重庆市巴蜀中学人教版高中物理必修一学案：第3章 第3练 共点力的平衡问题

第3练 力的合成与力的分解
基础知识梳理
1．共点力作用下物体的平衡
(1)平衡状态
物体处于静止或匀速直线运动的状态．
(2)共点力的平衡条件：F合＝0或者
2．共点力平衡的几条重要推论
(1)二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反．
(2)三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反．
(3)多力平衡：如果物体受多个力作用处于平衡状态，其中任何一个力与其余力的合力大小相等，方向相反．
3.求解共点力作用下物体平衡问题的解题步骤：
1.确定研究对象；
2.对研究对象进行受力分析，并画受力图；
3.据物体的受力和已知条件，采用力的合成、分解、图解、正交分解法，确定解题方法；
4.解方程，进行讨论和计算。
4.可能涉及到的解题方法；
1.几何法（矢量三角形或平行四边形；正弦定理；三角函数；相似三角形法等）；
2.整体法、隔离法；
3.函数法；
4.极值法。
考向分析
考向一受力分析　整体法与隔离法的应用
例题1如图所示，甲、乙两个小球的质量均为m，两球间用细线连接，甲球用细线悬挂在天花板上．现分别用大小相等的力F水平向左、向右拉两球，平衡时细线都被拉紧．则平衡时两球的可能位置是下列选项中的(　　)


答案　A
解析　用整体法分析，把两个小球看作一个整体，此整体受到的外力为竖直向下的重力2mg、水平向左的力F(甲受到的)、水平向右的力F(乙受到的)和细线1的拉力，两水平力相互平衡，故细线1的拉力一定与重力2mg等大反向，即细线1一定竖直；再用隔离法，分析乙球受力的情况，乙球受到向下的重力mg、水平向右的拉力F、细线2的拉力F2.要使得乙球受力平衡，细线2必须向右倾斜．
练习1在例1中，如果作用在乙球上的力大小为F，作用在甲球上的力大小为2F，则此装置平衡时的位置可能是(　　)

答案　C
解析　将甲、乙两个小球作为一个整体，受力分析如图所示，设上面的绳子与竖直方向的夹角为α，则根据平衡条件可得tan α＝，再单独研究乙球，设下面的绳子与竖直方向的夹角为β，根据平衡条件可得tan β＝，因此β>α，因此甲球在竖直线的右侧，而乙球在竖直线的左侧，选项C正确．


练习2(多选)如图所示，两个相似的斜面体A、B在竖直向上的力F的作用下静止靠在竖直粗糙墙壁上，关于斜面体A和B的受力情况，下列说法正确的是(　　)

A．A一定受到四个力
B．B可能受到四个力
C．B与墙壁之间一定有弹力和摩擦力
D．A与B之间一定有摩擦力
答案　AD
解析　对A、B整体受力分析，如图甲所示，受到向下的重力和向上的推力F，由平衡条件可知B与墙壁之间不可能有弹力，因此也不可能有摩擦力，故选项C错误；对B受力分析，如图乙所示，其受到重力、A对B的弹力及摩擦力而处于平衡状态，故B只受到三个力，选项B错误；对A受力分析，如图丙所示，受到重力、推力、B对A的弹力和摩擦力，共四个力，选项A、D正确．

练习3(多选)如图所示，物体m通过定滑轮牵引另一水平面上的物体沿斜面匀速下滑，此过程中斜面仍静止，斜面质量为M，则水平地面对斜面体(　　)

A．无摩擦力 B．有水平向右的摩擦力
C．支持力为(M＋m)g D．支持力小于(M＋m)g
答案　BD
解析　设斜面夹角为θ，细绳的拉力为FT，M、m整体处于平衡状态，对M、m整体受力分析可得平衡方程FTcos θ＝F静，FTsin θ＋FN＝(M＋m)g，故F静方向水平向右，B、D正确．
练习4如图所示，物体A静止在倾角为30°的斜面上，现将斜面倾角由30°增大到
37°，物体仍保持静止，则下列说法中正确的是(　　)．

图1
A．A对斜面的压力不变 B．A对斜面的压力增大
C．A受到的摩擦力不变 D．A受到的摩擦力增大
解析　物体A受力分析如下图所示，将重力沿平行于斜面方向和垂直于斜面方向分解，则静摩擦力Ff＝mgsin θ，Ff随θ的增大而增大，故C错、D对；斜面对物体的支持力FN＝mgcos θ，由牛顿第三定律，A对斜面的压力F＝mgcos θ，随θ的增大而减小，故A、B都错．

答案　D
练习5一质量为m的物块恰好静止在倾角为θ的斜面上．现对物块施加一个竖直向下的恒力F，如图所示．则物块(　　)

A．仍处于静止状态
B．沿斜面加速下滑
C．受到的摩擦力不变
D．受到的合外力增大
解析 物块恰好静止在斜面上，沿斜面方向有：mgsin θ＝μmgcos θ，得μ＝tan θ，摩擦力f＝mgsin θ.施加一个竖直向下的恒力F后，沿斜面向下的力(mg＋F)sin θ与沿斜面向上的力μ(mg＋F)cos θ仍然相等，所以物块仍处于静止状态，合外力不变，仍为零，故A正确，B、D错误．受到的摩擦力f′＝(mg＋F)sin θ，变大，故C错误．
答案 A
练习6如图所示，在倾斜的滑杆上套一个质量为m的圆环，圆环通过轻绳拉着一个质量为M的物体，在圆环沿滑杆向下滑动的过程中，悬挂物体的轻绳始终处于竖直方向．则(　　)．

