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3.6 直线与圆的位置关系（2）
第三章 圆
北师大版数学九年级下册
(2) 当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆 .
(3) 当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆 .
(1) 当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆 .
相离
相切
相交
(1)
(3)
(2)
这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点.
O
O
O
直线与圆的位置关系量化
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l 的距离为d,那么
d r
直线和圆相交
直线和圆相切
直线和圆相离
d r
d r
<
=
>
直线何时变为切线
如图,AB是⊙O的直径,直线CD经过点A,CD与AB的夹角为∠α,当CD绕点A旋转时,
3.你能写出一个命题来表述这个事实吗?
1.随着∠α的变化,点O到CD的距离如何变化?直线CD与⊙O的位置关系如何变化?
2.当∠α等于多少度时,点O到CD的距离等于半径?此时,直线CD与⊙O有怎样的位置关系? 为什么?
发现：(1)直线 l 经过半径OA的外端点A；
(2)直线l垂直于半径0A．
则:直线l与⊙O相切
这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。
切线需满足两条： ①经过半径外端；
②垂直于这条半径．
定理的几何符号表达：
∵ OA是半径，l⊥OA于A
∴ l是⊙O的切线。
O
r
l
A
判 断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ）
2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）
3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）
×
×
×
两个条件,缺一不可
切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理．即
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
判定直线与圆相切有哪些方法？
做一做：
已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．
问：如何过圆上一个已知点做圆的切线呢？
老师提示:
根据“经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线”只要连接OA,过点A作OA的垂线即可.
从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使其与各边都相切?
假设符合条件的圆已作出,则它的圆心到三边的距离相等.因此,圆心在这个三角形三个角的平分线上,半径为圆心到三边的距离.
三角形与圆的位置关系
I●
例2 已知：△ABC
求作：⊙I，使它与△ABC的三边都相切
作法：
1.分别作∠B,∠C的平分线BE和CF,交点为I。
2.过I作BC的垂线，垂足为D。
3.以I为圆心，以ID长为半径作⊙I。
⊙I就是所求的圆。
I●
┓
这样的圆可以作出几个?为什么?
∵直线BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等(为什么?),
∴和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.
三角形与圆的位置关系
这圆叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
三角形与圆的“切”关系
1.以边长为3,4,5的三角形的三个顶点为圆心,分别作圆与对边相切,则这三个圆的半径分别是多少?
2.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内切圆,并说明它们内心的位置情况.
例.已知:如图，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB=BC，∠A=30°.求证:直线AB是⊙O的切线
A
B
C
O
证明：连接OB
∵OB=OC，AB=BC，∠A=30°
∴∠OBC=∠C=∠A=30°
∴∠AOB=∠C+ ∠OBC =60°
∵∠ABO=180°-（∠AOB+∠A）
=180°-（60°+30°）
=90°
∴AB⊥OB
∴AB为⊙O的切线
1. 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
O
B
A
C
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。
证明：连结OC
∵ ⊿OAB中， OA＝OB , CA＝CB,
∴ AB⊥OC。
∵ OC是⊙O的半径
∴ AB是⊙O的切线。
2.已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
O
A
B
C
D
证明：过O作OE⊥AC于E。
∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB
∴ OE＝OD
即圆心O到AC的距离 d = r
∴ AC是⊙O切线。
第1题与第2题的证法有何不同?
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
归纳分析
通过本节课的学习，谈谈你的收获？
1.(2014.天津)如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（ ）
A． 20° B． 25° C． 40° D． 50°
2.（2014?哈尔滨）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（ ）
A． 30° B． 25° C． 20° D． 15°
3.（ 2014?玉林市）如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF且EF∥MN，则cos∠E= ．
4. （2014?湘潭）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA= .
5.（2014?山东枣庄）如图，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于C，CD⊥OB于E，交⊙O于点D，连接OD．若AB=12，AC=8．
（1）求OD的长；
（2）求CD的长．
6. （2014?临沂）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积．
布置作业，课堂延伸
基础作业：P93 习题3.8 第1、2题．
拓展作业: P93 习题3.8 第3题．
中学 九 年级 下 册 数学 学科教学案
课题 3.6.2直线和圆的位置关系2 课型 新授 主备人
授课时间 年 月 日 总第8课时 授课人
教 学 程 序 及 内 容学习目标：知识与技能：探索切线的判定方法，归纳总结出切线的判定方法． 过程与方法：经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 情感与态度价值观：体现数学学习的快乐，在快乐中体现知识源于实践又运用于生活.教学过程：知识回顾上节课我们学习直线和圆的位置关系，你知道怎么判定直线和圆位置关系吗？ 方法1：看直线与圆交点的个数(1) 当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆 . (2) 当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆 . 这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点.www.21-cn-jy.com (3) 当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆 . 方法2：看直线到圆的距离d与圆的半径r的大小关系(1)d r 直线l与⊙O相交 (2)d r 直线l与⊙O相切(3)d r 直线l与⊙O相离情景导入： 1.如图(课本92页图3-25),AB是⊙O的直径,直线CD经过点A,CD与AB的夹角为∠α,当CD绕点A旋转时, 1)随着∠α的变化,点O到CD的距离如何变化?直线CD与⊙O的位置关系如何变化? 当∠α等于多少度时,点O到CD的距离等于半径?此时,直线CD与⊙O有怎样的位置关系? 为什么? 你能写出一个命题来表述这个事实吗? 切线的判定定理： 几何语言： 随记
练习：判断： 1）. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ） 2）. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ） 3）. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ） 切线的判定方法有几种，分别是： 三、合作学习1.已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线． 例2 已知：△ABC（上图） 求作：⊙I，使它与△ABC的三边都相切 这样的圆可以作出几个?为什么?这圆叫做三角形的 .这个三角形叫做圆的 。内切圆的圆心是三角形三条 的交点,叫做三角形的 .3.以边长为3,4,5的三角形的三个顶点为圆心,分别作圆与对边相切,则这三个圆的半径分别是多少? 4.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内切圆,并说明它们内心的位置情况. 四、课堂小结：本节课你学会了什么知识? 五、达标检测：六、布置作业：
教学 反思
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中学九年级 班 姓名： 等级：
数学科课堂检测纸
第 三 章 3.6.2直线和圆的位置关系2 总第 8课时 (?..?/?..?/?..?/?..?/?..?/?..?/?..?/?WINDOWS?/?Temporary Internet Files?/?初三?/?几何?/?课件?/?赵州桥.htm?)
1.如下图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（ ）
A． 20° B． 25° C． 40° D． 50°
2.如下图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（ ）
A． 30° B． 25° C． 20° D． 15°
第1题 第2题 第3题 第4题
3.如上图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF且EF∥MN，则cosE= ．
4.如上图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA= .
5.（选作）如图，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于C，CD⊥OB于E，交⊙O于点D，连接OD．若AB=12，AC=8．
（1）求OD的长； （2）求CD的长．
