13.3
等腰三角形教学设计
浙江省台州市天台县外国语学校
滕媛媛
一、内容和内容解析
1.内容
等腰三角形及等边三角形的定义、性质及判定．
2.内容解析
本节课内容是人教版八年级上册第十三章第三单元《等腰三角形》，是在学生学习了三角形的相关知识（其中研究过直角三角形）、全等三角形和轴对称知识的基础上，进一步研究的另一类特殊三角形．
等腰三角形是边的大小关系特殊化而得到的特殊三角形，采用“属+种差”的方式加以定义，定义中反映了“两边相等”这一“等腰三角形”的“充要条件”，它反映了其基本要素（边）大小的特殊关系.
等腰三角形的性质反映了其基本要素（角）以及相关要素（三线）区别于一般三角形的特殊关系.教材中用轴对称的思想研究等腰三角形的性质，即通过直观观察发现等腰三角形的轴对称性，进一步发现等腰三角形角和“三线”的性质，在轴对称性直观感知经验的支撑下想到证明性质中作辅助线的方法，在证明等腰三角形性质猜想的基础上，进一步证明了它是轴对称图形，实现了对等腰三角形的性质从直观感知到理性认识的升华.
等腰三角形的判定则是根据要素（角、三线）的特殊关系推出两边相等.类比直角三角形两锐角关系的研究，通过交换性质定理的题设和结论提出判定的猜想，再进行演绎推理证明猜想.
类比直角三角形，通过三角形边的大小关系特殊化引入等腰三角形这一类图形，抽象其概念，得到等腰三角形的定义，再以定义为出发点，进一步研究等腰三角形角和“三线”的特殊性及其轴对称性，最后从等腰三角形的性质出发，考察其逆命题，发现并证明等腰三角形的判定.通过这一系列过程，再一次出现“一类几何图形特例研究的一般套路”.等腰三角形的学习为后续学习等边三角形、平行四边形等内容奠定了基础，提供了“一般观念”的示范作用.在等腰三角形的性质和判定的研究后，教材安排了等腰三角形的特例——等边三角形，直角三角形的特例——含30°角的直角三角形性质的研究内容（例题）,只要学会了等腰三角形的研究方法，这两块内容学生都可以独立完成.
基于以上分析，本节课的教学重点是：发现并证明等腰三角形的性质和判定.
二、目标和目标解析
1．教学目标
（1）了解等腰三角形的定义.
（2）探索并证明等腰三角形的两个性质．
（3）探索并掌握等腰三角形的判定．
（4）能独立探索等边三角形的相关内容.
2．教学目标解析
达成目标（1）的标志：能用文字语言、图形语言、符号语言来描述等腰三角形的定义,知道等腰三角形的研究是以定义为出发点的.
达成目标（2）的标志：学生能根据等腰三角形的轴对称性发现其性质，能利用全等证明这两个性质及轴对称性，能用文字语言和符号语言准确表述性质的含义．
达成目标（3）的标志：学生能交换性质定理的题设和结论提出等腰三角形的判定猜想，能利用全等证明判定猜想，能用文字语言和符号语言准确表述判定定理的含义．
达成目标（4）的标志：学生能根据等腰三角形的研究思路独立探究等边三角形.
三、教学问题诊断分析
研究等腰三角形的性质和判定都要经历两个步骤：发现和证明.学生通过观察等腰三角形纸片，容易发现“等腰三角形两个底角相等”这一性质，但是对于“等腰三角形三线合一”，如果没有合理地引导，很难自主探究发现的.探究发现了结论之后，如何证明结论，对于学生来说也较为困难，因为学生添加辅助线的经验不足，很难想到添加这条辅助线来证明性质.得到性质之后，对“等腰三角形三线合一”的理解也存在困难：“等腰三角形三线合一”怎么使用，如何用符号语言来描述“等腰三角形三线合一”等都会困扰着学生.