A．环只受三个力作用
B．环一定受四个力作用
C．物体做匀加速运动
D．悬绳对物体的拉力小于物体的重力
解析　分析M可知，其受两个力作用，重力和轻绳拉力，因为悬挂物体的轻绳始终处于竖直方向，故二力平衡，物体做匀速运动，C、D错误；再对环进行受力分析可知，环受重力、轻绳拉力、滑杆支持力和摩擦力，A错、B正确．
答案　B
练习7如图所示，A、B两物体叠放在水平地面上，A物体质量m＝20 kg，B物体质量M＝30 kg.处于水平位置的轻弹簧一端固定于墙壁，另一端与A物体相连，弹簧处于自然状态，其劲度系数为250 N/m，A与B之间、B与地面之间的动摩擦因数均为μ＝0.5.现有一水平推力F作用于物体B上缓慢地向墙壁移动，当移动0.2 m时，水平推力F的大小为(g取10 m/s2)(　　)

A．350 N　　　　　　　　　 B．300 N
C．250 N D．200 N
解析 由题意可知fAmax＝μmg＝100 N．当A向左移动0.2 m时，F弹＝kΔx＝50 N，F弹答案 B
练习8如图所示，木块m和M叠放在一固定在地面不动的斜面上，它们一起沿斜面匀速下滑，则m、M间的动摩擦因数μ1和M、斜面间的动摩擦因数μ2可能正确的有(　　)．

A．μ1＝0，μ2＝0 B．μ1＝0，μ2≠0
C．μ1≠0，μ2＝0 D．μ1≠0，μ2≠0
解析　因木块m和M整体沿斜面匀速下滑，所以M与斜面之间一定存在摩擦力，故M、斜面间的动摩擦因数μ2一定不等于零；因木块m和M的接触面水平，由m的运动状态可知，它一定不受M的摩擦力，所以木块m和M之间的动摩擦因数μ1可以为零，也可以不为零，B、D项正确．
答案　BD
练习9如图所示，质量为m、横截面为直角三角形的物块ABC，∠BAC＝α，AB边靠在竖直墙面上，F是垂直于斜面AC的推力．物块与墙面间的动摩擦因数为μ(μ<1)．现物块静止不动，则(　　)．

A．物块可能受到4个力作用
B．物块受到墙的摩擦力的方向一定向上
C．物块对墙的压力一定为Fcos α
D．物块受到摩擦力的大小可能等于F
解析　本题的静摩擦力有临界点．假设Fsin α＝mg，则没有摩擦力，物块受mg、F、墙的支持力FN三个力作用．假设Fsin αmg，则摩擦力Ff向下，物块受mg、F、墙的支持力FN及Ff四个力作用．故选A、不选B.在各种情况中，物块对墙的压力都等于Fcos α，如下图所示．故选C.因最大静摩擦力为μFcos α
答案　AC
练习10如图所示，直角三角形框架ABC(角C为直角)固定在水平地面上，已知AC与水平方向的夹角为α＝30°.小环P、Q分别套在光滑臂AC、BC上，用一根细绳连接两小环，静止时细绳恰好处于水平方向，小环P、Q的质量分别为m1、m2，则小环P、Q的质量之比为
(　　)．

A.＝ B.＝3
C.＝ D.＝
解析　分析P的受力情况如下图所示，根据平衡条件，可得T＝m1gtan 30°.对Q同理可得T＝m2gtan 60°，由此得＝3，选项B正确．

练习11如图所示，物块A放在直角三角形斜面体B上面，B放在弹簧上面并紧挨着竖直墙壁，初始时A、B静止，现用力F沿斜面向上推A，但A、B仍未动.则施力F后，下列说法正确的是(　　)

A.A、B之间的摩擦力一定变大 B.B与墙面间的弹力可能不变
C.B与墙之间可能没有摩擦力 D.弹簧弹力一定不变
答案　D
解析　对A分析，开始受重力、B对A的支持力和静摩擦力平衡，当施加F后，仍然处于静止状态，开始A所受的静摩擦力大小为mAgsin θ，若F＝2mAgsin θ，则A、B之间的摩擦力大小不变，故A错误；以A、B整体为研究对象，开始时B与墙面的弹力为零，后来施加F后，弹力为Fcos θ，B错误；对A、B整体分析，由于A、B不动，弹簧的形变量不变，则弹簧的弹力不变，开始弹簧的弹力等于A、B的总重力，施加F后，弹簧的弹力不变，总重力不变，根据平衡知，则B与墙之间一定有摩擦力，故C错误，D正确.
练习12(2017·浙江省模拟)如图所示，纯净水桶和简易金属支架静止于水平桌面上，则(　　)

