2019年沪科新版九年级上册数学第23章解直角三角形单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2019年沪科新版九年级上册数学第23章解直角三角形单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 675.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-30 14:16:41 | ||
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文档简介
2019年沪科新版九年级上册数学《第23章 解直角三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，则cosA也扩大5倍
B．若45°＜α＜90°，则sinα＞1
C．cos30°+cos45°＝cos（30°+45°）
D．若α为锐角，tanα＝，则sinα＝
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
5．3tan60°的值为（ ）
A． B． C． D．3
6．下面四个数中，最大的是（ ）
A． B．sin88° C．tan46° D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD的正切值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A和B之间的距离，在垂直AB的方向AC上确定点C，如果测得AC＝75米，∠ACB＝55°，那么A和B之间的距离是（ ）米．
A．75?sin55° B．75?cos55° C．75?tan55° D．
9．如图，已知一商场自动扶梯的长l为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）
A．200米 B．200米 C．220米 D．米
二．填空题（共8小题）
11．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是 ．
12．如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）
13．已知：tanx＝2，则＝ ．
14．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为 ．
15．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（﹣cosB）2＝0，则∠C＝ °．
16．用科学记算器计算：2×sin15°×cos15°＝ ．
17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD＝ ．
18．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 米（结果精确到0.1，参考数据：＝1.41，＝1.73 ）
三．解答题（共8小题）
19．学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°的值为
A． B．1 C． D．2
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 ．
（3）已知sinα＝，其中α为锐角，试求sadα的值．
20．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
21．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
22．计算：6tan230°﹣cos30°?tan60°﹣2sin45°+cos60°．
23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
24．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为1米，HF段的长为1.50米，篮板底部支架HE的长为0.75米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．
（2）求篮板顶端F到地面的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）
25．某学校为增加体育馆观众坐席数量，决定对体育馆进行施工改造．如图，为体育馆改造的截面示意图．已知原座位区最高点A到地面的铅直高度AC长度为15米，原坡面AB的倾斜角∠ABC为45°，原坡脚B与场馆中央的运动区边界的安全距离BD为5米．如果按照施工方提供的设计方案施工，新座位区最高点E到地面的铅直高度EG长度保持15米不变，使A、E两点间距离为2米，使改造后坡面EF的倾斜角∠EFG为37°．若学校要求新坡脚F需与场馆中央的运动区边界的安全距离FD至少保持2.5米（即FD≥2.5），请问施工方提供的设计方案是否满足安全要求呢？请说明理由．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈）
26．重庆是一座美丽的山坡，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝53°，离B点4米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF＝63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD＝5米．
（1）求斜坡AB的坡度i．
（2）求DC的长．
（参考数据：tan53°≈，tan63.4°≈2）
2019年沪科新版九年级上册数学《第23章 解直角三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出OA，根据正弦的定义解答即可．
【解答】解：由题意得，OC＝2，AC＝4，
由勾股定理得，AO＝＝2，
∴sinA＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
2．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
【分析】易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．
【解答】解：∵各边都扩大5倍，
∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，
∴两三角形相似，
∴∠A的三角函数值不变，
故选：A．
【点评】用到的知识点为：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，则cosA也扩大5倍
B．若45°＜α＜90°，则sinα＞1
C．cos30°+cos45°＝cos（30°+45°）
D．若α为锐角，tanα＝，则sinα＝
【分析】根据三角函数的定义利用排除法求解．
