2019年沪科新版九年级上册数学第22章相似形单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2019年沪科新版九年级上册数学第22章相似形单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 485.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-30 14:18:24 | ||
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文档简介
2019年沪科新版九年级上册数学《第22章 相似形》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．如果3a＝2b（ab≠0），那么比例式中正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a＝，b＝3，c＝2，d＝ B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
C．a＝2，b＝，c＝2，d＝ D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1
3．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝10cm，则AC等于（ ）
A．6cm B．（5+1）cm C．5（﹣1）cm D．（5﹣1）cm
4．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，CE的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
5．下列说法中正确的是（ ）
A．两个平行四边形一定相似
B．两个菱形一定相似
C．两个矩形一定相似
D．两个等腰直角三角形一定相似
6．如图所示，△ABC∽△ACD，且AB＝10cm，AC＝8cm，则AD的长是（ ）
A．6.4cm B．6cm C．2cm D．4cm
7．如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形（顶点为网格线的交点），要使△ABC∽△PBD，则点P的位置应落在（ ）
A．点P1上 B．点P2上 C．点P3上 D．点P4上
8．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，是小孔成像原理的示意图，根据图所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（ ）
A． B． C． D．1 cm
10．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（ ）
A．（3，1） B．（3，3） C．（4，4） D．（4，1）
二．填空题（共8小题）
11．若＝，则为＝ ．
12．线段2cm、8cm的比例中项为 cm．
13．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则AC＝ ．（用根号表示）
14．如图，在△ABC中，AM：MD＝4，BD：DC＝2：3，则AE：EC＝ ．
15．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的 倍．
16．如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点F是AC的中点，连结EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC的面积为 ．
17．如图，点P在△ABC的边AC上，要使△ABP∽△ACB，添加一个条件 ．
18．一副三角板叠放如图，则△AOB与△DOC的面积之比为 ．
三．解答题（共8小题）
19．已知，求下列算式的值．
（1）；
（2）．
20．某考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．回答下列问题：
（1）用1cm代表1千米，画出考察队行进路线图；
（2）量出∠PAC和∠ACP的度数（精确到1°）；
（3）测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？（精确到0.1千米）．
21．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
22．如图，AB∥CD，AD、BC相交于点O，若OA＝2，OD＝4，AB＝3．
试求：（1）的值；（2）CD的长度．
23．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于 ；
②当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形．
（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．
24．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的长．
25．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．
26．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．
（1）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？
（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？
（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．
2019年沪科新版九年级上册数学《第22章 相似形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如果3a＝2b（ab≠0），那么比例式中正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】先逆用比例的基本性质，把3a＝2b改写成比例的形式，使相乘的两个数a和3做比例的外项，则相乘的另两个数b和2就做比例的内项；进而判断得解．
【解答】解：∵3a＝2b，
∴a：b＝2：3，b：a＝3：2，
即a：2＝b：3，
故A，B均错误，C正确，D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了比例的性质，解答此题的关键是比例基本性质的逆运用，要注意：内项之积等于外项之积．本题也可以将各选项中的比例式化为等积式进行判断．
2．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a＝，b＝3，c＝2，d＝ B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