A．桌面对支架的摩擦力水平向左
B．水桶对支架的作用力竖直向下
C．支架对水桶的作用力斜向右上方
D．支架对桌面的压力大小等于支架的重力
答案　B
解析　A、D两项，对水桶和支架整体，受重力和支持力，二力平衡，故桌面对支架没有摩擦力，否则不平衡；支架对桌面的压力等于整体的重力，大于支架的重力，故A项错误，D项错误；B、C两项，隔离水桶分析，受重力和支架的支持力，根据平衡条件，支持力与重力等值、反向、共线，故支架对水桶的作用力竖直向上，根据牛顿第三定律，水桶对支架的作用力竖直向下，故B项正确，C项错误；故选B项．
练习13(2017·湛江模拟)(多选)如图所示，物体B靠在水平天花板上，在竖直向上的力F作用下，A、B保持静止，A与B间的动摩擦因数为μ1，B与天花板间的动摩擦因数为μ2，则关于μ1、μ2的值下列判断可能正确的是
(　　)
A．μ1＝0，μ2≠0　　　　　　 B．μ1≠0，μ2＝0
C．μ1＝0，μ2＝0 D．μ1≠0，μ2≠0
答案　BD
解析　选A、B组成的整体为研究对象，水平方向不受力作用，故水平方向的滑动摩擦力为零，故μ2可以为零，也可以不为零，再以B为研究对象，可分析出A、B之间有摩擦力作用，故μ1一定不为零，故B、D项正确．
练习14(2017·盐湖区一模)在竖直墙壁间有质量分别是m和2m的半圆球A和圆球B，其中B球球面光滑，半球A与左侧墙壁之间存在摩擦．两球心之间连线与水平方向成30°的夹角，两球恰好不下滑，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，(g为重力加速度)，则半球A与左侧墙壁之间的动摩擦因数为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　隔离光滑均匀圆球B，对B受力分析如图所示，可得：


FN＝Fcosθ
2mg－Fsinθ＝0
解得：FN＝，
对两球组成的整体有：
3mg－μFN＝0
联立解得：μ＝
练习15两个相同的小球A和B，质量均为m，用长度相同的两根细线把A、B两球悬挂在水平天花板上的同一点O，并用长度相同的细线连接A、B两小球，然后，用一水平方向的力F作用在小球A上，此时三根细线均处于直线状态，且OB细线恰好处于竖直方向，如图所示．如果不考虑小球的大小，两小球均处于静止状态，则：

(1)OB绳对小球的拉力为多大？
(2)OA绳对小球的拉力为多大？
(3)作用力F为多大？
解析　(1)因OB绳处于竖直方向，所以B球处于平衡状态，AB绳上的拉力为零，OB绳对小球的拉力FOB＝mg.
(2)A球在重力mg、水平拉力F和OA绳的拉力FOA三力作用下平衡，所以OA绳对小球的拉力FOA＝＝2mg.
(3)作用力F＝mgtan 60°＝mg.

答案　(1)mg　(2)2mg　(3)mg
练习16(多选)如图所示，粗糙水平面上有一长木板，一个人站在木板上用力F向右推箱子，木板、人、箱子均处于静止状态．三者的质量均为m，下列说法正确的是(　　)

A．箱子受到的摩擦力方向向右
B．人受到的摩擦力方向向右
C．箱子对木板的摩擦力方向向右
D．若水平面光滑，人用同样大小的力F推箱子，能使长木板在水平面上滑动
答案　BC
练习17(多选)如图所示，木板C放在水平地面上，木板B放在C的上面，木板A放在B的上面，A的右端通过轻质弹簧测力计固定在竖直的墙壁上，A、B、C质量相等，且各接触面动摩擦因数相同，用大小为F的水平力向左拉动C，使它以速度v匀速运动，三者稳定后弹簧测力计的示数为Ff.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是(　　)

A．B对A的摩擦力大小为Ff，方向向左
B．A和B保持静止，C匀速运动
C．A保持静止，B和C一起匀速运动
D．C受到地面的摩擦力大小为F－Ff
答案　ACD
考向二矢量三角形法（一个力大小方向都不变，一个力方向不变）
例题1(多选)如图所示，质量分布均匀的光滑小球O，放在倾角均为θ的斜面体上，斜面体位于同一水平面上，且小球处于平衡，则下列说法中正确的是(　　)


A．甲图中斜面对球O弹力最大
B．丙图中斜面对球O弹力最小
C．乙图中挡板MN对球O弹力最小
D．丙图中挡板MN对球O弹力最小
答案　AD
解析　将甲、乙、丙、丁四种情况小球的受力图作于一幅图上，如图，根据平衡条件得知，丁图中斜面对小球的弹力为零，挡板对小球的弹力等于其重力G.斜面对小球的弹力和挡板对小球的弹力的合力与重力大小相等、方向相反，可知三种情况下此合力相等，根据平行四边定则得知，丙图中挡板MN对球O弹力最小，甲图中斜面对球O弹力最大．故B、C错误，A、D正确．

练习1质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上．用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示．用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中(　　)

A．F逐渐变大，T逐渐变大
B．F逐渐变大，T逐渐变小
C．F逐渐变小，T逐渐变大
D．F逐渐变小，T逐渐变小
答案　A
解析　对O点受力分析如图所示，F与T的变化情况如图，由图可知在O点向左移动的过程中，F逐渐变大，T逐渐变大，故选项A正确．

