重庆市巴蜀中学人教版高中物理必修一学案：第3章 第2练 力的合成与分解

第2练 力的合成与分解
基础知识梳理
一、力的合成
1.合力与分力
(1)定义：如果几个力共同作用产生的效果与一个力的作用效果相同，这一个力就叫做那几个力的合力，那几个力叫做这一个力的分力.
(2)关系：合力与分力是等效替代关系.
2.共点力
作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的几个力.如图均为共点力.

3.力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程.
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向.如图甲所示，F1、F2为分力，F为合力.

②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的首到第二个矢量的尾的有向线段为合矢量.如图乙，F1、F2为分力，F为合力.
4.几种特殊情况的共点力的合成
类型 作图 合力的计算
互相垂直 F＝tan θ＝
两力等大，夹角θ F＝2F1cos F与F1夹角为
两力等大且夹角120° 合力与分力等大
二、力的分解
1．定义：求一个力的分力的过程．力的分解是力的合成的逆运算．
2．遵循的原则
(1)平行四边形定则．(2)三角形定则．
3．分解方法
(1)效果分解法．如图所示，物体的重力G的两个作用效果，一是使物体沿斜面下滑，二是使物体压紧斜面，这两个分力与合力间遵循平行四边形定则，其大小分别为G1＝Gsin θ，G2＝Gcos θ.

(2)正交分解法．
三、矢量和标量
1．矢量：既有大小又有方向的物理量，叠加时遵循平行四边形定则，如速度、力等．
2．标量：只有大小没有方向的物理量，求和时按代数法则相加，如路程、速率等．
考向分析
考向一共点力的合成
例题1　(多选)一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N．下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是(　　)
A．物体所受静摩擦力可能为2 N
B．物体所受静摩擦力可能为4 N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
答案　ABC
解析　两个2 N力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三力的合力范围为0～7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定A、B、C正确，D错误．

例题2(多选)两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F，则(　　)
A.F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍
B.F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N
C.F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变
D.若F1、F2中的一个增大，F不一定增大
答案　AD
解析　根据求合力的公式F＝(θ为F1、F2的夹角)，若F1、F2都变为原来的2倍，合力也一定变为原来的2倍，A正确；对于B、C两种情况，力的变化不是按比例增加或减少的，不能判断合力的变化情况，B、C错误；若F1与F2共线反向，F1＞F2，则F＝F1－F2，F1增大时，F增大，F2增大且小于F1时，F减小，所以D正确.

例题3三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们的合力F的大小，下列说法中正确的是(　　)
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
答案　C
解析　合力不一定大于分力，B项错误；三个共点力的合力的最小值能否为零，取决于任何一个力是否都在其余两个力的合力范围内，由于三个力大小未知，所以三个力的合力的最小值不一定为零，A项错误；当三个力的大小分别为3a、6a、8a，其中任何一个力都在其余两个力的合力范围内，故C项正确；当三个力的大小分别为3a、6a、2a时，不满足上述情况，故D项错误．

练习1小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，如图所示，已知两人手臂上的拉力大小相等且为F，两个手臂间的夹角为θ，水和水桶的总重力为G，则下列说法中正确的是(　　)

A．当θ为120°时，F＝
B．不管θ为何值，F＝
C．当θ＝0°时，F＝
D．θ越大时F越小
答案　C
解析　设小娟、小明的手臂对水桶的拉力大小为F，由题意知小娟、小明的手臂夹角为θ角，根据对称性可知，两人对水桶的拉力大小相等，则根据平衡条件得：2Fcos ＝G，解得F＝，当θ＝0°时，cos 值最大，此时F＝G，即为最小，当θ为60°时，F＝G，当θ为120°时，F＝G，即θ越大，F越大，故C正确，A、B、D错误．

练习2如图所示，体操吊环运动有一个高难度的动作就是先双手撑住吊环(图甲)，然后身体下移，双臂缓慢张开到图乙位置，则在此过程中，吊环的两根绳的拉力FT(两个拉力大小相等)及它们的合力F的大小变化情况为(　　)

A．FT减小，F不变 B．FT增大，F不变
C．FT增大，F减小 D．FT增大，F增大
答案　B
解析　吊环的两根绳的拉力的合力与运动员重力大小相等，即两绳拉力的合力F不变．在合力不变的情况下，两分力之间夹角越大，分力就越大，由甲图到乙图的过程是两分力间夹角增大的过程，所以FT增大，选项B正确．

