第十一届初中青年数学教师优秀课展示与培训活动
《角的平分线的性质(1)》课案设计
云南省昆明市第十六中学
杨玫娜
教材分析
1.教学内容简介
本节课是《角的平分线的性质》的第一课时，这节课是学生在七年级学习了角平分线的概念和三角形全等的基础上进行教学的。内容包括角平分线的作法、角平分线的性质的探究、证明及初步应用。
2.教材的地位及其作用
角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，它既是对前面所学知识的应用，又是为后续学习作铺垫，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础，具有举足轻重的地位，在数学知识体系中起到了承上启下的作用。教材中设计的两个“思考”，贴近学生的实际，为学生经历观察、分析、归纳、猜想、检验、证明和运用等活动过程等提供了重要支撑，有利于学生体验与理解、思考与探索，反映了数学学习活动中直接经验与间接经验、结果与过程相结合的课程理念，是数学应用价值的生动体现。另外，教材进一步归纳了证明一个几何命题的基本步骤，有利于后续学习中进一步培养学生严谨的推理过程和进一步发展学生的逻辑推理素养。
3.数学教育的培养目的
《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，通过教学，要求学生理解并掌握角平分线的画法，探索并证明角平分线的性质定理，逐步掌握严谨规范的逻辑推理方法。通过角平分线性质定理在生活实际中的运用，增强学生应用数学的意识和学好数学的信心，为后续学习打下坚实基础。
学情分析
在学习本节知识之前，学生已经学习了角平分线的定义、会用尺规作与已知角相等的角、会运用三角形全等的判定定理（基本事实）证明两个三角形全等，对尺规作图和演绎推理的作用有了一定的认识，但对几何证明规则的理解和运用还不够。另外，在“探索并证明角平分线的性质”这一学习目标的达成过程中会，探索发现角平分线性质后，学生能够理解以文字命题形式给出的命题，但由于该命题中条件和结论的隐蔽性，用数学符号语言把上述命题表述为“如果...，那么...”的形式，特别是用严格的演绎推理形式对该性质进行严格证明，先前知识和技能积累不够，自然成为学习中的难点，需要在课堂学习中进一步耐心细致地加以引导。
教学目标及重、难点分析
（一）教学目标
1.探究发现角的平分线的性质，并能准确应用数学符号语言和图形对性质的条件和结论进行表述；
2.运用三角形全等的“AAS”判定定理和全等三角形的性质证明角平分线的性质，理解证明几何命题的步骤及要求；能应用角平分线的性质解决一些简单的实际问题；
3.经历观察分析、实践体验、归纳猜想、推理证明、合作交流的探究过程，发展学生的逻辑推理、直观想象等数学核心素养，感受到数学在生活中的应用价值，培养学生的数学理性精神。
（二）教学重点
探索角平分线的性质并进行证明。
（三）教学难点
1.对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；
2.几何命题中文字语言、图形语言、符号语言的相互转化，依据几何证明的步骤和要求证明角平分线定理。
教法、学法和教学手段
（一）教学方法
本节课我坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，采用发现法、讲授法，引导学生动手操作，合作交流，自主探究。鼓励学生多思、多说、多练，坚持师生间的多向交流，努力做到教法、学法的最优组合。
（二）学习方法
1.
探究性学习，引导学生操作、观察、发现、猜想并推理；
2.
概括性指导，指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径；
3.