【解答】解：A、在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，但它们的比值不变，所以cosA值不变，故本选项错误；
B、应为若45°＜α＜90°，则＜sinα＜1，故本选项错误；
C、三角函数的度数不能直接相加，故本选项错误；
D、根据tanα＝设两直角边为5k、12k，根据勾股定理得斜边为13k，所以sinα＝，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题利用三角函数的性质求解．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数定义解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
设BC＝3x，则AB＝5x，
∴AC＝4x．
∴cosB＝＝．
故选：C．
【点评】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
5．3tan60°的值为（ ）
A． B． C． D．3
【分析】把tan60的数值代入即可求解．
【解答】解：3tan60°＝3×＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是关键．
6．下面四个数中，最大的是（ ）
A． B．sin88° C．tan46° D．
【分析】利用计算器求出数值，再计算即可．
【解答】解：A、﹣≈2.236﹣1.732≈0.504；
B、sin88°≈0.999；
C、tan46°≈1.036；
D、≈≈0.568．
故tan46°最大，
故选：C．
【点评】本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD的正切值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD，再根据等边对等角的性质可得∠A＝∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A的正切值，即为tan∠ACD的值．
【解答】解：∵CD是AB边上的中线，
∴CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴tan∠A＝，
∴tan∠ACD的值．
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，求出∠A＝∠ACD是解本题的关键．
8．如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A和B之间的距离，在垂直AB的方向AC上确定点C，如果测得AC＝75米，∠ACB＝55°，那么A和B之间的距离是（ ）米．
A．75?sin55° B．75?cos55° C．75?tan55° D．
【分析】根据题意，可得Rt△ABC，同时可知AC与∠ACB．根据三角函数的定义解答．
【解答】解：根据题意，在Rt△ABC，有AC＝75，∠ACB＝55°，且tanα＝，
则AB＝AC×tan55°＝75?tan55°，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握三角函数的定义．
9．如图，已知一商场自动扶梯的长l为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】在由自动扶梯构成的直角三角形中，已知了坡面l和铅直高度h的长，可用勾股定理求出坡面的水平宽度，进而求出θ的正切值．
【解答】解：∵商场自动扶梯的长l＝13米，高度h＝5米，
∴m＝＝＝12米，
∴tanθ＝；
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是勾股定理，正确理解三角函数的定义求出m的长是关键．
10．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）
A．200米 B．200米 C．220米 D．米
【分析】在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，BD＝CD＝100米，再在Rt△ACD中求出AD的长，据此即可求出AB的长．
【解答】解：∵在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，
∴BD＝CD＝100米，
∵在热气球C处测得地面A点的俯角分别为30°，
∴AC＝2×100＝200米，
∴AD＝＝100米，
∴AB＝AD+BD＝100+100＝100（1+）米，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
二．填空题（共8小题）
11．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是 ．
【分析】首先连接AB，由勾股定理易求得OA2＝12+32＝10，AB2＝12+32＝10，OB2＝22+42＝20，然后由勾股定理的逆定理，可证得△AOB是等腰直角三角形，继而可求得cos∠AOB的值．
【解答】解：连接AB，
∵OA2＝12+32＝10，AB2＝12+32＝10，OB2＝22+42＝20，
∴OA2+AB2＝OB2，OA＝AB，
∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝45°，
∴cos∠AOB＝cos45°＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理以及勾股定理的逆定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
12．如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ＞ ∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【分析】解法一：取点G、F，构建等腰直角三角形，由正切的值可作判断，或直接根据∠BAC＝45°，∠EAD＜∠FAG＝45°，来作判断；
解法二：作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN＝，再分别求∠BAC、∠DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．
【解答】解：解法一：在AD上取一点G，在网格上取点F，构建△AFG为等腰直角三角形，
∵tan∠BAC＝＝1，tan∠EAD＜1，
∴∠BAC＞∠EAD；
解法二：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，
S△ANH＝2×2﹣﹣×1×1＝AH?NP，
＝PN，
PN＝，
Rt△ANP中，sin∠NAP＝＝＝＝0.6，
Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝＝＞0.6，
∵正弦值随着角度的增大而增大，