基于以上分析，本节课的教学难点是：发现、证明并理解“等腰三角形三线合一”．
四、教学过程设计
1.发现问题
问题1
我们研究了三角形相关知识，是按照怎样的路径研究的？
师生活动:学生回忆三角形的研究路径——定义、性质、全等关系．
追问1
从哪些角度研究三角形的性质？
师生活动:师生共同归纳得出三角形性质的研究方向．对几何图形按照从一般到特殊的思路进行，比如研究了直角三角形，它是从角特殊化得到的.
追问2
能换一个视角把三角形特殊化得到新一类特殊的三角形吗？
师生活动：学生说出从边的大小关系特殊化得到等腰三角形.
教师提出课题：今天这节课我们就来探究等腰三角形的性质．（板书课题）其实这样的图形在我们日常生活中无处不在（播放生活中的等腰三角形）！
设计意图：从三角形研究中知识发展的逻辑以及现实情境为线索，构建确定了研究对象——等腰三角形.
2.提出问题
问题2
怎样研究等腰三角形呢？
师生活动：一起回忆直角三角形的研究思路——定义、性质、判定，类比得出等腰三角形的研究思路．
设计意图：通过类比构建研究路径，用相似的路径研究不同的问题.
3.分析问题
追问1
能根据刚才的特殊化过程，说出等腰三角形的定义吗？你能画一个等腰三角形吗？能用符号语言描述等腰三角形的定义吗？
追问2
性质是研究什么呢？判定呢？
师生活动：学生说出等腰三角形的定义，在学案纸上画出等腰三角形，用符号语言描述等腰三角形的定义，师生共同归纳得出性质是从定义两边相等出发，推出其他要素——角和三线的特殊性,而判定是满足角和三线的特殊关系推出两边相等.
设计意图：首先提出学习和研究的总问题，明确了等腰三角形的研究思路，建立了整体框架，这是有效发展学生思维的载体和平台，其次从总的问题出发，把总问题分解为各个子问题，明确解决子问题的具体目标，使得性质和判定的探究更具有方向性，能对后续学习起到先行组织者的作用，有助于问题的解决.
4.研究性质
问题3
怎样研究等腰三角形的性质呢？
师生活动：学生独立思考观察等腰三角形纸片，发现其性质并汇报交流．学生通过把等腰三角形纸片对折，找出其重合的线段和角，并说明这些线段和角在等腰三角形中的名称，由此概括出等腰三角形的性质.
追问1
我们是怎样发现等腰三角形的性质呢？
师生活动：根据轴对称性得到等腰三角形的两个底角相等，三线合一，但是猜想不一定正确，操作不具有一般性，不能使人信服.
设计意图：学生通过对折等腰三角形纸片，发现其性质，从而培养学生抽象概括的能力.通过此操作，学生可以更好地理解“三线合一”的含义.学生经历合情推理的过程，这不仅有助于理清思路、发现结论，而且有助于发展学生的创新意识和创新精神.
追问2
怎样证明等腰三角形的性质呢？
师生活动：师生共同回顾几何命题的证明步骤，学生独立在学案纸上完成两个性质的逻辑推理证明，并向大家展示不同的证明方法以及怎样想到这些方法.在等腰三角形性质发现过程中的这条“折痕”，启发了学生在证明中的添加辅助线.
设计意图：学生通过独立的思考完成证明，并展示自己的证明过程，与同学的方法产生了共鸣．学生从理性水平理解了等腰三角形的轴对称性，并体会它在探索和证明等腰三角形性质的过程中的重要作用.此时学生实现了由实验几何到论证几何的过渡,这个过程有助于发展学生逻辑思维能力以及语言表达能力，让学生在运用不同方法证明性质的过程中，提高思维的深刻性和广阔性，有助于发展学生逻辑思维能力．数学教学中，注重“探索发现”和“演绎证明”的有机结合，有利于实现“增强（学生）发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”的课程目标．
追问3
你能用符号语言来描述等腰三角形的性质吗？
师生活动：学生回答，教师板书，如果出现问题师生共同纠正.
