(共17张PPT)
24.1.4
圆周角（第一课时）
厦门外国学校湖里分校
曾铭江
内容与学情分析
一、
01
内容及内容解析
02
目标及目标解析
03
学情分析
04
教学策略分析
01
内容及内容解析
圆周角与圆心角
及其所对弧的关系
与圆心角类似，圆周角概念也是紧抓角的元素，让角的顶点位置特殊化——在圆上，两边与圆相交.
（1）为角的计算，证明角相等，证明弧、弦相等等问题提供简单的方法.
（2）其证明过程进一步渗透“特殊一般”、“分类”、“转化”的数学思想方法，培养直观想象能力和逻辑推理能力.
圆周角的概念
圆周角定理
及其推论
蕴含着“变中不变”的思想：对于一条弧所对的无数圆周角，利用“弧”的桥梁作用，与具有唯一性和确定的圆心角紧密联系起来.
02
目标及目标解析
探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系
能在图形中正确识别圆周角；在圆上画出圆周角
（1）了解圆周角定理及其推论之间的逻辑关系；
（2）证明圆周角定理时，能分解几何基本图形，
（3）能运用“转化与化归”思想，将其余情况转化为特殊情况，从而证明定理.
理解圆周角概念
了解并证明圆周角定理及其推论
（1）理解圆周角与弧的对应关系；
（2）能借助“弧”探索圆周角与圆周角，圆周角与圆心角之间的关系；
（3）能运用“特殊与一般”的数学思想对同弧所对的圆周角与圆周角，圆周角与圆心角进行分类，
知识层面
（1）已有基础：学生已认识圆中的相关元素，掌握圆心角、弧、弦三者的转化关系，
（2）需要基础：熟悉转化桥梁——具有唯一性和确定性的圆心角、弧，
（3）教师辅助：将借助圆周角的性质探索加深学生对“圆心角、弧”的桥梁作用的理解.
探索层面
（1）已有基础：具有一定的研究“直线型”几何图形性质的经验，具有一定的逻辑推理能力
（2）需要基础：从几何研究一以贯之的套路、思想和方法出发，研究圆，
（3）教师辅助：感受几何研究本质思想；在证明定理过程中，学生对猜想需分类证明的情况接触较少，需引导学生意识到需要分类，从而思考分类的依据，证明的方法.
03
学情分析
04
教学策略分析
操作探索策略
以问题串形式
（1）引导学生理解弧的作用
（2）厘清命题逻辑
（3）渗透分类思想
（4）分解基本图形，获得证明思路
借助几何画板软件展示连续变换的圆周角，引导学生思考探索方法；借助希沃同屏助手辅助实现师生之间，生生之间的成果共享，交流互助等.
问题组织策略
多媒体技术
（1）明确研究思想本质：特殊位置关系与特殊大小关系的联系
（2）引导学生敢于尝试，充分经历几何研究过程，体会“特殊与一般”，“分类”的数学思想方法
教学过程
二、
公司简介
发展规划
问题探究式
……
回顾旧知
类比学习
理解定义
辨析概念
动手探究
大胆猜想
厘清逻辑
证明猜想
反思小结
观点提炼
（一）回顾旧知，类比学习
定义
初步感受“弧”作为角与圆的联系桥梁，发展直观想象
叠加
目的
类比
类比
角的要素
角与圆的联系：弧
（二）理解定义，辨析概念
（三）动手探究，大胆猜想
视频
探究方法：控制变量法（科学的实验研究方法）
目的：确定研究方向
（1）几何研究的一般思路：
定义——性质；
（2）探究思想：
特殊的位置关系与特殊的大小关
系之间的联系.
