第一章 第4节电势能和电势 学案 Word版含解析

第4节　电势能和电势
1．知道静电力做功与路径无关。
2．理解静电力做功与电势能变化的关系，理解电势能的概念，认识电势能的相对性。
3．知道电势的定义方法及其定义式、单位，能根据电场线判断电势高低。
4．知道等势面的定义，知道电场线一定垂直于等势面。
一、电场力做功的特点
1．特点：在静电场中移动电荷时，静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。
2．在匀强电场中电场力做功W＝qELcosθ，其中θ为电场力与电荷位移间夹角。
二、电势能
1．概念：电荷在静电场中具有的势能。用Ep表示。
2．静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量，WAB＝EpA－EpB。
电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加。
3．电势能的大小：电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力做的功。
4．零势能位置：电场中规定的电势能为零的位置，通常把电荷在离场源电荷无穷远处或大地处的电势能规定为零。
三、电势
1．定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，叫做这一点的电势。
2．公式：φ＝。
3．单位：国际单位制中，电势的单位是伏特，符号是V，1 V＝1 J/C。
4．特点
(1)相对性：电场中各点电势的高低与所选取的零电势的位置有关，一般情况下取无穷远处或大地处为零电势位置。
(2)标矢性：电势是标量，只有大小，没有方向，但有正负。
5．与电场线关系：沿电场线方向电势逐渐降低。
四、等势面
1．定义：电场中电势相同的各点构成的面叫做等势面。
2．等势面与电场线的关系
(1)电场线跟等势面垂直。
(2)电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面。
3．在同一等势面上移动电荷时静电力不做功。
(1)如图所示，电荷沿直线AB、折线ACB、曲线AB运动，静电力做的功为多少？静电力做功与路径是否有关？若B点为零势能点，则＋q 在A点的电势能为多少？
提示：静电力做功为W＝qEd，与路径无关。＋q在A点的电势能为Ep＝qEd。
(2)某静电场的电场线分布如图所示，试比较图中P、Q两点的电场强度的大小及电势的高低。
提示：根据电场线的疏密可判断P点场强大于Q点场强；由于沿着电场线的方向电势逐渐降低，P点电势高于Q点电势。
(1)静电力做功与重力做功相似，均与路径无关。(　　)
(2)正电荷具有的电势能一定是正的，负电荷具有的电势能一定是负的。(　　)
(3)静电力做功为零，电荷的电势能也为零。(　　)
(4)电场中电场强度为零的地方电势一定为零。(　　)
(5)带电粒子一定从电势能大的地方向电势能小的地方移动。(　　)
(6)电势是标量，有正负，电势的正负不表示大小。(　　)
(7)两个不同的等势面可能相交。(　　)
提示：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×　(7)×
课堂任务　静电力做功的特点
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：图甲中试探电荷＋q沿直线AB由A移动到B静电力做的功是多少？
提示：WAB＝F·cosθ＝qE。
活动2：图甲中试探电荷＋q沿折线AMB由A移动到B静电力做的功是多少？
提示：试探电荷＋q沿直线AM由A移动到M静电力做的功为：WAM＝qE，由M移动到B静电力不做功，所以，沿折线AMB由A移动到B静电力做的功仍然是WAB＝WAM＋0＝qE。
活动3：图乙中试探电荷＋q沿弧线AB由A移动到B静电力做的功是多少？
提示：可以把弧AB上的运动看成由无数个极细小的如甲图中AMB的折线运动组成，只有＋q沿平行于电场线方向运动时静电力做功，而这些平行于电场线方向的线段之和为AM，故其静电力做的功仍然为qE。
活动4：由以上计算可以得出什么结论？
提示：静电力做的功跟路径无关，只取决于始末位置。
活动5：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)静电力做功的特点的理解
静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关，这是静电力做功的特点，与重力做功特点相似。
不管电场是否为匀强电场，电场力做的功都只与电荷的始末位置有关，与电荷经过的路径无关。
(2)电场力做功正负的判断
①根据电场力方向和位移方向的夹角判断：夹角为锐角，电场力做正功；夹角为钝角，电场力做负功。
②根据动能的变化情况判断(粒子只受电场力作用)：若粒子的动能增加，则电场力做正功；若粒子的动能减少，则电场力做负功。