追问4
等腰三角形的性质有什么作用？
师生活动：师生共同归纳得出性质可以证明两边相等、两角相等、两线互相垂直，也得到“等边对等角”“三线合一”这样的简称．
设计意图：会进行文字语言、图形语言、符号语言之间的转化，让学生进一步理解等腰三角形性质的意义——它既是全等知识的运用和延续，又是证明两个角相等、两条线段相等、线段垂直关系的更为简捷的途径和方法，启发学生在对比中建立知识之间的普遍联系，学会辩证地看问题．
5．研究判定
问题4
怎样研究等腰三角形的判定呢？
师生活动：学生根据性质的研究经验——先发现，再证明猜想，由此想到判定的研究过程：先发现，再证明猜想.
追问1
怎样发现等腰三角形的判定呢？
师生活动：学生根据以往学习经验中性质和判定的关系，想到等腰三角形也是如此的，交换性质的题设和结论得到判定的猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.如果三角形一条边上的中线、
高线和这边对角的角平分线相互重合，那么这个三角形是等腰三角形.
追问2
怎样证明等腰三角形的判定呢？
师生活动：根据命题的证明方法，师生共同写出已知和求证并画出图形，然后学生口述证明过程，证明猜想是正确的，从而得到判定的方法.在“等腰三角形三线合一”的逆命题证明过程中得到优化的猜想：如果满足三角形同一边上的高线、中线和所对角的平分线中两线合一，那么这个三角形的两边相等，使得证明方法更加的简捷.
追问3
你能用符号语言来描述等腰三角形的判定吗？
师生活动：学生回答教师板书．
追问4
等腰三角形的判定有什么作用？
师生活动：师生共同归纳得出判定可以实现角相等到边相等的转化，从而得到“等角对等边”．
设计意图：根据以往的学习经验得到判定的猜想，然后对猜想进行证明，再次发展了学生合情推理和演绎推理能力，同时培养学生自主探究的能力.学生通过性质证明时的经验想到构造全等三角形从而证明边相等.
6.总结经验
问题5
总结一下我们是如何研究等腰三角形的呢？
追问1
我们是怎么想到要研究等腰三角形的呢？
追问2
等腰三角形是按照怎样的思路研究的呢？
追问3
我们是怎么想到等腰三角形是按照这样的思路研究的呢？
追问4
等腰三角形的定义指的是什么？性质指的是什么呢？判定呢？
追问5
等腰三角形性质是用什么方法研究的呢？判定呢？
师生活动：在教师的引导下，学生形成整个等腰三角形的研究体系．
设计意图：用问题串的形式引导学生回忆总结本节课的全部过程，再次进行整体构建，既达到了总结知识点的目的，又形成体系，形成问题研究的“基本套路”，为后续的学习提供路径和方法.
7.迁移创新
问题6
根据从一般到特殊的研究思路，如果对等腰三角形继续特殊化处理将会得到哪
一类特殊的三角形呢？
追问
你能类比等腰三角形的研究经验独立探究等边三角形吗？
设计意图：用相同的方法解决不同的问题可以让人更加的聪明.等边三角形的研究作为作业.从整体认识几何图形研究的一般方法，感受数学研究对象的确定、研究方法的选择和研究过程的发展脉络.让学生独立探究等边三角形会产生第二次“整体构建”，即学生在对所学知识内化的基础上，通过顺应或同化构成新的认知结构，实现知识与方法的第二次整体建构.
对滕媛媛老师“等腰三角形”教学的点评
点评教师：台州市教育局教学研究室
李继选
滕媛媛老师这一堂课，既凸显学生主体，又体现教师主导，唱响了“教师主导”与“学生主体”的和谐曲.
首先，将等腰三角形的内容进行了创造性重组，有助于学生整体建构等腰三角形；其次，以问题驱动、学生活动的方式进行教学，促使学生积极参与活动；第三，课后要求学生自己独立研究等边三角形，并写成研究报告.拆除脚手架后的独立思考有助于研究经验迁移，有利于学生在积累经验的基础进行自主学习.
本节课，滕老师引导学生类比直角三角形得到等腰三角形；类比直角三角形的研究思路，获得等腰三角形的研究思路；然后，师生一起研究了等腰三角形的性质和判定.这样设计的优点是，学生学会的不是单一的知识，也不是解决某一个问题的具体方法，而是解决一类问题的一般性思维策略和研究几何图形问题的方式和方法.因此，这一堂课实际上是在谱写从“具体方法”到“思维策略”的提升篇.