（三）动手探究，大胆猜想
视频
培养学生合情推理能力，理性思维与勇于探究的精神；
运用特殊与一般、分类的思想
活动一:
固定交点B、C，只让顶点A在圆上移动（不与B、
C重合），探究产生的圆周角之间特殊的关系
（1）确认
（2）操作
（3）观察
（4）猜想
它们之间特殊的位置关系
画具有代表性的3到5个圆周角
是否存在特殊的大小关系？
同弧所对圆周角相等
（三）动手探究，大胆猜想
视频
迁移运用研究方法，促进深度学习
活动二:研究同弧所对圆周角与圆心角之间的关系
方法上迁移：定特殊位置关系，探索特殊大小关系
思想上迁移：“特殊与一般”、“分类”思想
进一步渗透“特殊的位置关系与特殊的大小关系之间存在联系”的几何研究思路
猜想3：
同弧所对的圆周角度数
是圆心角度数的一半
（四）厘清逻辑，证明猜想
猜想1：
半圆（直径）所对
圆周角相等
猜想2：
同弧所对的
圆周角相等
关键
促进理解圆中的“变中不变”关系，培养学生的逻辑推理能力
（四）厘清逻辑，证明猜想
视频
直观想象
逻辑推理
转化与化归
分类讨论
特殊入手
（五）反思小结，观点提炼
向下扎根，向上生长
知识
方法
思想
圆周角概念
圆周角定理及其推论
圆周角、圆心角与弧的关系
控制变量法
（1）定动点
（2）定位置
特殊与一般
分类
转化与化归
科学探究
直观想象
逻辑推理
THANKS！24.1.4圆周角（第一课时）教学设计
一、教学内容及其解析
本节课选自人教版《义务教育教科书
数学》九年级上册第二十四章第一课时，主要内容为圆周角的概念，圆周角与圆心角及其所对弧的关系，圆周角定理及其推论.
本节课是在学生学习了圆心角概念并通过探索掌握其定理的基础上进行，与圆心角类似，圆周角概念也是紧抓角的元素，让角的顶点位置特殊化——在圆上，两边与圆相交.
圆周角与圆心角及其所对弧的关系中蕴含着“变中不变”的思想：对于一条弧所对的无数圆周角，利用“弧”的桥梁作用，与具有唯一性和确定的圆心角紧密联系起来.
圆周角定理及其推论为角的计算，证明角相等，证明弧、弦相等等问题提供简单的方法.其证明过程进一步渗透“特殊一般”、“分类”、“转化”的数学思想方法，培养直观想象能力和逻辑推理能力.
二、教学目标及其解析
教学目标：
理解圆周角概念；
探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系；
了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；同弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角.
目标解析：
能在图形中正确识别圆周角；在圆上画出圆周角；
通过分解与整合圆周角中的基本图形——直线型“角”、曲线形“圆”，理解圆周角与弧的对应关系，了解该弧产生的原因；能借助“弧”探索圆周角与圆周角，圆周角与圆心角之间的关系；能运用“特殊与一般”的数学思想对同弧所对的圆周角与圆周角，圆周角与圆心角进行分类，将无限个情况转化为有限个进行研究；
了解圆周角定理及其推论之间的逻辑关系；证明圆周角定理时，能分解“圆心在圆周角一边”这一特殊情况图形中所蕴含的几何基本图形，并运用“转化与化归”思想，将其余情况转化为特殊情况，从而证明定理.
三、学生学情分析
学情分析：
从知识层面上：学生已认识圆中的相关元素，掌握圆心角、弧、弦三者的转化关系，但由于仅第二次对“曲线型”几何图形——圆中进行探索，所以对转化桥梁——具有唯一性和确定性的圆心角、弧还比较陌生，将借助圆周角的性质探索加深学生对“圆心角、弧”的桥梁作用的理解.
从探索层面上：学生具有一定的研究“直线型”几何图形性质的经验，但对于圆比较陌生，因此需要从几何研究的本质出发，对学生进行引导，让学生感受到一以贯之的研究套路、思想和方法；在证明定理过程中，学生对猜想需分类证明的情况接触较少，需教师引导学生意识到需要分类，从而思考分类的依据，证明的方法.
教学重点：理解圆周角的概念，了解圆周角定理及其推论.
教学难点：探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，证明圆周角定理及其推论.
四、教学策略分析
基于上述学情，本节课主要采用问题式探索法引导学生掌握圆周角的概念，探索并证明圆周角定理及其推论.
问题组织策略：在掌握概念的过程中，设置问题串，引导学生从叠加图形的角度对圆周角进行再次认识，了解角与圆叠加后产生了弧，而弧与圆周角之间存在对应关系；在证明命题前，引导学生在命题证明的选择中，厘清命题逻辑，抓住问题本质；在证明环节中，通过反复追问”某一情况证明完，则该命题是否证明完成”，让学生自然明白需要分类，通过设问“该图形中蕴含什么基本图形，基本图形之间有何联系”，让学生观察图形的特征，从而得到证明的思路.