∴∠BAC＞∠DAE，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．
13．已知：tanx＝2，则＝ ．
【分析】分式中分子分母同时除以cosx，可得出关于tanx的分式，代入tanx的值即可得出答案．
【解答】解：分子分母同时除以cosx，原分式可化为：，
当tanx＝2时，原式＝＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了同角三角函数的知识，解答本题的关键是掌握tanx＝这一变换，有一定的技巧性．
14．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为 ．
【分析】根据所给的角的正弦值可得两条边的比，进而可得第三边长，tanB的值＝∠B的对边与邻边之比．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴sinA＝＝，
设a为3k，则c为5k，
根据勾股定理可得：b＝4k，
∴tanB＝＝，
故答案为：．
【点评】考查求锐角的三角函数值的方法通常为：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．
15．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（﹣cosB）2＝0，则∠C＝ 75 °．
【分析】根据非负数的性质求出tanA和cosB的值，然后求出∠A、∠B的度数，最后求出∠C．
【解答】解：由题意得，tanA＝1，cosB＝，
则∠A＝45°，∠B＝60°，
则∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故答案为：75．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
16．用科学记算器计算：2×sin15°×cos15°＝ 0.5 ．
【分析】本题要求同学们能熟练应用计算器，会用科学记算器进行计算．
【解答】解：用计算器按MODE，有DEG后，按2×sin15×cos15＝显示结果为0.5．
故答案为0.5．
【点评】本题考查了熟练应用计算器的能力．
17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD＝ ．
【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．
【解答】解：延长AD和BC交于点E．
∵在直角△ABE中，tanA＝＝，AB＝3，
∴BE＝4，
∴EC＝BE﹣BC＝4﹣2＝2，
∵△ABE和△CDE中，∠B＝∠EDC＝90°，∠E＝∠E，
∴∠DCE＝∠A，
∴直角△CDE中，tan∠DCE＝tanA＝＝，
∴设DE＝4x，则DC＝3x，
在直角△CDE中，EC2＝DE2+DC2，
∴4＝16x2+9x2，
解得：x＝，
则CD＝．
故答案是：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
18．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 2.9 米（结果精确到0.1，参考数据：＝1.41，＝1.73 ）
【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可得DM＝AM＝4m，再根据勾股定理可得MC2+MB2＝（2MC）2，代入数可得答案．
【解答】解：由题意可得：∵AM＝4米，∠MAD＝45°，
∴DM＝4m，
∵AM＝4米，AB＝8米，
∴MB＝12米，
∵∠MBC＝30°，
∴BC＝2MC，
∴MC2+MB2＝（2MC）2，
MC2+122＝（2MC）2，
∴MC＝4，
则DC＝4﹣4≈2.9（米），
故答案为：2.9．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，勾股定理得应用，关键是掌握锐角三角函数的应用，属于中考常考题型．
三．解答题（共8小题）
19．学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°的值为
A． B．1 C． D．2
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 0＜sadA＜2 ．
（3）已知sinα＝，其中α为锐角，试求sadα的值．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；
（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出直角△ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答．
【解答】解：（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，
则sad60°＝＝1．
故选B．
（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为0＜sadA＜2．
（3）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin∠A＝．
在AB上取点D，使AD＝AC，
作DH⊥AC，H为垂足，令BC＝3k，AB＝5k，
则AD＝AC＝＝4k，
又∵在△ADH中，∠AHD＝90°，sin∠A＝．
∴DH＝ADsin∠A＝k，AH＝＝k．
则在△CDH中，CH＝AC﹣AH＝k，CD＝＝k．
于是在△ACD中，AD＝AC＝4k，CD＝k．
由正对的定义可得：sadA＝＝，即sadα＝．
【点评】此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答．
20．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；
（2）举出反例进行论证．
【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：
如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．
则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；
（2）该等式不成立，理由如下：
假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，
∵≠1，
∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．
21．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
【分析】（1）将α＝30°代入，根据三角函数值计算可得；
（2）设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．