练习3水平横梁一端插在墙壁内，另一端装小滑轮且一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°.如图所示，则滑轮受到绳子的作用力为(g取10 m/s2)(　　)

A．50 N　　　　　　　 B．50 N
C．100 N D．100 N
答案　C

练习4(多选)如图所示，一个大人拉着载有两个小孩的小车(其拉杆可自由转动)沿水平地面匀速前进，则对小孩和车，下列说法正确的是(　　)

A．拉力的水平分力等于小孩和车所受的合力
B．拉力与摩擦力的合力大小等于重力的大小
C．拉力与摩擦力的合力方向竖直向上
D．小孩和车所受的合力为零
答案　CD

练习5如图所示，用滑轮将质量为m1、m2的两物体悬挂起来，忽略滑轮和绳的重力及一切摩擦，使得0°<θ<180°，整个系统处于平衡状态，关于m1、m2的大小关系不可能的是(　　)

A．m1必大于m2 B．m1必大于
C．m1可能等于m2 D．m1可能大于m2
答案　A
练习6用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图所示．已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力大小分别为(　　)

A.mg，mg
B.mg，mg
C.mg，mg
D.mg，mg
答案　A
解析　接点c受力分析如图，对Fa和Fc合成，合力为F，F＝mg，所以Fa＝mgcos 30°＝mg
Fc＝mgsin 30°＝mg.


练习7某同学在单杠上做引体向上，在下列选项中双臂用力最小的是(　　)．

解析　人做引体向上时，双臂的合力大小一定等于人体的重力，根据平行四边形定则，两分力夹角越小，双臂用力就越小，故D项最大，B项最小．
答案　B

练习8如图所示，物体只受到同一平面内三个力的作用，图中线段的长短表示力的大小，其中力F1与OO′成θ＝30°的角，下图中能正确描述该物体获得加速度方向的是(　　)

答案　B

练习9如图所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片。若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L(弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为(　　)

A.kL B.2kL C.kL D.kL
答案　D

练习10(人教必1,三-4-3,变式)如图所示,AB为半圆的一条直径,P点为圆周上的一点,在P点作用了三个共点力F1、F2、F3,则它们的合力大小为多少?

答案　3F2

练习11(2017河北邢台质检,15,11分)如图所示,绳OC与竖直方向成30°角,O为质量不计的光滑的滑轮,用一根绳连接物体A和B,已知物体B重1 000 N,物体A重400 N,物体A在空中静止,物体B在地面上静止。(不计绳的重力)求:

(1)OC绳的拉力为多大?
(2)物体B所受地面的摩擦力和支持力分别为多大?
答案　(1)400 N　(2)200 N　800 N

练习12某物体同时受到同一平面内的三个共点力作用，若这三个共点力大小和方向分别如图甲、乙、丙、丁所示(坐标纸中每格边长表示1 N大小的力)，则关于该物体受到合力的说法正确的是(　　)

A．甲图中物体所受的合外力大小等于4 N
B．乙图中物体所受的合外力大小等于4 N
C．丙图中物体所受的合外力大小等于6 N
D．丁图中物体所受的合外力大小等于6 N
答案　C
解析　A项，对甲，先将F1与F3合成，然后再用勾股定理，与F2进行合成，求得合力等于5 N，故A项错误；B项，对乙，先将F1与F3沿水平和竖直方向正交分解，再合成，求得合力等于5 N，故B项错误；C项，对丙，可将F1沿水平和竖直方向正交分解，求得合力等于6 N，故C项正确；D项，根据三角形定则，丁图中合力等于0，故D项错误．


考向二力的分解（按效果）
例题1(多选)已知力F，且它的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是(　　)
A. B. C. D.F
答案　AC
解析　根据题意作出矢量三角形如图，因为F>，从图上可以看出，F1有两个解，由直角三角形OAD可知：FOA＝ ＝F.由直角三角形ABD得：FBA＝ ＝F.由图的对称性可知：FAC＝FBA＝F，则分力F1＝F－F＝F；F1′＝F＋F＝F.