操作探索策略：探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系的研究思想实质是“特殊的位置关系与特殊的数量关系存在联系”，在这一思想的指导下，学生既能掌握有向有序的对几何性质的研究方法，也明确初中几何性质的顶层设计.故设置两个探索活动，引导学生充分经历有思考的画图，观察，猜想，验证，证明这一探索过程，渗透“特殊一般”、“分类”、“转化”的数学思想方法.尤其在画图尝试过程中，要求学生在无限个图形中选择有代表性的图形进行构图，促使学生做出选择，进一步感悟“分类”思想，并引导学生基于几何探索的思想，独立完成探索提出猜想.
本节课运用多媒体课件教学，借助几何画板软件展示连续变换的圆周角，引导学生思考探索方法；借助希沃同屏助手辅助实现师生之间，生生之间的成果共享，交流互助等.
五、教学过程
（一）复习回顾，引入概念
1.
复习圆心角：
【问题1】同学们，上节课我们研究了一类与圆有关的特殊的角，圆心角，得到了它的定义和性质.那么大家还记得，圆心角的定义是什么呢？
【追问1】如图1，我们可以把圆心角看成是哪些几何图形的叠加在一起？
【追问2】请你描述下它们是怎么叠加的？（根据角的要素进行描述）
【设计意图】引导学生复习圆心角的定义，从几何叠加角度再次识别圆心角，从而为后续学习圆周角定义和认识圆周角中角与圆的联系做好铺垫.
引入圆周角：
【问题2】今天，我们将再研究一类特殊的与圆有关的角，也将角和圆进行叠加，你认为这个角顶点放在在哪里比较特殊呢？
【追问1】确定完角的顶点，还需要确定什么？
【教师行为】讲述：如果此时，我们令这个角的两边与圆相交，我们就把这样的角称之为圆周角，画出圆周角（如图2），写出课题，这也是我们今天研究的对象.
【追问3】你能把它的定义再复述一遍么？
【设计意图】在本环节引导学生从角的要素出发，得出圆周角的定义，并引导学生认知到圆周角顶点和两边的位置的特殊性.
辨析概念：
【师】学习了圆周角的定义，请同学们：指出下图中哪些是圆周角？若不是，请说明理由.
理解概念：
【师】大家已经知道了圆周角的定义，我们现在再一次感受圆周角.
【问题3】如图3，当角以顶点在圆上，两边与圆相交的方式进行叠加时，这个角与圆产生了什么样的联系呢？在角和圆叠加后，你首先看到了什么元素？
【设计意图】目的是帮助学生理解当角与圆以这样的方式叠加时，角两边与圆相交的交点与圆的弧之间的关系，弧与角之间的对应关系，初步探索圆周角及其所对弧的关系，发展学生的几何直观能力（关系如图4）.
【总结】我们今天所研究的圆周角与过去的角有所不同，我们是在圆的背景下研究！
探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系
1.
确定圆周角研究方向，得出猜想
【问题4】同学们，接下来研究什么呢？
【追问1】几何图形的性质是几何要素之间确定的位置关系，大小关系.那我们可以研究哪些要素之间关系？
生：圆周角与圆周角，圆周角与圆心角
【设计意图】通过该问题引导学生回顾几何图形的研究基本思路为定义——性质，研究性质要从元素之间的关系出发，将探索方向聚焦为同类型角之间的关系.
【问题5】我们先研究同类的关系，特殊的位置关系和特殊的大小关系之间存在联系！先确定圆周角与圆周角之间的特殊位置关系，正如前面所研究的，圆周角的位置由什么决定呢？
【追问1】如图5，如果这三个点同时变化，大家请看几何画板，会产生几个圆周角呢？
【追问2】好不好研究？那怎么办？大家想先让哪个点动起来呢？
【设计意图】通过几何画板展示，让学生认识到当圆周角的顶点和与圆相交的两个交点同时变换时，研究将无从下手，因此需要借助控制变量的研究方式进行探索.
【问题6】固定交点B、C，只让顶点A在圆上移动（不与B、C重合），可以画出几个圆周角？产生的圆周角之间会不会存在特殊的关系呢？
【活动一】请同学们在圆上画出符合条件的三到五个你觉得具有代表性的圆周角，并思考：
（1）确认：这些圆周角之间特殊的位置关系是什么？
（2）操作：画出你认为符合条件的三到五个圆周角；
（3）观察：这些圆周角具有这么特殊的位置关系，会不会有特殊的大小关系呢？若有，是什么？
（4）猜想：完整叙述猜想.