例1　如图所示，在电场强度为E的匀强电场中有间距为l的A、B两点，连线AB与电场线的夹角为θ，将一电荷量为q的正电荷从A点移到B点，若沿直线AB移动该电荷，静电力做的功W1＝________；若沿路径ACB移动该电荷，静电力做的功W2＝________；若沿曲线ADB移动该电荷，静电力做的功W3＝______。由此可知，电荷在电场中移动时，静电力做功的特点是_________________。
(1)匀强电场中，如何计算电场力做功？
提示：匀强电场中，电场力做功W＝qElcosθ。
(2)由A→B，沿各路径电场力做功有何关系？
提示：电场力做功与路径无关，由A→B，沿各路径电场力做功相等。
[规范解答]　由功的定义W＝Flcosθ可得，静电力所做的功等于静电力与静电力方向的分位移lcosθ的乘积。因为无论沿哪个路径移动电荷，静电力的方向总是水平向左，静电力方向的分位移都是lcosθ，所以静电力做的功都是qElcosθ，即静电力做功的特点是与路径无关，只与初、末位置有关。
[完美答案]　qElcosθ　qElcosθ　qElcosθ　与路径无关，只与初、末位置有关
在任何电场中，电场力做功都与路径无关，只由初、末位置及电荷量决定，而W＝qELcosθ仅适用于匀强电场。
如图所示，将正电荷从A移动到C的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．从A经B到C静电力对电荷做功最多
B．从A经M到C静电力对电荷做功最多
C．从A经N到C静电力对电荷做功最多
D．不管将正电荷经由哪条路径从A移动到C，静电力对其做功都相等，且都做正功
答案　D
解析　静电力做的功与电荷经过的路径无关，故D正确。
课堂任务　电势能
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：对比静电力做功与重力做功的特点，它们有什么相同之处？重力做功引起重力势能的变化，静电力做功引起什么能的变化？
提示：静电力做功和重力做功都与路径无关。静电力做功引起电势能的变化。
活动2：重力做功与重力势能变化的关系是什么？由此猜测静电力做功与电势能变化的关系是什么？
提示：重力对物体做正功，重力势能减少；重力对物体做负功，重力势能增加；且WG＝Ep1－Ep2。由此猜测，静电力做正功时，电势能减少；静电力做负功时，电势能增加；且WAB＝EpA－EpB。
活动3：图甲中正电荷从A点移到B点，图乙中正电荷从B点移到A点，静电力各做什么功？电荷的电势能怎么变化？哪点的电势能大？
提示：图甲中正电荷从A点移到B点静电力做正功，电荷的电势能减少。图乙中正电荷从B点移到A点，静电力做负功，即电荷克服静电力做功，电荷的电势能增加。由此可见，A点的电势能大。
活动4：你能算出A点或B点电势能的具体数值吗？为什么？根据已学知识你能想出解决的办法吗？
提示：不能，由静电力做功只能知道电势能的变化量，而不能算出电荷在电场中某点的电势能的数值。根据重力势能的有关知识，即通常规定地面处的重力势能为零，物体从某点移动到地面过程中重力做的功等于这一点重力势能的大小，类似地，我们可以规定电场中某点的电势能为零，则电荷在A点或B点的电势能等于从A点或B点移到零势能点静电力做的功。
活动5：图丙中负电荷从A点移到B点时，静电力做什么功？A、B哪点的电势能较大？
提示：负电荷从A点移到B点时静电力做负功，电荷的电势能增大，B点的电势能较大。
活动6：从活动3、5能得出什么结论？
提示：对于电场中的两点，移动正电荷和负电荷电势能的增减是相反的。
活动7：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)静电力做功与电势能的变化
WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp
静电力做正功，电荷的电势能减少；电荷克服静电力做功，电荷的电势能增加。
(2)电势能的值
①WAB＝EpA－EpB，令B处的电势能为零，则WAB＝EpA，即EpA＝WA。即某点的电势能等于把电荷从这点移动到电势能为零处静电力所做的功。
②WA∞＝EpA－Ep∞，令无穷远处的电势能为零，则WA∞＝EpA，即EpA＝WA∞。
注意：a.因通常规定大地或无限远处的点为零电势能点，故②比①说法更常用。b.电势能的大小与零电势能点的选取有关，电势能的变化与零电势能点的选取无关。
(3)电势能的性质
①系统性：电势能是由电场和电荷共同决定的，是电荷和电场所共有的，但习惯上说成电荷的电势能。
②相对性：电势能是相对的，其大小与选定的参考点即零势能点的位置有关。确定电荷的电势能，首先应确定参考点，也就是零势能点的位置。
③标量性：电势能是标量，有正负但没有方向。电势能为正值表示电势能大于参考点的电势能，电势能为负值表示电势能小于参考点的电势能。
