高中数学人教版必修4教学设计：2．1．1平面向量的实际背景及基本概念

课题：ξ2.1.1平面向量的实际背景及基本概念（必修4第二章平面向量）
科目： 数 学 教学对象：高 班级 授课时间： 年 月 日 总课时： 课时
第 课时
教师： 单位：
一、教学内容分析
本节课的内容是数学必修4，第二章《平面向量》的引言和第一节平面向量的实际背景及基本概念两部分。在配套的《教师教学用书》中，介绍了章头图和章引言的编写意图，其中有这样的叙述：“章引言说明了向量的研究对象及研究方法，揭示了向量与几何、代数之间的关系，运用向量法可将几何性质的研究转化为向量的运算，使几何问题通过向量运算得到解决……”．因此，“章引言”（包括“章头图”）起“导游图”作用，是本章学习的“先行组织者”，应有充分的重视．教学时，可以渗透在具体内容中，不必作抽象讲解，以避免空洞说教．向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。许多老师认为，“平面向量的实际背景及基本概念”一节“概念多但不难理解”，但我们认为“其实不然”．事实上，从“概念的形成”的角度看，本节内容，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力，蕴含了用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径，这是一个带有“本源”性质的过程．主要指导思想是“数学概念……首要表现在概念的形成”，概念教学必须让学生经历概念的形成过程；基本想法是聚焦概念教学，探索概念教学的基本规律．
二、教学目标
《课程标准》的表述——通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。《教学大纲》的要求——理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量.。可以看出，《课程标准》注重了概念的产生及发展形成的过程，更关注相等向量，对向量的几何表示在要求上有所降低.所以我将本节课的教学目标确定为： 、知识与技能1.理解平面向量的含义、向量的几何表示，向量的模.2.理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的含义，能在图形中辨认相等向量和共线向量.3.从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量集形与数于一身的的两个基本特征及向量可以平移的特点. 2）、过程与方法 1.通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念.2.从生活实例和物理素材中感受向量以及研究向量的必要性，3）、情感态度与价值观 培养用联系的观点 ，类比的方法研究向量；获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维，使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”；让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐。
三、学习者特征分析
在学生的已有经验中，与本节内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、0和1的特殊性、线段的平行或共线等，这些将为学生自觉、有序、有效地认知向量概念提供“固着点”．同时，学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中（必修4任意角的三角函数、三角函数的图象与性质）已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识准备。
四、教学策略选择与设计
这里，为了帮助学生建立向量的概念，与数、形的相关概念（数及其运算、直线（段）的平行关系等）类比与联系是值得重视的．向量的概念是从生活实例和物理素材中抽象出来的，如物理学中的位移、力、速度等概念，其几何背景是有向线段，虽然是抽象的形式符号，要设计一个能让学生开展概括活动的过程，教学时依然可以用位移、力等物理量为背景，引导他们经历从具体事例（位移、力、速度等）中领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表示，类比数的集合认识“向量的集合”，类比直线（段）的基本关系认识向量的基本关系．要使学生从中体会到认识一个数学概念的“基本套路”：从具体背景中抽象出共同本质特征——定义——表示——定义“相等”（这件事情很重要，但往往不被注意）、“单位元”、“0元”——某些特殊关系．由此看来，向量概念的形成并不是一件容易的事情.因此教学时要注意把握概念的物理意义，理解有关概念的实际背景，有助于学生认同新概念的合理性.而相等向量、共线向量等概念可以让学生在对向量的两要素（大小、方向）的认识中结合具体案例主动构建，让学生自己得出的概念比简单的告诉印象要深刻得多.总之，为了加深学生对向量内涵的理解，应精心选例设问，引导学生的思考置疑.通过直观形象→具体→抽象→再具体的反复过程，正向思考与逆向思考相结合，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移.