练习2将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示．用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线OA与竖直方向的夹角保持θ＝30°，则F的最小值为(　　)

A.mg B．mg C.mg D.mg
答案　B
解析　以a、b为整体，整体受重力2mg、悬绳OA的拉力FT及拉力F三个力而平衡，如图所示，三力构成的矢量三角形中，当力F垂直于悬绳的拉力FT时有最小值，且最小值F＝2mgsin θ＝mg，B项正确．


练习3如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为F水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：

(1)物体与斜面间的动摩擦因数；
(2)这一临界角θ0的大小．
答案　(1)　(2)60°

解析　(1)如图所示，未施加力F时，对物体受力分析，由平衡条件得mgsin 30°＝μmgcos 30°
解得μ＝tan 30°＝

(2)设斜面倾角为α时，受力情况如图所示，由平衡条件得：
Fcos α＝mgsin α＋Ff′
FN′＝mgcos α＋Fsin α
Ff′＝μFN′
解得F＝
当cos α－μsin α＝0，即tan α＝时，F→∞，即“不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”，此时，临界角θ0＝α＝60°.
练习4.(多选)如图，用OA、OB两根轻绳将花盆悬于两竖直墙之间，开始时OB绳水平．现保持O点位置不变，改变OB绳长使绳右端由B点缓慢上移至B′点，此时OB′与OA之间的夹角θ<90°.设此过程OA、OB绳的拉力分别为FOA、FOB，则下列说法正确的是(　　)

A．FOA一直减小
B．FOA一直增大
C．FOB一直减小
D．FOB先减小后增大
答案　AD

解析　以结点O为研究对象，分析受力：重力G、绳OA的拉力FOA和绳OB的拉力FOB，如图所示，根据平衡条件知，两根绳子的拉力的合力与重力大小相等、方向相反，作出轻绳OB在两个位置时力的合成图如图，由图看出，FOA逐渐减小，FOB先减小后增大，当θ＝90°时，FOB最小．
练习5如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态．若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态．则下列判断中正确的是(　　)

A．球B对墙的压力增大
B．球B对柱状物体A的压力增大
C．地面对柱状物体A的摩擦力不变
D．地面对柱状物体A的支持力不变
答案　D
解析　球B受重力、A的支持力F1和墙壁的压力F2.如图甲所示：

将重力G分解为G1和G2，则根据平衡可知，F1＝G1＝，F2＝G2＝Gtan θ.当A向右移动少许，根据题意可知，A对球B的作用力F1与竖直方向的夹角θ将减小，所以cos θ增大，tan θ减小，即墙壁对球B的作用力将减小，A对小球B的支持力减小．根据牛顿第三定律可知，球B对墙壁的压力将减小，球B对A的压力亦减小．选项A、B错误；再对A进行受力分析如图乙：由于A处于平衡状态，所以A受地面摩擦力Ff＝FBsin θ，根据题意知，B对A的压力FB减小且FB与竖直方向的夹角θ减小，故A所受地面的摩擦力Ff减小．选项C错误；对整体受力分析可知，地面对A的支持力等于A、B的重力之和，故选项D正确；故选D.
练习6如图所示，桌面上固定一个光滑的竖直挡板，现将一个质量一定的重球A与截面为三角形的垫块B叠放在一起，用水平外力F可以缓缓向左推动B，使球慢慢升高，设各接触面均光滑，则该过程中(　　)

A．A和B均受三个力作用而平衡
B．B对桌面的压力越来越大
C．A对B的压力越来越小
D．推力F的大小恒定不变
解析 分析A、B整体受力如图甲所示，由平衡条件可得：
NB＝(mA＋mB)g，不随球的升高而改变，故B错误；

分析球A受力如图乙所示，由平衡条件可得：NAB＝mg/cos θ，NA＝mgtan θ，并不随球的升高而改变，故缓慢推动B的过程中F也不变，C错误、D正确；垫块B受支持力、压力、重力、推力F四个力作用，A错误．
答案 D
练习7(2017·广东汕头二模)重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳如图所示连接后悬挂在O点上，O、B间的绳子长度是A、B间的绳子长度的2倍，将一个拉力F作用到小球B上，使三段轻绳都伸直且O、A间和A、B间的两段绳子分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为(　　)

A.G B.G C.G D.G
答案　A
解析　对A球受力分析可知，因O、A间绳竖直，则A、B间绳上的拉力为0.对B球受力分析如图所示，则可知当F与O、B间绳垂直时F最小，Fmin＝Gsin θ，其中sin θ＝＝，则Fmin＝G，故A项正确.

