2019-2020学年上海市浦东新区第四教育署九年级（上）期中数学试卷（五四学制）（解析版）

2019-2020学年上海市浦东新区第四教育署九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．下列图形一定是相似图形的是（　　）
A．两个矩形
B．两个周长相等的直角三角形
C．两个正方形
D．两个等腰三角形
2．如果两个相似的三角形面积之比为4：9，那么它们对应的角平分线之比为（　　）
A．2：3 B．4：9 C．16：81 D．9：13
3．如图，点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F、G、H、K四点中的（　　）

A．F B．G C．H D．K
4．在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，那么下列结论正确的是（　　）
A．sinA＝ B．tanA＝ C．cosB＝ D．cotB＝
5．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanA的值为（　　）

A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果，那么的值是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知点P在线段AB上，AP＝3PB，那么PB：AB＝　 　．
8．在1：5000的地图上，某两地间的距离是20cm，那么这两地的实际距离为　 　千米．
9．计算：＝　 　．
10．若α为锐角，已知cosα＝，那么tanα＝　 　．
11．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，联结AE、BD，且AE、BD交于点F，若DE：EC＝2：3，则S△DEF：S△ABF＝　 　．

12．相邻两边长的比值是黄金比的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于　 　厘米．（保留根号）
13．如图，AG∥BC，如果AF：FB＝3：5，BC：CD＝3：2，那么AE：EC＝　 　．

14．如果α是锐角，且cotα＝tan35°，那么α＝　 　度．
15．如图，正方形DEFG内接于Rt△ABC，∠C＝90°，AE＝4，BF＝9，则tanA＝　 　．

16．如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E、点F分别为△ABD和△ADC的重心，如果BC＝12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于　 　．

17．如图，在四边形ABDC中，连接BC，∠A＝∠BCD＝90°，∠D＝30°，∠ABC＝45°，如果，那么S四边形ABDC＝　 　．

18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果＝m，＝n．那么用含n的代数式表示m是：m＝　 　．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．计算：．
20．如图，已知O为△ABC内的一点，点D、E分别在边AB、AC上，且＝，，设＝，＝，试用，表示．

21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8．点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交边AC于E．过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
（1）如果＝，求线段EF的长；
（2）求∠CFE的正弦值．

22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边上的一点，CD＝6，cos∠ADC＝，tanB＝．
（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．

23．已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，且∠BEF＝∠BAC．
（1）求证：△AED∽△CFE；
（2）当EF∥DC时，求证：AE＝DE．

24．如图，线段AB＝5，AD＝4，∠A＝90°，DP∥AB，点C为射线DP上一点，BE平分∠ABC交线段AD于点E（不与端点A、D重合）．
（1）当∠ABC为锐角，且tan∠ABC＝2时，求四边形ABCD的面积；
（2）当△ABE与△BCE相似时，求线段CD的长；
（3）设CD＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．

25．如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和△BPC，连接BD与PC交于点E，连接CD．

（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；
（2）若线段CD是线段DE和DB的比例中项，试求这时的值；
（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD2是否成正比例，若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由．



2019-2020学年上海市浦东新区第四教育署九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．下列图形一定是相似图形的是（　　）
A．两个矩形
B．两个周长相等的直角三角形
C．两个正方形
D．两个等腰三角形
【解答】解：A、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
B、两个周长相等的直角三角形的对应角不一定相等，不符合题意；
C、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意；
D、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意．
故选：C．
2．如果两个相似的三角形面积之比为4：9，那么它们对应的角平分线之比为（　　）
A．2：3 B．4：9 C．16：81 D．9：13
【解答】解：两个相似的三角形面积之比为4：9，故它们的相似比为2：3，所以它们对应的角平分线之比为2：3．故选A．
3．如图，点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F、G、H、K四点中的（　　）

A．F B．G C．H D．K
【解答】解：根据题意，
△DEM∽△ABC，AB＝4，AC＝6 DE＝2
∴DE：AB＝DM：AC
∴DM＝3
∴M应是H
故选：C．
4．在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，那么下列结论正确的是（　　）
A．sinA＝ B．tanA＝ C．cosB＝ D．cotB＝
【解答】解：如图所示：
∵∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，
∴AC＝，
∴sinA＝，故选项A错误；
tanA＝＝，故选项B错误；
cosB＝，故选项C错误；
cotB＝，正确．
故选：D．

5．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanA的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：连接CD．
则CD＝，AD＝2，
则tanA＝＝＝．
故选：A．