练习1减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全．当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，下图中弹力F画法正确且分解合理的是(　　)


答案　B
解析　减速带对车轮的弹力方向垂直车轮和减速带的接触面，指向受力物体，故A、C错误；按照力的作用效果分解，将F可以分解为水平方向和竖直方向，水平方向的分力产生的效果减慢汽车的速度，竖直方向的分力产生向上运动的作用效果，故B正确，D错误．

练习2(多选)一件行李重为G，被绳OA和OB吊在空中，OA绳和OB绳的拉力分别为F1、F2，如图所示，则(　　)

A．F1、F2的合力是G
B．F1、F2的合力是F
C．行李对绳OA的拉力方向与F1方向相反、大小相等
D．行李受到重力G、OA绳的拉力F1、OB绳的拉力F2，还有F共四个力作用
答案　BC
解析　合力与分力具有等效替代的关系．所谓等效是指力F的作用效果与其分力F1、F2共同作用产生的效果相同．F1和F2的合力的作用效果是把行李提起来，而G的作用效果是使行李下落，另外产生的原因(即性质)也不相同，故A错误；F1和F2共同产生的作用效果和F的作用效果相同，故B正确；行李对绳OA的拉力与绳OA拉行李的力F1是相互作用力，等大反向，不是一个力，故C正确；合力F是为研究问题方便而假想出来的力，实际上不存在，应与实际受力区别开来，故D错误.

练习3(多选)如图所示，质量为m的物体放在水平桌面上，在与水平方向成θ角的拉力F作用下加速往前运动，已知物体与桌面间的动摩擦因数为μ，则下列判断正确的是(　　)

A．物体受到的摩擦力为Fcos θ
B．物体受到的摩擦力为μmg
C．物体对地面的压力小于mg
D．物体受到地面的支持力为mg－Fsin θ
答案　CD

练习4．如图所示，一物块置于水平地面上，当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动．若F1和F2的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为(　　)

A.－1 B．2－
C.－ D．1－
答案　B
解析　当用F1拉物块时，由匀速直线运动的受力特点知
F1cos 60°＝μFN1①
FN1＋F1sin 60°＝mg②
当用F2推物块时，由匀速直线运动的受力特点知
F2cos 30°＝μFN2③
mg＋F2sin 30°＝FN2④
又由题意知F1＝F2⑤
解①②③④⑤得μ＝2－.

练习5如图所示，光滑固定斜面上有一个质量为10 kg的小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，已知绳子与竖直方向的夹角为45°，斜面倾角30°，整个装置处于静止状态，g取10 m/s2；求：

(1)绳中拉力的大小和斜面对小球支持力的大小；
(2)若另外用一个外力拉小球，能够把小球拉离斜面，求最小拉力的大小．
答案　(1)51.8 N　73.2 N　(2)70.7 N

解析　(1)如图，沿水平方向和竖直方向建立直角坐标系，对小球受力分析，把不在坐标轴上的力沿轴分解．则：
水平方向上：
FTsin 45°－FNsin 30°＝0
竖直方向上：
FTcos 45°＋FNcos 30°－mg＝0
由以上两式得FN≈73.2 N，FT≈51.8 N
(2)外力方向与绳子垂直时，拉力最小．拉力的最小值为Fm＝mgsin 45°
代入数据，解得Fm≈70.7 N.

练习6小明想推动家里的衣橱，但使出了很大的力气也推不动，他便想了个妙招，如图所示，用A、B两块木板，搭成一个底角较小的人字形架，然后往中央一站，衣橱居然被推动了！下列说法中正确的是(　　)

A．这是不可能的，因为小明根本没有用力去推衣橱
B．这是不可能的，因为无论如何小明的力气也没那么大
C．这有可能，A板对衣橱的推力有可能大于小明的重力
D．这有可能，但A板对衣橱的推力不可能大于小明的重力
解析 由小明所受重力产生的效果，小明的重力可分解为沿两个木板方向的分力，由于两个木板夹角接近180°，根据平行四边形定则，可知分力可远大于小明的重力，选项C正确．
答案 C

练习7如图所示，将四块相同的坚固石块垒成圆弧形的石拱，其中第3、4块固定在地基上，第1、2块间的接触面是竖直的，每块石块的两个侧面间所夹的圆心角均为30°.假定石块间的摩擦力可以忽略不计，则第1、2块石块间的作用力F1和第1、3块石块间的作用力F2的大小之比为(　　)．

A．1∶2 B.∶2 C.∶3 D.∶1
解析　以第1块石块为研究对象，受力分析如图，石块静止，则F1＝F2cos 30°，＝cos 30°＝，故B正确．

答案　B

练习8物块静止在固定的斜面上，分别按如下图所示的方向对物块施加大小相等的力F，A中F垂直于斜面向上，B中F垂直于斜面向下，C中F竖直向上，D中F竖直向下，施力后物块仍然静止，则物块所受的静摩擦力增大的是(　　)