练习8(2018·山西太原调研)如图所示，轻绳OA一端固定在天花板上，另一端系一光滑的圆环，一根系着物体的轻绳穿过圆环后，另一端固定在墙上B点，且OB处于水平.现将A点缓慢沿天花板水平向右移动，且OB段的轻绳始终保持水平，则OA、OB段轻绳所受的拉力的大小FTA、FTB的变化情况是(　　)

A.FTA增大，FTB不变 B.FTA、FTB均不变 C.FTA不变，FTB增大 D.FTA、FTB均减小
答案　B
解析　因为圆环光滑，则OC、OB段轻绳所受的拉力的大小FTC、FTB始终相等，且等于物体的重力.又OB段轻绳始终保持水平，OC段轻绳始终保持竖直，则A点缓慢右移，圆环也随之右移，角θ不变，由平衡条件可知OA段绳上所受的拉力不变.故B项正确.
练习9(2018·河北唐山质检)光滑斜面上固定着一根刚性圆弧形细杆，小球通过轻绳与细杆相连，此时轻绳处于水平方向，球心恰位于圆弧形细杆的圆心处，如图所示.将悬点A缓慢沿杆向上移动，直到轻绳处于竖直方向，在这个过程中，轻绳的拉力(　　)

A.逐渐增大 B.大小不变 C.先减小后增大 D.先增大后减小
答案　C
解析　当悬点A缓慢向上移动过程中，小球始终处于平衡状态，小球所受重力mg的大小和方向都不变，支持力的方向不变，对球进行受力分析如图所示，由图可知，拉力FT先减小后增大，C项正确.

练习10如图所示，质量为m的小球用细线拴住放在光滑斜面上，斜面足够长，倾角为α的斜面体置于光滑水平面上，用水平力F推斜面体使斜面体缓慢地向左移动，小球沿斜面缓慢升高(细绳尚未到达平行于斜面的位置).在此过程中：(　　)

A.绳对小球的拉力减小 B.斜面体对小球的支持力减小
C.水平推力F减小 D.地面对斜面体的支持力不变
答案　A
解析　对小球受力分析，如图甲所示，斜面体左移会引起FT的方向及大小的变化而FN的方向不变，三力的合力为0，则形成闭合三角形，FT与FN相互垂直时FT最小，此时细线和斜面平行，则细线尚未到达平行于斜面的位置时，FT逐渐变小，FN逐渐变大，故选项A正确，B错误；对斜面体受力分析，如图乙所示，根据平衡条件，有：F＝FN′sin α＝FNsin α，FN地＝Mg＋FN′cos α＝Mg＋FNcos α.由于FN增大，故支持力FN地和推力F均增大，故C、D错误.

练习11(多选)如图所示，斜面体置于粗糙水平面上，斜面光滑.小球被轻质细线系住放在斜面上.细线另一端跨过定滑轮，用力拉细线使小球沿斜面缓慢下移一小段距离，斜面体始终静止.移动过程中(　　)

A.细线对小球的拉力变大 B.斜面对小球的支持力变大
C.斜面对地面的压力变大 D.地面对斜面的摩擦力变大
答案　BCD
解析　设小球和斜面体的质量分别为m和M，细线和斜面的夹角为θ.
对小球受力分析，如图甲所示，小球受到重力mg、斜面的支持力FN和细线的拉力FT，则由平衡条件得：
斜面方向：mgsin α＝FTcos θ ①
垂直斜面方向：FN＋FTsin θ＝mgcos α ②
使小球沿斜面缓慢下移时，θ减小，其他量不变，由①式知，FT变小.
由②知，FN变大，故A错误，B正确；
对斜面体进行受力分析，如图乙所示，斜面体受到重力Mg、地面的支持力FN地、地面的静摩擦力Ff和小球的压力FN′，由平衡条件得：
Ff＝FN′sin α，FN′＝FN变大，Ff变大
FN地＝Mg＋FN′cos α，FN′＝FN变大，FN地变大，根据牛顿第三定律得，斜面体对地面的压力也变大，故C、D正确.

练习12(2016河北唐山联考,4分)如图,放在桌面上的A、B、C三个物块重均为100 N,小球P重20 N,作用在B上的水平力F=20 N,整个系统静止,则(　　)

A.A和B之间的摩擦力是20 N
B.B和C之间的摩擦力是20 N
C.物块C受六个力作用
D.C与桌面间的摩擦力为20 N
答案　B
考向三相似三角形法（一个力大小方向都不变，另外两个力大小方向都变化）
例题1(2018河北五校联考,7,4分)如图所示,质量分布均匀的细棒中心为O点,O1为光滑铰链,O2为光滑定滑轮,O2在O1正上方,一根轻绳一端系于O点,另一端跨过定滑轮O2由水平外力F牵引,用N表示铰链对杆的作用力,现在外力F作用下,细棒从图示位置缓慢转到竖直位置的过程中,下列说法正确的是(　　)

　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.F逐渐变小,N大小不变
B.F逐渐变小,N大小变大
C.F先变小后变大,N逐渐变小
D.F先变小后变大,N逐渐变大
答案　A
练习1(2017重庆十一中月考,3,4分)如图所示,固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为m的小球套在圆环上,一根细线的下端系着小球,上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线,使小球沿圆环缓慢上移,在移动过程中手对线的拉力F和环对小球的弹力FN的大小变化情况是(　　)

　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.F减小,FN不变 B.F不变,FN减小
C.F不变,FN增大 D.F增大,FN减小
答案　A
练习2表面光滑、半径为R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方O′处有一无摩擦定滑轮，轻质细绳两端各系一个小球挂在定滑轮上，如图所示．两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为L1＝2.4R和L2＝2.5R，则这两个小球的质量之比m1：m2为（不计球的大小）（　　）

A．24：1 B．25：1 C．24：25 D．25：24
答案　D
【解答】解：先以左侧小球为研究对象，分析受力情况：重力m1g、绳子的拉力T和半球的支持力N，作出力图。