C．a＝2，b＝，c＝2，d＝ D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解答】解：A.×3≠2×，故本选项错误；
B.4×10≠5×6，故本选项错误；
C.2×＝×2，故本选项正确；
D.4×1≠3×2，故本选项错误；
故选：C．
【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念和变形是解题的关键，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
3．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝10cm，则AC等于（ ）
A．6cm B．（5+1）cm C．5（﹣1）cm D．（5﹣1）cm
【分析】由于点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），根据黄金分割的定义得到AC＝AB，然后把AB＝10cm代入计算即可．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴AC＝AB，
而AB＝10cm，
∴AC＝×10＝5（﹣1）cm．
故选：C．
【点评】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．
4．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，CE的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴BE＝＝＝10，
∴CE＝BE﹣BC＝10﹣6＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，正确列出比例式是解题的关键．
5．下列说法中正确的是（ ）
A．两个平行四边形一定相似
B．两个菱形一定相似
C．两个矩形一定相似
D．两个等腰直角三角形一定相似
【分析】根据相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同进行分析即可．
【解答】解：A、两个平行四边形一定相似，说法错误；
B、两个菱形一定相似，说法错误；
C、两个矩形一定相似，说法错误；
D、两个等腰直角三角形一定相似，说法正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似图形，关键是掌握相似图形定义：把形状相同的图形称为相似形．
6．如图所示，△ABC∽△ACD，且AB＝10cm，AC＝8cm，则AD的长是（ ）
A．6.4cm B．6cm C．2cm D．4cm
【分析】由△ABC∽△ACD，且AB＝10cm，AC＝8cm，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC∽△ACD，
∴，
∵AB＝10cm，AC＝8cm，
∴，
∴AD＝6.4．
故选：A．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例．
7．如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形（顶点为网格线的交点），要使△ABC∽△PBD，则点P的位置应落在（ ）
A．点P1上 B．点P2上 C．点P3上 D．点P4上
【分析】由图可知∠BPD一定是钝角，若要△ABC∽△PBD，则PB、PD与AB、AC的比值必须相等，可据此进行判断．
【解答】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD，
则∠BPD一定是钝角，∠BPD＝∠BAC，
又BA＝2，AC＝2，
∴BA：AC＝1：，
∴BP：PD＝1：或BP：PD＝：1，
只有P2符合这样的要求，故P点应该在P2．
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的性质，以及勾股定理的运用，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，书写相似三角形时，对应顶点要对应．熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
8．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由在正方形ABCD中，∠GEF＝90°，易证得△AGE∽△BEF，又由E为AB的中点，AG＝1，BF＝2，根据相似三角形的对应边成比例，易求得AE与BE的长，然后由勾股定理求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠AGE+∠AEG＝90°，
∵∠GEF＝90°，
∴∠AEG+∠BEF＝90°，
∴∠AGE＝∠BEF，
∴△AGE∽△BEF，
∴，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∵AG＝1，BF＝2，
∴，
解得：BE＝AE＝，
在Rt△AEG中，GE2＝AG2+AE2＝3，
在Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2＝6，
∴在Rt△GEF中，GF＝＝3．
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
9．如图，是小孔成像原理的示意图，根据图所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（ ）
A． B． C． D．1 cm
【分析】据小孔成像原理可知△AOB∽△COD，利用它们的对应边成比例就可以求出CD之长．
【解答】解：如图过O作直线OE⊥AB，交CD于F，
依题意AB∥CD
∴OF⊥CD
∴OE＝12，OF＝2
而AB∥CD可以得△AOB∽△COD
∵OE，OF分别是它们的高
∴，
∵AB＝6，
∴CD＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，还有会用相似三角形对应边成比例．
10．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（ ）
A．（3，1） B．（3，3） C．（4，4） D．（4，1）
【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，
∴A点与C点是对应点，
∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为：1：2，
∴点C的坐标为：（4，4）
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．
