人教版八年级数学上册第13章轴对称教案
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册第13章轴对称教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 736.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-30 09:23:41 | ||
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文档简介
第十三章 轴对称
13．1 轴对称
教学目标：
1．让学生知道轴对称图形和两个图形关于某直线对称区别．
2．会找轴对称图形的对称轴，对应点．
3．懂得并应用轴对称的性质．
重点难点：
重点
强调轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念．
难点
轴对称图形和两个图形关于某直线对称的区别和联系．
教学设计：
一、作品展示
1．全体学生展示课前的折纸剪纸三角形作品．
2．小组活动：
(1通过观察PPT图片关于轴对称图片。
(2)这些 (图案)有什么共同的特点？
二、概念形成过程
(一)轴对称图形
1．让学生充分交流合作的基础上，探索“轴对称图形”的概念，并让学生尝试给它下定义，形成“轴对称图形”的定义．
2．分析轴对称图形的特点，准确找到对称轴．
3．试举几个在现实生活中你所见到的轴对称例子．
4. 指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并把它们画出来．
(二)两个图形关于某条直线对称
1．观察：图中的每对图形有什么共同的特点？
2．两个图形成轴对称的定义．
观察右图：
如果把△A′B′C′沿直线l对折后能与△ABC重合，称△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，简称“轴对称”，（两个图形）
对应点A与点A，点B与B′对应，点C与C′对应，
直线l叫做这两个图形对称轴．
3．学生讨论：轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与共同点。
(三)轴对称的性质
观察上图，线段AA′与直线MN有怎样的位置关系？你能说明理由吗？
学生讨论并说出如下关系：（ PA＝PA′，∠MPA＝∠MPA′＝90°）
点B和点B′，点C和点C′是否有同样的关系？你能用语言归纳上述发现的规律吗？
结合学生发表的观点。
对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．在这个基础上，教师给出线段的垂直平分线的概念，然而把上述规律概括成图形轴对称的性质．
4.．如图，△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
从而得出：类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一个对应点所连线段的垂直平分线．
三、归纳小结
主要围绕下列几个问题：
(1)概念：轴对称图形，两个图形关于某条直线对称，对称轴，对称点；
(2)找轴对称图形的对称轴．
四、布置作业
1．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称．
(1)画出直线EF；
(2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB″与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系．
教学反思
第2课时 画对称轴
教学目标：
会画轴对称图形的对称轴．
重点难点：
重点
轴对称图形的对称轴的画法．
难点
轴对称图形的对称轴的画法．
教学设计：
一、提出问题
如果两个平面图形成轴对称，你能用什么办法验证？不经过折叠，你能用什么方法画出它的对称轴？
二、探究新知
我们已经学过，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，所以我们只要找到两个图形的一对对应点，然后画出以对应点为端点的线段的垂直平分线即可，如何作线段的垂直平分线呢？
例1 如图(1)，已知点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
分析：我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴，为此作出到点A，B距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线．
教师具体分析画法、写出画法，根据画法作出图形．
学生模仿教师的画法，边写画法，边画图．
作法：如图(2)．
(1)分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧(想一想，为什么)，两弧相交于C，D两点；
(2)作直线CD.
CD就是所求作的直线．
这个作法实际上就是线段的垂直平分线的尺规作图．
教师引导学生思考：
(1)在作法中为什么有CA＝CB，DA＝DB?
(2)可以用这种方法找线段的中点吗？四等分点呢？
三、举例分析
例2 如图(1)，△ABC和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请画出它的对称轴．
教学方法：启发学生把问题转化为已解决问题，只要画出点A、点A′连线的垂直平分线即可，如图(2)．
例3 图(1)是一个五角星，请画出它的对称轴．
教学方法：引导学生思考五角星有几条对称轴，点A可以和哪些点成对应点？最后化归到例2，由学生自己完成．
四、巩固练习
教材第64页练习第1，2，3题．
五、课堂小结
本节课你有什么收获？还有哪些不懂的地方吗？
六、布置作业
教材习题13.1第7，8题．
教学反思
13．2 画轴对称图形(2课时)
第1课时 作轴对称图形
教学目标：
通过实际操作，掌握作轴对称图形的方法．
重点难点：
重点
能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形．
难点
较复杂图形的轴对称图形的画法．
教学设计：
一、问题导入
我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质．如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法．
二、探究新知
[活动] 在一张半透明纸的左边部分，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印．这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在的直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，请你再将一个图形做一做，看看能否得到同样的结论．
认真观察，左脚印和右脚印有什么关系？(成轴对称)
对称轴是折痕所在的直线，即直线l，它与图中的线段PP′是什么关系？(直线l垂直平分线段PP′)
[思考1] 如何画一个点的对称图形？
例1 画出点A关于直线l的对称点A′.
