沪科版九年级上册数学期末复习微专题2 二次函数与一元二次方程及其应用(含答案)

沪科版数学九年级上册
微专题2 二次函数与一元二次方程及其应用
类型一　利用二次函数的图象求方程或不等式的解
1. 如图所示，一次函数y1＝kx＋n(k≠0)与二次函数y2＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象相交于点A(－1，5)，B(9，2)，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为(　　)
A. －1≤x≤9 B. －1≤x＜9 C. －1＜x≤9 D. x≤－1或x≥9
2. 已知二次函数y＝x2－4x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程 x2－4x＋m＝0的两个实数根是(　　)
A. x1＝1，x2＝－1　 B. x1＝－1，x2＝2
C. x1＝－1，x2＝0 D. x1＝1，x2＝3
3. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

类型二　利用二次函数求几何面积的最值问题
4. 某学校为新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形状.其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm.请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少(材质及其厚度等暂忽略不计)?
类型三　抛物线中的拱桥(隧道)等建筑物问题
5. 如图是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐标系中的示意图，点A和A1、点B和B1分别关于y轴对称.隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8m，点B离路面AA1的距离为6m，隧道宽AA1为16m.
(1)求隧道拱部分BCB1对应的函数表达式.
(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4m，装载设备的顶部离路面均为7m，问：它能否安全通过这个隧道？并说明理由.
6. 如图，某广场设计的一建筑造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O在水平面上，对称轴是水平线OC.点A，B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC＝4米，点B到水平面的距离为2米，OC＝8米.
(1)请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
(2)为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA，PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎么样才能找到两根支柱用料最省(支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑)时的点P？(无需证明)
(3)为了施工方便，现需计算出点O，P之间的距离，那么两根支柱用料最省时，点O，P之间的距离是多少？(请写出求解过程)
类型四　抛物线中的运动类问题
7. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线y＝；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m.其中正确结论的个数是(　　)
A. 1　 B. 2 C. 3　 D. 4
8. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分.如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y＝a(x－4)2＋h.已知点O与球网的水平距离为5m.球网的速度为1.55m.
(1)当a＝－时，①求h的值，②通过计算判断此球能否过网；
(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值.
参考答案
1. A 2. D
3. 解：(1)x1＝1，x2＝3.
(2)1＜x＜3.　
(3)x＞2.　
(4)∵方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c－k的图象与x轴有两个交点，即二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象向下平移k单位长度后与x轴有两个交点.由图象可知二次函数y＝ax2＋bx＋c向下平移2个单位长度后与x轴有一个交点，∴k＜2.
4. 解：已知抽屉底面宽为xcm，则底面长为180÷2－x＝(90－x)cm.由题意得y＝x(90－x)×20＝－20(x2－90x)＝－20(x－45)2＋40500，当x＝45时，y有最大值，最大值为40500.答：当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm3.
5. 解：(1)由已知得OA＝OA1＝8m，OC＝8m.故C(0，8)，B(－8，6).设抛物线BCB1，对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将B点的坐标代入，得a·(－8)2＋8＝6，解得a＝－，所以y＝－x2＋8(－8≤x≤8).
(2)能.理由：若货车从隧道正中行驶，则其最右边到y轴的距离为2m.如图，设抛物线上横坐标为2的点为点D，过点D作DE⊥AA1于点E.当x＝2时，y＝－×22＋8＝7，即D，所以DE＝7m.因为7＞7，所以该货车能安全通过这个隧道.
6. 解：(1)以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数表达式为y＝ax2，由题意知点A的坐标为(4，8)，且点A在抛物线上，所以8＝a×42，解得a＝.故所求抛物线的函数表达式为y＝x2.
(2)找法：延长AC交建筑物造型所在抛物线于点D，则点A，D关于OC对称，连接BD交OC于点P，则点P即为所求.　
(3)由题意知点B的横坐标为2，且点B在抛物线上，所以点B的坐标为(2，2).又知点A的坐标为(4，8)，所以点D的坐标为(－4，8)，设直线BD的函数表达式为y＝kx＋b，则有解得故直线BD的函数表达式为y＝－x＋4，把x＝0代入y＝－x＋4，得y＝4，故点P的坐标为(0，4).即两根支柱用料最省时，点O，P之间的距离是4米.
7. B
8. 解：(1)①把(0，1)代入y＝－(x－4)2＋h，得h＝，②把x＝5代入y＝－(x－4)2＋，得y＝－(5－4)2＋＝1.625，∵1.625＞1.55，∴此球能过网.
(2)把(0，1)，(7，)代入y＝a(x－4)2＋h，得解得∴a＝－.