合作交流学习。
（三）多媒体辅助手段
根据本节课的实际教学需要，我选择使用PPT、几何画板、投影仪进行教学，将有关教学内容用动态的方式展现出来，让学生能够进行直观地观察，并留下清晰的印象，从而发现变化之中的不变。这样，吸引了学生的注意力，激发了学生学习数学的兴趣，有利于学生对知识点的理解和掌握。
五．教学过程设计
（一）感知实践，用尺规作角的平分线
问题1：你有哪些方法画出一个角的平分线？
介绍角平分仪：其中AB
=AD，BC
=DC，将点A
放在角的顶点，AB
和AD
沿着角的两
边放下，沿AC
画一条射线AE，AE
就是∠DAB
的平分线。
问题2：角平分仪的工作原理是什么？
【活动1】
做一做：尺规作角∠AOB的平分线OC
。
问题3：根据尺规作角平分线的步骤，你能证明OC是∠AOB平分线吗？
教师带领学生一起作图，掌握尺规作角平分线的方法，并强调尺规作图的规范性，
分析已知、求证及证明过程。
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴
△OMC≌
△ONC（SSS）。
∴∠MOC=∠NOC，
即OC平分∠AOB．
设计意图：以问题链的形式，向学生解释角平分仪的工作原理，体会数学的应用价值，同时从中受到启发，使学生理解、掌握尺规作角平分线的方法，并运用全等三角形进行证明，分析证明中的题设和结论，为下一步的性质证明作准备。
（二）探究角的平分线的性质
【活动2】1、实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
操作测量(1)
分别在OA、OB上任意取M、N点，连接PM、PN,并测量PM、PN的长，连续取三次，将三次数据填入下表：
PM
PN
第一次
第二次
第三次
（几何画板演示：P点与角两边上任意点的连线的大小关系不定）
操作测量(2)取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE
⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
PD
PE
第一次
第二次
第三次
（几何画板演示：过P点作角两边的垂线段长度相等）
观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：__PD=PE________
2．猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
设计意图:经历操作、观察→猜想→证明→归纳的过程，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证.信息技术在此体现其直观性及高效性，从而更利于学生操作观察、直观体验上升到理性思维。
3．证明结论:角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
（交流讨论）分组讨论：命题的题设和结论。
题设：一个点在一个角的平分线上；点到角的两边的距离
结论：它到角的两边的距离相等
（板演过程）
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD
⊥OA
，PE
⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
证明：∵
PD⊥OA，PE⊥OB，
∠PDO=
∠PEO=
900.
∴在△POD和△PEO中，
∠
PDO＝∠PEO，
∠
POD＝∠POE，
OP=OP.
∴△PDO≌△PEO（AAS）.
∴
PD＝PE.
设计意图:这是学生第一次接触文字型几何命题的证明，对于条件和结论的提炼是难点，特别是三种语言之间的转化。所以安排小组交流合作，让学生有时间去思考交流，在思维的碰撞中发现问题，互相取长补短，教师再根据学生的发言进行归纳总结。
【方法归纳】证明几何命题的步骤：
1.
分析题设和结论
2.
画出图形，写出已知和求证
3.
分析并写出证明过程
角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
应用性质所具备的条件：
1.点在该角平分线上;
2.垂直距离
判一判：下面两种证明过程是否正确：
（1）∵如右图，AD平分∠BAC（已知），
∴
BD
=
CD
.（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
(2)∵如右图，DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）.
∴
BD
=
CD
.（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
设计意图:在证明了角平分线的性质定理之后进行辨析，强调定理成立的两个条件。(1)中没有点到直线这个条件，(2)中没有角平分线这个条件，所以用角平分线的性质证明不了BD=CD。
（三）角平分线性质的应用
【活动3】自主完成并展示
例1.已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,
DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.
在此题的已知条件下，你还能得到哪些结论？
设计意图:本题是对角平分线的性质定理的应用，也是全等三角形的应用，学生在解题时可能会采用多种方法进行，所以要求学生先自主完成再进行展示，特别要注意书写的规范性和完整性、简洁性。
后面的设问开放性问题，有利于提高学生综合运用条件推理的能力。
例2.如图，一个加油站恰好位于两条公路m,n所夹角的平分线上，若加油站到公路m的距离是50m,则它到公路n的距离是
m.
