、是参数，分别表示总体的平均数与标准差，的图象为正态分布密度曲线．
3．X 的分布为正态分布：
一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足
,．正态分布完全由参数和确定，记为X～.
4．正态曲线的性质：
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交 （2）曲线关于直线x=μ对称
（3）当x=μ时，曲线位于最高点
（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近
（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定 σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：
5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式，（-∞＜x＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线

【合作探究】
探究1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ
（１）
（２）
（３）
探究2. 若x～N(0,1),求(l)P(-2.322).



探究3．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：
(1)在N(1,4)下，求
（2）在N（μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；


探究4．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率















第二章 条件概率的知识点
1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母X、Y等表示
2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

3. 分布列:
X x1 x2 … xi …
P P1 P2 … Pi …
4. 分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．
5.二项分布:X～B(n，p)，并记＝b(k；n，p)．
X 0 1 … k … n
P … …
6.几何分布： g(k，p)= ，其中k＝0,1,2,…， ．
X 1 2 3 … k …
P … …
7.数学期望: 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为
X x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称 …… 为X的数学期望，简称期望．
　8. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
9 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量X的概率分布中，令…，则有…，…，所以X的数学期望又称为平均数、均值
10. 期望的一个性质:
11.若XB（n,p），则EX=np
12．＝＋＋…＋＋…
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望．
13．（1）；（2）；
（3）若ξ～B(n，p)，则np(1-p)
14．标准正态曲线:当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，（-∞＜x＜+∞）
15．标准正态分布表中对应于的值是指总体取值小于的概率，即 ，．若，则．
利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间内取值的概率，即直线，与正态曲线、x轴所围成的曲边梯形的面积．