画法：(1)过点A作对称轴l的垂线，垂足为B；
(2)延长AB到A′，使得BA′＝AB.点A′就是点A关于直线l的对称点．
[思考2] 如何画一条直线的对称图形？
例2 已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段．
画法：(1)画出点A关于直线l的对称点A′.
(2)画出点B关于直线l的对称点B′.
(3)连接点A′和点B′成线段A′B′.线段A′B′即为所求．
[思考3] 如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？
例3 如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形．
画法：(1)过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′＝OA，A′就是点A关于直线l的对称点．
(2)同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B′，C′.
(3)连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求．
三、课堂练习
1．教材第68页练习第1，2题
2．下列图形中，点P与P′关于直线MN对称的图形是( )
四、小结与作业
1．归纳：几何图形都可以看成由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段的端点)，连接这些对称点，就可以得到图形的对称图形．
2．作业：教材习题13.2第1题．
教学反思
第2课时 用坐标表示轴对称
教学目标：
1．能在直角坐标系中画点关于坐标轴的对称点．
2．能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，表示关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标．
重点难点：
重点
用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标．
难点
找对称点的坐标之间的关系．
教学设计：
一、问题导入
教材图13.2－3是一张老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？
二、探究新知
【探究1】 (1)在直角坐标系中画出下列已知点A(2，－3)，B(－1，2)，C(－6，－5)，D(3，5)，E(4，0)，F(0，－3)；
(2)画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点，并填写表格；
(3)请你仔细观察点的坐标，你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗？
(4)请你想办法检验你所发现的规律的正确性，说说你是如何检验的．
已知点 A(2，－3) B(－1，2) C(－6，－5) D(3，5) E(4，0) F(0，－3)
关于x轴
的对称点
关于y轴
的对称点
【归纳】 关于x轴对称的点的坐标规律是：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
【探究2】 在同一平面直角坐标系内描出以上各点关于y轴的对称点并写出坐标，观察关于y轴对称的两个点的坐标有什么规律？
【归纳】 关于y轴对称的点的坐标规律是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【探究3】 按以上规律，说出点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标，再说出P1关于y轴的对称点P2坐标．
观察点P经过两次轴对称所得点P2的坐标有什么规律？
【归纳】 一个点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点坐标规律是：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．在以后学了“中心对称”后，两点被称为关于原点对称．
三、举例分析
【例1】 已知A(2，a)，B(－b，4)，分别根据下列条件求a，b的值．
(1)A，B关于y轴对称；
(2)A，B关于x轴对称；
(3)A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称．
【解析】 (1)A，B关于y轴对称，说明纵坐标相同，横坐标相反，a＝4，b＝2；
(2)A，B关于x轴对称，说明横坐标相同，纵坐标相反，a＝－4，b＝－2；
(3)A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称，说明A，B经过x轴、y轴两次对称变换，即关于原点对称，横、纵坐标各互为相反数，a＝－4，b＝2.
【例2】 如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．
学生独立完成，教师用多媒体出示出正确答案并讲评．
四、课堂巩固
1．平面直角坐标系中，点P(4，－5)关于x轴的对称点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知点P(－2，3)关于y轴对称点为Q(a，b)，则a＋b的值为( )
A．1 B．－1 C．5 D．－5
3．点P(a，b)关于x轴对称的点为P1，点P1关于y轴的对称点为P2，则P2的坐标为( )
A．(a，b) B．(a，－b)
C．(－a，b) D．(－a，－b)
4．若点(a，b)与点(m，n)满足a＋m＝0，b－n＝0，则这两点关于( )对称．
A．x轴 B．y轴
C．x轴或y轴 D．不确定
五、拓展思维
如图，点A(1，4)，B(4，1)，l为第一、三象限角∠xOy的平分线．
(1)求证：l垂直平分AB；
(2)A，B关于l成轴对称吗？
(3)如果点A，B的坐标分别为(6，8)和(8，6)，它们还关于l对称吗？
(4)如果你发现了对称点的坐标规律，写出点P(m，n)关于第一、三象限角平分线的对称点Q的坐标．
六、小结与作业
小结：(1)点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段之间的关系来求．
(2)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)即横坐标互为相反数，纵坐标相等．
作业：教材习题13.2第3，4题．
教学反思
13．3 等腰三角形
13．3.1 等腰三角形(2课时)
第1课时 等腰三角形的性质和应用
教学目标：
1．理解并掌握等腰三角形的性质．
2．运用等腰三角形的性质进行证明和计算．
3．观察等腰三角形的对称性、发展形象思维．
重点难点：
重点
等腰三角形的性质及应用．
难点
等腰三角形的性质的证明．
教学设计：
一、情境导入
【活动1】
教师预先做出各种几何图形，包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等腰三角形、等边三角形等．
让同学们抢答哪些是轴对称图形，提问什么是轴对称图形，什么样的三角形才是轴对称图形．引入今天所要讲的课题——等腰三角形．
我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形．
二、探究新知
如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？
学生活动：学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB＝AC.
