沪科版九年级上册数学期末复习微专题6 相似与几何图形的综合问题(含答案)

沪科版数学九年级上册
微专题6 相似与几何图形的综合问题
类型一　相似在三角形中的应用
1. 如图，已知AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于点E，交AD于点F.
求证：DE2＝BE·CE.

2. 如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角.现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点.
(1)求证：△PCE≌△EDQ；
(2)延长PC，QD交于点R.
①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABR是等边三角形；
②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值.

图1 图2 图3
类型二　相似在四边形中的应用
3. 如图，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为 .
4. 如图1，在四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG，BG，CG，DG，EF，且∠AGD＝∠BGC.
(1)求证：AD＝BC；
(2)求证：△AGD∽△EGF；
(3)如图2，若AD，BC所在直线互相垂直，求的值.
图1 图2
类型三　运用相似解决几何图形中的动点问题
5. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为 .
6. 如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CD上，CN＝CD，若AB＝1，设BM＝x，当x＝ 时，以A，B，M为顶点的三角形和以N，C，M为顶点的三角形相似.
7. 如图，在矩形ABCD中，长BC＝12cm，宽AB＝8cm，P，Q分别是AB，BC上运动的两点.若点P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，点Q自点B出发，以2cm/s的速度沿BC方向运动，经过几秒，以P，B，Q为顶点的三角形与△BDC相似？(Q到达C点后，点P，Q同时停止运动)

8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.
(1)若BM＝BN，求t的值；
(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；
(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值.
9. 如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点.
(1)求证：△ABE∽△ECM；
(2)探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE长；若不能，请说明理由.
参考答案
1. 证明：如图，连接AE.∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，∴∠DAE＝∠4.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2.∵∠DAE＝∠2＋∠3，∠4＝∠B＋∠1，∴∠B＝∠3.又∵∠BEA＝∠AEC，∴△BEA∽△AEC，∴＝，∴AE2＝BE·CE，∴DE2＝BE·CE.
2. 解：(1)证明：∵点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点，∴DE＝OC，DE∥OC，CE＝OD，CE∥OD，∴四边形ODEC是平行四边形，∴∠OCE＝∠ODE.∵△OAP，△OBQ都是等腰直角三角形，∴∠PCO＝∠QDO＝90°，∴∠PCE＝∠PCO＋∠OCE＝∠QDO＋∠ODE＝∠EDQ，∵PC＝AO＝CO＝ED，CE＝OD＝OB＝DQ，∴△PCE≌△EDQ.
(2)①证明：如题图2，连接OR，∵PR与QR分别为线段OA与OB的中垂线，∴AR＝OR＝BR，∠ARC＝∠ORC，∠ORD＝∠BRD.在四边形OCRD中，∵∠OCR＝∠ODR＝90°，∠MON＝150°，∴∠CRD＝30°，∴∠ARB＝∠ARO＋∠BRO＝2∠CRO＋2∠ORD＝2∠CRD＝60°，∴△ABR为等边三角形.　
②如题图3，由(1)知EQ＝PE，∠DEQ＝∠CPE，∴∠PEQ＝∠CED－∠CEP－∠DEQ＝∠ACE－∠CEP－∠CPE＝∠ACE－∠RCE＝∠ACR＝90°，即△PEQ为等腰直角三角形.∵△ARB∽△PEQ，∴∠ARB＝90°，于是在四边形OCRD中，∴∠OCR＝∠ODR＝90°，∠CRD＝∠ARB＝45°，∴∠MON＝135°.此时P，O，B在一条直线上，△PAB是直角三角形且∠APB为直角，∴AB＝2PE＝2×PQ＝PQ，∴＝.
3. 
4. (1)证明：∵E为AB中点，GE⊥AB，∴GE是线段AB的垂直平分线，∴AG＝GB.　同理可证GD＝GC.在△AGD与△BGC中，，∴△AGD≌△BGC，∴AD＝BC.
(2)证明：∵∠AGD＝∠BGC，∴∠AGB＝∠DGC.∵AG＝BG，DG＝CG，且E，F分别为AB，CD中点，∴∠AGE＝∠AGB，∠DGF＝∠CGD，∴∠AGE＝∠DGF，易证Rt△AGE∽Rt△DGF，∴∠AGD＝∠EGF，＝，∴△AGD∽△EGF.　
(3)解：如图3，延长AD交BC延长线于点M，∵AD，BC所在的直线互相垂直，∴∠DAB＋∠ABC＝90°， 即∠DAB＋∠ABG＋∠GBC＝90°.∵△AGD≌△BGC，∴∠GAD＝∠GBC，GA＝GB.∴∠DAB＋∠ABG＋∠GAD＝90°，∠GAB＋∠GBA＝90°.又∵GA＝GB，∴∠GAB＝∠GBA，∴∠GAB＝45°.由(2)得△AGD∽△EGF，∴＝＝.
图3
5. 
6. 或
7. 解：设经过xs，△PBQ与△BCD相似，由于∠PBQ＝∠BCD＝90°，
(1)当∠BPQ＝∠BDC时，有＝，即＝，解得x＝.
(2)当∠BPQ＝∠DBC时，有＝，即＝，解得x＝2.∴经过s或2s，△PBQ与△BCD相似.
8. 解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，即∠ABC＝30°，∴AB＝10，BC＝＝5.由题意知BM＝2t，CN＝t，BN＝5－t，由BM＝BN得2t＝5－t，解得：t＝＝10－15.
(2)①当△MBN∽△ABC时，∴＝，即＝，解得：t＝.　②当△NBM∽△ABC时，∴＝，即＝，解得：t＝.∴当t＝或t＝时，△MBN与△ABC相似.　
(3)过M作MD⊥BC于点D，可得：MD＝t.设四边形ACNM的面积为y，∴y＝S△ABC－S△BMN＝AC·BC－BN·MD＝×5×5－(5－t)·t＝t2－t＋＝(t－)2＋.∴根据二次函数的性质可知，t＝时，y的值最小.此时，y最小＝.
9. (1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF＝∠F＝∠C.∵∠AEB＝∠C＋∠CAE，∠EMC＝∠AEF＋∠EAM，∴∠AEB＝∠EMC，∴△ABE∽△ECM.
(2)解：重叠部分能构成等腰三角形.①∵∠EMA＝∠MEC＋∠C，∠C＝∠AEM，∴AE≠AM；②当AE＝EM时，由(1)可知△ABE∽△ECM，∴△ABE≌△ECM，∴AB＝CE＝5，∴BE＝BC－EC＝6－5＝1；③当AM＝EM时，∠AEM＝∠MAE＝∠B＝∠C，∴△ABC∽△MAE，∴＝＝，∴＝＝，∵△ABE∽△ECM，∴＝＝，∴＝，EC＝，∴BE＝BC－EC＝6－＝.综上所述，当重叠部分为等腰三角形时，BE长为1或.