沪科版2019-2020学年度上学期九年级期末模拟检测试卷1（九上-九下1章含解析）

沪科版九年级上期末模拟检测试卷1（九上-九下1章）
姓名：__________班级：__________考号：__________
题号
一
二
三
总分
得分
、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
二次函数y=kx2+2x+1（k＜0）的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
果以的速度向水箱进水，可以注满．为了赶时间，现增加进水管，使进水速度达到
，那么此时注满水箱所需要的时间与之间的函数关系为（ ）
A． B． C． D．
如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B=130°，则∠AOC的大小是( )
A．130° B．120° C．110° D．100°
如果∠a是等边三角形的一个内角，那么cosa的值等于（ ）．
A． B． C． D．
抛物线y=﹣（x+）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（，﹣3） B．（﹣，﹣3） C．（，3） D．（﹣，3）
如图，已知D、E分别是△ABC中AB、AC边上的点，DE∥BC且，△ADE的周长2，则△ABC的周长为（）
A．4 B．6 C．8 D．18
如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（　　）
A．1 B．3 C．5 D．1或5
已知E(－4，2)，F(－1，－1)，以原点O为位似中心，按相似比2∶1把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标为( )
A．(2，－1)或(－2，1) B．(8，－4)或(－8，4) C．(2，－1) D．(8，－4)
下列函数中，对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，满足y1＜y2的是（　　）
A．y=﹣3x+2 B．y=2x+1 C．y=2x2+1 D．y=﹣
已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（　　）
A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）
B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA．OC分别落在x、y轴上，点B坐标为（6，4），反比例函数y=的图象与AB边交于点D，与BC边交于点E，连结DE，将△BDE沿DE翻折至△B'DE处，点B'恰好落在正比例函数y=kx图象上，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为（　　）
A． B． C． D．
、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的　 　倍．
写出一个y关于x的二次函数的解析式，且它的图象的顶点在y轴上：______．
如图，中，，，若把绕边所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为________（结果保留）．
抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是　 　．
如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限．点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D．AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连结DE．若AC＝3DC，△ADE的面积为8，则k的值为　 　．
如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是　　　　　　．
、解答题（本大题共8小题，共78分）
如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为底、面积为12的等腰△ABC，且点C在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出平行四边形ABDE，且点D和点E均在小正方形的顶点上，tan∠EAB=，连接CD，请直接写出线段CD的长．
如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．
求证：
（1）FC=FG；
（2）AB2=BC?BG．
科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：
温度/℃
……
－4
－2
0
2
4
4.5
……
植物每天高度增长量/mm
……
41
49
49
41
25
19.75
……
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．
（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；
（2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？
（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．
如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β．
（1）用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；
（2）连接OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．
如图所示，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．
如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．
（1）求∠BCD的度数．
（2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）
如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的顶点A．C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数的图象经过B、C两点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向下平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．
如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x．
（1）当x为何值时，PQ∥BC；
（2）当，求的值；
（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．
答案解析
、选择题
【考点】二次函数的图象．
【分析】由图象判定k＜0，可以判断抛物线对称轴的位置，抛物线与y轴的交点位置，选择符合条件的选项．
解：因为二次函数y=kx2+2x+1（k＜0）的图象开口向下，过点（0，1），对称轴x=﹣＞0，
观察图象可知，符合上述条件的只有C．故选C．
【点评】应熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象有关性质：开口方向、顶点坐标、对称轴．
【考点】反比例函数的应用
【分析】以12m3/h的速度向水箱进水，5h可以注满，求出水箱的容量，然后根据注满水箱所需要的时间t（h）＝ 可得出关系式．
解：由题意得：水箱的容量＝12m3/h×5h＝60m3．
∴注满水箱所需要的时间t（h）与Q（m3/h）之间的函数关系为t＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，属于应用题，难度一般，解答本题的关键是首先得出水箱的容量．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【分析】先根据圆内接四边形的性质得到∠D=180°﹣∠B=50°，然后根据圆周角定理求∠AOC．
解：∵∠B+∠D=180°，
∴∠D=180°﹣130°=50°，
∴∠AOC=2∠D=100°．
故选D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．
【考点】等边三角形的性质，特殊角的三角函数值
【分析】根据等边三角形的性质及特殊角的三角函数值即可解答．
解：∵∠α是等边三角形的一个内角，
∴
∴
故选:A．
【点睛】考查等边三角形的性质以及特殊角的锐角三角函数值，熟练掌握特殊角的三角形函数值是解题的关键.
