人教版数学九上24.2.2切线的判定与性质教学设计

《切线的判定定理与性质定理》(教学设计)
一、内容及其解析
1．内容
切线的判定定理与性质定理．
2．内容解析
直线和圆相切是直线和圆的位置关系中的一种特殊并且重要的位置关系，圆的切线是连接直线型与曲线型的重要桥梁，是研究三角形内切圆、切线长定理和正多边形与圆的关系的基础．
切线的判定定理与性质定理揭示了直线和圆的半径的特殊位置关系，即过半径外端并与这条半径垂直．两个定理互为逆命题．切线判定定理的探究过程体现了由一般到特殊的研究方法．
基于以上分析，确定本课的教学重点：切线的判定定理与性质定理．
二、目标及其解析
1．目标
(1)理解切线的判定定理与性质定理．
(2)会用切线的判定定理和性质定理解决简单问题．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：能够理解切线判定定理中的两个要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；能够理解切线性质定理的两个条件：一是半径；二是过切点．
达成目标(2)的标志是：知道切线的判定定理与性质定理互为逆命题，能够分清每个定理的条件和结论，并能解决简单问题；明确运用定理时常用的添加辅助线的方法．
三、教学问题诊断分析
学生之前已经学习过直线和圆相切的定义及“圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”，但是不容易理解切线的判定定理．教师要结合教科书的问题进行说明：“垂直于半径”表示出了圆心到直线的距离d，“经过半径外端”说明距离d等于半径，判定定理是为了便于应用而对直线和圆相切的定义改写得到的一种形式．对于切线的性质定理学生容易感知，但直接证明比较困难，此时教师要引导学生运用反证法证明．假设过切点的半径与圆的切线不垂直，推出与已知矛盾，从而证明出切线的性质定理．另外教师要帮助学生明确两定理的题设和结论，这是正确使用定理的关键．
本节课的教学难点是：理解切线的判定定理的和用反证法证明切线的性质定理．
四、教学过程设计
1．复习直线与圆的位置关系
问题1　直线和圆有哪些位置关系？如何判断直线与圆相切？
师生活动：教师提出问题，学生回顾前面所学的知识回答：(1)直线和圆的位置关系有相切、相离、相交；(2)根据直线与圆只有一个公共点、d＝r判断直线与圆相切．
设计意图：通过复习直线和圆的位置关系，为本节课学习切线的判定定理和性质定理做好铺垫．
2．探索切线的判定定理
问题2　如图1，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？
师生活动：学生思考后得到，圆心O到直线l的距离是OA，也就是⊙O的半径，利用数量关系d＝r，判断出直线l是⊙O的切线．
教师再次引导学生思考点A和直线l的位置，从而得到切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
若学生对判定定理内容不理解，教师可进行说明：“垂直于半径”表示出了圆心到直线的距离d，“经过半径外端”说明距离d等于半径；这是为了便于应用直线和圆相切的定义而改写后的一种形式．
设计意图：通过问题，引导学生利用直线和圆相切的定义得出切线的判定定理．
追问1：如图2，图中的直线l与圆相切吗？

(1) (2)
图2
师生活动：学生利用切线的判定定理进行判断：图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．学生结合以上两个反例可以发现切线的判定定理中的两个条件“经过半径外端”和“垂直于半径”缺一不可．
设计意图：结合反例加深学生对切线判定定理的理解．
追问2：如图3，下雨天快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮上打磨工件时飞出的火星中，存在与圆相切的现象吗？

图3
师生活动：教师利用多媒体展示图片，学生利用所学的知识找到切线．
设计意图：通过展示实际生活中的图片，让学生感受切线与现实有着密切的联系．
追问3：已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？
师生活动：学生可能会说出：(1)经过半径外端的直线是圆的切线；(2)垂直于半径的直线是圆的切线．教师进行展示并和学生共同分析：做法(1)中直线虽然经过半径的外端但不与半径垂直；做法(2)中直线虽然垂直半径但不一定过半径的外端．并引导学生总结画圆的切线的准确方法：应过半径的外端作垂直于这条半径的直线．
设计意图：学生通过自己动手画图更深刻的感受切线判定定理的题设和结论，再次加深学生对定理的理解．
3．探索切线的性质定理
问题3　将问题2中的问题反过来，如图4，在⊙O中，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
师生活动：学生通过观察，发现半径OA垂直于直线l．师生讨论后发现直接证明垂直并不容易．此时教师引导学生发现要证明的情况只是垂直这一种，所以可考虑使用反证法：假设OA与直线l不垂直，过点O作OM⊥l，根据垂线段最短的性质，有OM＜OA，这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA，于是直线l就要与圆相交，而这与直线l是⊙O的切线矛盾．因此，OA与直线l垂直．从而得到切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
设计意图：利用反证法引导学生得出切线的性质定理，并体会反证法的作用．
说明：切线的性质定理的证明要用到反证法，对于全体学生而言，这个证明不作要求，学生能够认识到这个定理并能加以应用即可．
4．运用定理解决简单问题
例　如图5，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：直线AC是⊙O的切线．
(1)切线的判定方法有几种？结合已知你选择哪种判定方法？(切线的判定定理．)
(2)要证明切线需要什么条件？如何添加辅助线？(需要经过半径外端的点和过这点的半径与直线垂直，而题目中缺少直线与圆的公共点，所以过圆心O作OE⊥AC于E．)
师生活动：(1)教师通过问题引导学生分析解题思路．发现AC与⊙O没有公共点，所以要过圆心O作OE⊥AC于E，再证明OE为⊙O半径．另外题目中腰AB与⊙O相切于点D，通过切线的性质定理可以得出OD⊥AB，进而通过等腰三角形的性质推出OE＝OD即可解决本题；(2)学生独立完成解题过程，一名学生板书；(3)师生共同分析板书学生的解题过程．
设计意图：结合具体问题加深学生对切线判定定理与性质定理的认识．
追问：在运用切线的判定定理和性质定理时，应如何添加辅助线？
师生活动：学生小组讨论并归纳总结：当证明某直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上一点时，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，那么半径垂直于切线．
设计意图：通过讨论，让学生小结添加辅助线的方法，明确两定理的题设和结论，帮助学生正确使用定理．
练习　教科书第98页练习第1，2题．
师生活动：两名学生分别板书1，2题，其他学生在练习本上完成，教师巡视，指导．然后小组交流，并评价．
设计意图：练习1是巩固切线的判定定理：已知直线过圆上一点时，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．练习2是巩固切线的性质定理．
5．小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)切线的判定定理与性质定理是什么？它们有怎样的联系？
(2)在应用切线的判定定理和性质定理时，需要注意什么？
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心——切线的判定定理和性质定理，明确两定理的题设和结论，体会两定理互为逆命题．
6．布置作业
教科书习题24.2第4，5，12题．
五、目标检测设计
1．如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过点C的切线PC与AB的延长线相交于点P，则∠P＝_______°．
设计意图：考查学生对切线性质定理的掌握．

第1题图 第2题图
2．如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝3 cm，PB＝4 cm，则BC＝_____________．
设计意图：考查学生对切线性质定理的掌握．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AC，垂足为E．求证：DE是⊙O的切线．

第3题图
设计意图：考查学生对切线判定定理的掌握．

图1

图4

图5



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