6．如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果，那么的值是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AE∥CD，
∴△EAF∽△CDF，
∵，
∴，
∴，
∵AF∥BC，
∴△EAF∽△EBC，
∴＝，
故选：D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知点P在线段AB上，AP＝3PB，那么PB：AB＝　1：4　．
【解答】解：如图所示：
，
∵AP＝4PB，那么PB：AB＝PB：（AP+PB）＝PB：4PB，
∴PB：AB＝1：4．
故答案为：1：4．
8．在1：5000的地图上，某两地间的距离是20cm，那么这两地的实际距离为　1　千米．
【解答】解：设两地的实际距离是x厘米，则：
1：5000＝20：x，
∴x＝100000，
∵100000cm＝1千米，
∴两地的实际距离是1千米．
故答案为1．
9．计算：＝　﹣+5　．
【解答】解：＝2﹣3+5＝﹣+5．
故答案为：﹣+5．
10．若α为锐角，已知cosα＝，那么tanα＝　　．
【解答】解：由α为锐角，已知cosα＝，得sinα＝＝，
由正切函数等于正弦值与与余弦的比，得tanα＝＝＝，
故答案为：．
11．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，联结AE、BD，且AE、BD交于点F，若DE：EC＝2：3，则S△DEF：S△ABF＝　4：25　．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝（）2，
∵DE：EC＝2：3，
∴DE：CD＝DE：AB＝2：5，
∴S△DEF：S△ABF＝4：25．
故答案为：4：25．
12．相邻两边长的比值是黄金比的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于　（10﹣10）　厘米．（保留根号）
【解答】解：设相邻一条边的边长为x厘米，
由黄金分割的定义可知，＝，
解得，x＝10﹣10，
故答案为：10﹣10．
13．如图，AG∥BC，如果AF：FB＝3：5，BC：CD＝3：2，那么AE：EC＝　3：2　．

【解答】解：∵AG∥BC，
∴△AGF∽△BDF，
∴＝＝，
设AG＝3k，BD＝5k，
∵＝，
∴＝
∴CD＝2k，
∵AG∥CD，
∴△AGE∽△CDE，
∴＝＝＝，
故答案为3：2．
14．如果α是锐角，且cotα＝tan35°，那么α＝　55　度．
【解答】解：∵cotα＝tan35°，
∴cot（90°﹣35°）＝tan35°．
∴α＝55°．
故答案是：55．
15．如图，正方形DEFG内接于Rt△ABC，∠C＝90°，AE＝4，BF＝9，则tanA＝　　．

【解答】解：∵四边形DEFG为正方形，
∴∠DEA＝∠GFB＝90°，DE＝GF，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝∠A+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠B，
∴△ADE∽△GFB，
∴＝，即＝，解得DE＝6，
∴tanA＝＝＝，
故答案为：．
16．如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E、点F分别为△ABD和△ADC的重心，如果BC＝12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于　4　．

【解答】解：如图，连接AE并延长交BD于G，连接AF并延长交CD于H，
∵点E、F分别是△ABD和△ACD的重心，
∴DG＝BD，DH＝CD，AE＝2GE，AF＝2HF，
∵BC＝12，
∴GH＝DG+DH＝（BD+CD）＝BC＝×12＝6，
∵AE＝2GE，AF＝2HF，∠EAF＝∠GAH，
∴△EAF∽△GAH，
∴＝＝，
∴EF＝4，
故答案为：4．

17．如图，在四边形ABDC中，连接BC，∠A＝∠BCD＝90°，∠D＝30°，∠ABC＝45°，如果，那么S四边形ABDC＝　　．

【解答】解：如右图，
在Rt△ABC中，BC＝，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝AC＝1，
∴S△ABC＝×1×1＝；
在Rt△BCD中，∠D＝30°，BC＝，
∴BD＝2，
∴CD＝＝，
∴S△BCD＝××＝，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△BCD＝+＝．
故答案是．

18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果＝m，＝n．那么用含n的代数式表示m是：m＝　2n+1　．

【解答】解：作DH⊥AC于H，如图，
∵线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处，
∴DE＝DC，
∴EH＝CH，
∵＝n，即AE＝nEC，
∴AE＝2nEH＝2nCH，
∵∠C＝90°，
∴DH∥BC，
∴＝，即m＝＝＝2n+1．
故答案为：2n+1．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．计算：．
【解答】解：原式＝＝．
20．如图，已知O为△ABC内的一点，点D、E分别在边AB、AC上，且＝，，设＝，＝，试用，表示．

【解答】解：∵＝，＝，
∴＝﹣＝﹣，
∵＝，
∴＝．
又∵，
∴DE∥BC
∴＝，
∴DE＝BC，
∴＝（﹣）．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8．点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交边AC于E．过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
（1）如果＝，求线段EF的长；
（2）求∠CFE的正弦值．

