第十一届初中青年数学教师优秀课展示与培训活动
中国教育学会2019年度课堂教学展示与培训系列活动
——第十一届初中青年数学教师优秀课展示与培训活动
13.1.2
线段的垂直平分线的性质
教学设计
北京市第二十中学
关磊
2019年12月
福建
厦门
教学基本信息
课题
13.1.2
线段的垂直平分线的性质
是否属于地方课程或校本课程
否
学科
数学
学段：初中
年级
八年级
相关领域
无
教材
书名：
《数学
八年级上册》
出版社：人民教育出版社
出版日期：2013年6月
教学设计参与人员
姓名
单位
联系方式
设计者
关磊
北京市第二十中学
18101150173
实施者
关磊
北京市第二十中学
18101150173
指导者
李青霞邵文武陈娟
北京市教育研究中心北京市海淀区教育研究中心北京市第二十中学
1352122627013693626422
课件制作者
关磊
北京市第二十中学
18101150173
指导思想与理论依据
《数学课程标准》中指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程．认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式．学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”．本节课以任务研究的方式展开，通过学生的积极思考、动手实践、合作交流等方式经历探究的全过程，体现了学生的主体性和教师的主导作用.培养了学生的思维能力和创新能力.层层深入的设计，紧密连接学生前面所学知识，体现了维果斯基的“最近发展区”理论.图形计算器的引入丰富了学生学习的手段，更加清晰展现了图形的生成及动态过程.通过动手、观察、实验、推理证明从而解决问题，完成对知识的自我建构.
教学背景分析
教学内容：线段的垂直平分线的性质是初中平面几何教学中非常重要的两个定理，而这两个定理为互逆定理.也就是说“到线段两端点距离相等的点”和“点在线段的垂直平分线上”是互为充要条件的.即线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等点的轨迹.本节课的切入点正是从轨迹的角度刻画线段垂直平分线的．与之前的角的平分线和后续的圆的定义相得益彰，强化了学生对于轨迹的认识.此前，学生在学习角的平分线的性质时已对轨迹有了初步了解，本节课建立在此基础上深化学生对于轨迹的认识。从人教版教材的安排来看，在本节之前，通过全等三角形的学习，研究了两个图形之间的数量关系；通过轴对称的学习，进一步研究两个全等图形之间的特殊位置关系．本节课的两个定理恰是在沟通图形的数量关系与位置关系之间的联系，是之前知识的深化和再认识.学生情况为更加准确的把握学情，在课前进行了学习情况调研，以下是分别针对八年级、九年级学生的两份学生调查问卷．数据显示，八年级学生欠缺探究一个图形性质的方法和经验；九年级学生即使学习过这部分内容，但对证明几何命题的完整规范表述仍有一定不足．教学方式：探究式教学
教学目标
1.能从实际情境中，抽象出几何模型，初步感悟“具有某条件的点的特征”．2.能动手操作、观察、猜想并证明线段的垂直平分线的性质.3.在探索活动中，体会合情推理的作用，理解模型思想、集合思想．4.通过对定理证明的一般步骤的梳理，发展逻辑推理能力．教学重点：理解线段的垂直平分线的性质．教学难点：发现并证明线段的垂直平分线的性质．
教学流程示意(可选项)
教学过程(文字描述)
一．借助情境，发现问题实际情境：学校为丰富同学们的体育活动，现要建造健身器材。试问，为保证器材到南楼和北楼的距离相等，应当修建在哪里？
师生活动：从实际情境中抽象出数学问题，画出图形，并利用图形计算器找到健身器材大致的位置．教师适当追问，引导学生找到更多符合要求的位置.分析符合要求点的分布与半径相关的结论，提出“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”的猜想.问题1：这样的点是否存在呢？如果存在，它应该满足什么条件呢？问题2：你能通过作图的方法找出到两个定点距离相等的点吗？问题3：你能提出关于“到两点距离相等的点”的哪些猜想？猜想1：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．（命题1）【活动1.1】利用图形计算器作图的办法画出到两点距离相等的点，并简要叙述画图步骤．【活动1.2】根据符合要求的点位置的不同，通过轨迹追踪的办法画出更多符合要求的点。【活动1.3】分析符合要求点的分布，提出“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”的猜想.设计意图：通过建造健身器材这一实际情境引入，激发了学生的学习兴趣；借助情境，学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程，从更易于理解的到两点距离相等的点开始探究起，逐步通过作图分析出猜想，既为下一个环节探究线段的垂直平分线的性质做了铺垫，又让学生获得一定的研究经验．