由平衡条件得知，拉力T和支持力N的合力与重力mg大小相等、方向相反。设OO′＝h，根据三角形相似得：

解得：
m1g＝…①
同理，以右侧小球为研究对象，得：
m2g＝…②
由①：②得
m1：m2＝l2：l1＝25：24
故选：D。
练习3如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆，A端用铰链固定，滑轮在A点正上方（滑轮大小及摩擦均可不计），B端吊一重物．现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉，在AB杆达到竖直前（　　）

A．绳子拉力不变 B．绳子拉力减小
C．AB杆受力增大 D．AB杆受力不变
答案　BD
考向四内接三角形法
例题1　(多选)(2017·全国卷Ⅰ·21)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N，初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞).现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变.在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　)

A.MN上的张力逐渐增大 B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大 D.OM上的张力先增大后减小
答案　AD
解析　以重物为研究对象，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角为π－α不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以A、D正确，B、C错误.


练习1如图所示，重为G的物体用两根绳子OA、OB悬挂，开始时绳OA水平，现将两绳同时顺时针缓慢转过90°，始终保持α角大小不变，且物体始终静止，绳OA的拉力为T1，绳OB的拉力为T2，则在此旋转过程中不可能发生的是（　　）
A．T1先减小后增大
B．T1先增大后减小
C．T2逐渐减小
D．T2最终变为零
答案　A

练习2如图所示，水平面上等腰三角形均匀框架顶角∠BAC＝30°，一均匀圆球放在框架内，球与框架BC、AC两边接触但无挤压，现使框架以顶点A为转轴在竖直平面内顺时针方向从AB边水平缓慢转至AB边竖直，则在转动过程中（　　）

A．球对AB边的压力先增大后减小
B．球对BC边的压力先增大后减小
C．球对AC边的压力先增大后减小
D．球的重力势能一直增大
答案　AD

考向五利用正交分解、三角函数处理平衡问题
例题1(多选)如图所示，倾角为θ的斜面体c置于水平地面上，小物块b置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与沙漏a连接，连接b的一段细绳与斜面平行．在a中的沙子缓慢流出的过程中，a、b、c都处于静止状态，则(　　)

A．b对c的摩擦力一定减小
B．b对c的摩擦力方向可能平行斜面向上
C．地面对c的摩擦力方向一定向右
D．地面对c的摩擦力一定减小
答案　BD
解析　设a、b的重力分别为Ga、Gb.若Ga＝Gbsin θ，b受到c的摩擦力为零；若Ga≠Gbsin θ，b受到c的摩擦力不为零．若Ga>Gbsin θ，b受到c的摩擦力沿斜面向下，则b对c的摩擦力方向沿斜面向上，故A错误，B正确．以b、c整体为研究对象，受力分析如图，根据平衡条件得知地面对c的摩擦力Ff＝FTcos θ＝Gacos θ，方向水平向左．在a中的沙子缓慢流出的过程中，Ga减小，摩擦力减小．故D正确，C错误．

练习1如图所示，有一倾角θ＝30°的斜面体B，质量为M.质量为m的物体A静止在B上．现用水平力F推物体A，在F由零逐渐增加到mg再逐渐减为零的过程中，A和B始终保持静止．对此过程下列说法正确的是(　　)

A．地面对B的支持力大于(M＋m)g
B．A对B的压力的最小值为mg，最大值为mg
C．A所受摩擦力的最小值为0，最大值为
D．A所受摩擦力的最小值为mg，最大值为mg
答案　B
解析　因为A、B始终保持静止，对A、B整体受力分析可知，地面对B的支持力一直等于(M＋m)g，A错误．当F＝0时，A对B的压力最小，为mgcos 30°＝mg；当F＝mg时，A对B的压力最大，为mgcos 30°＋Fsin 30°＝mg，B正确．当Fcos 30°＝mgsin 30°时，即F＝mg时，A所受摩擦力为0，当F＝0时，A所受摩擦力大小为mg，方向沿斜面向上，当F＝mg时，A所受摩擦力大小为mg，方向沿斜面向下，选项C、D错误．
例题2(多选)如图所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态．若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则(　　)

A．绳OO′的张力也在一定范围内变化
B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
答案　BD
解析　由于物块a、b均保持静止，各绳角度保持不变，对a受力分析得，绳的拉力FT＝mag，所以物块a受到绳的拉力保持不变．由滑轮性质，滑轮两侧绳的拉力相等，所以b受到绳的拉力大小、方向均保持不变，C选项错误；a、b受到绳的拉力大小、方向均不变，所以OO′的张力不变，A选项错误；对b进行受力分析，如图所示．由平衡条件得：FTcos β＋Ff＝Fcos α，Fsin α＋FN＋FTsin β＝mbg.其中FT和mbg始终不变，当F大小在一定范围内变化时，支持力在一定范围内变化，B选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D选项正确．


练习3(2017·全国卷Ⅲ·17)一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80 cm的两点上，弹性绳的原长也为80 cm.将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100 cm；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为(弹性绳的伸长始终处于弹性限度内)(　　)
A.86 cm B.92 cm C.98 cm D.104 cm
答案　B
解析　设弹性绳的劲度系数为k.挂钩码后，弹性绳两端点移动前，绳的伸长量ΔL＝100 cm－80 cm＝20 cm，两段绳的弹力F＝kΔL，对钩码受力分析，如图甲所示，sin α＝，cos α＝.根据共点力的平衡条件可得，钩码的重力为G＝2kΔLcos α.将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点时，受力图如图乙所示.设弹性绳伸长量为ΔL′，弹力为F′＝kΔL′，钩码的重力为G＝2kΔL′，联立解得ΔL′＝ΔL＝12 cm.弹性绳的总长度变为L0＋ΔL′＝92 cm，故B正确，A、C、D错误.