【解答】解：（1）当α＝30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
＝sin230°+sin260°
＝（）2+（）2
＝+
＝1；
（2）小明的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C＝90°，
设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
＝（）2+（）2
＝
＝
＝1．
【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．
22．计算：6tan230°﹣cos30°?tan60°﹣2sin45°+cos60°．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
【解答】解：原式＝．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】特殊角三角函数值：
sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝，cot30°＝；
sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1，cot45°＝1；
sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，cot60°＝．
23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，再解Rt△ADC，得出DC＝1；解Rt△ADB，得出AB＝3，根据勾股定理求出BD＝2，然后根据BC＝BD+DC即可求解；
（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE＝CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1．
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，
∴AB＝＝3，
∴BD＝＝2，
∴BC＝BD+DC＝2+1；
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BC＝+，
∴DE＝CE﹣CD＝+﹣1＝﹣，
∴tan∠DAE＝＝＝﹣．
【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的高、中线的定义，勾股定理，难度中等，分别解Rt△ADC与Rt△ADB，得出DC＝1，AB＝3是解题的关键．
24．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为1米，HF段的长为1.50米，篮板底部支架HE的长为0.75米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．
（2）求篮板顶端F到地面的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）
【分析】（1）直接利用锐角三角函数关系得出cos∠FHE＝＝，进而得出答案；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意可得：cos∠FHE＝＝，
则∠FHE＝60°；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
∴AB＝BC?tan75°＝0.60×3.732＝2.2392，
∴GM＝AB＝2.2392，
在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝，
∴sin60°＝＝，
∴FG≈2.17（m），
∴FM＝FG+GM≈4.4（米），
答：篮板顶端F到地面的距离是4.4米．
【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
25．某学校为增加体育馆观众坐席数量，决定对体育馆进行施工改造．如图，为体育馆改造的截面示意图．已知原座位区最高点A到地面的铅直高度AC长度为15米，原坡面AB的倾斜角∠ABC为45°，原坡脚B与场馆中央的运动区边界的安全距离BD为5米．如果按照施工方提供的设计方案施工，新座位区最高点E到地面的铅直高度EG长度保持15米不变，使A、E两点间距离为2米，使改造后坡面EF的倾斜角∠EFG为37°．若学校要求新坡脚F需与场馆中央的运动区边界的安全距离FD至少保持2.5米（即FD≥2.5），请问施工方提供的设计方案是否满足安全要求呢？请说明理由．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈）
【分析】在Rt△ABC中通过解直角三角形可求出BC的长度，在Rt△EFG中通过解直角三角形可求出GF的长度，由EG＝AC＝15m、AC⊥BC、EG⊥BC可得出四边形EGCA是矩形，进而可得出GC的长度，再根据BF＝GF﹣GC﹣BC、FD＝BD﹣BF即可求出FD的长度，由FD的长度小于2.5米可得出施工方提供的设计方案不满足安全要求．
【解答】解：施工方提供的设计方案不满足安全要求，理由如下：
在Rt△ABC中，AC＝15m，∠ABC＝45°，
∴BC＝＝15m．
在Rt△EFG中，EG＝15m，∠EFG＝37°，
∴GF＝≈＝20m．
∵EG＝AC＝15m，AC⊥BC，EG⊥BC，
∴EG∥AC，
∴四边形EGCA是矩形，
∴GC＝EA＝2m，
∴BF＝GF﹣GC﹣BC≈20﹣15﹣2＝3m．
∵BD＝5m，
∴FD＝BD﹣BF≈5﹣3＝2＜2.5，
∴施工方提供的设计方案不满足安全要求．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角问题，通过解直角三角形求出BC、GF的长度是解题的关键．
26．重庆是一座美丽的山坡，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝53°，离B点4米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF＝63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD＝5米．
（1）求斜坡AB的坡度i．
（2）求DC的长．
（参考数据：tan53°≈，tan63.4°≈2）
【分析】（1）过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，求得BG＝DF＝5米，然后根据勾股定理求得AG，即可求得斜坡AB的坡度i．
（2）在Rt△BCF中，BF＝＝，在Rt△CEF中，EF＝＝，得到方程BF﹣EF＝﹣＝4，解得CF＝16，即可求得求DC＝21．
【解答】解：（1）过B作BG⊥AD于G，
则四边形BGDF是矩形，
∴BG＝DF＝5米，
∵AB＝13米，
∴AG＝＝12米，
∴AB的坡度i＝＝1：2.4；
（2）在Rt△BCF中，BF＝＝，
在Rt△CEF中，EF＝＝，
∵BE＝4米，
∴BF﹣EF═﹣＝4，