解析 四个图中的物块均处于平衡状态，都受到四个作用力：重力G、外力F、斜面的支持力FN和静摩擦力Ff.建立沿斜面方向和垂直于斜面方向的直角坐标系，如图所示．

分别列出物块的平衡方程可得到：A图中FfA＝Gsin θ；B图中FfB＝Gsin θ；C图中FfC＝(G－F)sin θ；D图中FfD＝(G＋F)sin θ.
答案 D

练习9如图所示，两根相距为L的竖直固定杆上各套有质量为m的小球，小球可以在杆上无摩擦地自由滑动，两小球用长为2L的轻绳相连，今在轻绳中点施加一个竖直向上的拉力F，恰能使两小球沿竖直杆向上匀速运动．则每个小球所受的拉力大小为(重力加速度为g)(　　)

A.　　　　　　　　　　 B．mg
C. D．F
解析 根据题意可知：两根轻绳与竖直杆间距正好组成等边三角形，对结点进行受力分析，根据平衡条件可得，F＝2F′cos 30°，解得小球所受拉力F′＝，C正确．
答案 C

练习10如图所示，墙上有两个钉子a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l.一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点，另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物.在绳上距a端的c点有一固定绳圈.若绳圈上悬挂质量为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比为(　　)

A. B.2 C. D.
答案　C
解析　解法一(力的效果分解法)：
钩码的拉力F等于钩码重力m2g，将F沿ac和bc方向分解，两个分力分别为Fa、Fb，如图甲所示，其中Fb＝m1g，由几何关系可得cos θ＝＝，又由几何关系得cos θ＝，联立解得＝.

解法二(正交分解法)：
绳圈受到Fa、Fb、F三个力作用，如图乙所示，将Fb沿水平方向和竖直方向正交分解，由竖直方向受力平衡得m1gcos θ＝m2g；由几何关系得cos θ＝，联立解得＝.

练习11刀、斧、凿等切削工具的刃部叫做劈，如图是斧头劈木柴的示意图.劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开.设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头的自身重力，则劈的侧面推压木柴的力约为(　　)

A.F B.F C.F D.F
答案　B
解析　斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F1、F2且F1＝F2，利用几何三角形与力的三角形相似有 ＝，得推压木柴的力F1＝F2＝F，所以B正确，A、C、D错误.

练习12(多选)生活中拉链在很多衣服上得到应用，图是衣服上拉链的一部分，当我们把拉链拉开的时候，拉头与拉链接触处呈三角形，使很难直接分开的拉链很容易地拉开，关于其中的物理原理，以下说法正确的是(　　)

A.拉开拉链的时候，三角形的物体增大了拉拉链的拉力
B.拉开拉链的时候，三角形的物体将拉力分解为两个较大的分力
C.拉开拉链的时候，三角形的物体将拉力分解为方向不同的两个分力
D.以上说法都不正确
答案　BC
解析　拉头与拉链的接触处呈三角形，拉力分解为两个分力，如图所示，分力的大小大于拉力，且两分力的方向不相同，所以选项B、C正确，A、D错误.


练习13如图所示是轿车常用的千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起.当车轮刚被顶起时，汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°.下列判断正确的是(　　)

A.此时千斤顶每臂受到的压力大小均为5.0×104 N
B.此时千斤顶对汽车的支持力为1.0×104 N
C.若继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶每臂受到的压力将增大
D.若继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶每臂受到的压力将减小
答案　D
解析　汽车对千斤顶的压力大小为1.0×105 N，根据牛顿第三定律，千斤顶对汽车的支持力也为1.0×105 N，B项错误；两臂夹角为120°，由力的合成可知千斤顶每臂受到的压力为1.0×105 N，A项错误；继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶两臂夹角减小，每臂受到的压力减小，C项错误，D项正确.

练习14如图所示，两滑块放在光滑的水平面上，中间用一细线相连，轻杆OA、OB搁在滑块上，且可绕铰链O自由转动，两杆长度相等，夹角为θ，当用竖直向下的力F作用在铰链上，滑块间细线的张力为多大？

答案　tan
解析　把竖直向下的力F沿两杆OA、OB方向分解，如图甲所示，则杆作用于滑块上的力为
F1＝F2＝

杆对滑块的作用力F1产生两个效果：竖直向下压滑块的力F1″和沿水平方向推滑块的力F1′，因此，将F1沿竖直方向和水平方向分解，如图乙所示，则细线上的张力FT与F1′大小相等，即FT＝F1sin ＝sin ＝Ftan .