教师活动：让学生回顾等腰三角形的概念：
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．如下图．
在△ABC中，若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形，AB，AC是腰，BC是底边，∠A是顶角，∠B和∠C是底角．
【活动2】
把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段，填入下表：
重合的线段 重合的角
从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？
学生活动：学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论交流，从表中总结等腰三角形的性质．
教师活动：引导学生归纳．
性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；
性质2 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．
【活动3】
你能用所学知识验证上述性质吗？
如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.
学生活动：学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法，若证∠B＝∠C，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可．
于是可以作辅助线构造两个三角形，作BC边上的中线AD，证明△ABD和△ACD全等即可，根据条件利用“边边边”可以证明．
教师活动：让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性．
证明：作BC边上的中线AD，如图．
在△ABD和△ACD中，
所以△ABD≌△ACD(SSS)，所以∠B＝∠C.
这样，就证明了性质1.
类比性质1的证明你能证明性质2吗？
由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝90°.
从而AD⊥BC，这也就证明了等腰△ABC底边上的中线平分顶角∠A并垂直于底边BC.
添加辅助线的方法多样，让学生再去讨论、交流，即用类似的方法可以证明性质2.
三、应用提高
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
学生活动：小组合作，分组讨论、交流．
教师活动：引导学生分析图形中关于角的数量关系．(三角形的内角、外角，等腰三角形的底角)
发现：(1)∠ABC＝∠ACB＝∠CDB＝∠A＋∠ABD；
(2)∠A＝∠ABD；
(3)∠A＋2∠C＝180°.
若设∠A＝x，则有x＋4x＝180°，得到x＝36°，进一步得到两个底角的度数．
四、小结与作业
请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？
师生活动：学生思考后，用自己的语言归纳，教师适时点评，并关注以下几个问题：
小结：(1)等边对等角；(2)等腰三角形的三线合一；(3)等腰三角形常用辅助线作法(作底边上的高、作底边上的中线、作顶角的平分线)．
作业：教材习题13.3第1，3，7题．
教学反思
第2课时 等腰三角形的判定
教学目标：
1．理解并掌握等腰三角形的判定方法．
2．运用等腰三角形的判定进行证明和计算．
重点难点：
重点
等腰三角形的判定方法．
难点
等腰三角形的判定方法的证明．
教学设计：
一、提出问题
出示教材第77页“思考”．
学生思考，回答后教师提问：
在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
学生猜想它们所对的边相等．
即如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
如何证明？
二、解决问题
教师引导提示，学生根据提示画出图形，并写出已知、求证．
已知：在△ABC中，∠B＝∠C.
求证：AB＝AC.
与学生一起回顾等腰三角形中常添加的辅助线：高、顶角平分线、底边上的中线．让学生逐一尝试，发现可以作AD⊥BC，或AD平分∠BAC，但不能作BC边上的中线．
学生口头证明后，选一种方法写出证明过程．
如图，在△ABC中，∠B＝∠C，作△ABC的角平分线AD.
在△BAD和△CAD中，
∴△BAD≌△CAD(AAS)，∴AB＝AC.
归纳等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称：“等角对等边”．
三、应用举例
1．出示教材例2.
引导学生根据命题画出图形，利用角平分线的性质及“等边对等角”来证明．
学生讨论后，自己完成证明过程．
例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC.(如图所示)
求证：AB＝AC.
分析：要证明AB＝AC.可先证明∠B＝∠C.因为∠1＝∠2，所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B(______________________)，
∠2＝∠C(______________________)．
而已知∠1＝∠2，所以
∠B＝∠C.
∴AB＝AC(______________)．
2．出示教材例3.
让学生自学例3.
例3 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．
作法：(1)作线段AB＝a.
(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.
(3)在MN上取一点C，使DC＝h.
(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．
四、课堂小结
1．等腰三角形的判定方法是什么？
2．等腰三角形的性质与判定既有区别又有联系，你能总结一下吗？
五、布置作业
教材习题13.3第2，8，10题．
13．3.2 等边三角形(2课时)
第1课时 等边三角形的性质和判定
教学目标：
1．掌握等边三角形的定义．
2．理解等边三角形的性质与判定．
重点难点：
重点
等边三角形的性质和判定．
难点
等边三角形的性质的应用．
教学设计：
一、问题引入
在等腰三角形中，如果底边与腰相等，会得到什么结论？
二、自主探究
1．等边三角形的定义
底边和腰相等的等腰三角形叫做等边三角形．
2．思考：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？
边：三条边都相等．
角：三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
3．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，你能得到AB＝BC＝CA吗？为什么？
你从中能得到什么结论？
三个角都相等的三角形是等边三角形．
4．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)如果把∠A＝60°改为∠B＝60°或∠C＝60°，那么结论还成立吗？
(3)由上你可以得到什么结论？
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
三、应用举例
1．教材例4.