解得：CF＝16．
∴DC＝CF+DF＝16+5＝21米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角和俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度和坡比问题，正确理解题意是解题的关键．
一．选择题（共10小题）
1．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，则cosA也扩大5倍
B．若45°＜α＜90°，则sinα＞1
C．cos30°+cos45°＝cos（30°+45°）
D．若α为锐角，tanα＝，则sinα＝
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
5．3tan60°的值为（ ）
A． B． C． D．3
6．下面四个数中，最大的是（ ）
A． B．sin88° C．tan46° D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD的正切值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A和B之间的距离，在垂直AB的方向AC上确定点C，如果测得AC＝75米，∠ACB＝55°，那么A和B之间的距离是（ ）米．
A．75?sin55° B．75?cos55° C．75?tan55° D．
9．如图，已知一商场自动扶梯的长l为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）
A．200米 B．200米 C．220米 D．米
二．填空题（共8小题）
11．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是 ．
12．如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）
13．已知：tanx＝2，则＝ ．
14．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为 ．
15．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（﹣cosB）2＝0，则∠C＝ °．
16．用科学记算器计算：2×sin15°×cos15°＝ ．
17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD＝ ．
18．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 米（结果精确到0.1，参考数据：＝1.41，＝1.73 ）
三．解答题（共8小题）
19．学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°的值为
A． B．1 C． D．2
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 ．
（3）已知sinα＝，其中α为锐角，试求sadα的值．
20．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
21．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
22．计算：6tan230°﹣cos30°?tan60°﹣2sin45°+cos60°．
23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
24．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为1米，HF段的长为1.50米，篮板底部支架HE的长为0.75米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．
（2）求篮板顶端F到地面的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）
25．某学校为增加体育馆观众坐席数量，决定对体育馆进行施工改造．如图，为体育馆改造的截面示意图．已知原座位区最高点A到地面的铅直高度AC长度为15米，原坡面AB的倾斜角∠ABC为45°，原坡脚B与场馆中央的运动区边界的安全距离BD为5米．如果按照施工方提供的设计方案施工，新座位区最高点E到地面的铅直高度EG长度保持15米不变，使A、E两点间距离为2米，使改造后坡面EF的倾斜角∠EFG为37°．若学校要求新坡脚F需与场馆中央的运动区边界的安全距离FD至少保持2.5米（即FD≥2.5），请问施工方提供的设计方案是否满足安全要求呢？请说明理由．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈）
26．重庆是一座美丽的山坡，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝53°，离B点4米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF＝63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD＝5米．
（1）求斜坡AB的坡度i．
（2）求DC的长．
（参考数据：tan53°≈，tan63.4°≈2）
2019年沪科新版九年级上册数学《第23章 解直角三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出OA，根据正弦的定义解答即可．
【解答】解：由题意得，OC＝2，AC＝4，
由勾股定理得，AO＝＝2，
∴sinA＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
2．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
【分析】易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．
【解答】解：∵各边都扩大5倍，
∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，
∴两三角形相似，
∴∠A的三角函数值不变，
故选：A．
【点评】用到的知识点为：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，则cosA也扩大5倍
B．若45°＜α＜90°，则sinα＞1
C．cos30°+cos45°＝cos（30°+45°）
D．若α为锐角，tanα＝，则sinα＝
【分析】根据三角函数的定义利用排除法求解．
【解答】解：A、在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，但它们的比值不变，所以cosA值不变，故本选项错误；
B、应为若45°＜α＜90°，则＜sinα＜1，故本选项错误；
C、三角函数的度数不能直接相加，故本选项错误；