练习15如图所示，两轻弹簧a、b悬挂一小铁球处于平衡状态，a弹簧与竖直方向成30°角，b弹簧水平，a、b的劲度系数分别为k1、k2，则a、b两弹簧的伸长量x1与x2之比为(　　)

A. B.
C. D.
答案　A
解析　如图所示，将弹簧a的弹力沿水平和竖直方向分解，则FTacos 30°＝mg，FTasin 30°＝FTb，结合胡克定律可求得a、b两弹簧的伸长量之比为，A正确．

练习16(多选)如图所示，在夜光风筝比赛现场，某段时间内某小赛手和风筝均保持静止状态，此时风筝平面与水平面夹角为30°，风筝的质量为m＝1 kg，轻质细线中的张力为FT＝10 N，该同学的质量为M＝29 kg，则以下说法正确的是(风对风筝的作用力认为与风筝平面垂直，g取10 m/s2)(　　)

A．风对风筝的作用力为10 N
B．细线与水平面的夹角为30°
C．人对地面的摩擦力方向水平向左
D．人对地面的压力大小等于人和风筝整体的重力，即300 N
答案　AB
解析　对风筝进行受力分析如图所示，将所有的力沿风筝和垂直于风筝进行正交分解，则FTcos θ＝mgcos 60°，FTsin θ＋mgsin 60°＝F，解得θ＝60°，F＝10 N，细线与风筝成60°角，也就是与水平成30°角，A、B正确；将风筝和人视为一个整体，由于受风力向右上方，因此地面对人的摩擦力水平向左，根据牛顿第三定律，人对地面的摩擦力水平向右，C错误；由于细线对人有向上的拉力，因此人对地面的压力小于人的重力290 N，D错误．


练习17假期里，一位同学在厨房里帮助妈妈做菜，对菜刀发生了兴趣。他发现菜刀的刀刃前部和后部的厚薄不一样，刀刃前部的顶角小，后部的顶角大，如图所示，他先后作出过几个猜想，其中合理的是(　　)

A.刀刃前部和后部厚薄不匀，仅是为了打造方便，外形美观，跟使用功能无关
B.在刀背上加上同样的压力时，分开其他物体的力跟刀刃厚薄无关
C.在刀背上加上同样的压力时，顶角越大，分开其他物体的力越大
D.在刀背上加上同样的压力时，顶角越小，分开其他物体的力越大
答案　D



练习18(2017·汉中二模)如图所示是山区村民用斧头劈柴的剖面图，图中BC边为斧头背面，AB、AC边是斧头的刃面．要使斧头容易劈开木柴，则应(　　)


A．缩短BC边，AB边也缩短些 B．BC边延长些，AB边也延长些
C．BC边缩短些，但AB边延长些 D．BC边延长些，AB边也延长些
答案　C
解析　如图所示：斧头的重力形成对木柴两端的挤压力，两力与斧头的AB、BC边相互垂直；则可知当BC边短一些，AB边长一些时两力之间的夹角更大，则两分力更大；故C项正确，A、B、D三项错误．





考向三力的分解（正交分解）
例题1　拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图)．设拖把头的质量为m，拖杆质量可忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g.某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ.

(1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小．
(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ.已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力有多大，都不可能使拖把从静止开始运动．求这一临界角的正切tan θ0.
答案　(1)mg　(2)tan θ0＝λ
解析　(1)设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把．将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，根据平衡条件有
Fcos θ＋mg＝FN①
Fsin θ＝Ff②
式中FN和Ff分别为地板对拖把的正压力和摩擦力．
所以Ff＝μFN③
联立①②③式得F＝mg④
(2)若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应有Fsin θ≤λFN⑤
这时，①式仍成立．联立①⑤式得
sin θ－λcos θ≤λ⑥
现求解使⑥式成立的θ角的取值范围．注意到⑥式右边总是大于零，且当F无限大时极限值为零，有
sin θ－λcos θ≤0⑦
使⑦式成立的θ角满足θ≤θ0，这里θ0是题中所定义的临界角，即当θ≤θ0时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不
动拖把．故临界角的正切为tan θ0＝λ.