为达成知识教学与能力发展的双重目标，滕老师精心设计教学环节：从三角形研究中知识发生发展的过程得到等腰三角形；类比直角三角形明确了研究思路；引导学生用已有经验规划研究思路，明确研究内容和目标；引导学生观察实验发现性质，并用演绎推理的方法证明性质；引导学生利用性质和判定的互逆关系，提出猜想，进行证明；设置了五个追问，帮助学生加速整合知识和方法；让学生课后独立研究等边三角形，为学生的进一步发展创设有意义的学习情境.
这些环节前后连贯，蕴含着丰富的数学思维活动，有效促进了学生数学能力的发展.这一堂课，实际上是在演奏“知识教学”与“能力发展”的交响乐.(共23张PPT)
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unsplash
浙江省台州市天台外国语学校
滕媛媛
13.3等腰三角形
目
录
CONTENTS
PAGE
1
2
3
4
教学分析
教学设计
教学过程
教学反思
1
教学分析
课程性质
教学问题诊断
目标与目标解析
内容与内容解析
三角形
特例：直角三角形
全等三角形
关
系
特例：等腰三角形
角
边
定义
性质
判定
等边三角形
轴对称性
课程性质
教学问题诊断
目标与目标解析
内容与内容解析
定义
属+种差
等腰三角形
性质
基本要素
相关要素
判定
两边相等
等腰三角形
边
充要条件
角
三线
轴对称性
发现
证明
直观感知
理性认识
两边相等
基本要素
相关要素
角
三线
发现
证明
课程性质
教学问题诊断
目标与目标解析
内容与内容解析
三角形
特例：直角三角形
全等三角形
关
系
特例：等腰三角形
角
边
类比
定义
性质
判定
等边三角形
角
“三线”
轴对称性
几何图形特例研
究的一般套路
等边三角形
平行四边形
……
“一般观念”
含30°角的直角三角形的性质
课程性质
教学问题诊断
目标与目标解析
内容与内容解析
重点
探索并证明等腰三角形的性质和判定.
内容与内容解析
目标与目标解析
教学问题诊断
内容与内容解析
目标与目标解析
目标
了解等腰三角形的概念.
能用文字语言、图形语言、符号语言来描述等腰三角形的定义.知道等腰三角形的研究是以定义为出发点的.
探索并证明等腰三角形的性质．
学生能根据等腰三角形的轴对称性发现其性质，能利用全等证明这两个性质及轴对称性，能用文字语言和符号语言准确表述性质的含义．
探索并掌握等腰三角形的判定．
学生能交换性质定理的题设和结论提出等腰三角形的判定猜想，能利用全等证明判定猜想，能用文字语言和符号语言准确表述判定定理的含义．
1
2
3
独立探索等边三角形的相关内容.
学生能根据等腰三角形的研究思路独立探究等边三角形.
4
内容与内容解析
目标与目标解析
教学问题诊断
内容与内容解析
目标与目标解析
教学问题诊断
怎么使用“等腰三角
形三线合一”？
如何发现等腰三角
形三线合一？
如何用符号语言来
描述“等腰三角形三
线合一”？
如何证明等腰三
角形三线合一？
内容与内容解析
目标与目标解析
教学问题诊断
教学问题诊断
发现、证明与理解“等腰三角形三线合一”.
难点
目
录
CONTENTS
PAGE
1
2
3
4
教学分析
教学设计
教学过程
教学反思
2
教学设计
教学过程
发现问题
提出问题
分析问题
解决问题
迁移创新
目
录
CONTENTS
PAGE
1
2
3
4
教学分析
教学设计
教学过程
教学反思
3
教学过程
发现问题
分析问题
提出问题
发现问题
解决问题
迁移应用
边的位置关系特殊化
有一个角为90°
两边相等
一般
特殊
定义
性质
第11章
全等关系
第12章
边的大小关系特殊化
设计意图：以三角形中知识发展的逻辑以及现实情境为线索，构建确定了研究对象——等腰三角形.