【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
又∵BC＝6，
∴DE＝2，
∵DF∥BC，CF∥AB，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF＝BC＝6，
∴EF＝DF﹣DE＝4；
（2）∵四边形BCFD是平行四边形，
∴∠B＝∠F，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
利用勾股定理，得AB＝＝＝10，
∴sinB＝＝＝，
∴sin∠CFE＝．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边上的一点，CD＝6，cos∠ADC＝，tanB＝．
（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．

【解答】解：（1）如图，在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，CD＝6，cos∠ADC＝，
∴＝，即＝，
则AD＝10，
∴由勾股定理知，AC＝＝＝8．
又∵tanB＝，
∴＝，即＝，
则BC＝12．
∴在Rt△ABC中，利用勾股定理知，AB＝＝＝4．
综上所述，AC＝8，AB＝4；

（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E．
由（1）易知，BD＝6．
∵tanB＝，
∴＝．则BE＝DE．
则由勾股定理得到：62＝DE2+DE2，
解得 DE＝，
∴sin∠BAD＝＝＝．

23．已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，且∠BEF＝∠BAC．
（1）求证：△AED∽△CFE；
（2）当EF∥DC时，求证：AE＝DE．

【解答】证明：（1）∵∠BEC＝∠BAC+∠ABD，
∠BEC＝∠BEF+∠FEC，
又∵∠BEF＝∠BAC，
∴∠ABD＝∠FEC，
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠FEC＝∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ECF，
∴△AED∽△CFE；
（2）∵EF∥DC，
∴∠FEC＝∠ECD，
∵∠ABD＝∠FEC，
∴∠ABD＝∠ECD，
∵∠AEB＝∠DEC．
∴△AEB∽△DEC，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
∴．即AE2＝DE2，
∴AE＝DE．
24．如图，线段AB＝5，AD＝4，∠A＝90°，DP∥AB，点C为射线DP上一点，BE平分∠ABC交线段AD于点E（不与端点A、D重合）．
（1）当∠ABC为锐角，且tan∠ABC＝2时，求四边形ABCD的面积；
（2）当△ABE与△BCE相似时，求线段CD的长；
（3）设CD＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．

【解答】解：（1）过C作CH⊥AB与H，
由∠A＝90°，DP∥AB，得四边形ADCH为矩形，
在△BCH中，CH＝AD＝4，∠BHC＝90°，tan∠CBH＝2，得HB＝CH÷2＝2，
所以CD＝AH＝5﹣2＝3，
则四边形ABCD的面积＝．

（2）由BE平分∠ABC，得∠ABE＝∠EBC，
①∠BCE＝∠BAE＝90°，由BE＝BE，得△BEC≌△BEA，得BC＝BA＝5，
于是在△BCH中，BH＝，
所以CD＝AH＝5﹣3＝2．
②∠BEC＝∠BAE＝90°，延长CE交BA延长线于T，
由∠ABE＝∠EBC，∠BEC＝∠BET＝90°，BE＝BE，得△BEC≌△BET，得BC＝BT，
且CE＝TE，又CD∥AT，得AT＝CD．
令CD＝x，则在△BCH中，BC＝BT＝5+x，BH＝5﹣x，∠BHC＝90°，
所以BC2＝BH2+CH2，即（5+x）2＝（5﹣x）2+42，解得．
综上，当△ABE∽△EBC时，线段CD的长为2或．

（3）延长BE交CD延长线于M．
由AB∥CD，得∠M＝∠ABE＝∠CBM，所以CM＝CB．
在△BCH中，．
则DM＝CM﹣CD＝，
又DM∥AB，得，即，
解得y＝（0＜x＜4.1）．

25．如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和△BPC，连接BD与PC交于点E，连接CD．

（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；
（2）若线段CD是线段DE和DB的比例中项，试求这时的值；
（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD2是否成正比例，若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由．
【解答】解：（1）∵等边△APD和△BPC，
∴PC＝BC，∠CPD＝60°，∠DPA＝∠CBP＝60°，
∴PD∥BC，
∴∠DPC＝∠PCB＝60°，
∵BC⊥CD，
∴∠DCB＝∠PDC＝90°，
∴∠DCP＝30°，
∴tan∠DBC＝＝＝cos30°＝；

（2）由已知，CD2＝DE?DB，
即，
又∵∠CDE＝∠CDE，
∴△DCE∽△DBC，
∴，
又∵CP＝BC，，
∵PD∥BC，
∴，
∴，
∴CD＝BE，
∴，即点E是线段BD的黄金分割点．
∴，
又∵PC∥AD，
∴，

（3）设AP＝a，PB＝b，
∴，，
因为AD∥PC，PD∥BC，
∴，，
∴，
∴，
∴，
作DH⊥AB，
则，，
∴BD2＝DH2+BH2＝（a）2+（a+b）2＝a2+ab+b2，
∴，
∴S与BD2成正比例，比例系数为．