二．填空题（共8小题）
11．若＝，则为＝ ．
【分析】由＝，可以假设x＝2k，y＝3k，代入计算即可解决问题．
【解答】解：∵＝，
∴可以假设x＝2k，y＝3k，
∴＝＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
12．线段2cm、8cm的比例中项为 4 cm．
【分析】比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，
得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
设它们的比例中项是x，则x2＝2×8，x＝±4（线段是正数，负值舍去），故填4．
【点评】理解比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数．
13．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则AC＝ ﹣1+ ．（用根号表示）
【分析】用AC表示出BC，然后根据黄金分割点的定义列方程求解即可．
【解答】解：∵AC＞BC，AB＝2，
∴BC＝AB﹣AC＝2﹣AC，
∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴AC2＝AB?BC，
∴AC2＝2（2﹣AC），
整理得，AC2+2AC﹣4＝0，
解得AC＝﹣1+，AC＝﹣1﹣（舍去）．
故答案为：﹣1+．
【点评】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割点的定义并列出关于AC的方程是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，AM：MD＝4，BD：DC＝2：3，则AE：EC＝ 8：5 ．
【分析】如图，过点D作DF∥BE交AC于点F．由平行线分线段成比例和比例的性质求得EF：FC＝BD：DC＝2：3．AM：MD＝AE：EF＝4：1，由此求得AE：EC＝8：5．
【解答】解：如图，过点D作DF∥BE交AC于点F．
∴EF：FC＝BD：DC，AM：MD＝AE：EF．
∵BD：DC＝2：3，
∴EF：FC＝BD：DC＝2：3．
设EF＝2a，则CF＝3a．
∵AM：MD＝AE：EF，
∵AM：MD＝4：1
∴AE：EF＝4：1
∴AE＝8a
∴AE：EC＝8a：5a＝8：5．
故答案是：8：5．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理．解题时，用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案．
15．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的 5 倍．
【分析】由题意一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，根据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解．
【解答】解：∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，
∴扩大后的三角形与原三角形相似，
∵相似三角形的周长的比等于相似比，
∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍，
故答案为：5．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．
16．如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点F是AC的中点，连结EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC的面积为 10 ．
【分析】依据BD＝AB，BE是∠ABC的平分线，即可得到AE＝DE，进而得出△BDE的面积与△ABE的面积均为3，再根据EF是△ACD的中位线，即可得出△ACD的面积为4，即可得到△ABC的面积为3+3+4＝10．
【解答】解：∵BD＝AB，BE是∠ABC的平分线，
∴AE＝DE，
∴△BDE的面积与△ABE的面积均为3，
又∵点F是AC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴2EF＝CD，EF∥DC，
∴△AEF∽△ADC，
∴S△ACD＝4S△AEF，
∵四边形CDEF的面积为3，
∴△ACD的面积为4，
∴△ABC的面积为3+3+4＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
17．如图，点P在△ABC的边AC上，要使△ABP∽△ACB，添加一个条件 ∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC或AB2＝AP?AC ．
【分析】根据相似三角形的判定方法，即可解决问题．
【解答】解：在△ABP和△ACB中，
∵∠A＝∠A，
∴当∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC或＝即AB2＝AP?AC时，
△ABP∽△ACB，
故答案为∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC或AB2＝AP?AC．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是记住相似三角形的判定方法，属于基础题中考常考题型．
18．一副三角板叠放如图，则△AOB与△DOC的面积之比为 ．
【分析】，设BC＝a，求出AB、CD，由△AOB∽△COD，得＝（）2即可解决问题．
【解答】解：设BC＝a，
在Rt△ABC中，AB＝BC＝a，
在Rt△BCD中，∵DC＝BC，
∴CD＝a，
∵∠ABC+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴＝（）2＝（）2＝，
故答案为．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、特殊三角形的边角关系等知识，解题的关键是应用了相似三角形的面积比等于相似比的平方，属于常见题，中考常考题型．
三．解答题（共8小题）
19．已知，求下列算式的值．
（1）；
（2）．
【分析】（1）由比例的性质容易得出结果；
（2）设a＝3k，则b＝2k，代入计算化简即可．
【解答】解：（1）∵，
∴＝；
（2）∵，
∴设a＝3k，则b＝2k，
∴＝＝＝．
【点评】本题考查了比例的性质，代数式的求值；熟练掌握比例的性质是解决问题的关键．
20．某考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．回答下列问题：
（1）用1cm代表1千米，画出考察队行进路线图；