D、根据tanα＝设两直角边为5k、12k，根据勾股定理得斜边为13k，所以sinα＝，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题利用三角函数的性质求解．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数定义解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
设BC＝3x，则AB＝5x，
∴AC＝4x．
∴cosB＝＝．
故选：C．
【点评】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
5．3tan60°的值为（ ）
A． B． C． D．3
【分析】把tan60的数值代入即可求解．
【解答】解：3tan60°＝3×＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是关键．
6．下面四个数中，最大的是（ ）
A． B．sin88° C．tan46° D．
【分析】利用计算器求出数值，再计算即可．
【解答】解：A、﹣≈2.236﹣1.732≈0.504；
B、sin88°≈0.999；
C、tan46°≈1.036；
D、≈≈0.568．
故tan46°最大，
故选：C．
【点评】本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD的正切值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD，再根据等边对等角的性质可得∠A＝∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A的正切值，即为tan∠ACD的值．
【解答】解：∵CD是AB边上的中线，
∴CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴tan∠A＝，
∴tan∠ACD的值．
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，求出∠A＝∠ACD是解本题的关键．
8．如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A和B之间的距离，在垂直AB的方向AC上确定点C，如果测得AC＝75米，∠ACB＝55°，那么A和B之间的距离是（ ）米．
A．75?sin55° B．75?cos55° C．75?tan55° D．
【分析】根据题意，可得Rt△ABC，同时可知AC与∠ACB．根据三角函数的定义解答．
【解答】解：根据题意，在Rt△ABC，有AC＝75，∠ACB＝55°，且tanα＝，
则AB＝AC×tan55°＝75?tan55°，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握三角函数的定义．
9．如图，已知一商场自动扶梯的长l为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】在由自动扶梯构成的直角三角形中，已知了坡面l和铅直高度h的长，可用勾股定理求出坡面的水平宽度，进而求出θ的正切值．
【解答】解：∵商场自动扶梯的长l＝13米，高度h＝5米，
∴m＝＝＝12米，
∴tanθ＝；
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是勾股定理，正确理解三角函数的定义求出m的长是关键．
10．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）
A．200米 B．200米 C．220米 D．米
【分析】在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，BD＝CD＝100米，再在Rt△ACD中求出AD的长，据此即可求出AB的长．
【解答】解：∵在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，
∴BD＝CD＝100米，
∵在热气球C处测得地面A点的俯角分别为30°，
∴AC＝2×100＝200米，
∴AD＝＝100米，
∴AB＝AD+BD＝100+100＝100（1+）米，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
二．填空题（共8小题）
11．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是 ．
【分析】首先连接AB，由勾股定理易求得OA2＝12+32＝10，AB2＝12+32＝10，OB2＝22+42＝20，然后由勾股定理的逆定理，可证得△AOB是等腰直角三角形，继而可求得cos∠AOB的值．
【解答】解：连接AB，
∵OA2＝12+32＝10，AB2＝12+32＝10，OB2＝22+42＝20，
∴OA2+AB2＝OB2，OA＝AB，
∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝45°，
∴cos∠AOB＝cos45°＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理以及勾股定理的逆定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
12．如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ＞ ∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【分析】解法一：取点G、F，构建等腰直角三角形，由正切的值可作判断，或直接根据∠BAC＝45°，∠EAD＜∠FAG＝45°，来作判断；
解法二：作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN＝，再分别求∠BAC、∠DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．
【解答】解：解法一：在AD上取一点G，在网格上取点F，构建△AFG为等腰直角三角形，
∵tan∠BAC＝＝1，tan∠EAD＜1，
∴∠BAC＞∠EAD；
解法二：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，
S△ANH＝2×2﹣﹣×1×1＝AH?NP，
＝PN，
PN＝，
Rt△ANP中，sin∠NAP＝＝＝＝0.6，
Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝＝＞0.6，
∵正弦值随着角度的增大而增大，
∴∠BAC＞∠DAE，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．
13．已知：tanx＝2，则＝ ．
【分析】分式中分子分母同时除以cosx，可得出关于tanx的分式，代入tanx的值即可得出答案．
【解答】解：分子分母同时除以cosx，原分式可化为：，