(
m
)
(
加油站
)
(
n
)
设计意图:本题以实际问题为背景，直接使用性质定理。
（四）课堂小结
1．学生谈谈本节课的收获和感受最深的地方;
2．教师进行归纳总结。
设计意图：学生谈学习的感受和印象最深刻的环节，可以是自己的错误，也可以是同学错误，引起大家的共鸣，让学生对本节课有全面、深刻的认识。在教师在学生发言的基础上进行归纳。
（五）布置作业
课本第51页习题12.3——
1、4、5
《角的平分线的性质》课例点评
云南省昆明市第十六中学
杨永良
本节课是人教2011版八年级上《角的平分线的性质》的第一课时，本节课的主要特点有以下几个方面：
1．较好地达成了教学目标
本节课，教师组织学生通过观察、测量，运用几何画板直观演示，引导学生探究并发现角的平分线的性质，指导学生准确应用数学符号语言和图形对性质的条件和结论进行表述并证明，让学生体会几何命题证明的步骤。引导学生运用三角形全等的判定定理和全等三角形的性质证明角平分线的性质，与前面所学内容自然衔接。通过教学，学生掌握了运用角平分线的性质解决一些简单的实际问题的方法；教师带领学生经历观察分析、实践体验、归纳猜想、推理证明、合作交流的形式，让学生充分体会数学知识发生、发展的过程，符合学生的认知规律。通过学习，学生能感受到数学在生活中的应用价值，培养了学生学习数学的兴趣。
2．较好地突出了重点，突破了难点
本节的重点为“探索角平分线的性质并进行证明”。难点为“对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；几何命题中文字语言、图形语言、符号语言的相互转化，依据几何证明的步骤和要求证明角平分线定理”。教师引导学生通过两个探究，逐层递进，让学生自己发现结论并概括结论。接着又以小组讨论的形式让学生找出命题的条件的结论，引导学生将文字语言转化为图形和符号语言，并进行规范证明。让学生充分参与学习的每一环节，突出了重点，突破了难点。
3．突出了学生为主体的教学理念
本节课，通过自主探究、小组讨论等形式让学生充分参与教学的全过程，教师只做适当的点拨和引导，充分体现了学生的主体地位，让学生学有所得。
4．多种教学模式辅助教学，效果突出
教师通过实物教具、教学课件、几何画板、实物投影等形式辅助教学，收到了良好的效果。
9(共16张PPT)
12.3
角的平分线的性质(1)
昆明市第十六中学
杨玫娜
问题1：你有哪些方法画一个角的平分线？
（E）
AB=AD,BC=DC.
问题2：为什么AE是∠DAB
的平分线
？
平分角的仪器
A
B
D
C
A
D
C
B
将点A
放在角的顶点，AB
和AD
沿着角的两边放下，
沿AC
画一条射线AE，则AE
是∠DAB
的平分线
。
A
B
O
M
N
C
【活动1】做一做：利用圆规和直尺作角∠AOB的平
分线OC
。
一、感知实践，用尺规作角的平分线
问题3：根据尺规作角平分线的步骤，你能证明OC
是∠AOB平分线吗？
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴
△OMC≌
△ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
A
B
O
M
N
C
1、实验:OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点
操作测量(1)：分别在OA、OB上任意取M、N点，连接PM、PN,并测量PM、PN的长，连续取三次，将三次数据填入下表：
二、探究角平分线的性质
A
B
O
C
p
PM
PN
第一次
第二次
第三次
观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：__________
操作测量(2)取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE
⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
PD
PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
p
D
E
2、猜想：
二、探究角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
题设：一个点在一个角的平分线上；
点到角的两边的距离（垂线段）
结论：它到角的两边的距离相等
3、证明结论：
【讨论】：这个命题的题设和结论分别是什么？
已知
求证
题设
已知
结论
求证
证明几何命题的步骤：
1.分析题设和结论；
2.
画出图形，写出已知和求证；
3.
分析并写出证明过程.
方法归纳
∵
∠POD=
∠POE,
且PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE
（几何语言）:
角平分线性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
（1）点在角平分线上;
（2）点到角两边的距离。.
应用性质所具备的条件：
E
D
O
A
B
P
C
判一判：（1）∵
如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴
=
，(
)
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD
CD
×
B
A
D
C
(2)∵
如上右图，
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）.
∴
=
,
(
)
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD
CD
×
B
A
D
C
例1.已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,
DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
三、角平分线性质的应用
在此题的已知条件下，你还能得到哪些结论？
（全等三角形、相等线段或相等的角）
例2.如图，一个加油站恰好位于两条公路m,n所夹角的平分线上，若加油站到公路m的距离是50m,则它到公路n的距离是
m.
加油站
m
n
50
四、课堂小结
谈谈你本节课的收获或感受最深的地方
小结
尺规作角平分线
角平分线的性质
证明垂线段相等
五、布置作业
课本第51页
习题12.3——
1、4、5