例4 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C.
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠A＝∠ADE＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形．
2．归纳：在判定三角形是等边三角形时：
(1)若三角形是一般三角形，只要找三个角相等或三条边相等；
(2)若三角形是等腰三角形，一般是找一个角等于60°.
四、巩固练习
教材第80页练习第1，2题．
补充题：
1． 如图，已知等边△ABC，点D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF.求证：△DEF是等边三角形．
2．如图，已知等边△ABC，点D是AC的中点，且CE＝CD，DF⊥BE.求证：BF＝EF.
,第2题图)
教师提出要求，补充题1，2可以让学生板书过程．
五、总结提高
小结：通过本节课的学习，你了解到了等边三角形有哪些特点？
怎样判定一个三角形是等边三角形？
布置作业：教材习题13.3第12，14题．
教学反思
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
教学目标：
掌握含30°角的直角三角形的性质与应用．
重点难点：
重点
含30°角的直角三角形的性质．
难点
含30°角的直角三角形性质的推导．
教学设计：
一、情境导入
将两个含30°的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找出Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的关系吗？
二、探究新知
由题意可判定△ABD是等边三角形，且AC为边BD上的高，可得BC＝CD＝AB.
教师归纳：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
你能证明这一结论吗？
让学生从以下两个途径探索：
(1)△ABD是等边三角形，AC⊥BD于点C，则∠BAD＝____度，BC＝____BD＝____AB.
(2)在△ABC中，若AC⊥BC，∠A＝30°，则∠B＝____度，延长BC到点D，使BD＝AB，连接AD，则△ABD是等边三角形，BC＝____＝____．
以上结论是直角三角形的性质之一，在以后的证明和计算中经常用到．
思考：逆命题：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”是否成立？
课堂练习
①在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，AB＝4，则BC＝________，∠BCD＝________，BD＝________．
②小明沿倾斜角为30°的山坡从山脚步行到山顶，共走了200 m，求山的高度．
三、举例分析
出示教材例5.
例5 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°.立柱BC，DE要多长？
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，
∴BC＝AB，DE＝AD.
∴BC＝×7.4＝3.7(m)．
又AD＝AB，
∴DE＝AD＝×3.7＝1.85(m)．
答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m.
教师引导学生寻找图中含有30°角的直角三角形，并选择BC，DE所在直角三角形．
由学生口答后，找学生完成板书，其他同学对照．
四、课堂小结
学生小结，教师梳理本节课的知识点，强调含30°的直角三角形性质的应用．
五、布置作业
教材习题13.3第15题．
补充练习：
1．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，求证：AD＝2DC.
2．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝2 cm，求BC的长．
教学反思
13．4 课题学习 最短路径问题
教学目标：
通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短．
重点难点：
重点
应用所学知识解决最短路径问题．
难点
选择合理的方法解决问题．
教学设计：
一、创设情境
多媒体展示：如图，一个圆柱的底面周长为20 cm，高AB为4 cm，BC是底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路径．
这是一个立体图形，要求蚂蚁爬行的最短路径，就是要把圆柱的侧面展开，利用“两点之间，线段最短”求出最短路径．那么怎样求平面图形中的最短路径问题呢？
二、自主探究
探究一：最短路径问题的概念
1．多媒体出示图①和图②，提出问题：
(1)图①中从点A走到点B哪条路最短？(2)图②中点C与直线AB上所有的连线中哪条线最短？
2．教师总结：“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称之为最短路径问题．
探究二：河边饮马问题
多媒体出示问题1：牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人从河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？
提出问题：如果点A和点B分别位于直线的两侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？
思考：如果点A和点B位于直线的同侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？
教师引导学生讨论，明确找点的方法．
让学生对刚才的方法通过逻辑推理的方法加以证明．
教师巡视指导学生的做题情况，有针对性地进行点拨．
探究三：造桥选址问题
多媒体出示问题2.(教材第86页)
提出问题：
(1)根据问题1的探讨你对这道题有什么思路和想法？
(2)这个问题有什么不同？
(3)要保证路径AMNB最短，应该怎样选址？
学生对这个三个问题展开讨论，得出结论：要保证AMNB最短，就是要保证AM＋MN＋NB最小．
尝试选址作出图形．
多媒体展示教材图13.4－7，13.4－8，13.4－9，引导学生分析、观察，让学生根据刚才的分析，完成证明过程．
根据问题1和问题2，你有什么启示？
三、知识拓展
已知长方体的长为2 cm、宽为1 cm、高为4 cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？
