《第三章--数系的扩充与复数的引入》单元设计
注:本单元设计分为单元学前设计、单元教学设计和单元巩固设计
【单元学前设计】
1、知识体系梳理
本章共分2节,本章知识如下:
2、本单元地位
《课标》将复数作为数系扩充的结果引入,体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用,以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化.这部分内容的学习,有助于学生体会理论产生与发展的过程,认识到数学产生和发展既有来自外部的动力,也有来自数学内部的动力,从而形成正确的数学观;有助于发展学生的全新意识和创新能力.
复数的内容是高中数学课程中的传统内容.对于复数,《课标》要求在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以数与现实世界的联系;理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件;了解复数的代数表示法及其几何意义;能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
3、学习本单元新知识应具备基础知识测试
【单元教学设计】
一、单元知识点:
1.复数的概念:
(1)虚数单位i;
(2)复数的代数形式z=a+bi,(a, b∈R);
(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
2.复数集
3.复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成,实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部,1与i分别是实数单位和虚数单位,当b=0时,a+bi就是实数,当b≠0时,a+bi是虚数,其中a=0且b≠0时称为纯虚数。
应特别注意,a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件,若a=b=0,则a+bi=0是实数。
4.复数的四则运算
若两个复数z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,
(1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i;
(2)减法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i;
(3)乘法:z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i;
(4)除法:;
(5)四则运算的交换率、结合率;分配率都适合于复数的情况。
(6)特殊复数的运算:
① (n为整数)的周期性运算; ②(1±i)2 =±2i;
③ 若ω=-+i,则ω3=1,1+ω+ω2=0.
5.共轭复数与复数的模
(1)若z=a+bi,则,为实数,为纯虚数(b≠0).
(2)复数z=a+bi的模|Z|=, 且=a2+b2.
6.根据两个复数相等的定义,设a, b, c, d∈R,两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di. 由这个定义得到a+bi=0.
两个复数不能比较大小,只能由定义判断它们相等或不相等。
7.复数a+bi的共轭复数是a-bi,若两复数是共轭复数,则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0,则实数a与实数a共轭,表示点落在实轴上。
8.复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别,最主要的是在运算中将i2=-1结合到实际运算过程中去。
如(a+bi)(a-bi)= a2+b2
9.复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。
由于两个共轭复数的积是实数,因此复数的除法可以通过将分母实化得到,即.
10.复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。
2、高考考点:??
1.复数的基本概念、复数的四则运算
2.复数的相等条件
是高考的必考内容,考题形式是选择题或填空题,是基础题。(基本概念、代数四则运算、复数相等的条件)
三、教学内容设计、教学学时安排
全章共安排3个小节,教学时间约需6课时,具体内容和课时分配如下:
3.1 数系的扩充和复数的概念 约2课时
3.2 复数代数形式的四则运算 约2课时
4、高考真题
1.设复数z满足(1-i)z=2 i,则z= ( )
A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i
2. ( )
A. B. C. D.
3.如图,在复平面内,点表示复数,则图中表示的共轭复数的点是( )
A. B.
C. D.
4.已知i是虚数单位,则(-1+i)(2-i)= ( )
A.-3+i B.-1+3i C.-3+3i D.-1+i
5. ( )
A. B. C. D.
6. ( )
A. B. C. D.
7.已知i是虚数单位,则(2+i)(3+i)= ( )
A.5-5i B.7-5i
C.5+5i D.7+5i
8.复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为( )
A.2+i B.2-i C. 5+i D.5-i
9.若复数满足,则的虚部为( )
A. B. C. D.
10.复数,则( )
A.25 B. C.5 D.
11. 设z1, z2是复数, 则下列命题中的假命题是 ( )
A. 若, 则 B. 若, 则
C. 若 则 D. 若 则
12.设z是复数, 则下列命题中的假命题是 ( )
A. 若, 则z是实数 B. 若, 则z是虚数
C. 若z是虚数, 则 D. 若z是纯虚数, 则
13.复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
14.已知集合M={1,2,zi},i为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数z= ( )
A. -2i B. 2i C. -4i D.4i
15.复数z=i(-2-i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
16.设是虚数单位,是复数的共轭复数,若 ,则= ( )
A. B. C. D.
17.设i是虚数单位,若复数是纯虚数,则a的值为 ( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
18.在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
19.在复平面内,复数i(2-i)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
20.已知复数z的共轭复数 (i为虚数单位),则z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
21.复数的在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
22.若复数z满足iz=2+4i,则在复平面内,z对应的点的坐标是( )
A. (2,4) B.(2,-4) C. (4,-2) D(4,2)
23.若,,则复数的模是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
24.复数的模为( )
25.在复平面内,复数z=(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
二、填空题
26.已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi,则a+bi= .
27.已知复数(是虚数单位),则
28.设m∈R,m2+m-2+( m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m= .
29. 为虚数单位,设复数,在复平面内对应的点关于原点对称,若,则 .
30.设(为虚数单位),则复数的模为
【单元巩固设计】
【单元基础训练题】
1已知复数,则( )
A. B. C. D.4
2复数等于( )
A. B. C. D.
3若复数满足方程,则= ( )
A. B. C. D.
4已知复数满足,则( )
A. B. C. D.
5若(为虚数单位),则使的值可能是( )
A. B. C. D.
6.在复平面内,向量对应的复数是,向量对应的复数是,则向量对应的复数为 ( )
A. B. C. D.
7.若满足,则的值为( )
A. B. C. D.
8、已知复数z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2-z1在复平面内所表示的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9、在复平面上复数-3-2i,-4+5i,2+i所对应的点分别是A、B、C,则平行四边形ABCD的对角线BD所对应的复数是( )
A.5-9i B.-5-3i C.7-11i D.-7+11i
10、计算(-
11、计算:(2x+3yi)-(3x-2yi)+(y-2xi)-3xi.
【单元检测设计】
一.填空题
1.若将复数表示为a + bi(a,b∈R,i是虚数单位)的形式,则a + b = ( )
A.0 B.1 C.–1 D.2
2.若复数是纯虚数(是虚数单位,是实数)则( )
A. 2 B. C. D.
3.已知复数,,则在复平面上对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
4. 复数的共轭复数为 ( )
A.-i B.- C.1-2i D.1+2i
5、复数等于( )
A.2 B.-2 C.2i D.-2i
6.如果复数的实部与虚部是互为相反数,则的值等于( )
A. B. C. D.
7. 已知复数z=1-2i,则 =( )
(A) 1+i (B) 1-i (C) -1+i (D) -1-i
8.若复数(为虚数单位)是纯虚数,则实数( )
A. B. C. D.
9. 复数的实部与虚部之和为 ( )
A. -1 B. -2 C. 1 D. 2
10、已知复数,则 ( )
A. B. C. D.
二.填空题
11、若复数是纯虚数,则= ______
12、复数=_____________.
13. 复数的虚部为__________.
14、定义运算复数z满足则z= ;
三.解答题
1. 设复数满足,且是纯虚数,求.
2. 已知复数满足: 求的值.