（2）量出∠PAC和∠ACP的度数（精确到1°）；
（3）测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？（精确到0.1千米）．
【分析】（1）先画出方向标，再确定方位角、比例尺作图；
（2）动手操作利用量角器测量即可；
（3）先利用刻度尺测量出图上距离，再根据比例尺换算成实际距离．
【解答】解：（1）路线图（6分）（P、A、C点各2分）
注意：起点是必须在所给的图形中画，否则即使画图正确扣；（2分）
（2）量得∠PAC≈105°，∠ACP≈45°；（9分）（只有1个正确得2分）
（3）量路线图得AC≈3.5厘米，PC≈6.8厘米．
∴AC≈3.5千米；PC≈6.8千米（13分）
【点评】主要考查了方位角的作图能力．要会根据比例尺准确的作图，并根据图例测算出实际距离．
21．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
【分析】（1）判断△ABC∽△BDC，根据对应边成比例可得出答案．
（2）根据黄金比值即可求出AD的长度．
【解答】解：（1）∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝36°，∠BDC＝72°，
∴AD＝BD，BC＝BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴＝，即＝，
∴AD2＝AC?CD．
∴点D是线段AC的黄金分割点．
（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴AD＝AC，
∵AC＝2，
∴AD＝﹣1．
【点评】本题考查了黄金分割的知识，解答本题的关键是仔细审题，理解黄金分割的定义，注意掌握黄金比值．
22．如图，AB∥CD，AD、BC相交于点O，若OA＝2，OD＝4，AB＝3．
试求：（1）的值；（2）CD的长度．
【分析】（1）根据平行线分线段定理，由AB∥CD，即可得出＝＝＝；
（2）根据平行线分线段定理，由AB∥CD，即可得出＝，进而求得CD的长度．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴＝＝＝；
（2）∵AB∥CD，
∴＝，
∵OA＝2，OD＝4，AB＝3．
∴CD＝＝6．
【点评】本题考查了平行线分线段定理，熟练掌握性质定理是本题的关键．
23．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于 40 ；
②当菱形的“接近度”等于 0 时，菱形是正方形．
（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．
【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；
（2）不合理，举例进行说明．
【解答】解：（1）①∵内角为70°，
∴与它相邻内角的度数为110°．
∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．
（2）不合理．
例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．
合理定义方法不唯一．
如定义为，
越接近1，矩形越接近于正方形；
越大，矩形与正方形的形状差异越大；
当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．
【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．
24．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的长．
【分析】由△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】解：∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，
∴AC＝AD+CD＝12，
∴AE＝4，AB＝9，
∴BE＝AB﹣AE＝5．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用是解此题的关键．
25．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．
【分析】（1）根据等边三角形各边长相等和各内角为60°的性质可以求证△ABD≌△BCE；
（2）根据全等三角形对应角相等性质可得∠BAD＝∠CBE，进而可以求得∠EAF＝∠EBA，即可求证△EAF∽△EBA，即可解题．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝∠BAC，
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE；
（2）答：相似；
理由如下：
∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠CBA﹣∠CBE，
∴∠EAF＝∠EBA，又∵∠AEF＝∠BEA，
∴△EAF∽△EBA．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应角相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等边三角形各边长相等、各内角为60°的性质．
26．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．
（1）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？
（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？
（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．
【分析】（1）根据三角形的面积列方程即可求出结果；
（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC，②若Rt△ABC∽Rt△PQC，然后列方程求解；
（3）根据勾股定理列方程，此方程无解，于是得到在运动过程中，PQ的长度能否为1cm．
【解答】解：（1）经过t秒后，PC＝4﹣2t，CQ＝t，
当△CPQ的面积等于△ABC面积的时，
即（4﹣2t）?t＝××3×4，
解得；t＝或t＝；
∴经过或秒后，△CPQ的面积等于△ABC面积的；
（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若Rt△ABC∽Rt△QPC则＝，即＝，解之得t＝1.2；
②若Rt△ABC∽Rt△PQC则＝，＝，解之得t＝；
由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，