例2　如图所示，在水平向右的匀强电场中有一绝缘斜面，斜面上有一带电金属块沿斜面滑下，已知在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J，则以下判断正确的是(　　)
A．金属块带负电荷
B．金属块克服电场力做功8 J
C．金属块的电势能减少4 J
D．金属块的机械能减少12 J
(1)如何求电场力做的功？
提示：由动能定理求，总功等于动能的变化量。
(2)机械能的变化如何求解？
提示：除重力外其他力做的功等于机械能的变化，或根据机械能的定义，机械能等于动能和重力势能之和，机械能的变化等于末机械能减初机械能。
[规范解答]　金属块滑下的过程中动能增加了12 J，由动能定理知合外力做功12 J，其中包括重力、摩擦力和电场力做功，摩擦力做功Wf＝－8 J，重力做功WG＝24 J，所以可得电场力做功WF＝－4 J，电场力做负功，电势能增加了4 J。由物体的运动方向和电场力做负功可知，金属块带正电，A、B、C错误；由功能关系可知，机械能的变化ΔE＝Wf＋WF＝－12 J，即机械能减少12 J，D正确。
[完美答案]　D
电场中的功能关系
(1)若只有静电力做功―→电势能与动能之和保持不变。
(2)若只有静电力和重力做功―→电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力之外，其他各力对物体做的功―→等于物体机械能的变化。
(4)所有力对物体所做的功―→等于物体动能的变化(动能定理)。
(多选)如图所示为一匀强电场，某带电粒子从A点运动到B点。在这一运动过程中克服重力做的功为2.0 J，电场力做的功为1.5 J。则下列说法正确的是(　　)
A．粒子带负电
B．粒子在A点的电势能比在B点少1.5 J
C．粒子在A点的动能比在B点多0.5 J
D．粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J
答案　CD
解析　从粒子的运动轨迹可以看出，粒子所受的电场力方向与场强方向相同，粒子带正电，A错误；粒子从A点运动到B点，电场力做功1.5 J，说明电势能减少1.5 J，B错误；对粒子应用动能定理得：W电＋W重＝EkB－EkA，代入数据解得EkB－EkA＝1.5 J－2.0 J＝－0.5 J，C正确；粒子机械能的变化量等于除重力外其他力做的功，电场力做功1.5 J，则粒子的机械能增加1.5 J，D正确。
课堂任务　电势
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
电场强度为E，取O点为零势能点，A点距O点的距离为l，AO连线与电场强度反方向的夹角为θ。
活动1：电荷量为＋q的试探电荷在A点的电势能为多少？
提示：EpA＝WAO＝qElcosθ。
活动2：电荷量为－2q的试探电荷在A点的电势能为多少？
提示：EpA′＝WAO′＝－2qElcosθ。
活动3：由活动1、2你能发现什么？
提示：电势能与电荷量的比值相同，都为Elcosθ。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)电势的定义式：φ＝，公式中的Ep、q在运算时均需代入正、负号。
(2)对电势的理解
①相对性：电势是相对的，电场中某点的电势高低与电势零点的选取有关。通常将离场源电荷无穷远处或地球表面选为电势零点。
②固有性：电场中某点的电势大小是由电场本身的性质决定的，与在该点是否放有电荷及所放电荷的电荷量均无关。
③标量性：电势是只有大小、没有方向的物理量，在规定了电势零点后，电场中各点的电势就确定了，可能是正值，也可能是负值。正值表示该点的电势高于零电势；负值表示该点的电势低于零电势。显然，电势的正负只表示大小，不表示方向。
④规定无穷远处电势为零，由“沿电场线方向电势一定降低”可得：正电荷周围空间的电势为正值，负电荷周围空间的电势为负值。
例3　如图所示，实线表示电场线，虚线表示只受电场力作用的电荷的运动轨迹，a、b为运动轨迹上的两点，可以判定(　　)
A．电荷在a点的速度大于在b点的速度
B．电荷为负电荷
C．电荷在a点的电势能大于在b点的电势能
D．a点的电势低于b点的电势
(1)做曲线运动的物体轨迹与受力方向有什么关系？
提示：受力方向指向轨迹的内侧。
(2)举出两种判断电势能大小的方法。
提示：①电场力做功：做正功，电势能减小；做负功，电势能增加。
②电势的高低：正电荷在电势高处电势能大，负电荷在电势低处电势能大。
[规范解答]　电场力指向轨迹内侧，即受力方向与轨迹上的各点电场强度的方向一致，电荷带正电，B错误。由力和运动方向可知电荷若从a运动到b，电场力做正功，所以电荷在b点动能大于在a点动能，电荷在a点的电势能大于在b点的电势能，若电荷从b到a，也可得到同样结论，A错误，C正确。由正电荷在电势高处电势能大可知，a点电势高于b点电势，D错误。
[完美答案]　C
电势高低的判断方法
(1)电场线法：沿电场线方向，电势越来越低。