　　 甲　　　　　　 乙

练习4(多选)(2017·天津理综·8)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态.如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是(　　)

A.绳的右端上移到b′，绳子拉力不变
B.将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D.若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
答案　AB
解析　设两杆间距离为d，绳长为l，Oa、Ob段长度分别为la和lb，则l＝la＋lb，两部分绳子与竖直方向夹角分别为α和β，受力分析如图所示.绳子中各部分张力相等，FTa＝FTb＝FT，则α＝β.满足2FTcos α＝mg，d＝lasin α＋lbsin α＝lsin α，即sin α＝，FT＝，d和l均不变，则sin α为定值，α为定值，cos α为定值，绳子的拉力保持不变，故A正确，C错误；将杆N向右移一些，d增大，则sin α增大，cos α减小，绳子的拉力增大，故B正确；若换挂质量更大的衣服，d和l均不变，绳中拉力增大，但衣服的位置不变，D错误.


练习5(多选)如图所示，在固定好的水平和竖直的框架上，A、B两点连接着一根绕过光滑的轻小滑轮的不可伸长的细绳，重物悬挂于滑轮下，处于静止状态.若按照以下的方式缓慢移动细绳的端点，则下列判断正确的是(　　)

A.只将绳的左端移向A′点，拉力变小
B.只将绳的左端移向A′点，拉力不变
C.只将绳的右端移向B′点，拉力变小
D.只将绳的右端移向B′点，拉力变大
答案　BD
解析　设滑轮两侧绳子与竖直方向的夹角为α，绳子的长度为L，B点到墙壁的距离为s，根据几何知识和对称性，得：sin α＝ ①
以滑轮为研究对象，设绳子拉力大小为FT，根据平衡条件得：2FTcos α＝mg，
得FT＝ ②
当只将绳的左端移向A′点，s和L均不变，则由②式知，FT不变，故A错误，B正确.当只将绳的右端移向B′点，s增加，而L不变，则由①式知，α增大，cos α减小，则由②式知，FT增大.故C错误，D正确.故选B、D.


练习6(2017·河北冀州2月模拟)如图所示，质量为m(可以看成质点)的小球P，用两根轻绳OP和O′P在P点拴结后再分别系于竖直墙上相距0.4 m的O、O′两点上，绳OP长0.5 m，绳O′P长0.3 m，今在小球上施加一方向与水平成θ＝37°角的拉力F，将小球缓慢拉起.绳O′P刚拉直时，OP绳拉力为FT1，绳OP刚松弛时，O′P绳拉力为FT2，则FT1∶FT2为(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　)

A.3∶4 B.4∶3 C.3∶5 D.4∶5
答案　C
解析　绳O′P刚拉直时，由几何关系可知此时OP绳与竖直方向夹角为37°，小球受力如图甲，则FT1＝mg.绳OP刚松弛时，小球受力如图乙，则FT2＝mg.则FT1∶FT2＝3∶5，C选项正确.


练习7(多选)(2017·江西南昌3月模拟)如图所示，静止在粗糙水平面上的半径为4R的半球的最高点A处有一根水平细线系着质量为m、半径为R的光滑小球.已知重力加速度为g.下列说法正确的是(　　)

A.地面对半球的摩擦力的方向水平向右
B.细线对小球的拉力大小为mg
C.保持小球的位置不变，将A点沿半球逐渐下移，半球对小球的支持力逐渐减小
D.剪断细线的瞬间，小球的加速度大小为0.6g
答案　BD
解析　以半球和小球整体为研究对象，整体处于平衡状态，不受摩擦力作用，A项错误.对小球受力分析如图，拉力FTA＝mgtan θ，由几何关系可知tan θ＝，则FTA＝mg，B项正确.半球对小球的支持力FN＝，在A点下移时，θ增大，cos θ减小，则FN增大，C项错误.在剪断细线的瞬间，细线对小球的拉力消失，小球在沿切线方向有mgsin θ＝ma，其中sin θ＝0.6，得a＝0.6g，D项正确.