验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间为1.2或秒；
（3）∵∠C＝90°，
∴（4﹣2t）2+t2＝1，
∵此方程无实数解，
∴在运动过程中，PQ的长度不能为1cm．
【点评】本题考查了动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，特别是（2）注意分类讨论．
一．选择题（共10小题）
1．如果3a＝2b（ab≠0），那么比例式中正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a＝，b＝3，c＝2，d＝ B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
C．a＝2，b＝，c＝2，d＝ D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1
3．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝10cm，则AC等于（ ）
A．6cm B．（5+1）cm C．5（﹣1）cm D．（5﹣1）cm
4．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，CE的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
5．下列说法中正确的是（ ）
A．两个平行四边形一定相似
B．两个菱形一定相似
C．两个矩形一定相似
D．两个等腰直角三角形一定相似
6．如图所示，△ABC∽△ACD，且AB＝10cm，AC＝8cm，则AD的长是（ ）
A．6.4cm B．6cm C．2cm D．4cm
7．如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形（顶点为网格线的交点），要使△ABC∽△PBD，则点P的位置应落在（ ）
A．点P1上 B．点P2上 C．点P3上 D．点P4上
8．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，是小孔成像原理的示意图，根据图所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（ ）
A． B． C． D．1 cm
10．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（ ）
A．（3，1） B．（3，3） C．（4，4） D．（4，1）
二．填空题（共8小题）
11．若＝，则为＝ ．
12．线段2cm、8cm的比例中项为 cm．
13．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则AC＝ ．（用根号表示）
14．如图，在△ABC中，AM：MD＝4，BD：DC＝2：3，则AE：EC＝ ．
15．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的 倍．
16．如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点F是AC的中点，连结EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC的面积为 ．
17．如图，点P在△ABC的边AC上，要使△ABP∽△ACB，添加一个条件 ．
18．一副三角板叠放如图，则△AOB与△DOC的面积之比为 ．
三．解答题（共8小题）
19．已知，求下列算式的值．
（1）；
（2）．
20．某考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．回答下列问题：
（1）用1cm代表1千米，画出考察队行进路线图；
（2）量出∠PAC和∠ACP的度数（精确到1°）；
（3）测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？（精确到0.1千米）．
21．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
22．如图，AB∥CD，AD、BC相交于点O，若OA＝2，OD＝4，AB＝3．
试求：（1）的值；（2）CD的长度．
23．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于 ；
②当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形．
（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．
24．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的长．
25．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．
26．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．
（1）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？
（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？
（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．
2019年沪科新版九年级上册数学《第22章 相似形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如果3a＝2b（ab≠0），那么比例式中正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】先逆用比例的基本性质，把3a＝2b改写成比例的形式，使相乘的两个数a和3做比例的外项，则相乘的另两个数b和2就做比例的内项；进而判断得解．
【解答】解：∵3a＝2b，
∴a：b＝2：3，b：a＝3：2，
即a：2＝b：3，
故A，B均错误，C正确，D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了比例的性质，解答此题的关键是比例基本性质的逆运用，要注意：内项之积等于外项之积．本题也可以将各选项中的比例式化为等积式进行判断．
2．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a＝，b＝3，c＝2，d＝ B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
C．a＝2，b＝，c＝2，d＝ D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解答】解：A.×3≠2×，故本选项错误；
B.4×10≠5×6，故本选项错误；
C.2×＝×2，故本选项正确；