【考点】 二次函数的性质．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
解：y=﹣（x+）2﹣3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣，﹣3）．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．　
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】由DE∥BC，证出△ADE∽S△ABC，得出周长的比等于相似比，容易得出结果．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∵AD+DE+AE=2，
∴AB+BC+AC=6．
故选：B
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形周长的比等于相似比解决问题．
【考点】切线的判定；坐标与图形变化﹣平移
【分析】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答．
解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2=1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，
故选：D．
【点评】本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化﹣平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的应用．
【考点】位似变换
【分析】E（﹣4，2）以O为位似中心，按相似比2∶1把△EFO放大，则点E的对应点E′坐标是E（﹣4，2）的坐标同时乘以2或－2，即可得到结论．
解：根据题意可知，点E的对应点E′的坐标是E（﹣4，2）的坐标同时乘以2或－2，
所以点E′的坐标为（8，－4）或（－8，4）．
故选B．
【点睛】本题考查了位似变换及坐标与图形性质的知识，关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．是需要记忆的内容．
【考点】一次函数的性质；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质．
【分析】A．由k=﹣3可得知y随x值的增大而减小；B、由k=2可得知y随x值的增大而增大；C、由a=2可得知：当x＜0时，y随x值的增大而减小，当x＞0时，y随x值的增大而增大；D、由k=﹣1可得知：当x＜0时，y随x值的增大而增大，当x＞0时，y随x值的增大而增大．此题得解．
解：A．y=﹣3x+2中k=﹣3，
∴y随x值的增大而减小，
∴A选项符合题意；
B、y=2x+1中k=2，
∴y随x值的增大而增大，
∴B选项不符合题意；
C、y=2x2+1中a=2，
∴当x＜0时，y随x值的增大而减小，当x＞0时，y随x值的增大而增大，
∴C选项不符合题意；
D、y=﹣中k=﹣1，
∴当x＜0时，y随x值的增大而增大，当x＞0时，y随x值的增大而增大，
∴D选项不符合题意．
故选A．
【点评】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质以及反比例函数的性质，根据一次（二次、反比例）函数的性质，逐一分析四个选项中y与x之间的增减性是解题的关键．　
【考点】二次函数的性质．
【分析】把a=1，x=﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△=8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=1判断二次函数的增减性．
解：A．∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；
B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；
C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；
D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；
故选D．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．　
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据矩形的性质得到，CB∥x轴，AB∥y轴，于是得到D（6，1），E（，4），根据勾股定理得到ED==，连接BB′，交ED于F，过B′作B′G⊥BC于G，根据轴对称的性质得到BF=B′F，BB′⊥ED求得BB′=，设EG=x，则BG=﹣x根据勾股定理即可得到结论．
解：∵矩形OABC，
∴CB∥x轴，AB∥y轴，
∵点B坐标为（6，4），
∴D的横坐标为6，E的纵坐标为4，
∵D，E在反比例函数y=的图象上，
∴D（6，1），E（，4），
∴BE=6﹣=，BD=4﹣1=3，
∴ED==，
连接BB′，交ED于F，过B′作B′G⊥BC于G，
∵B，B′关于ED对称，
∴BF=B′F，BB′⊥ED，
∴BF?ED=BE?BD，
即BF=3×，
∴BF=，
∴BB′=，
设EG=x，则BG=﹣x，
∵BB′2﹣BG2=B′G2=EB′2﹣GE2，
∴（）2﹣（﹣x）2=（）2﹣x2，
∴x=，
∴EG=，
∴CG=，
∴B′G=，
∴B′（，﹣），
∴k=﹣．
故选B．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；锐角三角函数的定义．
【分析】由题意得：△AEF≌△DEF，故∠EDF=∠A；由三角形的内角和定理及平角的知识问题即可解决．
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴∠A=∠B，
由折叠的性质得到：△AEF≌△DEF，
∴∠EDF=∠A，
∴∠EDF=∠B，
∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°，
∴∠CDE=∠BFD．
又∵AE=DE=3，
∴CE=4﹣3=1，
∴在直角△ECD中，sin∠CDE==．
故选：A．
【点评】主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、三角形的内角和定理等知识来解决问题．
、填空题
【考点】相似图形
【分析】由题意一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，根据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解．
解：∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，
∴扩大后的三角形与原三角形相似，
∵相似三角形的周长的比等于相似比，
∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍，
故答案为：5．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的图象的顶点在y轴上，则b=0，进而得出答案．
解：由题意可得：y=x2（答案不唯一）．
故答案为：y=x2（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出b的值是解题关键．