【师生活动】学生独立完成探索活动，教师巡视过程注意发现具有代表性的位置特殊的圆周角，并将之展示至黑板，引导学生从特殊到一般进行归类，说明所画圆周角之间的位置关系，并借助圆中元素（弧、弦）精致其描述方式，讲解观察的结论，并提出猜想1：半圆（直径）所对的圆周角为直角；猜想2：同弧所对的圆周角相等.
【预设】学生在尝试构图过程中可以顺利确定其中一个交点B的位置，但会对另一个交点C和顶点A的位置进行思考。由此在画图中进行两次分类，第一次分类为交点B、C所确定的弧：特殊——半圆；一般——优（劣）弧.第二次分类为在交点B、C确定的优（劣）弧的前提下，顶点A的位置：都在优弧上；都在劣弧上；一部分在优弧上，一部分在劣弧上.
故预设学生所画符合条件的圆周角如图6：
【设计意图】本环节为进一步探索圆周角及其所对弧的关系，旨在（1）让学生了解能够借助圆的元素“弧或直径”说明圆周角之间的位置关系；（2）发展学生的理性思维和勇于探索精神:①掌握几何探索的方式方法；②对圆周角位置有思考的情况下进行构图；③在意识到当可画的圆周角有无数个时，应当运用“分类”、“特殊到一般”的数学思想进行探索；（3）引导学生充分经历探索过程，培养学生合情推理的能力.
【总结1】我们发现这两个猜想的过程是什么？
生：先定特殊的位置关系，画出图形，再通过测量，发现特殊的数量关系
【总结2】在探索中，我们都借助什么来描述圆周角的位置关系？
【设计意图】（1）进一步渗透“弧”作为研究圆周角之间关系的桥梁作用；（2）通过总结提炼本节课探索的依据、方式，①探索的依据是：特殊的位置关系和特殊的大小关系存在联系；②探索方式是：先定特殊的位置关系，再观察大小关系；③通过控制变量法的研究可以更精准的观察圆周角之间的关系，并能有更多的探索方式值得一试，感受到数学探索之间的联系.
【师】研究完顶点变换后，我们接下来可以研究什么？只有一个交点动的情况也是很值得我们研究的问题，留待课后同学们模仿刚刚的探索方式进行研究.
【设计意图】让学生学会探索，敢于探索，能够理解数学知识之间是存在联系的，发展学生的学习力.
【问题8】现在，我们来研究特殊的圆周角和特殊的圆心角之间的关系.现在大家觉得我们应该怎么研究呢？先确定什么？
【追问1】你认为圆周角和圆心角什么样的位置关系会特殊呢？
【活动三】研究同弧所对圆周角与圆心角之间的关系
研究过程：
（1）确认：它们之间特殊的位置关系是什么？
（2）操作：画出你认为具有代表性的三到五个圆周角；
（3）观察：它们之间是否存在特殊的大小关系？若有，是什么？
（4）猜想：提出猜想.
【预设】学生所画圆周角与圆心角
类别
图形
猜想
（1）半圆所对圆周角与圆心角
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
（2）劣弧所对圆周角与圆心角
（3）优弧所对圆周角与圆心角
【设计意图】进一步探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，再次渗透圆中“弧”的桥梁作用；同时以类比活动一的研究方式对圆周角和圆心角进行研究，进一步渗透“特殊的位置关系与特殊的大小关系之间存在联系”的几何研究思路.
（三）了解并证明猜想
【问题9】我们现在得到三个猜想，猜想1：半圆（直径）所对的圆周角为直角；猜想2：；同弧所对的圆周角相等；猜想3：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，你想先证哪一个？
【追问1】为什么
【设计意图】引导学生剖析三个命题之间存在的逻辑关系，发展学生逻辑推理能力，明确解决三个命题的关键在于解决“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”这一猜想，只要猜想3成立，则猜想1和2必然成立，进而理解圆中“变中不变”：同弧所对的圆心角具有唯一性和确定性（如图7）.