D.4×1≠3×2，故本选项错误；
故选：C．
【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念和变形是解题的关键，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
3．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝10cm，则AC等于（ ）
A．6cm B．（5+1）cm C．5（﹣1）cm D．（5﹣1）cm
【分析】由于点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），根据黄金分割的定义得到AC＝AB，然后把AB＝10cm代入计算即可．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴AC＝AB，
而AB＝10cm，
∴AC＝×10＝5（﹣1）cm．
故选：C．
【点评】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．
4．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，CE的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴BE＝＝＝10，
∴CE＝BE﹣BC＝10﹣6＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，正确列出比例式是解题的关键．
5．下列说法中正确的是（ ）
A．两个平行四边形一定相似
B．两个菱形一定相似
C．两个矩形一定相似
D．两个等腰直角三角形一定相似
【分析】根据相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同进行分析即可．
【解答】解：A、两个平行四边形一定相似，说法错误；
B、两个菱形一定相似，说法错误；
C、两个矩形一定相似，说法错误；
D、两个等腰直角三角形一定相似，说法正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似图形，关键是掌握相似图形定义：把形状相同的图形称为相似形．
6．如图所示，△ABC∽△ACD，且AB＝10cm，AC＝8cm，则AD的长是（ ）
A．6.4cm B．6cm C．2cm D．4cm
【分析】由△ABC∽△ACD，且AB＝10cm，AC＝8cm，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC∽△ACD，
∴，
∵AB＝10cm，AC＝8cm，
∴，
∴AD＝6.4．
故选：A．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例．
7．如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形（顶点为网格线的交点），要使△ABC∽△PBD，则点P的位置应落在（ ）
A．点P1上 B．点P2上 C．点P3上 D．点P4上
【分析】由图可知∠BPD一定是钝角，若要△ABC∽△PBD，则PB、PD与AB、AC的比值必须相等，可据此进行判断．
【解答】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD，
则∠BPD一定是钝角，∠BPD＝∠BAC，
又BA＝2，AC＝2，
∴BA：AC＝1：，
∴BP：PD＝1：或BP：PD＝：1，
只有P2符合这样的要求，故P点应该在P2．
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的性质，以及勾股定理的运用，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，书写相似三角形时，对应顶点要对应．熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
8．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由在正方形ABCD中，∠GEF＝90°，易证得△AGE∽△BEF，又由E为AB的中点，AG＝1，BF＝2，根据相似三角形的对应边成比例，易求得AE与BE的长，然后由勾股定理求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠AGE+∠AEG＝90°，
∵∠GEF＝90°，
∴∠AEG+∠BEF＝90°，
∴∠AGE＝∠BEF，
∴△AGE∽△BEF，
∴，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∵AG＝1，BF＝2，
∴，
解得：BE＝AE＝，
在Rt△AEG中，GE2＝AG2+AE2＝3，
在Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2＝6，
∴在Rt△GEF中，GF＝＝3．
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
9．如图，是小孔成像原理的示意图，根据图所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（ ）
A． B． C． D．1 cm
【分析】据小孔成像原理可知△AOB∽△COD，利用它们的对应边成比例就可以求出CD之长．
【解答】解：如图过O作直线OE⊥AB，交CD于F，
依题意AB∥CD
∴OF⊥CD
∴OE＝12，OF＝2
而AB∥CD可以得△AOB∽△COD
∵OE，OF分别是它们的高
∴，
∵AB＝6，
∴CD＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，还有会用相似三角形对应边成比例．
10．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（ ）
A．（3，1） B．（3，3） C．（4，4） D．（4，1）
【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，
∴A点与C点是对应点，
∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为：1：2，
∴点C的坐标为：（4，4）
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．
二．填空题（共8小题）
11．若＝，则为＝ ．
【分析】由＝，可以假设x＝2k，y＝3k，代入计算即可解决问题．
【解答】解：∵＝，
∴可以假设x＝2k，y＝3k，
∴＝＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
12．线段2cm、8cm的比例中项为 4 cm．
