人教版九年级数学上册第二十二章二次函数大综合复习教案

《二次函数的大综合》教案
【教学目标】：
1．知识与能力：综合运用数学知识和方法，解决与二次函数有关的综合性问题。
2．过程与方法：学生分析推理，教师着眼于引导，学生着眼于探索，层层推进，合作探究。
3．情感态度与价值观：通过师生合作探究，促进数学思想的形成和数学方法的掌握, 侧重于学生能力的提高、思维的训练,使学生从容应付中考。
【教学重点、难点】：
重点：与二次函数有关的综合性问题
难点：对二次函数综合性问题的分析与解决。
【教学方法】：师生互动探究式
【教学用具】：多媒体；
【教学过程】：
一、考点说明：
《课程标准》对二次函数综合题的学习要求比较高，它最能体现初中代数以及代数与几何的综合性和能力性，涉及的知识点较多，也正因为如此，它在近几年中考试题中常以压轴题的形式出现，并且通常是三问，难度呈阶梯形式。
我们的目标是保证做出第（1）问，尽量做出第（2）问，努力做出第（3）问。
二、典例探究：
例1：如图，已知抛物线经过点A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点。
（1）求抛物线的解析式。
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），
过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的
横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长。
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，
使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由。
1．解题思路





2．解题过程
解：（1）设抛物线的解析式为：，则：；
∴抛物线的解析式：。
（2）设直线BC的解析式为：，则有：
，解得；故直线BC的解析式：。
已知点M的横坐标为m，MN∥y，则、；
∴故。
（3）记MN交x轴于点D，∵
∴；
∴当时，△BNC的面积最大，最大值为。
3．考点点评：
本题考查了利用待定系数法求抛物线、直线的解析式、利用函数图像经过的点必定满足函数的解析式来求点的坐标、运用割补法来求不规则三角形的面积、用配方法求二次函数的最值，要求学生具有扎实的基本功。

例2：已知抛物线（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an）与x轴的交点为和，当n=1时，第1条抛物线 与x轴的交点为和，其他依次类推。
（1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式；
（2）抛物线的顶点坐标为（ ， ）；
依次类推第n条抛物线的顶点坐标为（ ， ）（用含n的式子表示）；
所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是 ;
（3）探究：是否存在经过点的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段长度都相等？
若存在，求出直线的表达式；若不存在，请说明理由。

1．解题思路











2．解题过程
解：（1）∵与x轴交于点，∴，∴或1。
由已知可知，∴。即
方法一：令代入得：，∴，∴y1与x轴交于，，∴。
方法二：∵与x轴交于点，∴，或0，（舍去），∴。
又∵抛物线与x轴交于点，∴，∴或4，∵，∴（舍去），
∴取，抛物线。
（2）； ；。
详解如下：∵抛物线令代入得：，∴。
∴y2与x轴交于点，。
又∵抛物线与x轴交于，∴；∴或9，
∵，∴（舍去），即，∴抛物线y3的顶点坐标为。
由抛物线y1的顶点坐标为，y2的顶点坐标为，y3的顶点坐标为，依次类推抛物线yn的顶点坐标为。
∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标，∴顶点坐标满足的函数关系式是：；
（3）存在，是平行于直线且过的直线，其表达式为。
设过点的直线解析式为，则有：，得，∴。
设直线与抛物线交于，两点，
联立两式得：，整理得：，
∴，。
过点F作轴，过点E作于点G，则，
。
在中，由勾股定理得：，
即：，
将，代入，整理得：，
当时，，∴为定值，
∴满足条件，此时直线解析式为。
∴存在满足条件的直线，该直线的解析式为。
3. 考点点评
本题考查了利用函数图像上点的坐标满足函数解析式来求点的坐标，联立直线与抛物线的解析式求直线与抛物线的交点坐标，一元二次方程根与系数关系的应用，利用勾股定理求与坐标轴不平行线段的长度。
三、总结反思：



四：变式训练（课后作业）
变式1：如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形，其顶点为，，，将此三角形△ABO绕原点O逆时针旋转90°，得到。一抛物线经过、、B三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由。

思路点拨：
① 利用旋转的性质求出、的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；
② 利用抛物线的对称性以及两点之间线段最短即可找到符合条件的P点。
③ 由于的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论，可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示的三边长，再列式求解。

变式2：如图，直线与x、y轴分别相交于A、B，一组抛物线的顶点（n为正整数）依次是直线上的点，且这组抛物线中以为顶点的抛物线经过点、，以为顶点的抛物线经过点，以为顶点的抛物线经过点
（1）这组抛物线中以为顶点的抛物线的解析式。
（2）求证：∽.
（3）定义：若第n条抛物线的二次项系数、一次项系数、常数项满足，则称这条抛物线为：“飞翔抛物线”。
探究：这组抛物线中是否存在飞翔抛物线？若存在，请你确定它是这组抛物线中的第几条抛物线。若不存在，请说明理由。

思路点拨：
① 利用抛物线的对称性以及的坐标，可以得出的横坐标，又因为在上，可得出的坐标，再根据、O、的坐标求抛物线的解析式。
② 利用同①的方法求出的坐标,再利用O、A、、的坐标并构造直角三角形，借助勾股定理计算出和的各个边长，利用对应边的比例相等证明∽。
③ 同①利用抛物线的对称性以及的坐标可以得出的横坐标，又因为在上，可得出的坐标，再根据、的坐标求抛物线的解析式，即可求出二次项系数、一次项系数、常数项，代入到，即可求出。