发现问题
分析问题
提出问题
发现问题
解决问题
迁移应用
提出问题
问题2
怎样研究等腰三角形呢？
类比
定义
性质
判定
设计意图：通过类比构建研究路径，用相似的路径研究不同的问题,明确了研究思路，提出学习和研究的总问题，建立了整体框架，这是有效发展学生思维的载体和平台，
发现问题
分析问题
提出问题
发现问题
解决问题
迁移应用
提出问题
分析问题
特殊化
定义
性质
两边相等的三角形
？
基本要素
相关要素
判定
？
三角形的两边相等
设计意图：从总的问题出发，把总问题分解为各个子问题，明确解决子问题的研究目标，使得性质和判定的探究更具有方向性，能对后续学习起到先行组织者的作用，有助于问题的解决.
发现问题
分析问题
提出问题
发现问题
解决问题
迁移应用
提出问题
分析问题
解决问题
发现
证明
观察、实验
轴对称
独立思考
性质
设计意图：学生通过对折等腰三角形纸片，发现其性质，从而培养学生抽象概括的能力.通过此操作，学生可以更好地理解“三线合一”的含义.
设计意图：学生从理性水平理解了等腰三角形的轴对称性，并体会它在探索和证明等腰三角形性质的过程中的重要作用.生实现了由实验几何到论证几何的过渡．
发现问题
分析问题
提出问题
发现问题
解决问题
迁移应用
提出问题
分析问题
解决问题
发现
证明
轴对称
独立思考
性质
用符号语言描述等腰三角形的性质以及归纳其作用.
设计意图：会进行文字语言、图形语言、符号语言之间的转化，让学生进一步理解等腰三角形性质的意义．
发现问题
分析问题
提出问题
发现问题
解决问题
迁移应用
提出问题
分析问题
解决问题
判定
发现
证明
交换题设与
结论的位置
设计意图：根据以往的学习经验得到判定的猜想，然后对猜想进行证明，再次发展了学生合情推理和演绎推理能力，同时培养学生自主探究的能力,学生通过性质证明时的经验想到构造全等三角形从而证明边相等.
用符号语言描述等腰三角形的判定以及归纳其作用.
优化得到“两线合一”能证明三角形的两边相等的猜想.
发现问题
分析问题
提出问题
发现问题
解决问题
迁移应用
提出问题
分析问题
解决问题
迁移应用
总结经验
问题总结一下我们是如何研究等腰三角形的呢？
追问1
我们是怎么想到要研究等腰三角形的呢？
追问2
等腰三角形是按照怎样的思路研究的呢？
追问3
我们是怎么想到等腰三角形是按照这样的思路研究的呢？
追问4
等腰三角形的定义指的是什么？性质指的是什么呢？判定呢？
追问5
等腰三角形性质是用什么方法研究的呢？判定呢？
设计意图：用问题串的形式引导学生回忆总结本节课的全部过程，再次进行整体构建，既达到了总结知识点的目的，又形成体系，形成问题研究的“基本套路”，为后续的学习提供路径和方法.
发现问题
分析问题
提出问题
发现问题
解决问题
迁移应用
提出问题
分析问题
解决问题
迁移应用
如果对等腰三角形继续特殊化将得到哪一类特殊的三角形？
有一个角为90°
两边相等
？
等边三角形
类比等腰三角形的
研究经验独立探究
等边三角形
设计意图：用相同的方法解决不同的问题可以让人更加的聪明.让学生独立探究等边三角形会产生第二次“整体构建”，即学生在对所学知识内化的基础上，通过顺应或同化构成新的认知结构，实现知识与方法的第二次整体建构.
目
录
CONTENTS
PAGE
1
2
3
4
教学分析
教学设计
教学过程
教学反思
4
教学反思
2、整堂课所有环节的设计意图基本上都已经完成.
3、通过学生对等边三角形的学习结果汇报可知学生已经掌握了特殊几何图形研究的一般套路.
4、通过本节课的学习，学生形成新的知识体系.
1、根据学生的实际情况对教材进行适当的重组.
5、课堂教学过程中应该给学生更多的时间思考，充分的相信学生的能力.
Travelingin
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谢谢您的聆听！
Thank
you!
Travelingin
nsplash