【分析】比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，
得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
设它们的比例中项是x，则x2＝2×8，x＝±4（线段是正数，负值舍去），故填4．
【点评】理解比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数．
13．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则AC＝ ﹣1+ ．（用根号表示）
【分析】用AC表示出BC，然后根据黄金分割点的定义列方程求解即可．
【解答】解：∵AC＞BC，AB＝2，
∴BC＝AB﹣AC＝2﹣AC，
∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴AC2＝AB?BC，
∴AC2＝2（2﹣AC），
整理得，AC2+2AC﹣4＝0，
解得AC＝﹣1+，AC＝﹣1﹣（舍去）．
故答案为：﹣1+．
【点评】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割点的定义并列出关于AC的方程是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，AM：MD＝4，BD：DC＝2：3，则AE：EC＝ 8：5 ．
【分析】如图，过点D作DF∥BE交AC于点F．由平行线分线段成比例和比例的性质求得EF：FC＝BD：DC＝2：3．AM：MD＝AE：EF＝4：1，由此求得AE：EC＝8：5．
【解答】解：如图，过点D作DF∥BE交AC于点F．
∴EF：FC＝BD：DC，AM：MD＝AE：EF．
∵BD：DC＝2：3，
∴EF：FC＝BD：DC＝2：3．
设EF＝2a，则CF＝3a．
∵AM：MD＝AE：EF，
∵AM：MD＝4：1
∴AE：EF＝4：1
∴AE＝8a
∴AE：EC＝8a：5a＝8：5．
故答案是：8：5．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理．解题时，用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案．
15．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的 5 倍．
【分析】由题意一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，根据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解．
【解答】解：∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，
∴扩大后的三角形与原三角形相似，
∵相似三角形的周长的比等于相似比，
∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍，
故答案为：5．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．
16．如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点F是AC的中点，连结EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC的面积为 10 ．
【分析】依据BD＝AB，BE是∠ABC的平分线，即可得到AE＝DE，进而得出△BDE的面积与△ABE的面积均为3，再根据EF是△ACD的中位线，即可得出△ACD的面积为4，即可得到△ABC的面积为3+3+4＝10．
【解答】解：∵BD＝AB，BE是∠ABC的平分线，
∴AE＝DE，
∴△BDE的面积与△ABE的面积均为3，
又∵点F是AC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴2EF＝CD，EF∥DC，
∴△AEF∽△ADC，
∴S△ACD＝4S△AEF，
∵四边形CDEF的面积为3，
∴△ACD的面积为4，
∴△ABC的面积为3+3+4＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
17．如图，点P在△ABC的边AC上，要使△ABP∽△ACB，添加一个条件 ∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC或AB2＝AP?AC ．
【分析】根据相似三角形的判定方法，即可解决问题．
【解答】解：在△ABP和△ACB中，
∵∠A＝∠A，
∴当∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC或＝即AB2＝AP?AC时，
△ABP∽△ACB，
故答案为∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC或AB2＝AP?AC．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是记住相似三角形的判定方法，属于基础题中考常考题型．
18．一副三角板叠放如图，则△AOB与△DOC的面积之比为 ．
【分析】，设BC＝a，求出AB、CD，由△AOB∽△COD，得＝（）2即可解决问题．
【解答】解：设BC＝a，
在Rt△ABC中，AB＝BC＝a，
在Rt△BCD中，∵DC＝BC，
∴CD＝a，
∵∠ABC+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴＝（）2＝（）2＝，
故答案为．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、特殊三角形的边角关系等知识，解题的关键是应用了相似三角形的面积比等于相似比的平方，属于常见题，中考常考题型．
三．解答题（共8小题）
19．已知，求下列算式的值．
（1）；
（2）．
【分析】（1）由比例的性质容易得出结果；
（2）设a＝3k，则b＝2k，代入计算化简即可．
【解答】解：（1）∵，
∴＝；
（2）∵，
∴设a＝3k，则b＝2k，
∴＝＝＝．
【点评】本题考查了比例的性质，代数式的求值；熟练掌握比例的性质是解决问题的关键．
20．某考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．回答下列问题：
（1）用1cm代表1千米，画出考察队行进路线图；
（2）量出∠PAC和∠ACP的度数（精确到1°）；
（3）测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？（精确到0.1千米）．
【分析】（1）先画出方向标，再确定方位角、比例尺作图；
（2）动手操作利用量角器测量即可；
（3）先利用刻度尺测量出图上距离，再根据比例尺换算成实际距离．