【问题10】既然我们先证明同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半，那得先有图呀.哪位同学觉得自己画的图很有代表性的？
【追问1】为什么你觉得自己所画图形具有代表性？
【追问2】从该同学所画图形中你看到了什么基本图形？这些基本图形有什么联系？
【预设】学生对弧进行分类（如表1），对劣弧所对圆周角与圆心角情况进行分类（如图8）：（1）圆心在圆周角边上；（2）圆心在圆周角内；（3）圆心在圆周角外.并对特殊情况：圆心在圆周角边上的图形进行分析（如图9）.
【追问3】分解出来的基本图形是否对证明有帮助？
【追问4】如果这种情况证明完，该猜想成立么？
【设计意图】（1）让学生大胆分享自己思考下所画出的具有代表性的图形，在特殊到一般的思想指导下，化无限为有限”的分类思想，有意识的对所画图形中的进行分类：半圆，劣弧，优弧.同时对劣弧所对圆周角和圆心角的位置关系也用分类思想进行研究；（2）在几何证明过程中，从特殊情况入手，引导学生对所画图形进行解构，分析目标基本图形，从而获得证明思路，并进行说理，发展学生的直观想象能力和逻辑推理能力，也为其他情况的证明提供转化的方向.
【追问5】如何证明剩余的情况？
【追问6】此时，猜想3我们已经证明完成，那么猜想1和猜想2是否成立？若成立，请简单说明理由.
【设计意图】（1）通过对弧的分类，对劣弧所对圆周角与圆心位置关系的特殊情况和一般情况的分析，感受分类证明的必要性；（2）引导学生将一般情况化为特殊情况，渗透转化与化归的数学思想；（3）进一步感受三个猜想之间的逻辑关系，得到圆周角定理及其推论.
（四）总结归纳
【问题11】我们怎么探索圆周角与圆心角、弧之间的关系呢？
【追问1】我们在探索圆周角与圆心角、弧之间的关系和证明圆周角定理及其推论的过程中运用了哪些思想方法？
【设计意图】引导学生回顾本节课所学知识，理解圆周角与圆周角，圆周角与圆心角之间的桥梁是“弧”；更重要的是通过本节课的探索，掌握几何探索的方法和思想：“几何要素中特殊位置关系与特殊大小关系存在联系”、“一般与特殊的关系”，进一步认识数学思想
数学方法、积累数学活动的经验.
六、教学目标检测
【课后检测】
在以下的圆中各画一个圆周角，令他们所对的弧分别为劣弧、半圆、优弧.
【设计意图】考查学生对圆周角与弧的关系的理解.
2.
如图1，A、B、C、D是⊙O上的四个点，所对的圆周角是（
）
A.
B.
C.
D.
【设计意图】考查学生对圆周角与弧的关系的理解.
如图2，点A、B、C是⊙O上的三个点，且∠ACB=50°，则∠AOB=
°.
【设计意图】考查学生对圆周角定理的简单运用.
4.
如图1，若BD为直径，AD=CD，∠ACD=50°,
则∠ABC=
°；∠BDC=
°.
【设计意图】考查学生对圆周角定理推论的掌握.
5.
如图3，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=
_________.
如图4，在⊙O中，
OA⊥BC，∠AOB=50°，求∠ADC的度数.
【设计意图】考查学生对同弧所对圆周角与圆心角之间关系的掌握，
6.
如图，AC、BE是⊙O的直径，==，请猜想∠BAD和∠DBE的角度，并说明猜想成立的前提.
【设计意图】考查学生对圆周角与圆心角、弧之间关系的掌握，为下一节课等弧所对的圆周角相等做铺垫.