[让学生讨论有几种爬行的方法，计算出每种方案中的路程，再进行比较]
四、归纳总结
1．本节课你学到了哪些知识？
2．怎样解决最短路径问题？
教学反思
13．1 轴对称
教学目标：
1．让学生知道轴对称图形和两个图形关于某直线对称区别．
2．会找轴对称图形的对称轴，对应点．
3．懂得并应用轴对称的性质．
重点难点：
重点
强调轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念．
难点
轴对称图形和两个图形关于某直线对称的区别和联系．
教学设计：
一、作品展示
1．全体学生展示课前的折纸剪纸三角形作品．
2．小组活动：
(1通过观察PPT图片关于轴对称图片。
(2)这些 (图案)有什么共同的特点？
二、概念形成过程
(一)轴对称图形
1．让学生充分交流合作的基础上，探索“轴对称图形”的概念，并让学生尝试给它下定义，形成“轴对称图形”的定义．
2．分析轴对称图形的特点，准确找到对称轴．
3．试举几个在现实生活中你所见到的轴对称例子．
4. 指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并把它们画出来．
(二)两个图形关于某条直线对称
1．观察：图中的每对图形有什么共同的特点？
2．两个图形成轴对称的定义．
观察右图：
如果把△A′B′C′沿直线l对折后能与△ABC重合，称△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，简称“轴对称”，（两个图形）
对应点A与点A，点B与B′对应，点C与C′对应，
直线l叫做这两个图形对称轴．
3．学生讨论：轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与共同点。
(三)轴对称的性质
观察上图，线段AA′与直线MN有怎样的位置关系？你能说明理由吗？
学生讨论并说出如下关系：（ PA＝PA′，∠MPA＝∠MPA′＝90°）
点B和点B′，点C和点C′是否有同样的关系？你能用语言归纳上述发现的规律吗？
结合学生发表的观点。
对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．在这个基础上，教师给出线段的垂直平分线的概念，然而把上述规律概括成图形轴对称的性质．
4.．如图，△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
从而得出：类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一个对应点所连线段的垂直平分线．
三、归纳小结
主要围绕下列几个问题：
(1)概念：轴对称图形，两个图形关于某条直线对称，对称轴，对称点；
(2)找轴对称图形的对称轴．
四、布置作业
1．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称．
(1)画出直线EF；
(2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB″与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系．
教学反思
第2课时 画对称轴
教学目标：
会画轴对称图形的对称轴．
重点难点：
重点
轴对称图形的对称轴的画法．
难点
轴对称图形的对称轴的画法．
教学设计：
一、提出问题
如果两个平面图形成轴对称，你能用什么办法验证？不经过折叠，你能用什么方法画出它的对称轴？
二、探究新知
我们已经学过，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，所以我们只要找到两个图形的一对对应点，然后画出以对应点为端点的线段的垂直平分线即可，如何作线段的垂直平分线呢？
例1 如图(1)，已知点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
分析：我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴，为此作出到点A，B距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线．
教师具体分析画法、写出画法，根据画法作出图形．
学生模仿教师的画法，边写画法，边画图．
作法：如图(2)．
(1)分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧(想一想，为什么)，两弧相交于C，D两点；
(2)作直线CD.
CD就是所求作的直线．
这个作法实际上就是线段的垂直平分线的尺规作图．
教师引导学生思考：
(1)在作法中为什么有CA＝CB，DA＝DB?
(2)可以用这种方法找线段的中点吗？四等分点呢？
三、举例分析
例2 如图(1)，△ABC和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请画出它的对称轴．
教学方法：启发学生把问题转化为已解决问题，只要画出点A、点A′连线的垂直平分线即可，如图(2)．
例3 图(1)是一个五角星，请画出它的对称轴．
教学方法：引导学生思考五角星有几条对称轴，点A可以和哪些点成对应点？最后化归到例2，由学生自己完成．
四、巩固练习
教材第64页练习第1，2，3题．
五、课堂小结
本节课你有什么收获？还有哪些不懂的地方吗？
六、布置作业
教材习题13.1第7，8题．
教学反思
13．2 画轴对称图形(2课时)
第1课时 作轴对称图形
教学目标：
通过实际操作，掌握作轴对称图形的方法．
重点难点：
重点
能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形．
难点
较复杂图形的轴对称图形的画法．
教学设计：
一、问题导入
我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质．如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法．
二、探究新知
[活动] 在一张半透明纸的左边部分，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印．这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在的直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，请你再将一个图形做一做，看看能否得到同样的结论．
认真观察，左脚印和右脚印有什么关系？(成轴对称)
对称轴是折痕所在的直线，即直线l，它与图中的线段PP′是什么关系？(直线l垂直平分线段PP′)
[思考1] 如何画一个点的对称图形？
例1 画出点A关于直线l的对称点A′.