五、教学重点及难点
掌握向量的概念，要抓住向量的本质——大小和方向.尽管学生有着相对比较丰富的物理素材，但对向量的认识还是比较单一的（往往只考虑大小而忽略方向），所以平面向量的含义是本节课的重点也是难点.解决这一难点的关键是多用几何图形中相等的有向线段让学生辨认，加深对向量的理解.同时，相等向量、共线向量的含义及向量的几何表示也是本节课的重点. 重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念；难点：让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程；
六、教学过程
1．向量概念的形成1．1 让学生感受引入概念的必要性引子：甲、乙两车分别以v1=40km，v2=50km的速度从同一地点出发向北行驶．2小时后，它们相距20km．甲、乙两车分别以v1=40km，v2=50km的速度从同一地点出发，甲车向北，乙车向南．2小时后，它们相距180km．它们的行驶速度一样，为什么2小时后的距离相差这么大？意图：向量概念不是凭空产生的．用这一简单、直观例子中的“速度不仅有大小，而且有方向”，让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在，自然引出学习内容．问题1 你能否再举出一些既有方向，又有大小的量？意图：激活学生的已有相关经验．（学生能容易地举出重力、浮力、作用力等物理中学过的量．）追问：生活中有没有只有大小，没有方向的量？请你举例．意图：形成区别不同量的必要性．（学生所举的例子有年龄、身高、面积等．）概念抽象需要典型丰富的实例．让学生举例可以观察到他们对概念属性的领悟，形成对概念的初步认识，为进一步抽象概括做准备．T：由同学们的举例可见，现实中有的量只有大小没有方向，有的量既有大小又有方向．类似于从一支笔、一本书、一棵树……中抽象出只有大小的数量1，数学中对位移、力……这些既有大小又有方向的量进行抽象，就形成一种新的量——向量（板书概念）．1．2 向量的几何表示问题2 数学中，定义概念后，通常要用符号表示它．怎样把你所举例子中的向量表示出来呢？意图：让学生先尝试向量的表示方法，自觉接受用带有箭头的线段（有向线段）来表示向量．（让学生在黑板上画．学生画了用带有箭头的线段表示力，开始时没有对带箭头的线段加注起点、终点的字母，也没有给出大小，写出的f 上方没有加箭头．教师引导学生不断完善，最终形成了用带箭头的线段表示向量．有的学生还标出了单位长，以比较两个向量的大小．）T：看来大家都认为用带箭头的线段表示向量比较好．在初中，常用AB，CD，a，b，c等表示线段．现在，我们加上箭头，用，，，，等表示向量．以前AB与BA表示同一线段，现在和表示同一向量吗？为什么？S：不．向量和起点、终点正好相反．T：对，方向是向量的本质属性之一．向量的另一本质属性是大小，我们用||表示，称为向量的模．同样，用||来表示向量的模．因为向量有大小和方向两个要素，只用代数形式或几何形式是无法确定的，必须两者结合．1．3 零向量与单位向量T：现在，我们已经建立了一个向量的集合．就象每个人都有名字一样，这个集合中的每一个向量都有了名称．那么问题3 你认为在所有向量组成的集合中，哪些向量较特殊？意图：引导学生学会观察一组对象．面对一组对象，首先注意特殊对象是自然的．（学生普遍认为零向量、单位向量是特殊的．）T：大家为什么认为它们最特殊？你们是怎么想的？意图：挖掘结果背后的思维过程．企图引导学生把向量集合与实数集类比．（课堂中，学生从长度这个角度进行了解释，认为零向量的长度是0，单位向量的长度是1，最为特殊．这表明他们已经在把向量集与实数集作类比．从实数集的认知经验出发，自然会想到零向量、单位向量的特殊性．）T：是的．类比实数的学习经验有利于向量的学习．在实数中，0是数的正负分界点，有0就可定义相反数；1是“单位”，作用很大．对实数的研究经验告诉我们，“引进一个新的数就要研究它的运算；引进一种运算就要研究运算律”．可以预见，引进向量就要研究向量的运算，进而就要研究相应的运算律或运算法则．所以，对于向量，还有许多内容等待我们去研究．2．相等向量、平行向量、共线向量、相反向量概念的形成问题4 观察图1中的正六边形ABCDEF．给图中的一些线段加上箭头表示向量，并说说你所标注的向量之间的关系．（举例）意图：不是先给出相等向量、平行向量、共线向量、相反向量的定义，再做练习巩固，而是让学生参与概念的定义过程，使概念成为学生观察、归纳、概括之后的自然产物．留给学生足够的时间，并提出问题5，组织学生交流．问题5 你是怎样研究的？比如，你画了哪几个向量？你认为它们有怎样的关系？意图：不仅关注结果，更要关注过程．尤其要挖掘学生用向量概念思维的过程．（课堂中，有的学生首先关注大小；有的学生首先画出向量与，认为它们长度相等且方向相同，是相等的向量；也有学生首先画出向量与，认为它们是共线的向量；等．教师适时介入，解释数学中的向量是自由向量，可以平移，因此，与也称为共线向量．“平行向量”的产生比较顺利，但“相反向量”的产生有困难，其间还类比了“相反数”．）归纳得到：（1）从“方向”角度看，有方向相同或相反，就是平行向量，记为 ∥；（2）从“长度”角度看，有模相等的向量，||=||；（3）既关注方向，又关注长度，有相等向量=，相反向量=－．