练习8如图所示，物体A、B置于水平地面上，与地面间的动摩擦因数均为0.5，物体A、B用跨过光滑轻质动滑轮的细绳相连，现用逐渐增大的力斜向上提动滑轮，某时刻拉A物体的绳子与水平面成53°角，拉B物体的绳子与水平面成37°角，A、B两个物体仍处于平衡状态，此时若继续增大向上的力，A、B两个物体将同时开始运动，则A、B两个物体的质量之比为(认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)(　　)

A. B. C. D.
答案　B
解析　对A、B两物体，由平衡条件得FTcos 53°＝μ(mAg－FTsin 53°)，FTcos 37°＝μ(mBg－FTsin 37°)，解得＝，选项A、C、D错误，选项B正确.

练习9(2017·南京三模)小明家阁楼顶有一扇倾斜的天窗，天窗与竖直面的夹角为θ，如图所示，小明用质量为m的刮擦器擦天窗玻璃，当对刮擦器施加竖直向上大小为F的推力时，刮擦器恰好沿天窗玻璃向上匀速滑动，已知玻璃与刮擦器之间的动摩擦因数为μ，则刮擦器受到的摩擦力大小是(　　)
A．(F－mg)cosθ B．(F＋mg)sinθ
C．μ(F－mg)cosθ D．μ(F＋mg)sinθ
答案　A
解析　刮擦器受重力、推力、斜壁的弹力及摩擦力而处于平衡状态，

由图可知，F一定大于重力；
先将重力及向上的推力合力后，将二者的合力向垂直于斜面方向及沿斜面方向分解可得：
在沿斜面方向有：摩擦力f＝(F－mg)cosθ；
在垂直斜面方向上有：FN＝(F－mg)sinθ；
则f＝(F－mg)cosθ＝μ(F－mg)sinθ.

练习10(2017·深圳市调研)如图，一个轻型衣柜放在水平地面上，一条光滑轻绳两端分别固定在两侧顶端A、B上，再挂上带有衣服的衣架．若保持绳长和左端位置点不变，将右端依次改在C点或D点后固定，衣柜一直不动，下列说法正确的是(　　)

A．若改在C点，绳的张力大小不变
B．若改在D点，衣架两侧绳的张力不相等
C．若改在D点，衣架两侧绳的张力相等且不变
D．若改在C点，衣柜对地面的压力将会增大
答案　C
解析　对挂钩受力分析，根据平衡条件结合几何关系列式求解绳子拉力大小与重力的关系；分析绳子左右移动或上下移动时，细线与杆的夹角是否变化，由此分析拉力是否变化；整体为研究对象分析对地面的压力．
设绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子张力为T，衣服的质量为m；根据共点力的平衡条件可得：2Tcosθ＝mg，若改在C点，绳子与竖直方向的夹角变小，绳的张力变小，A项错误；若改在D点，衣架两侧绳的张力仍相等，B项错误；绳两端分别固定在两侧顶端A、B上时，受力情况如图所示，

设绳长为L，晾衣架宽度为d，根据几何关系可得sinθ＝，当绳子右端上下移动过程中，绳子与竖直方向的夹角不变；则根据2Tcosθ＝mg可知绳子拉力不变，C项正确；若改在C点，衣柜对地面的压力等于整体的重力，不变，D项错误．
练习11(2017·合肥市模拟)如图所示，质量M＝2 kg的木块套在水平固定杆上，并用轻绳与质量m＝1 kg的小球相连，今用跟水平方向成60°角的力F＝10 N拉着小球并带动木块一起向右匀速运动，运动中M、m的相对位置保持不变，g＝10 m/s2.在运动过程中，求：
(1)轻绳与水平方向的夹角．
(2)木块M与水平杆间的动摩擦因数μ.
答案　(1)θ＝30°　(2)μ＝
解析　以m为研究对象，由平衡条件得：
水平方向Fcos60°－FTcosθ＝0 ①
竖直方向Fsin60°－FTsinθ－mg＝0 ②
解得：θ＝30°
(2)以M、m整体为研究对象．由平衡条件得：
水平方向Fcos60°－μFN＝0 ③
竖直方向FN＋Fsin60°－Mg－mg＝0 ④
由③④得μ＝.



练习12如图所示，物体的质量为2 kg，两根轻细绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ＝60°的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围．(g取10 m/s2)
答案　10 N≤F≤20 N
解析　对A球受力分析，受到拉力F，重力mg，两根细绳的拉力FB、FC，
如图所示，根据平衡条件，有：

x方向：Fcos60°＝FCcos30°＋FBcos30°
y方向：Fsin60°＋FBsin30°＝mg＋FCsin30°
解得：FB＝mg－F FC＝F－mg
当FB＝0时，F最大，为：Fmax＝20 N；
当FC＝0时，F最小，为：F min＝10 N；
故拉力F的范围为：10 N≤F≤20 N.

练习13质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑．如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块匀速上升，如图所示(已知木楔在整个过程中始终静止)．

(1)当α＝θ时，拉力F有最小值，求此最小值；
(2)当α＝θ时，木楔对水平面的摩擦力是多大？
答案　(1)mgsin 2θ　(2)mgsin 4θ
解析　木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有
mgsin θ＝μmgcos θ，
即μ＝tan θ.
(1)木块在力F作用下沿斜面向上匀速运动，有
Fcos α＝mgsin θ＋Ff
Fsin α＋FN＝mgcos θ
Ff＝μFN
解得F＝＝＝
则当α＝θ时，F有最小值，为Fmin＝mgsin 2θ.
(2)因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F的水平分力，即Ff＝Fcos (α＋θ)
当α＝θ时，F取最小值mgsin 2θ，
Ffm＝Fmincos 2θ＝mg·sin 2θcos 2θ＝mgsin 4θ.