(2)电势能判断法：由φ＝知，对于正电荷，电势能越大，所在位置的电势越高；对于负电荷，电势能越小，所在位置的电势越高。
(多选)如图，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面(纸面)内，且关于过轨迹最低点P的竖直线对称。忽略空气阻力。由此可知(　　)
A．Q点的电势比P点高
B．油滴在Q点的动能比它在P点的大
C．油滴在Q点的电势能比它在P点的大
D．油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小
答案　AB
解析　根据带负电的油滴在竖直面内的轨迹可知，油滴所受合外力一定向上，则所受电场力一定向上，且电场力大于重力，故匀强电场的方向竖直向下，Q点的电势比P点高，A正确；若油滴从P点运动到Q点，根据动能定理，合外力做正功，动能增大，所以油滴在Q点的动能比它在P点的大，若油滴从Q点运动到P点，也可得到同样结论，B正确；若油滴从P点运动到Q点，电场力做正功，电势能减小，油滴在Q点的电势能比它在P点的小，若油滴从Q点运动到P点，也可得到同样结论，C错误；由于带电油滴所受的电场力和重力均为恒力，所以油滴在Q点的加速度和它在P点的加速度大小相等，D错误。
课堂任务　等势面
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：观察图片，类比地理中的等高线，简述什么是等势面？
提示：电场中电势相同的各点构成的面叫做等势面。
活动2：当电荷在同一等势面上移动时，电荷的电势能是否变化？电场力做功情况如何？
提示：当电荷在同一等势面上移动时，电势不变，电势能不变，则电场力不做功。
活动3：等势面和电场线的关系应该是什么样的？
提示：在同一个等势面上，任何两点间的电势都相等，所以在同一等势面上移动电荷时静电力不做功。由此可知，等势面一定跟电场线垂直，即跟电场强度的方向垂直。这是因为，假如不垂直，电场强度就有一个沿着等势面的分量，在等势面上移动电荷时静电力就要做功，这个面也就不是等势面了。又已知沿着电场线方向电势越来越低，故电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)等势面的特点
①任意两个等势面都不相交。
②在同一等势面上的任意两点间移动电荷电场力不做功。
③电场线与等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面。
④等差等势面越密的地方场强越大，反之越小。
注意：a.电势的高低与电场强度的大小没必然的联系。
b．等势面是为描述电场的性质而假想的面。
c．等势面的分布与电势零点的选取无关。
(2)几种常见的典型电场等差等势面的对比分析
补充：等量负点电荷连线的中点电势最高，两点电荷连线的中垂线上该点的电势最低，从中点沿中垂线向两侧，电势越来越高。
例4　(多选)如图所示，K、L、M为一个静电场中的三个相距很近的等势面，一带电粒子射入此静电场中后依a→b→c→d→e轨迹运动。已知电势φK＜φL＜φM，下列说法中正确的是(　　)
A．粒子带负电
B．粒子在bc段做减速运动
C．粒子在b点与d点的速度相同
D．粒子在c点时电势能最大
(1)等势面与电场线方向有什么关系？
提示：电场线从电势高的等势面指向电势低的等势面。
(2)粒子只受电场力运动，有什么能量关系？
提示：动能与电势能之和不变。
[规范解答]　电势φK＜φL＜φM，电场线指向左侧，根据粒子轨迹看出受力方向和电场线方向一致，粒子带正电，故A错误。从b到c电场力做负功，动能减小，速率减小，故B正确。b、d在同一等势面上，粒子在这两点的电势能相等，根据动能与电势能总量守恒，可知粒子在两点速率相等，但是速度方向不同，故速度不同，故C错误。a到c电场力做负功，电势能增大，从c到e电场力做正功，电势能减小，c点电势能最大，故D正确。
[完美答案]　BD
等势面的应用
(1)由等势面可以判断电场中各点电势的高低。
(2)由等势面可以判断电荷在电场中移动时静电力做功的情况。
(3)由于等势面和电场线垂直，已知等势面的形状分布，可以绘制电场线，从而确定电场大体分布。
(4)由等差等势面的疏密，可以定性地比较其中两点场强的大小。
如图所示，竖直平面内的同心圆是一点电荷在真空中产生的电场的一簇等势线，一带正电的小球由A点静止释放，沿直线到达C点时速度为零，以下说法正确的是(　　)
A．此点电荷为负电荷
B．场强EA>EB>EC
C．电势φA>φB>φC
D．小球在A点的电势能小于在C点的电势能
答案　D
解析　小球从A点由静止释放到达C点时速度为零，说明电场方向由C点指向A点，此点电荷为正电荷，A错误；由点电荷的电场可知EC>EB>EA，B错误；沿电场线的方向电势逐渐降低，故φC>φB>φA，C错误；小球从A点到C点，电场力做负功，电势能增加，小球在A点的电势能小于在C点的电势能，D正确。