《圆周角》课例点评
湖里中学
林艺菁
执教教师所讲授的是人教版《义务教育教科书 数学》九年级上册第二十四章《圆》的内容.通过本节课的学习，一方面巩固圆心角与弧的关系定理，还可以为今后学习圆的有关性质打下坚实的基础.本节课主要是运用观察、动手操作、化归、归纳问题等方法，使学生经历圆周角定理的探索过程，培养学生严谨治学的学习态度和良好的思维品质.执教教师本节课教学设计有两个特点：
一、注重发挥学生课堂主体作用
从角和圆的叠加入手，引出圆周角概念，让学生通过画圆周角进一步理解圆周角概念，为探索圆心和圆周角的位置埋下伏笔。教学过程中注重让学生“说”数学，提供较多机会让学生展示交流，提高学生语言表达能力。
二、关注思维生长，发展核心素养
在探索圆周角定理的过程中，并末急于指定某一种情形加以说明，而是先让学生选一选，从三种情形中选一种相对简单或特殊的加以说明.从已有的认识经验入手，往往会选择简单的、特殊的情形入手，从而选择圆心在角的一边上的情形.符合学生的认识规律，积累了解决问题的经验，同时也为一般情形的解决做好铺垫，让学生通过观察、猜想、类比、转化、验证等活动过程，从而说明圆周角定理.这样的“留白”引导，给学生充分表达的时间与空间，从而达到知识自然生长，也为学生积累了解决问题的经验和思考问题的方法，发展学生核心素养。
总的来讲，执教教师对此课的教学符合《标准》的要求，关注了学生的探索过程、思考过程，注重培养学生的推理能力。整节课详略得当，活动设置合理，学生参与度高，课堂生成精彩，是一节优质示范课。
浅谈几何教学的高效性
禾山中学
林秀保
概述
本节课内容是九年级上册《圆周角》，教师从学生的认知结构出发，立足于学生的生长点和发展点，精心设计了本节课，教学环节设置合理，有序推进，通过类比圆心角的概念，创造性的引导学生给出了圆周角的定义，突出了“圆周角定理”这一重点，突破了“同弧所对的圆周角是圆心角的一半定理的证明”这一难点，通过圆中基本元素的叠加，培养了学生探究几何问题的方向和角度。下面将从几方面进行阐述：
教学过程
（一）问题设置，导向明确
本节课主要采用的是问题式指导法教学。
从表1中可以看出教师设计一系列的问题，这些问题的提出以学生的认知结构为生长点和发展点，从学生已学习的圆心角概念出发，将圆心角的概念看成是圆基本元素的叠加，通过设计四个问题引导学生给出圆周角概念，符合学生认知规律，从而学生在解决问题的过程中，能发现知识间的联系，尤其是问题2，追问1的设置。
亚里士多德指出：“思维从疑问和惊奇开始”。有了问题，学生的思维就有了方向，问题的设置让学生进一步体会圆周角是由圆和角的叠加产生的，若圆周角三个点都在变化，会产生无数杂乱无序的角，教师通过几何画板的演示，发现研究的价值和意义不大，因此引发学生的认知冲突，让学生自主的思考出，变化的量太多，为了更好的研究，需要固定一些量，让一些量变化即可，因此，执教教师精准的设计了问题3、4和追问3。几个问题的设置也为学生后续的动手操作提供了必要性的解释和引导。同时，为学生学习几何与图形的问题提供了研究方向和看问题的角度。
环节
设置问题
目的
引入
定义
问题1：圆心角的定义是什么？
问题2：将角和圆再次叠加时，角的顶点放在哪里比较特殊呢
追问1：确定这个角的顶点，还需要确定什么呢？
追问2：能否把定义完整复述一遍？
类比圆心角的概念引出圆周角的定义。
探究
性质
问题3：当角以顶点在圆上，两边与圆相交的方式进行叠加时，这个角与圆产生了什么样的联系呢？
问题4：几何图形的性质是几何要素之间确定的位置关系和大小关系。那我们可以研究圆周角与哪些要素之间关系？
追问3：特殊的位置关系和特殊的大小关系之间存在联系！圆周角的位置由什么决定呢？
通过3个问题的设置激发学生探究问题的热情和引导学生探究的方向。
（二）活动探究，关注本质
活动的探究是本节课的亮点，教师设置了三个探究活动，给予学生充分的思考时间，由前面引发的认知冲突，引导学生动手操作，自主探究，观察测量，大胆猜想。学生有了充分的探究时间后，执教教师请学生上台画图，引导学生通过四幅图探究出，半圆、优弧、劣弧等所对的圆周角，都有什么特征？三种弧的呈现引导学生大胆猜想：同弧所对的圆周角相等。教师在引导学生阐述自己观点的时候，让学生尝试用严谨的逻辑进行阐述和表达，教学的过程非常关注数学的本质问题。活动一的设置是本节课的亮点，通过画图，学生能够意识到同弧或等弧所对的圆周角有无数个，进而对活动二的探究提供了可能性，因为有无数个，所以需要对此无数个圆周角进行分类，两个活动的调换设置合理、有序，符合学生的认知。