【解答】解：（1）路线图（6分）（P、A、C点各2分）
注意：起点是必须在所给的图形中画，否则即使画图正确扣；（2分）
（2）量得∠PAC≈105°，∠ACP≈45°；（9分）（只有1个正确得2分）
（3）量路线图得AC≈3.5厘米，PC≈6.8厘米．
∴AC≈3.5千米；PC≈6.8千米（13分）
【点评】主要考查了方位角的作图能力．要会根据比例尺准确的作图，并根据图例测算出实际距离．
21．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
【分析】（1）判断△ABC∽△BDC，根据对应边成比例可得出答案．
（2）根据黄金比值即可求出AD的长度．
【解答】解：（1）∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝36°，∠BDC＝72°，
∴AD＝BD，BC＝BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴＝，即＝，
∴AD2＝AC?CD．
∴点D是线段AC的黄金分割点．
（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴AD＝AC，
∵AC＝2，
∴AD＝﹣1．
【点评】本题考查了黄金分割的知识，解答本题的关键是仔细审题，理解黄金分割的定义，注意掌握黄金比值．
22．如图，AB∥CD，AD、BC相交于点O，若OA＝2，OD＝4，AB＝3．
试求：（1）的值；（2）CD的长度．
【分析】（1）根据平行线分线段定理，由AB∥CD，即可得出＝＝＝；
（2）根据平行线分线段定理，由AB∥CD，即可得出＝，进而求得CD的长度．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴＝＝＝；
（2）∵AB∥CD，
∴＝，
∵OA＝2，OD＝4，AB＝3．
∴CD＝＝6．
【点评】本题考查了平行线分线段定理，熟练掌握性质定理是本题的关键．
23．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于 40 ；
②当菱形的“接近度”等于 0 时，菱形是正方形．
（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．
【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；
（2）不合理，举例进行说明．
【解答】解：（1）①∵内角为70°，
∴与它相邻内角的度数为110°．
∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．
（2）不合理．
例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．
合理定义方法不唯一．
如定义为，
越接近1，矩形越接近于正方形；
越大，矩形与正方形的形状差异越大；
当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．
【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．
24．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的长．
【分析】由△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】解：∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，
∴AC＝AD+CD＝12，
∴AE＝4，AB＝9，
∴BE＝AB﹣AE＝5．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用是解此题的关键．
25．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．
【分析】（1）根据等边三角形各边长相等和各内角为60°的性质可以求证△ABD≌△BCE；
（2）根据全等三角形对应角相等性质可得∠BAD＝∠CBE，进而可以求得∠EAF＝∠EBA，即可求证△EAF∽△EBA，即可解题．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝∠BAC，
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE；
（2）答：相似；
理由如下：
∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠CBA﹣∠CBE，
∴∠EAF＝∠EBA，又∵∠AEF＝∠BEA，
∴△EAF∽△EBA．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应角相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等边三角形各边长相等、各内角为60°的性质．
26．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．
（1）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？
（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？
（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．
【分析】（1）根据三角形的面积列方程即可求出结果；
（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC，②若Rt△ABC∽Rt△PQC，然后列方程求解；
（3）根据勾股定理列方程，此方程无解，于是得到在运动过程中，PQ的长度能否为1cm．
【解答】解：（1）经过t秒后，PC＝4﹣2t，CQ＝t，
当△CPQ的面积等于△ABC面积的时，
即（4﹣2t）?t＝××3×4，
解得；t＝或t＝；
∴经过或秒后，△CPQ的面积等于△ABC面积的；
（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若Rt△ABC∽Rt△QPC则＝，即＝，解之得t＝1.2；
②若Rt△ABC∽Rt△PQC则＝，＝，解之得t＝；
由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，
验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间为1.2或秒；
（3）∵∠C＝90°，
∴（4﹣2t）2+t2＝1，
∵此方程无实数解，
∴在运动过程中，PQ的长度不能为1cm．
【点评】本题考查了动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，特别是（2）注意分类讨论．