画法：(1)过点A作对称轴l的垂线，垂足为B；
(2)延长AB到A′，使得BA′＝AB.点A′就是点A关于直线l的对称点．
[思考2] 如何画一条直线的对称图形？
例2 已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段．
画法：(1)画出点A关于直线l的对称点A′.
(2)画出点B关于直线l的对称点B′.
(3)连接点A′和点B′成线段A′B′.线段A′B′即为所求．
[思考3] 如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？
例3 如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形．
画法：(1)过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′＝OA，A′就是点A关于直线l的对称点．
(2)同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B′，C′.
(3)连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求．
三、课堂练习
1．教材第68页练习第1，2题
2．下列图形中，点P与P′关于直线MN对称的图形是( )
四、小结与作业
1．归纳：几何图形都可以看成由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段的端点)，连接这些对称点，就可以得到图形的对称图形．
2．作业：教材习题13.2第1题．
教学反思
第2课时 用坐标表示轴对称
教学目标：
1．能在直角坐标系中画点关于坐标轴的对称点．
2．能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，表示关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标．
重点难点：
重点
用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标．
难点
找对称点的坐标之间的关系．
教学设计：
一、问题导入
教材图13.2－3是一张老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？
二、探究新知
【探究1】 (1)在直角坐标系中画出下列已知点A(2，－3)，B(－1，2)，C(－6，－5)，D(3，5)，E(4，0)，F(0，－3)；
(2)画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点，并填写表格；
(3)请你仔细观察点的坐标，你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗？
(4)请你想办法检验你所发现的规律的正确性，说说你是如何检验的．
已知点 A(2，－3) B(－1，2) C(－6，－5) D(3，5) E(4，0) F(0，－3)
关于x轴
的对称点
关于y轴
的对称点
【归纳】 关于x轴对称的点的坐标规律是：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
【探究2】 在同一平面直角坐标系内描出以上各点关于y轴的对称点并写出坐标，观察关于y轴对称的两个点的坐标有什么规律？
【归纳】 关于y轴对称的点的坐标规律是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【探究3】 按以上规律，说出点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标，再说出P1关于y轴的对称点P2坐标．
观察点P经过两次轴对称所得点P2的坐标有什么规律？
【归纳】 一个点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点坐标规律是：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．在以后学了“中心对称”后，两点被称为关于原点对称．
三、举例分析
【例1】 已知A(2，a)，B(－b，4)，分别根据下列条件求a，b的值．
(1)A，B关于y轴对称；
(2)A，B关于x轴对称；
(3)A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称．
【解析】 (1)A，B关于y轴对称，说明纵坐标相同，横坐标相反，a＝4，b＝2；
(2)A，B关于x轴对称，说明横坐标相同，纵坐标相反，a＝－4，b＝－2；
(3)A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称，说明A，B经过x轴、y轴两次对称变换，即关于原点对称，横、纵坐标各互为相反数，a＝－4，b＝2.
【例2】 如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．
学生独立完成，教师用多媒体出示出正确答案并讲评．
四、课堂巩固
1．平面直角坐标系中，点P(4，－5)关于x轴的对称点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知点P(－2，3)关于y轴对称点为Q(a，b)，则a＋b的值为( )
A．1 B．－1 C．5 D．－5
3．点P(a，b)关于x轴对称的点为P1，点P1关于y轴的对称点为P2，则P2的坐标为( )
A．(a，b) B．(a，－b)
C．(－a，b) D．(－a，－b)
4．若点(a，b)与点(m，n)满足a＋m＝0，b－n＝0，则这两点关于( )对称．
A．x轴 B．y轴
C．x轴或y轴 D．不确定
五、拓展思维
如图，点A(1，4)，B(4，1)，l为第一、三象限角∠xOy的平分线．
(1)求证：l垂直平分AB；
(2)A，B关于l成轴对称吗？
(3)如果点A，B的坐标分别为(6，8)和(8，6)，它们还关于l对称吗？
(4)如果你发现了对称点的坐标规律，写出点P(m，n)关于第一、三象限角平分线的对称点Q的坐标．
六、小结与作业
小结：(1)点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段之间的关系来求．
(2)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)即横坐标互为相反数，纵坐标相等．
作业：教材习题13.2第3，4题．
教学反思
13．3 等腰三角形
13．3.1 等腰三角形(2课时)
第1课时 等腰三角形的性质和应用
教学目标：
1．理解并掌握等腰三角形的性质．
2．运用等腰三角形的性质进行证明和计算．
3．观察等腰三角形的对称性、发展形象思维．
重点难点：
重点
等腰三角形的性质及应用．
难点
等腰三角形的性质的证明．
教学设计：
一、情境导入
【活动1】
教师预先做出各种几何图形，包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等腰三角形、等边三角形等．
让同学们抢答哪些是轴对称图形，提问什么是轴对称图形，什么样的三角形才是轴对称图形．引入今天所要讲的课题——等腰三角形．
我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形．
二、探究新知
如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？
学生活动：学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB＝AC.