练习1如图所示，质量为mB＝24 kg的木板B放在水平地面上，质量为mA＝22 kg的木箱A放在木板B上．一根轻绳一端拴在木箱上，另一端拴在天花板上，轻绳与水平方向的夹角为θ＝37°.已知木箱A与木板B之间的动摩擦因数μ1＝0.5.现用水平向右、大小为200 N的力F将木板B从木箱A下面匀速抽出(sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，重力加速度g取10 m/s2)，则木板B与地面之间的动摩擦因数μ2的大小为
(　　)．

A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
解析　对A受力分析如图甲所示，由题意得FTcos θ＝Ff1 ①
FN1＋FTsin θ＝mAg ②
Ff1＝μ1FN1 ③
由①②③得：FT＝100 N
　
对A、B整体受力分析如图乙所示，由题意得
FTcos θ＋Ff2＝F ④
FN2＋FTsin θ＝(mA＋mB)g ⑤
Ff2＝μ2FN2 ⑥
由④⑤⑥得：μ2＝0.3，故A答案正确．
答案　A

练习2(2018·云南昆明调研)如图所示，B和C两个小球均重为G，用轻绳悬挂而分别静止于图示位置上，试求：

(1)AB和CD两根细绳的拉力分别为多大？
(2)绳BC与竖直方向的夹角θ是多少？
答案　(1)G　G　(2)60°
解析　(1)对B、C两球整体受力分析，正交分解得FABcos 30°＋FCDcos 60°＝2G，FABsin 30°＝FCDsin 60°
联立解得FAB＝G，FCD＝G
(2)对C球受力分析，正交分解得
FBCcos θ＋FCDcos 60°＝G
FBCsin θ＝FCDsin 60°，
联立解得θ＝60°.

考向四力的合成和分解综合问题
例题1如图所示，A、B两物体的质量分别为mA、mB，且mA>mB，整个系统处于静止状态．滑轮的质量和一切摩擦均不计，如果绳一端由Q点缓慢地向左移到P点，整个系统重新平衡后，物体A的高度和两滑轮间绳与水平方向的夹角θ变化情况是(　　)．

A．物体A的高度升高，θ角变大
B．物体A的高度降低，θ角变小
C．物体A的高度升高，θ角不变
D．物体A的高度不变，θ角变小
解析　最终平衡时，绳的拉力F大小仍为mAg，由二力平衡可得2Fsin θ＝mBg，故θ角不变，但因悬点由Q到P，左侧部分绳子变长，故A应升高，所以C正确．
答案　C

练习1(多选)(2016·全国卷Ⅰ·19)如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态.若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则(　　)

A.绳OO′的张力也在一定范围内变化
B.物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C.连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D.物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
答案　BD
解析　由于物块a、b均保持静止，各绳角度保持不变，对a受力分析得，绳的拉力FT′＝mag，所以物块a受到的绳的拉力保持不变.由滑轮性质，滑轮两侧绳的拉力相等，所以b受到绳的拉力大小、方向均保持不变，C选项错误；a、b受到绳的拉力大小、方向均不变，所以OO′的张力不变，A选项错误；对b进行受力分析，如图所示.由平衡条件得：FTcos β＋Ff＝Fcos α，Fsin α＋FN＋FTsin β＝mbg.其中FT和mbg始终不变，当F大小在一定范围内变化时，支持力在一定范围内变化，B选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D选项正确.


练习2.(2017·山西大同联考)一铁球悬挂在OB绳的下端，轻绳OA、OB、OC的结点为O，轻绳OA悬挂在天花板上的A点，轻绳OC拴接在轻质弹簧测力计上。第一次，保持结点O位置不变，某人拉着轻质弹簧测力计从竖直位置缓慢转动到水平位置，如图中的甲所示，弹簧测力计的示数记为F1。第二次，保持轻绳OC垂直于OA，缓慢释放轻绳，使轻绳OA转动到竖直位置，如图中的乙所示，弹簧测力计的示数记为F2。则(　　)

A.F1恒定不变，F2逐渐增大
B.F1、F2均逐渐增大
C.F1先减小后增大，F2逐渐减小
D.F1逐渐增大，F2先减小后增大
答案　C

练习3(2018河北定州期中,3,4分)(多选)如图所示,物体A、B用细绳与轻弹簧连接后跨过滑轮。A静止在倾角为45°的粗糙斜面上,B悬挂着。已知质量mA=3mB,不计滑轮摩擦,现将斜面倾角由45°减小到30°,那么下列说法中正确的是(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　