二．证明猜想，归纳小结【活动2.1】利用图形计算器，作图验证.利用图形计算器画出该线段中垂线，对比之前的轨迹，验证猜想.设计意图：在实际操作中验证从而获得更加可靠的直观体验，为后面的证明理解做铺垫。【活动2.2】阅读材料，理解证明过程和思路.课前，教师准备好一份利用反证法证明的过程，发给学生。此环节，学生通过阅读此证明，加深理解，并对于反证法的基本思路有一定的了解.材料：命题：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.已知：平面内有一线段及一点，满足.求证：点在线段的垂直平分线上.设计意图：通过阅读材料了解反证法的证明办法，深刻理解和体会数学的严密性和逻辑性。【活动2.3】证明逆命题的正确性.提出逆命题：线段的垂直平分线上的点到线段两端点距离相等.转化成图形语言和符号语言.预设1：已知：直线是线段的垂直平分线.求证：.预设2：已知：点在直线上，直线是线段的垂直平分线.求证：.学生在将文字改写成符号语言时，对于如何描述距离出现不同的理解，教师引导学生分析几名同学的改写，确定预设2中的书写是最为恰当的表述．师生互动：师生共同分析，辨析命题的条件和结论，不断调整自己已知、求证的书写．
设计意图：学生在不断的调整已知、求证的书写的过程中，提升对命题的理解，强化几何命题证明的一般步骤，体会数学的严谨性，突破本节课的教学难点．【活动2.4】小结探究的一般方法.师生共同归纳探究的一般步骤：抽象数学问题-----画图提出猜想-----证明猜想设计意图：学习知识的同时提升学生总结方法的意识和能力。同时，此方法也在后面的探究中加以应用，做好铺垫作用.三．拓展探究，提高能力上面我们一起探究了到两点距离相等的点的轨迹，大家还能提出什么新问题吗？我们一起来探究.到三个点距离相等的点的轨迹.【活动3.1】学生以小组合作的方式通过图形计算器完成探究.
第一步：连结第二步：分别做三条线段的垂直平分线，交于点.第三步：点即为所求．【活动3.2】三条中垂线是否经过同一点呢？根据前面的定理2我们知道，分别作线段和线段的中垂线并取交点能够保证.再结合定理1可以得到已知的前提下，点一定在线段的中垂线上，从而得证.设计意图：此问题的提出既是对找到三个点距离相等点的轨迹的必然要求，同时也是对于之前两个定理的运用.四．探究延伸，巩固提升此环节作为前面活动的延伸，让学生自主提问，并当作当天的课后研究作业。设计意图：激发学生探究热情，深化课上所学内容.五．课堂小结，加深认识通过对本节课的学习，你有哪些收获和体会？设计意图：通过小结环节，使学生不仅更能够在知识上有所收获，更重要的，是从探究过程和思想方法的角度来提升对本节课的认识．
本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)
1.从身边的生活情境中提出问题教师从生活情境中，提出一个小问题，让学生体会如何从实际问题中抽象出数学研究问题，意在让学生充分体会：我们可以用数学的眼光观察世界。2.自我思考，自我发现，研究问题教师引导学生从已有知识出发，通过独立思考，自己动手操作，生生交流等，提出数学猜想，然后自主进行研究，很好的突出了学生的主体地位。3.针对难点，选择适合的解决方法教师针对较难的数学问题，让学生通过阅读，质疑，解惑，来理解相关证明，加深了同学的认识，顺利突破难点的同时，让学生体会学习不同的知识可以选择不同的策略。4.类比猜想，让研究在课上开展、课下延续教师一直在课上引领学生逐步提出不同的研究问题，在作业设计中给出的相关问题，更是充分展现出教师的理念：数学不是单纯的做题，而是研究问题，用所学的知识解决问题。
借助情境，发现问题
证明猜想，归纳小结
拓展探究，提高能力
探究延伸，巩固提升
课堂小结，加深认识
PAGE
3(共4张PPT)
实际情境：学校为丰富同学们的体育活动，现要建造健身器材。试问，为保证器材到南楼和北楼的距离相等，应当修建在哪里？
猜想1：到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上.
定理1：到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上.
猜想2：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等.
定理1：到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上.
定理2：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等.
北京市第二十中学
平面圈
北楼
南楼
命题:到线段两端
等
线段的垂直平分线
知:平面内有一线段AB及
足
在线段AB的垂直平分线
明(反证法):取线段AB中点C
①若点P是除点C外的任意一点时
假设点P不在线段AB的垂直平分线上,连结PC
B
P不在线段AB的垂直平分线上
根据两点确定一条直线,
可知直线PC不是线段AB的垂直平分线
直线PC与直线AB不垂
在△PAC和△PBC
C=BC
△P
△PBC
PCA=∠PC
直线PC垂直直线AB,矛盾
P在线段AB的垂直平分线上
②若点P与点C重
然有P
综上所述,点P在线段AB的垂直平分线上