当tanx＝2时，原式＝＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了同角三角函数的知识，解答本题的关键是掌握tanx＝这一变换，有一定的技巧性．
14．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为 ．
【分析】根据所给的角的正弦值可得两条边的比，进而可得第三边长，tanB的值＝∠B的对边与邻边之比．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴sinA＝＝，
设a为3k，则c为5k，
根据勾股定理可得：b＝4k，
∴tanB＝＝，
故答案为：．
【点评】考查求锐角的三角函数值的方法通常为：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．
15．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（﹣cosB）2＝0，则∠C＝ 75 °．
【分析】根据非负数的性质求出tanA和cosB的值，然后求出∠A、∠B的度数，最后求出∠C．
【解答】解：由题意得，tanA＝1，cosB＝，
则∠A＝45°，∠B＝60°，
则∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故答案为：75．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
16．用科学记算器计算：2×sin15°×cos15°＝ 0.5 ．
【分析】本题要求同学们能熟练应用计算器，会用科学记算器进行计算．
【解答】解：用计算器按MODE，有DEG后，按2×sin15×cos15＝显示结果为0.5．
故答案为0.5．
【点评】本题考查了熟练应用计算器的能力．
17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD＝ ．
【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．
【解答】解：延长AD和BC交于点E．
∵在直角△ABE中，tanA＝＝，AB＝3，
∴BE＝4，
∴EC＝BE﹣BC＝4﹣2＝2，
∵△ABE和△CDE中，∠B＝∠EDC＝90°，∠E＝∠E，
∴∠DCE＝∠A，
∴直角△CDE中，tan∠DCE＝tanA＝＝，
∴设DE＝4x，则DC＝3x，
在直角△CDE中，EC2＝DE2+DC2，
∴4＝16x2+9x2，
解得：x＝，
则CD＝．
故答案是：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
18．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 2.9 米（结果精确到0.1，参考数据：＝1.41，＝1.73 ）
【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可得DM＝AM＝4m，再根据勾股定理可得MC2+MB2＝（2MC）2，代入数可得答案．
【解答】解：由题意可得：∵AM＝4米，∠MAD＝45°，
∴DM＝4m，
∵AM＝4米，AB＝8米，
∴MB＝12米，
∵∠MBC＝30°，
∴BC＝2MC，
∴MC2+MB2＝（2MC）2，
MC2+122＝（2MC）2，
∴MC＝4，
则DC＝4﹣4≈2.9（米），
故答案为：2.9．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，勾股定理得应用，关键是掌握锐角三角函数的应用，属于中考常考题型．
三．解答题（共8小题）
19．学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°的值为
A． B．1 C． D．2
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 0＜sadA＜2 ．
（3）已知sinα＝，其中α为锐角，试求sadα的值．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；
（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出直角△ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答．
【解答】解：（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，
则sad60°＝＝1．
故选B．
（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为0＜sadA＜2．
（3）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin∠A＝．
在AB上取点D，使AD＝AC，
作DH⊥AC，H为垂足，令BC＝3k，AB＝5k，
则AD＝AC＝＝4k，
又∵在△ADH中，∠AHD＝90°，sin∠A＝．
∴DH＝ADsin∠A＝k，AH＝＝k．
则在△CDH中，CH＝AC﹣AH＝k，CD＝＝k．
于是在△ACD中，AD＝AC＝4k，CD＝k．
由正对的定义可得：sadA＝＝，即sadα＝．
【点评】此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答．
20．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；
（2）举出反例进行论证．
【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：
如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．
则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；
（2）该等式不成立，理由如下：
假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，
∵≠1，
∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．
21．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
【分析】（1）将α＝30°代入，根据三角函数值计算可得；
（2）设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．
【解答】解：（1）当α＝30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
＝sin230°+sin260°
＝（）2+（）2
＝+
＝1；
（2）小明的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C＝90°，