A.弹簧的弹力将增大
B.物体A对斜面的压力将增大
C.物体A受到的静摩擦力将减小
D.物体A可能被拉动
答案　BC

练习4(2016河北衡水调研,4分)如图所示的几种情况中,不计绳、弹簧测力计、各滑轮的质量,不计一切摩擦,物体质量都为m,且均处于静止状态,有关角度如图所示。弹簧测力计示数FA、FB、FC、FD由大到小的排列顺序是(　　)

A.FB>FD>FA>FC B.FD>FC>FB>FA
C.FD>FB>FA>FC D.FC>FD>FB>FA
答案　C

练习5某压榨机的结构示意图如图所示，其中B为固定铰链，若在A铰链处作用一垂直于墙壁的力F，则由于力F的作用，使滑块C压紧物体D，设C与D光滑接触，杆的重力及滑块C的重力不计，图中a＝0.5 m，b＝0.05 m，则物体D所受压力的大小与力F的比值为(　　)
A．4 B．5
C．10 D．1
答案　B
解析　设力F与水平方向的夹角为θ，将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解，作出力的分解图如图甲所示．则有：2F1cosθ＝F
则得：F1＝F2＝
再将F2按作用效果分解为FN和FN′，作出力的分解图如图乙所示．

则有：FN＝F2 sinθ
联立得到：FN＝
根据几何知识得可知tanθ＝＝10
得到：FN＝5F

练习6(2017·天津六校联考)(多选)如图所示，不计质量的光滑小滑轮用细绳悬挂于墙上O点，跨过滑轮的细绳连接物块A、B，A、B都处于静止状态，现将物块B移至C点后，A、B仍保持静止，下列说法中正确的是(　　)

A．B与水平面间的摩擦力减小
B．地面对B的弹力增大
C．悬于墙上的绳所受拉力不变
D．A、B静止时，图中α、β、θ三角始终相等
答案　BD
解析　将物块B移至C点后，对B进行受力分析，如图：由平衡规律得：Tcosθ1＝Ff　G＝FN＋Tsinθ1；细绳与水平方向夹角θ1减小，细绳中拉力T不变，B与水平面间的摩擦力Ff增大，地面对B的弹力FN增大，A项错误，B项正确；由于α＋β增大，滑轮两侧细绳拉力的合力减小，由平衡条件可知，悬于墙上的绳所受拉力减小，C项错误；A、B静止时，图中α、β、θ三角始终相等，D项正确．



练习7如图所示，在粗糙水平面上放置A、B、C、D四个小物块，各小物块之间由四根完全相同的轻弹簧相互连接，正好组成一个菱形，∠BAD＝120°，整个系统保持静止状态．已知A物块所受的摩擦力大小为Ff，则D物块所受的摩擦力大小为(　　)
A.Ff B．Ff
C.Ff D．2Ff
答案　C
解析　假设弹簧处于拉伸状态，设弹簧的弹力为F，以A物块为研究对象，受力如图甲所示，根据平衡条件可得F＝Ff；再以D物块为研究对象，受力如图乙所示，Ff′＝2F′cos30°＝2Fcos30°＝Ff，C项正确．

练习8(2017·福州模拟)如图所示，质量为m1＝2 kg的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O.轻绳OA水平，OB绳与水平方向的夹角θ＝30°，且通过一个光滑的轻滑轮与放置在水平面上的质量为m2＝5 kg的物体乙相连，物体甲、乙均处于静止状态．(g＝10 m/s2)求：
(1)轻绳OA、OB对结点O点的拉力大小；
(2)物体乙对地面的压力．
(3)滑轮轴对滑轮的弹力的大小和方向．
解析　(1)以结点O为研究对象进行受力分析如图所示，
根据几何关系可得：FOA＝＝ N＝20 N；FOB＝＝ N＝40 N；
(2)对乙根据共点力的平衡条件可得：N＝m2g－FOB＝50 N－40 N＝10 N；由牛顿第三定律可知：乙对地面的压力N′，则N′＝10 N，方向竖直向下；
(3)以滑轮轴为研究对象进行受力分析如图所示，

设滑轮轴对滑轮的弹力的方向与竖直方向的夹角为α，
根据几何关系可得2α＝90°－30°，
解得：α＝30°；
对滑轮：T＝2FOBcos30°＝40 N；
方向与竖直方向成30°指向右上方．