活动
活动内容
活动一
探究固定交点B、C，只有顶点A圆上移动（不与B、C重合）时，产生的圆周角之间的关系。
活动二
研究同弧所对圆周角与圆心角之间的关系。
活动三
证明同弧所对圆周角与圆心角之间的关系
教学理念
（一）课堂教学，以生为本
活动
用时
活动一
4min30s
活动二
3min10s
活动三
3min
数学活动是师生积极参与、交往互动、共同学习的过程，从两个表可以看出，执教教师课堂上以学生为主体，将课堂还给学生，创造良好的数学学习氛围，让学生成为课堂学习的主人，充分调动学生的积极性，激发学生的学习潜能。执教教师充分组织学生思考活动，将学生自主回答、演示、和齐答、展示学生作品等形式相结合，课堂形式新颖多样，将多媒体的使用充分融合于课堂中，有效的提高教学效率和提升教学效果，充分的让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般的学习过程。培养了学生几何直观的能力、画图和识图能力、逻辑推理能力，尤其是培养学生分析和解决问题的能力。
自主探究
自主思考
学生回答
学生演示
3次
3次
23次
4次
方法渗透，促进发展
数学思想方法的渗透。本节课紧紧围绕着圆周角的定义，圆周角与弧的关系，圆周角与圆心角的关系这一主线展开教学，引导学生从具体到抽象的过程，渗透特殊到一般的思想，通过半圆所对的圆周角这一特殊的情况，引导学生发现其所对的圆周角均等于90度，从而对一般的情况进行探究，引出直径与圆周角之间的关系；渗透类比思想引导圆周角概念的生成；渗透分类讨论思想探究圆周角与圆周角、圆周角与圆心角之间的本质关系；渗透转化和设元的思想引导学生证明圆周角与圆心角之间的关系。
四、反思与建议
1.课堂小结时，教师引导学生回顾本节课的收获时，可以目标更明确些。
五、结语
总之，这是一堂高效的几何教学课。
曾铭江老师《圆周角》一课评课稿
禾山中学
刘雪梅
《圆周角》一课是在掌握了圆的基本概念、以及圆心角概念和性质的基础上，对圆周角的性质进行探索。圆周角性质在圆的有关说理、作图、计算中有着广泛的应用，也是学习圆的后续知识的重要预备知识，在教材中起着承上启下的作用。同时，圆周角性质也是说明线段相等、角相等的重要依据之一。执教教师的“圆周角”一课，在设计中围绕着《课标》中“探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”的要求，给学生观察、猜想、探究、发现和证明圆周角定理提供了机会。执教教师的这节课有如下三个特点：
一．教学目标定位准确
执教教师把“了解圆周角与圆心角的关系，掌握圆周角的性质并能运用圆周角的性质解决问题”作为知识与技能目标，是对教材的准确把握；通过“引导学生观察图形，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学生的自信心”来实现情感目标。把“圆周角的定理及其推论”作为教学重点，把“发现并分类证明圆周角定理”作为教学难点，表述准确，符合新课程标准要求，重难点处理恰当。本节课三维目标紧扣新课标，全面具体，既注重过程的落实与方法的培养，又关注学生的情感体验，符合学生年龄实际和认识规律，目标定位准确。
二．教学设计构思巧妙
1、重视问题的设计，从圆心角入手，由已知到未知，体现了数学的化归思想。
执教教师以学生刚刚学过的圆心角入手，创设生动有趣的情境，激发了学生的学习兴趣，使情境创设成为点燃学生心中激情的兴奋剂。课题导入自然流畅，生动有趣，情境的创设真实可信，无雕琢之痕。最后通过探索并证明圆周角和圆心角的关系，将已知的知识与未知的知识再次联系起来，让学生在解决问题中获得成功的体验，首尾照应，让人感受到教学设计者的匠心独运。
2、重视学生活动的设计，体现了学生的主体性原则。
新课程非常强调学生的主体地位。引导学生经历知识的形成过程，执教教师围绕圆周角定理的证明，设计了学生动手实践——大胆猜想——有序探究———验证归纳的教学过程。这一过程是学生在教师的引导下自主探索的过程，是学生体验知识的生成过程，也是学生体会知识运用的过程，充分体现了学生的主体作用，培养了学生的自主学习能力。