T：我们规定：零向量与任意向量都平行，即∥．问题6 由相等向量的概念知道，向量完全由它的方向和模确定．由此，你能说说数学中的向量与物理中的矢量的异同吗？另外，向量的平行、共线与线段的平行、共线有什么联系与区别？意图：让学生注意把向量概念与物理背景、几何背景明确区分，真正抓住向量的本质特征，完成“数学化”的过程．3．阅读课本请同学们把课本看一遍，看看我们的讨论过程与课本讲的是否一致，有什么遗漏？有什么不同？意图：通过阅读，对本课的内容再一次进行归整、明晰．引导学生重视课本．4．课堂练习教科书P77中的“练习”部分．5．课堂小结问题7（引导学生自己小结）能否画个图，把今天学的内容梳理一下？（有的学生提出可以把本课的内容分为三个部分，与图2所呈现的内容基本一致，只是把“特殊关系”说成了“向量的性质”，这也是正确的．教师肯定了她的结论，展示了图2．）T：今天我们学习向量的概念及其表示方法，并初步研究了向量这个集合，发现了其中的两个特殊向量，以及向量之间的一些特殊关系．同学们要认真体会其中的基本思路，即：从同类具体事例中抽象出共同本质特征——下定义——符号表示——认识特殊对象——考察某些特殊关系．这里特别要注意，因为向量带有方向，所以只用代数的形式已无法表示，必须结合几何的形式．因此，向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”．随着学习的深入，我们会看到这种身份给向量带来的力量．另外，我们用类比数集的方法初步认识了向量的集合．我们知道，数与运算分不开，数的概念的发展也与运算不可分割．例如，为了解方程x2=2，我们需要有无理数概念，于是要有“开方”运算．引进一种新的数，就要研究关于它的运算；引进一种运算，就要研究相应的运算律．今天我们引进了一个新的量——向量，下面我们该研究它的哪些问题？如何研究？请同学们课后认真考虑，下节课来交流．（说罢，教师在“特殊关系”的右边增加了省略号“……”．）6．布置作业：组1-5
七、教学评价设计
项目 A级 B级 C级 个人评价 同学评价 教师评价
认真 上课认真听讲，作业认真， 参与讨论态度认真 上课能认真听讲，作业依时完成，有参与讨论 上课无心听讲，经常欠交作业，极少参与讨论
积极 积极举手发言，积极参与讨论与交流，大量阅读课外读物 能举手发言，有参与讨论与交流，有阅读课外读物 很少举手，极少参与讨论与交流，没有阅读课外读物
自信 大胆提出和别人不同的问题，大胆尝试并表达自己的想法 有提出自己的不同看法，并作出尝试 不敢提出和别人不同的问题，不敢尝试和表达自己的想法
善于与人合作 善于与人合作，虚心听取别人的意见 能与人合作，能接受别人的意见。 缺乏与人合作的精神，难以听进别人的意见
思维的条理性 能有条理表达自己 的意见，解决问题的过程清楚，做事有计划 能表达自己的意见，有解决问题的能力，但条理性差些 不能准确表达自己的意思，做事缺乏计划性，条理性，不能独立解决问题
思维的创造性 具有创造性思维，能用不同的方法解决问题，独立思考 能用老师提供的方法解决问题，有一定的思考能力和创造性 思考能力差，缺乏创造性，不能独立解决问题
我这样评价自己：
伙伴眼里的我：
老师的话：
注：1.本评价表针对学生课堂表现情况作评价2.本评价分为定性评价部分和定量评价部分。3.定量评价部分总分为100分，最后取值为教师评、同学评和自评分数按比例取均值；4.定性评价部分分为“我这样评价自己”、“伙伴眼里的我”和“老师的话”，都是针对被评者作概括性描述和建议，以帮助被评学生的改进与提高。
八、板书设计
ξ2.1.1平面向量的实际背景及基本概念平面向量概念： 例1 练习2.平面向量表示①几何表示：②字母表示：平面向量特殊向量①单位向量 例2 小结②零向量4.平面向量特殊关系①平行向量共线向量 作业②相等向量③相反向量
九．教学反思
从课堂教学的要求看，概念教学的自然和水到渠成应包括两方面：一是知识的逻辑顺序自然；二是学生心理逻辑的自然，主要是思维过程的自然．“自然的概念教学过程”是上述两方面的融合．因此，向量概念的教学中，我们注意了从宏观上为学生勾勒研究框架和总体思路，使学生能“抬头看路”，知道往哪里走，这是起始课的重要任务；微观上，引导学生通过类比，有序地给出向量的定义（区别于“只有大小没有方向的量”）、讨论向量的表示（重点是几何表示）、定义特殊的向量、研究特殊的关系（特别是相等向量）．在引导学生展开对向量及其相关概念的学习过程中，主要强调了“让学生参与到定义概念的活动中来”，不轻易打断学生的思维和活动，恰时恰点地“以问题引导学习”，在“追问（质疑）——反思”的过程中深化概念的理解，使“概念的理解”成为学生自己主动思维的结果．4.明确零向量的意义与作用，不过分纠缠于细节，首先，规定“零向量与任意向量平行”是完善概念系统的需要．“平行向量”是向量间的关系定义，自然应针对全体向量而言，不能排斥零向量．因此，需要对平行向量的概念加以补充定义．由于零向量的长度为零方向任意，因此，规定“零向量与任意向量平行”也在情理之中．其次，就像数0的作用在于运算一样，零向量的作用在于运算及其表达的几何意义．例如，，，都是非零向量，如果+=0，则与是相反向量；如果++=0，则，，首尾相接围成三角形；等．这些结论在解决几何问题时作用很大．



图1


图2