沪科版九年级上册数学期末复习微专题1 解决与二次函数图象和性质相关的问题(含答案)

沪科版数学九年级上册
微专题1 解决与二次函数图象和性质相关的问题
类型一　利用二次函数的图象判断a，b，c的关系
1. 如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c＜0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－.其中正确的结论是 .(只填写序号)
类型二　由某一函数的图象确定其他函数的图象
3. 如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能为(　　)
4. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是(　　)
类型三　由平移方式确定抛物线的表达式
5. 如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是(　　)
A. y＝(x－1)2＋2 B. y＝(x＋1)2＋2
C. y＝x2＋1 D. y＝x2＋3
6. 在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x＋1的图象沿x轴向右平移2个单位后再沿y轴向下平移1个单位，得到的新抛物线的表达式是 .
类型四　由抛物线平移产生的图形面积的计算
7. 如图，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y轴交于点A(0，3). 若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′(2，－2)，点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为 .
8. 如图，抛物线y＝－x2平移后过点A(8，0)和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D，则平移后抛物线表达式为　 　，图中阴影部分面积为 .
类型五　由表格信息判断二次函数
9. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象上部分点的坐标(x，y)对应值列表如下：
x
…
－3
－2
－1
0
1
…
y
…
－3
－2
－3
－6
－11
…
则该函数图象的对称轴是(　　)
A. 直线x＝－3 B. 直线x＝－2
C. 直线x＝－1 D. 直线x＝0
10. 已知一次函数y1＝kx＋m(k≠0)和二次函数y2＝ax2＋bx＋c(a≠0)的自变量和对应函数值如下表：
x
…
－1
0
2
4
…
y1
…
0
1
3
5
…
x
…
－1
1
3
4
…
y2
…
0
－4
0
5
…
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是(　　)
A. x＜－1 B. x＞4 C. －1＜x＜4 D. x＜－1或x＞4
类型六　利用函数图象中的信息和待定系数法求二次函数表达式
11. 如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点.
(1)观察图象，写出A，B，C三点的坐标，并求出抛物线的函数表达式；
(2)求此抛物线的顶点坐标和对称轴.

类型七　函数与几何的综合运用
12. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4).
(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
(2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
(3)在抛物线上是否存在异于B，D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案
1. B
2. ①③④
3. A 4. A 5. C
6. y＝2x2－4x
7. 12
8. y＝－x2＋x 12
9. B 10. D
11. 解：(1)A(－1，0)，B(0，－3)，C(4，5).将A(－1，0)，B(0，－3)，C(4，5)代入y＝ax2＋bx＋c中，得解得∴抛物线的表达式是y＝x2－2x－3.
(2)y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴抛物线的顶点坐标为(1，－4)，对称轴是x＝1.
12. 解：(1)∵抛物线的顶点C的坐标为(1，4)，∴可设抛物线解析式为y＝a(x－1)2＋4，∵点B(3，0)在该抛物线的图象上，∴0＝a(3－1)2＋4，解得a＝－1，∴抛物线解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3，∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，∴D点坐标为(0，3)，∴可设直线BD解析式为y＝kx＋3，把B点坐标代入可得3k＋3＝0，解得k＝－1，∴直线BD解析式为y＝－x＋3.
(2)设P点横坐标为m(m＞0)，则P(m，－m＋3)，M(m，－m2＋2m＋3)，∴PM＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m＝－(m－)2＋，∴当m＝时，PM有最大值.
(3)如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设Q(x，－x2＋2x＋3)，则G(x，－x＋3)，∴QG＝|－x2＋2x＋3－(－x＋3)|＝|－x2＋3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO＝45°，∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH＝HG＝2，∴QG＝×2＝4，∴|－x2＋3x|＝4，当－x2＋3x＝4时，Δ＝9－16＜0，方程无实根，当－x2＋3x＝－4时，解得x＝－1或x＝4，∴Q(－1，0)或(4，－5)，综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为(－1，0)或(4，－5).