第一章 第6节电势差与电场强度的关系 学案 Word版含解析

第6节　电势差与电场强度的关系
1．理解匀强电场中电势差与电场强度的关系UAB＝Ed，并且能够推导出这个关系式。
2．知道电场强度的另一种求法：E＝，了解场强的另一个单位“伏特每米”的意义。
3．会用关系式UAB＝Ed或E＝进行有关的计算和分析。
一、匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．关系式：UAB＝Ed或E＝(注：公式中d是匀强电场中两点沿电场方向的距离)。
2．物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。
3．适用条件：匀强电场。
二、公式E＝的意义
1．意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与两点沿电场方向距离的比值。
2．另一表述：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。
3．电场强度的单位：N/C或V/m。
(1)公式U＝Ed适用于任何电场。(　　)
(2)在电场中相同距离的两点，电势差大的其电场强度也必定大。(　　)
(3)在匀强电场中，沿着电场方向，任何相同距离上的电势降落必定相等。(　　)
(4)电势降落的方向必定是电场强度的方向。(　　)
提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
课堂任务　匀强电场中电势差与电场强度的关系
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：图甲中电荷＋q从A运动至B，电场力所做的功从力和位移的角度怎么计算？
提示：电场为匀强电场，电场力为恒力F＝qE，方向水平向右，力、位移方向一致，W＝Fl＝qEd。
活动2：从功能关系的角度怎么计算图甲中电荷＋q从A运动至B电场力所做的功？
提示：电场力做功WAB＝EpA－EpB＝qUAB。
活动3：综合活动1和活动2能得到什么结论？
提示：从A至B电场力所做的功是确定的，故有qUAB＝qEd，从而得到UAB＝Ed。
活动4：如图乙所示，若A、B不在同一条电场线上，还能得出活动3的结论吗？
提示：W＝Flcosα，α为AB与电场线方向的夹角，由于lcosα＝d，故W＝qEd。又电场力做功WAB＝qUAB，故有qUAB＝qEd，从而得到UAB＝Ed。
活动5：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)UAB＝Ed表明了电场强度与电势差的关系
①大小关系：由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。
②方向关系：电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。
③物理意义：电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电势随空间位置变化的快慢。
(2)关于U＝Ed应特别注意
①某点的电势和电场强度没必然的联系，但某两点间的电势差与电场强度有关。
②电势差与场强的关系式：UAB＝Ed，其中d为匀强电场中两点间沿电场方向的距离。
③据U＝Ed可以得出结论：匀强电场中电势差与d成正比，但不能由E＝而说E与d成反比。
④应用公式U＝Ed可以只代入数据进行计算，但U只表示电势差的值，要求两点间的电势差必须要注意两点电势的高低。
(3)UAB＝Ed的两个重要推论
在匀强电场中由于U＝Ed，则在沿电场线方向上，U∝d，可以得出以下两个推论。
推论1：匀强电场中沿任一方向上电势随距离均匀变化，对任一线段AB的中点C的电势均满足φC＝，如图甲所示。
推论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示。
例1　如图所示，在匀强电场中，电荷量q＝5.0×10－10 C的正电荷，由a点移到b点和由a点移到c点电场力做功都是3.0×10－8 J，已知a、b、c三点的连线组成直角三角形，ab＝20 cm，∠a＝37°，∠c＝90°，求：
(1)a、b两点的电势差Uab；
(2)匀强电场的场强大小和方向。
(1)如何求电势差？
提示：电势差可由U＝求得。
(2)如何求E的大小及方向？
提示：借助电场线与等势面垂直，且由电势高的等势面指向电势低的等势面，可求得E的方向；由E＝可求得E的大小。
[规范解答]　(1)Uab＝＝ V＝60 V。
(2)因为正电荷q从a到b和从a到c电场力做功相等，所以由W＝qU可得Uab＝Uac，b、c两点在同一等势面上，根据电场线与等势面垂直，且由电势高的等势面指向电势低的等势面可知，场强方向与bc边垂直且由a指向c。
由U＝Ed可得，E＝＝＝ V/m＝375 V/m。
[完美答案]　(1)60 V　(2)375 V/m　方向与bc边垂直且由a指向c
(1)电场中两点间电势差的求法
①应用定义式UAB＝φA－φB来求解。
②应用关系式UAB＝来求解。
③应用关系式UAB＝Ed(匀强电场)来求解。
(2)电场强度E的三种计算方式
区别
公式
物理含义
引入过程
适用范围
说明
E＝
电场强度的定义式
F∝q，E与F、q无关，反映某点电场的性质
适用于一切电场
q为试探电荷的电荷量
E＝k
真空中静止点电荷场强的决定式
由E＝和库仑定律导出
在真空中，场源电荷Q是静止点电荷
Q为场源电荷的电荷量
E＝
匀强电场中电场强度与电势差的关系式
由F＝qE、W＝Fd和W＝qU导出
匀强电场
d为沿电场方向的距离
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　如图所示，以O点为圆心，以R＝0.20 m为半径的圆与坐标轴交点分别为a、b、c、d，该圆所在平面内有一匀强电场，场强方向与x轴正方向成θ＝60°角，已知a、b、c三点的电势分别为4 V 、4 V、－4 V，则下列说法正确的是(　　)
A．该匀强电场的场强E＝40 V/m
B．该匀强电场的场强E＝80 V/m
C．d点的电势为－2 V
D．d点的电势为－4 V
答案　D
解析　由题意可知Uac＝8 V，由几何关系可得dac＝2Rsin60°＝0.2 m，所以该匀强电场的场强E＝＝40 V/m，A、B错误；而dbd＝2Rsin30°＝0.20 m，所以Ubd＝Edbd＝8 V，又Ubd＝φb－φd，故d点的电势为－4 V，C错误，D正确。
例2　如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0 V，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　　)
A．200 V/m B．200 V/m
C．100 V/m D．100 V/m
(1)此题要用什么方法来计算电场强度？
提示：坐标涉及距离，电势涉及电势差，此题用E＝来计算电场强度。
(2)怎么找出公式E＝中的U和d?
