沪科版九年级上册数学期末复习微专题3 反比例函数的综合应用(含答案)

沪科版数学九年级上册
微专题3 反比例函数的综合应用
类型一　反比例函数的比例系数k与面积的关系
1. 如图，点P是第二象限内的一点，且在反比例函数y＝(x＜0)的图象上，PA⊥x轴于点A，△AOP的面积为3，则k的值为(　　)
A. 3　　 B. －3　 C. 6　　 D. －6
2. 位于第一象限的点E在反比例函数y＝的图象上，点F在x轴的正半轴上，O是坐标原点.若EO＝EF，△EOF的面积等于2，则k的值是(　　)
A. 4 B. 2 C. 1 D. －2
3. 如图，在平面直角坐标系中，点P(1，4)，Q(m，n)在函数y＝(x＞0)的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D.QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积(　　)
A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
4. 如图，点A，B是双曲线y＝上的点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分面积为2，则两个空白矩形面积的和为 .
类型二　反比例函数与一次函数的简单交点问题
5. 正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为－2，当y1＜y2时，x的取值范围是(　　)
A. x＜－2或x＞2　　　　　 B. x＜－2或0＜x＜2
C. －2＜x＜0或0＜x＜2 D. －2＜x＜0或x＞2
6. 如图，直线y＝x与双曲线y＝在第一象限的交点为A(2，m)，则k＝ .
7. 如图，一次函数y1＝x＋1的图象与反比例函数y2＝(x＞0)的图象交于点M，作MN⊥x轴，点N为垂足，且ON＝1.
(1)在第一象限内，当x取何值时，y1＞y2？(根据图象直接写出结果)
(2)求反比例函数的表达式.
类型三　反比例函数与一次函数、几何图形的综合应用
8. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点A(m，2).将直线y＝2x向下平移后与反比例函数在第一象限内的图象交于点P，且△POA的面积为2.
(1)求k的值；
(2)求平移后的直线的函数表达式.
9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0，3)，点A在x轴的负半轴上，点D，M分别在边AB，OA上，且AD＝2DB，AM＝2MO，一次函数y＝kx＋b的图象过点D和M，反比例函数y＝的图象经过点D，与BC的交点为N.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标.
类型三　反比例函数在实际中的应用
10. 我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20℃的新品种.如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y＝的一部分.请根据图中信息解答下列问题：
(1)求k的值；
(2)恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃以上的时间有多少小时？

11. 某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出.据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个.若销售单价每降低1元，每月可多售出2个.据统计，每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)满足如下关系：
月产销量y(个)
…
160
200
240
300
…
每个玩具的固定成本Q(元)
…
60
48
40
32
…
(1)写出月产销量y(个)与销售单价x(元)之间的函数表达式；
(2)求每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)之间的函数表达式；
(3)若每个玩具的固定成本为30元，则它占销售单价的几分之几？
(4)若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，则每个玩具的固定成本至少为多少元？销售单价最低为多少元？
参考答案
1. D 2. B 3. C
4. 8
5. B
6. 2
7. 解：(1)x＞1.理由：∵MN⊥x轴，N为垂足，且ON＝1，∴xM＝xN＝1，由图象可以看出，在交点M的左侧是反比例函数在一次函数上方，即y2＞y1，右侧是一次函数在反比例函数上方，即y1＞y2，∴当x＞1时，y1＞y2.
(2)∵ON＝1，MN⊥x轴，∴M点横坐标为x＝1，把xM＝1代入到y1＝x＋1中得：y＝2，∴M点的坐标为(1，2)，把M(1，2)代入到y2＝中得到k＝2，∴反比例函数的表达式为y2＝.
8. 解：(1)∵点A(m，2)在直线y＝2x上，∴2＝2m，m＝1，∴A(1，2).又点A(1，2)在反比例函数y＝的图象上，∴k＝2.
(2)设平移后的直线与y轴交于点B，连接AB，则S△OAP＝S△OAB＝2.过点A作y轴的垂线AC，垂足为点C，则AC＝1.∴OB·AC＝2，∴OB＝4.平移后的直线的函数表达式为y＝2x－4.
9. 解：(1)∵正方形OABC的顶点C(0，3)，∴OA＝AB＝BC＝OC＝3，∠OAB＝∠B＝∠BCO＝90°，∵AD＝2DB，∴AD＝AB＝2，∴D(－3，2)，把D坐标代入y＝得：m＝－6，∴反比例函数表达式为y＝－，∵AM＝2MO，∴MO＝OA＝1，即M(－1，0)，把M与D坐标代入y＝kx＋b中得：解得：k＝b＝－1，则直线DM表达式为y＝－x－1.
(2)把y＝3代入y＝－得：x＝－2，∴N(－2，3)，即NC＝2，设P(x，y)，∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，∴(OM＋NC)·OC＝OM|y|，即|y|＝9，解得：y＝±9，当y＝9时，x＝－10；当y＝－9时，x＝8，则P坐标为(－10，9)或(8，－9).
10. 解：(1)由图可知B(12，20)，当x＝12时，y＝20.代入y＝，可得k＝240.
(2)由(1)得双曲线y＝，当y＝15时，x＝16.记点D(0，10)，直线AD的函数表达式为y＝5x＋10；当y＝15时，x＝1.即AD的中点为E(1，15)，∴恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃以上的时间有15小时.
11. 解：(1)y＝300＋2(280－x)＝300＋560－2x＝－2x＋860，即y与x之间的函数表达式为y＝－2x＋860.
(2)由表中数据可得Q，y满足反比例函数关系，设Q＝，将(160，60)代入上式，得k＝9600，∴Q与y的函数表达式为Q＝.　
(3)由题意，得Q＝30.将Q＝30代入Q＝得，30＝，解得y＝320.将y＝320代入y＝－2x＋860，得320＝－2x＋860，解得x＝270.30÷270＝，即若每个玩具的固定成本为30元，则它占销售单价的.　
(4)①对于Q＝(y＞0)，∵9600＞0，∴Q随y的增大而减小.∵y≤400，∴当y＝400时，Q最小值＝＝24.即这种玩具的月产销量不超过400个，每个玩具的固定成本至少为24元.②对于y＝－2x＋860，∵－2＜0，∴x随y的增大而减小.∴当y＝400即400＝－2x＋860时，x最小值＝230.即这种玩具的月产销量不超过400个，销售单价最低为230元.