【考点】圆锥的计算
【分析】首先求得高CD的长，然后根据圆锥的侧面积的计算方法，即可求解．
解：过点C作CD⊥AB于点D，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴AB=AC=4，∴CD=2，以CD为半径的圆的周长是：4π．
故直线旋转一周则所得的几何体得表面积是：2××4π×2=8π．
故答案为：8π．
【点睛】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确确定旋转后的图形得出以CD为半径的圆的弧长是解题的关键．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点
【分析】由于抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c，从而得到抛物线y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c与x轴的两交点坐标为（﹣2，0），（5，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题得到一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解．
解：关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，
把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c，
因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），
所以抛物线y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c与x轴的两交点坐标为（﹣2，0），（5，0），
所以一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝5．
故答案为x1＝﹣2，x2＝5．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】连接O，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，由AB经过原点，则A与B关于原点对称，再由BE⊥AE，AE为∠BAC的平分线，
可得AD∥OE，进而可得S△ACE＝S△AOC，设点A（m，），由已知条件AC＝3DC，DH∥AF，可得3DH＝AF，则点D（3m，），证明△DHC∽△AGD，得到S△HDC＝S△ADG，所以S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC＝k++＝12，即可求解，
解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，
∵过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE＝∠AEO，
∴AD∥OE，
∴S△ACE＝S△AOC，
∵AC＝3DC，△ADE的面积为8，
∴S△ACE＝S△AOC＝12，
设点A（m，），
∵AC＝3DC，DH∥AF，
∴3DH＝AF，
∴D（3m，），
∵CH∥GD，AG∥DH，
∴△DHC∽△AGD，
∴S△HDC＝S△ADG，
∵S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC＝k+（DH+AF）×FH+S△HDC＝k+×2m+＝k++＝12，
∴2k＝12，
∴k＝6，
故答案为6，
【点评】本题考查反比例函数k的意义，借助直角三角形和角平分线，将△ACE的面积转化为△AOC的面积是解题的关键．
【考点】正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形．
【分析】连接CH，可知△CFH≌△CDH（HL），故可求∠DCH的度数；根据三角函数定义求解．
解：连接CH．
∵四边形ABCD，四边形EFCG都是正方形，且正方形ABCD绕点C旋转后得到正方形EFCG，
∴∠F=∠D=90°，
∴△CFH与△CDH都是直角三角形，
在Rt△CFH与Rt△CDH中，
∵，
∴△CFH≌△CDH（HL）．
∴∠DCH=∠DCF=（90°﹣30°）=30°．
在Rt△CDH中，CD=3，
∴DH=tan∠DCH×CD=．
故答案为：．
【点评】此题主要考查旋转变换的性质及三角函数的定义，作出辅助线是关键．
、解答题
【考点】 作图—应用与设计作图； 勾股定理； 平行四边形的判定； 解直角三角形．
【分析】（1）因为AB为底、面积为12的等腰△ABC，所以高为4，点C在线段AB的垂直平分线上，由此即可画出图形；
（2）扇形根据tan∠EAB=的值确定点E的位置，由此即可解决问题，利用勾股定理计算CD的长；
解：（1）△ABC如图所示；
（2）平行四边形ABDE如图所示，CD==．
【点评】本题考查-应用与作图设计、勾股定理、等腰三角形的性质和判定、平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．　
【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；切线的性质．
【分析】（1）由平行线的性质得出EF⊥AD，由线段垂直平分线的性质得出FA=FD，由等腰三角形的性质得出∠FAD=∠D，证出∠DCB=∠G，由对顶角相等得出∠GCF=∠G，即可得出结论；
（2）连接AC，由圆周角定理证出AC是⊙O的直径，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，证出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，证明△ABC∽△GBA，得出对应边成比例，即可得出结论．
证明：（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，
∴EF⊥AD，
∵E是AD的中点，
∴FA=FD，
∴∠FAD=∠D，
∵GB⊥AB，
∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，
∴∠DCB=∠G，
∵∠DCB=∠GCF，
∴∠GCF=∠G
，∴FC=FG；
（2）连接AC，如图所示：
∵AB⊥BG，
∴AC是⊙O的直径，
∵FD是⊙O的切线，切点为C，
∴∠DCB=∠CAB，
∵∠DCB=∠G，
∴∠CAB=∠G，
∵∠CBA=∠GBA=90°，
∴△ABC∽△GBA，
∴=，
∴AB2=BC?BG．
【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆周角定理和弦切角定理，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．　
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）根据表中数据可知应选择二次函数，再根据待定系数法求解即可；（2）先把（1）中求得的函数关系式化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可；（3）根据“实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm”可得“植物每天高度增长量超过25mm”，再根据表中数据的特征即可作出判断.