设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
＝（）2+（）2
＝
＝
＝1．
【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．
22．计算：6tan230°﹣cos30°?tan60°﹣2sin45°+cos60°．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
【解答】解：原式＝．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】特殊角三角函数值：
sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝，cot30°＝；
sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1，cot45°＝1；
sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，cot60°＝．
23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，再解Rt△ADC，得出DC＝1；解Rt△ADB，得出AB＝3，根据勾股定理求出BD＝2，然后根据BC＝BD+DC即可求解；
（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE＝CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1．
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，
∴AB＝＝3，
∴BD＝＝2，
∴BC＝BD+DC＝2+1；
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BC＝+，
∴DE＝CE﹣CD＝+﹣1＝﹣，
∴tan∠DAE＝＝＝﹣．
【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的高、中线的定义，勾股定理，难度中等，分别解Rt△ADC与Rt△ADB，得出DC＝1，AB＝3是解题的关键．
24．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为1米，HF段的长为1.50米，篮板底部支架HE的长为0.75米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．
（2）求篮板顶端F到地面的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）
【分析】（1）直接利用锐角三角函数关系得出cos∠FHE＝＝，进而得出答案；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意可得：cos∠FHE＝＝，
则∠FHE＝60°；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
∴AB＝BC?tan75°＝0.60×3.732＝2.2392，
∴GM＝AB＝2.2392，
在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝，
∴sin60°＝＝，
∴FG≈2.17（m），
∴FM＝FG+GM≈4.4（米），
答：篮板顶端F到地面的距离是4.4米．
【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
25．某学校为增加体育馆观众坐席数量，决定对体育馆进行施工改造．如图，为体育馆改造的截面示意图．已知原座位区最高点A到地面的铅直高度AC长度为15米，原坡面AB的倾斜角∠ABC为45°，原坡脚B与场馆中央的运动区边界的安全距离BD为5米．如果按照施工方提供的设计方案施工，新座位区最高点E到地面的铅直高度EG长度保持15米不变，使A、E两点间距离为2米，使改造后坡面EF的倾斜角∠EFG为37°．若学校要求新坡脚F需与场馆中央的运动区边界的安全距离FD至少保持2.5米（即FD≥2.5），请问施工方提供的设计方案是否满足安全要求呢？请说明理由．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈）
【分析】在Rt△ABC中通过解直角三角形可求出BC的长度，在Rt△EFG中通过解直角三角形可求出GF的长度，由EG＝AC＝15m、AC⊥BC、EG⊥BC可得出四边形EGCA是矩形，进而可得出GC的长度，再根据BF＝GF﹣GC﹣BC、FD＝BD﹣BF即可求出FD的长度，由FD的长度小于2.5米可得出施工方提供的设计方案不满足安全要求．
【解答】解：施工方提供的设计方案不满足安全要求，理由如下：
在Rt△ABC中，AC＝15m，∠ABC＝45°，
∴BC＝＝15m．
在Rt△EFG中，EG＝15m，∠EFG＝37°，
∴GF＝≈＝20m．
∵EG＝AC＝15m，AC⊥BC，EG⊥BC，
∴EG∥AC，
∴四边形EGCA是矩形，
∴GC＝EA＝2m，
∴BF＝GF﹣GC﹣BC≈20﹣15﹣2＝3m．
∵BD＝5m，
∴FD＝BD﹣BF≈5﹣3＝2＜2.5，
∴施工方提供的设计方案不满足安全要求．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角问题，通过解直角三角形求出BC、GF的长度是解题的关键．
26．重庆是一座美丽的山坡，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝53°，离B点4米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF＝63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD＝5米．
（1）求斜坡AB的坡度i．
（2）求DC的长．
（参考数据：tan53°≈，tan63.4°≈2）
【分析】（1）过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，求得BG＝DF＝5米，然后根据勾股定理求得AG，即可求得斜坡AB的坡度i．
（2）在Rt△BCF中，BF＝＝，在Rt△CEF中，EF＝＝，得到方程BF﹣EF＝﹣＝4，解得CF＝16，即可求得求DC＝21．
【解答】解：（1）过B作BG⊥AD于G，
则四边形BGDF是矩形，
∴BG＝DF＝5米，
∵AB＝13米，
∴AG＝＝12米，
∴AB的坡度i＝＝1：2.4；
（2）在Rt△BCF中，BF＝＝，
在Rt△CEF中，EF＝＝，
∵BE＝4米，
∴BF﹣EF═﹣＝4，
解得：CF＝16．
∴DC＝CF+DF＝16+5＝21米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角和俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度和坡比问题，正确理解题意是解题的关键．