苏科版九年级数学上册第二章对称图形——圆：动点与动圆综合 复习（含答案）

初三数学动圆中的几何
学员姓名 年 级 初三 上课时间
辅导科目 数学 学科教师
课 题 与圆有关的动点问题

动点与动圆问题解题技巧：
1．找到动态过程中不变的量，利用或探索（比如相似）已知条件列等式求值；
2．画出临界情况或符合题目情形的草图（非常重要），根据图像找等量关系。

动圆与几何图形结合问题
例1．如图，在中，，点从点出发，在边上以的速度向点运动，与此同时，点从点出发，在边上以的速度向点运动，过的中点作的垂线，则当点运动了 时，以点为圆心，为半径的圆与直线相切．




例2．如图，在中，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点也从点出发，沿以每秒的速度匀速运动，运动时间为秒，连接，以为直径作．
（1）当时，求的面积；
（2）设的面积为，求与的函数关系式；
（3）当点在上运动时，与的一边相切，求的值．

巩固练习：1.如图，已知，⊙O与都相切，⊙O的半径为，矩形的边分别与重合，，若⊙O与矩形沿同时向右移动，⊙O的移动速度为，矩形的移动速度为，设移动时间为
（1）如图①，连接，则∠的度数为 ；
（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形到达的位置，此时点恰好在同一直线上，求圆心移动的距离（即的长）；
（3）在移动过程中，圆心到矩形对角线所在直线的距离在不断变化，设该距离为，当时，求的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．

















动态一次函数与圆
例3．如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．

（1）若直线AB与有两个交点F、G．
①求∠CFE的度数；
②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；
（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．













巩固练习：如图，在平面直角坐标系中，直线AB与轴，轴分别交于点，动点P从点O出发，沿轴负方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点Q从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，过点P作PC⊥AB于点C，连接PQ，CQ，以PQ，CQ为邻边构造平行四边形PQCD，设点P运动的时间为t秒．

（1）当点Q在线段OB上时，用含t的代数式表示PC，AC的长；
（2）在运动过程中．
①当点D落在轴上时，求出满足条件的t的值；
②若点D落在△ABO内部（不包括边界）时，直接写出t的取值范围；
（3）作点Q关于x轴的对称点Q′，连接CQ′，在运动过程中，是否存在某时刻使过A，P，C三点的圆与△CQQ′三边中的一条边相切？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．












课 后 作 业
1．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12cm，BD=16cm，动点N从点D出发，沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止．设运动时间为t（s）（t＞0），以点M为圆心，MB长为半径的⊙M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN．
（1）求BF的长（用含有t的代数式表示），并求出t的取值范围；
（2）当t为何值时，线段EN与⊙M相切？
（3）若⊙M与线段EN只有一个公共点，求t的取值范围．



2．如图，已知Rt△ABC的直角边AC与Rt△DEF的直角边DF在同一条直线上，且AC=60c，BC=45cm，DF=6cm，EF=8cm．现将点C与点F重合，再以4cm/s的速度沿CA方向移动△DEF；同时，点P从点A出发，以5cm/s的速度沿AB方向移动．设移动时间为t（s），以点P为圆心，3t（cm）长为半径的⊙P与AB相交于点M，N，当点F与点A重合时，△DEF与点P同时停止移动，在移动过程中，
（1）连接ME，当ME∥AC时，t=　　s；
（2）连接NF，当NF平分DE时，求t的值；
（3）是否存在⊙P与Rt△DEF的两条直角边所在的直线同时相切的时刻？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．



3．如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．
（1）试说明四边形EFCG是矩形；
（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，
①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；
②求点G移动路线的长．


























参 考 答 案
例1.
例2.（1）；（2）；（3）
巩固练习：
解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，∴∠OAD=45°，∵AB=4cm，AD=4cm，∴CD=4cm，AD=4cm，∴tan∠DAC===，∴∠DAC=60°，∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，故答案为：105；（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4，∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，∴A1E==，∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，∴t﹣2=，∴t=+2，∴OO1=3t=2+6；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，如图，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，∴O2F⊥l1，O2G⊥A2G2，由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，∴∠O2A2F=60°，在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=，∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+，∴4t1+﹣3t1=2，∴t1=2﹣，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴+2﹣（2﹣）=t2﹣（+2），解得：t2=2+2，综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣＜t＜2+2．
例3．解：（1）连接CD，EA，∵DE是直径，∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，
∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，
（2）①如图，作OM⊥AB点M，连接OF，

∵OM⊥AB，直线的函数式为：y=﹣x+b，∴OM所在的直线函数式为：y=x，
∴交点M（b，b）∴OM2=（b）2+（b）2，
∵OF=4，∴FM2=OF2﹣OM2=42﹣（b）2﹣（b）2，
∵FM=FG，
∴FG2=4FM2=4×[42﹣（b）2﹣（b）2]=64﹣b2=64×（1﹣b2），∵直线AB与有两个交点F、G．∴4≤b＜5，
（3）如图，
当b=5时，直线与圆相切，∵DE是直径，
∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，
∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，
∴存在点P，使∠CPE=45°，
连接OP，∵P是切点，∴OP⊥AB，
∴OP所在的直线为：y=x，又∵AB所在的直线为：y=﹣x+5，
∴P（，）．

巩固练习：（1）；（2） ；（3）
课后作业：1.（1）；（2）；（3）
2.（1）；（2）；（3）
3．解：（1）证明：∵CE为⊙O的直径，∴∠CFE=∠CGE=90°．
∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°．∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．∴四边形EFCG是矩形．
（2）①存在．连接OD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°．
∵点O是CE的中点，∴OD=OC．∴点D在⊙O上．
∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，∴△CFE∽△DAB．∴=（）2．
∵AD=4，AB=3，∴BD=5，S△CFE=（）2?S△DAB=××3×4=．
∴S矩形ABCD=2S△CFE=．
∵四边形EFCG是矩形，∴FC∥EG．∴∠FCE=∠CEG．
∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，∴∠GDC=∠FDE．
∵∠FDE+∠CDB=90°，∴∠GDC+∠CDB=90°．∴∠GDB=90°
Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′处，如图2①所示．此时，CF=CB=4．
Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD，
此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3．
Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，此时点F到达F″′，
S△BCD=BC?CD=BD?CF″′．∴4×3=5×CF″′．∴CF″′=．∴≤CF≤4．
∵S矩形ABCD=，∴×（）2≤S矩形ABCD≤×42．∴≤S矩形ABCD≤12．
∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为．
②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″，∴点G的移动路线是线段DG″．∵∠GDC=∠FDE，∠DCG″=∠A=90°，∴△DCG″∽△DAB．
∴=．∴=．∴DG″=．∴点G移动路线的长为．