教师活动：让学生回顾等腰三角形的概念：
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．如下图．
在△ABC中，若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形，AB，AC是腰，BC是底边，∠A是顶角，∠B和∠C是底角．
【活动2】
把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段，填入下表：
重合的线段 重合的角
从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？
学生活动：学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论交流，从表中总结等腰三角形的性质．
教师活动：引导学生归纳．
性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；
性质2 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．
【活动3】
你能用所学知识验证上述性质吗？
如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.
学生活动：学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法，若证∠B＝∠C，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可．
于是可以作辅助线构造两个三角形，作BC边上的中线AD，证明△ABD和△ACD全等即可，根据条件利用“边边边”可以证明．
教师活动：让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性．
证明：作BC边上的中线AD，如图．
在△ABD和△ACD中，
所以△ABD≌△ACD(SSS)，所以∠B＝∠C.
这样，就证明了性质1.
类比性质1的证明你能证明性质2吗？
由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝90°.
从而AD⊥BC，这也就证明了等腰△ABC底边上的中线平分顶角∠A并垂直于底边BC.
添加辅助线的方法多样，让学生再去讨论、交流，即用类似的方法可以证明性质2.
三、应用提高
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
学生活动：小组合作，分组讨论、交流．
教师活动：引导学生分析图形中关于角的数量关系．(三角形的内角、外角，等腰三角形的底角)
发现：(1)∠ABC＝∠ACB＝∠CDB＝∠A＋∠ABD；
(2)∠A＝∠ABD；
(3)∠A＋2∠C＝180°.
若设∠A＝x，则有x＋4x＝180°，得到x＝36°，进一步得到两个底角的度数．
四、小结与作业
请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？
师生活动：学生思考后，用自己的语言归纳，教师适时点评，并关注以下几个问题：
小结：(1)等边对等角；(2)等腰三角形的三线合一；(3)等腰三角形常用辅助线作法(作底边上的高、作底边上的中线、作顶角的平分线)．
作业：教材习题13.3第1，3，7题．
教学反思
第2课时 等腰三角形的判定
教学目标：
1．理解并掌握等腰三角形的判定方法．
2．运用等腰三角形的判定进行证明和计算．
重点难点：
重点
等腰三角形的判定方法．
难点
等腰三角形的判定方法的证明．
教学设计：
一、提出问题
出示教材第77页“思考”．
学生思考，回答后教师提问：
在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
学生猜想它们所对的边相等．
即如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
如何证明？
二、解决问题
教师引导提示，学生根据提示画出图形，并写出已知、求证．
已知：在△ABC中，∠B＝∠C.
求证：AB＝AC.
与学生一起回顾等腰三角形中常添加的辅助线：高、顶角平分线、底边上的中线．让学生逐一尝试，发现可以作AD⊥BC，或AD平分∠BAC，但不能作BC边上的中线．
学生口头证明后，选一种方法写出证明过程．
如图，在△ABC中，∠B＝∠C，作△ABC的角平分线AD.
在△BAD和△CAD中，
∴△BAD≌△CAD(AAS)，∴AB＝AC.
归纳等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称：“等角对等边”．
三、应用举例
1．出示教材例2.
引导学生根据命题画出图形，利用角平分线的性质及“等边对等角”来证明．
学生讨论后，自己完成证明过程．
例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC.(如图所示)
求证：AB＝AC.
分析：要证明AB＝AC.可先证明∠B＝∠C.因为∠1＝∠2，所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B(______________________)，
∠2＝∠C(______________________)．
而已知∠1＝∠2，所以
∠B＝∠C.
∴AB＝AC(______________)．
2．出示教材例3.
让学生自学例3.
例3 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．
作法：(1)作线段AB＝a.
(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.
(3)在MN上取一点C，使DC＝h.
(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．
四、课堂小结
1．等腰三角形的判定方法是什么？
2．等腰三角形的性质与判定既有区别又有联系，你能总结一下吗？
五、布置作业
教材习题13.3第2，8，10题．
13．3.2 等边三角形(2课时)
第1课时 等边三角形的性质和判定
教学目标：
1．掌握等边三角形的定义．
2．理解等边三角形的性质与判定．
重点难点：
重点
等边三角形的性质和判定．
难点
等边三角形的性质的应用．
教学设计：
一、问题引入
在等腰三角形中，如果底边与腰相等，会得到什么结论？
二、自主探究
1．等边三角形的定义
底边和腰相等的等腰三角形叫做等边三角形．
2．思考：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？
边：三条边都相等．
角：三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
3．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，你能得到AB＝BC＝CA吗？为什么？
你从中能得到什么结论？
三个角都相等的三角形是等边三角形．
4．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)如果把∠A＝60°改为∠B＝60°或∠C＝60°，那么结论还成立吗？
(3)由上你可以得到什么结论？
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
三、应用举例
1．教材例4.