提示：电势3 V是6 V的一半，于是可以联想到推论：φC＝。坐标(3,0)与坐标(0，)两点的连线为等势线，与O点的电势差U为3 V，作该等势线的垂线就可找到d。
[规范解答]　在匀强电场中，沿某一方向电势降落，则在这一方向上电势均匀降落，故OA的中点C的电势φC＝3 V(如图所示)，因此BC为等势面，O点到BC的距离d＝OCsinα，而sinα＝＝，所以d＝OC＝1.5×10－2 m。根据E＝得，匀强电场的电场强度E＝＝ V/m＝200 V/m，故A正确，B、C、D错误。
[完美答案]　A
用“等分法”求电势
(1)在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落(或升高)都是均匀的，故在同一直线上间距相同的两点间电势差相等。如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的f(1,n)，采用这种等分间距求电势的方法，叫等分法。
?2?若已知电场中某几点的电势，要求其他点的电势时，一般采用“等分法”在电场中找与待求点的电势相同的等势点。等分法也常用在画电场线的问题中。
在匀强电场中建立一直角坐标系，如图所示。从坐标原点沿＋y轴前进0.2 m到A点，电势降低了10 V，从坐标原点沿＋x轴前进0.2 m到B点，电势升高了10 V，则匀强电场的场强大小和方向为(　　)
A．50 V/m，B→A B．50 V/m，A→B
C．100 V/m，B→A D．100 V/m，垂直AB斜向下
答案　C
解析　如图所示，
连接A、B两点并找到AB的中点C，由题意知φC＝φO，连接OC，则OC为等势面。由几何关系可知，lAB＝lOA＝lOB＝0.2 m，OC垂直于AB，AB就是匀强电场中的一根电场线，则UBA＝20 V，故E＝＝100 V/m，方向由B指向A，故C正确。
课堂任务　非匀强电场中电势差与电场强度关系的定性分析
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：图甲是一个小山的等高线图，如果把一个小球分别从山坡左右两边滚下(不考虑摩擦等阻碍)，哪边的加速度更大？
提示：坡面越陡，加速度越大，所以b边加速度更大。
活动2：若把图甲看成一个等势线图，哪边电势降落得快，哪边的电场强度大？
提示：b边电势降落得快，故b边电场强度大。
活动3：根据活动2，结合图乙，思考：等差等势面的疏密与场强的大小有关系吗？
提示：乙图中各相邻等势面间的电势差U是一定的，等势面密的地方d小，根据E＝可以得出结论：等差等势面越密的地方场强就越大。
活动4：图丙中ab＝bc，Uab＝Ubc吗？
提示：由于电场线越密的地方电场强度E越大，且距离ab＝bc，由U＝Ed可知Uab＜Ubc。
活动5：讨论、交流、展示，得出结论。
E＝在非匀强电场中的妙用
①判断电场强度大小：等差等势面越密，电场强度越大。
②判断电势差的大小：同一电场线上距离相等的两点间E越大，U越大。
③利用φ-x图象的斜率判断电场强度随位置变化的规律：k＝＝－＝－Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向。
例3　如图所示的实线为电场线，虚线为等势线，a、b两点的电势分别为φa＝－50 V，φb＝－20 V，则a、b连线的中点c的电势φc应为(　　)
A．φc＝－35 V
B．φc>－35 V
C．φc<－35 V
D．条件不足，无法判断φc的范围
(1)若此电场为匀强电场，φc为多少？
提示：φc＝＝－35 V。
(2)如何判断c点电势与上述值的大小关系？
提示：①大致画出φ＝－35 V的等势面，看它在c点哪一边，再根据沿电场线方向电势降低判断得出。②比较Ubc和Uca的大小关系，进而判断得出。
[规范解答]　由图可知，这是一个非匀强电场，且EbUbc＝－35 V，因而B正确。
[完美答案]　B
虽然在非匀强电场中E＝f(U,d)并不成立，但是却可以用此公式来进行定性的分析。
如图所示，a、b、c、d、e五点在一直线上，b、c两点间的距离等于d、e两点间的距离，在a点固定放置一个点电荷，电荷量为＋Q。已知在＋Q的电场中b、c两点间的电势差为U，将另一个点电荷＋q从d点移动到e点的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．电场力做功qU B．克服电场力做功qU
C．电场力做功大于qU D．电场力做功小于qU
答案　D
解析　点电荷周围的电场线是直线，由电场线的分布特点可知，离点电荷越远，电场强度越弱，即d、e处的电场强度小于b、c处的电场强度，结合电场强度与电势差的关系，可以定性判断出Ude