选择二次函数，设，得，
解得
∴关于的函数关系式是．
不选另外两个函数的理由：
注意到点（0，49）不可能在任何反比例函数图象上，所以不是的反比例函数；点（－4，41），（－2，49），（2，41）不在同一直线上，所以不是的一次函数．
（2）由（1），得，∴，
∵，∴当时，有最大值为50．
即当温度为－1℃时，这种植物每天高度增长量最大．
（3）．
【点评】此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.
【考点】切线的性质，垂径定理，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质
【分析】（1）首先证明∠DAE=2α，在Rt△ADE中，根据两锐角互余，可知2α+β=90°，（0°＜α＜45°）；
（2）连接OF交AC于O′，连接CF．只要证明四边形AFCO是菱形，推出△AFO是等边三角形即可解决问题；
解：（1）连接OC．
∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAE=2α，
∵∠D=90°，
∴∠DAE+∠E=90°，
∴2α+β=90°（0°＜α＜45°）．
（2）连接OF交AC于O′，连接CF．
∵AO′=CO′，
∴AC⊥OF，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA=∠CAO，
∴CF∥OA，∵AF∥OC，
∴四边形AFCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形AFCO是菱形，
∴AF=AO=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠FAO=2α=60°，
∴α=30°，
∵2α+β=90°，
∴β=30°，
∴α=β=30°．
【点评】本题考查切线的性质、垂径定理、菱形的判定．等边三角形的判定和性质等知识，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．　
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）将点A坐标代入y=可得反比例函数解析式，据此求得点B坐标，根据A．B两点坐标可得直线解析式；
（2）根据点B坐标可得底边BC=2，由A．B两点的横坐标可得BC边上的高，据此可得．
解：（1）将点A（2，4）代入y=，得：m=8，
则反比例函数解析式为y=，
当x=﹣4时，y=﹣2，
则点B（﹣4，﹣2），
将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入y=kx+b，
得：，
解得：，
则一次函数解析式为y=x+2；
（2）由题意知BC=2，
则△ACB的面积=×2×6=6．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合问题，解题的关键是根据待定系数求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于中等题型．　
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】（1）过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；
（2）在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由BE+DE求出BD的长，即为教学楼的高．
解：（1）过点C作CE⊥BD，则有∠DCE=18°，∠BCE=20°，
∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°；
（2）由题意得：CE=AB=30m，
在Rt△CBE中，BE=CE?tan20°≈10.80m，
在Rt△CDE中，DE=CD?tan18°≈9.60m，
∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m，
则教学楼的高约为20.4m．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．　
【考点】正方形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与几何变换
【分析】(1)根据正方形的性质得出点B、C的坐标，再利用待定系数法进行求解即可；
(2)根据点C坐标可得向下平行的单位长度，即可得平移后的抛物线解析式，令y=0，解方程求得x的值，继而可得答案.
(1)∵正方形的边长为2，
∴点B、C的坐标分别为(2，2)，(0，2)，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为；
(2)因为C(0，2)，
所以将该二次函数图象向下平移2个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，
此时抛物线的解析式为：，
令y=0，则，
解得，
所以图象与x轴的另一个交点的坐标为(2，0)．
【点睛】本题考查了正方形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的平移，解一元二次方程等，利用待定系数法求出二次函数的解析式是解本题的关键.
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．
（2）我们先看当时能得出什么条件，由于这两个三角形在AC边上的高相等，那么他们的底边的比就应该是面积比，由此可得出CQ：AC=1：3，那么CQ=10cm，此时时间x正好是（1）的结果，那么此时PQ∥BC，由此可根据平行这个特殊条件，得出三角形APQ和ABC的面积比，然后再根据三角形PBQ的面积=三角形ABC的面积﹣三角形APQ的面积﹣三角形BQC的面积来得出三角形BPQ和三角形ABC的面积比．
（3）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值．
解：（1）由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30﹣3x
∴=
∴x=
（2）∵S△BCQ：S△ABC=1：3
∴CQ：AC=1：3，CQ=10cm
∴时间用了秒，AP=cm，
∵由（1）知，此时PQ平行于BC
∴△APQ∽△ABC，相似比为，
∴S△APQ：S△ABC=4：9
∴四边形PQCB与三角形ABC面积比为5：9，即S四边形PQCB=S△ABC，
又∵S△BCQ：S△ABC=1：3，即S△BCQ=S△ABC，
∴S△BPQ=S四边形PQCB﹣S△BCQ═S△ABC﹣S△ABC=S△ABC，
∴S△BPQ：S△ABC=2：9=
（3）假设两三角形可以相似
情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，即有=解得x=，
经检验，x=是原分式方程的解．
此时AP=cm，
情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，即有=解得x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解．
此时AP=20cm．
综上所述，AP=cm或AP=20cm．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键．