例4 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C.
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠A＝∠ADE＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形．
2．归纳：在判定三角形是等边三角形时：
(1)若三角形是一般三角形，只要找三个角相等或三条边相等；
(2)若三角形是等腰三角形，一般是找一个角等于60°.
四、巩固练习
教材第80页练习第1，2题．
补充题：
1． 如图，已知等边△ABC，点D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF.求证：△DEF是等边三角形．
2．如图，已知等边△ABC，点D是AC的中点，且CE＝CD，DF⊥BE.求证：BF＝EF.
,第2题图)
教师提出要求，补充题1，2可以让学生板书过程．
五、总结提高
小结：通过本节课的学习，你了解到了等边三角形有哪些特点？
怎样判定一个三角形是等边三角形？
布置作业：教材习题13.3第12，14题．
教学反思
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
教学目标：
掌握含30°角的直角三角形的性质与应用．
重点难点：
重点
含30°角的直角三角形的性质．
难点
含30°角的直角三角形性质的推导．
教学设计：
一、情境导入
将两个含30°的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找出Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的关系吗？
二、探究新知
由题意可判定△ABD是等边三角形，且AC为边BD上的高，可得BC＝CD＝AB.
教师归纳：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
你能证明这一结论吗？
让学生从以下两个途径探索：
(1)△ABD是等边三角形，AC⊥BD于点C，则∠BAD＝____度，BC＝____BD＝____AB.
(2)在△ABC中，若AC⊥BC，∠A＝30°，则∠B＝____度，延长BC到点D，使BD＝AB，连接AD，则△ABD是等边三角形，BC＝____＝____．
以上结论是直角三角形的性质之一，在以后的证明和计算中经常用到．
思考：逆命题：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”是否成立？
课堂练习
①在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，AB＝4，则BC＝________，∠BCD＝________，BD＝________．
②小明沿倾斜角为30°的山坡从山脚步行到山顶，共走了200 m，求山的高度．
三、举例分析
出示教材例5.
例5 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°.立柱BC，DE要多长？
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，
∴BC＝AB，DE＝AD.
∴BC＝×7.4＝3.7(m)．
又AD＝AB，
∴DE＝AD＝×3.7＝1.85(m)．
答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m.
教师引导学生寻找图中含有30°角的直角三角形，并选择BC，DE所在直角三角形．
由学生口答后，找学生完成板书，其他同学对照．
四、课堂小结
学生小结，教师梳理本节课的知识点，强调含30°的直角三角形性质的应用．
五、布置作业
教材习题13.3第15题．
补充练习：
1．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，求证：AD＝2DC.
2．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝2 cm，求BC的长．
教学反思
13．4 课题学习 最短路径问题
教学目标：
通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短．
重点难点：
重点
应用所学知识解决最短路径问题．
难点
选择合理的方法解决问题．
教学设计：
一、创设情境
多媒体展示：如图，一个圆柱的底面周长为20 cm，高AB为4 cm，BC是底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路径．
这是一个立体图形，要求蚂蚁爬行的最短路径，就是要把圆柱的侧面展开，利用“两点之间，线段最短”求出最短路径．那么怎样求平面图形中的最短路径问题呢？
二、自主探究
探究一：最短路径问题的概念
1．多媒体出示图①和图②，提出问题：
(1)图①中从点A走到点B哪条路最短？(2)图②中点C与直线AB上所有的连线中哪条线最短？
2．教师总结：“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称之为最短路径问题．
探究二：河边饮马问题
多媒体出示问题1：牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人从河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？
提出问题：如果点A和点B分别位于直线的两侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？
思考：如果点A和点B位于直线的同侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？
教师引导学生讨论，明确找点的方法．
让学生对刚才的方法通过逻辑推理的方法加以证明．
教师巡视指导学生的做题情况，有针对性地进行点拨．
探究三：造桥选址问题
多媒体出示问题2.(教材第86页)
提出问题：
(1)根据问题1的探讨你对这道题有什么思路和想法？
(2)这个问题有什么不同？
(3)要保证路径AMNB最短，应该怎样选址？
学生对这个三个问题展开讨论，得出结论：要保证AMNB最短，就是要保证AM＋MN＋NB最小．
尝试选址作出图形．
多媒体展示教材图13.4－7，13.4－8，13.4－9，引导学生分析、观察，让学生根据刚才的分析，完成证明过程．
根据问题1和问题2，你有什么启示？
三、知识拓展
已知长方体的长为2 cm、宽为1 cm、高为4 cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？
[让学生讨论有几种爬行的方法，计算出每种方案中的路程，再进行比较]
四、归纳总结
1．本节课你学到了哪些知识？
2．怎样解决最短路径问题？
教学反思