3、重视数学思想方法的渗透。
在证明圆周角定理的过程中，通过运用“分类讨论”的数学思想，分三种情况对圆心与圆周角的位置关系加以讨论，全面而具体，做到不重不漏，从而培养了学生思维的严谨性，对学生今后的数学学习有着深远的影响。另外，在证明圆周角定理的过程中，也体现了“从特殊到一般”的数学方法。
三、课堂结构体现严谨
执教教师采用“问题情境—探究合作—启发引导”的结构组织教学，给人耳目一新的感觉。执教教师首先在学生对圆心角的已有知识的基础上，引入了圆周角的概念，趣味性地导入新知，激发学生的学习兴趣。然后学生通过观察获得对圆周角性质的初步认识，提出猜想，随后小组合作探究，验证猜想。这样的课堂结构设计严谨，环环相扣，过渡自然，变教为探，“双基”得到有效落实，逻辑推理能力得到锻炼，突破了难点。
四、教学方法呈现新颖
本节课主要采用探究式教学法组织教学，“合作探究”是本节的特色和亮点，教师能用新课程理念解读教材，对圆周角定理进行深度探究。当堂问题当堂清，学生负担轻，学生学得轻松愉快，学生体验了学习数学的成就感。
总的来说，执教教师这节课的亮点有很多，如教师角色转型到位，教学课件制作精美，利用多媒体动画演示给学生直观印象。在他的课堂上，我看到了我们数学人严谨治学的学术精神。但教学是一门遗憾的艺术，本节课有两个方面需要共同探讨：
1、利用学生的说理活动来培养推理论证能力。
推理论证能力的培养是几何教学的灵魂，而说理是培养推理论证能力的重要途径之一。在几何证明教学中，应该留有充分的时间让学生说过程、说道理，充分暴露学生的思维过程，让学生的思维显性化，只有学生会说了，找到了证明思路，书写证明过程才会顺理成章。
2、数学语言表述严谨准确是数学教师的基本素养。
数学是一门严谨的科学，数学语言力求严谨准确，言简意赅。
总之，执教教师的这节课能依据新课程理念，准确定位教学目标，激趣导入新知，对教材内容进行了恰当处理，精心设计教学环节，教学方法新颖，使学生循序渐进地自主学习新知，突出了重点，突破了难点，让学生学有所得，达到了预期效果
《圆周角》评课
厦门外国语学校湖里分校
戴碧芳
本节课选自《人教版义务教育教科书·数学
》九年级上册第24.1.4
圆周角，它既是圆心角、弧、弦关系的继续，又是后续研究圆与其他平面图形的桥梁和纽带；主要培养学生逻辑思维能力和分析解决问题的能力。执教教师在设计中围绕《课标》中“理解...；探索...；了解并证明..”的要求，给学生提供了“实验报告式”的探究平台。圆是平面几何中一种基本的图形，它是学生学习的第一个曲线型，由直线形到曲线型，在认识上是一个飞跃。“化曲为直”是本节的内含研究思路。执教教师的这节课有如下三个特点：
一、深度理解，把握图形“本质”
从圆周角定义的问题设计看，执教者让圆中角“灵动”了起来，跳脱出了圆这个“圈圈”，让熟悉的角和圆产生了活泼的互动！再由构成角的基本元素“顶点”和“边”与圆形成密切的、特殊的关联！自然合理地把曲线型和直线型进行了组合，做到新旧融合。
二、深度理解，架构几何研究框架
几何要素的位置关系和大小关系是探究图形与几何的关键内容。“我们可以研究圆周角和哪些要素之间的关系？”，这个设问外延开去，初步搭建了几何体系的知识结构框架。这也符合《课标》提出的“把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性”。因此，本节课的教学引导正是充分考虑了这个问题。正因为有这种架构模式基础，依据学生的学路来推进，“弧与角”建立关联，水到渠成，毫无牵扯学生之意。可以说，这个对整体教学活动起着重要导向作用的问题设计,在不同认知冲突的刺激下，新知的内涵自然外溢，新知的外延渐次丰腴，新知的本质越发透明。
三、深度理解，建构“实验报告式”探究
“确认-操作-观察-猜想”程序化的研究过程，是根据提示和已有知识经过推理得出结论，这些对激发学生的学习兴趣，活跃学生的思维，发展学生的思维能力都有好处，教学中这样的启发和引导，使学生在熟悉规范证明的基础上，推理论证能力也有所提高和发展。
总之，在圆周角定义和性质的认知过程中，从元素的“叠加”，到几何体系中研究方向的确定，再到实验报告式的探究方法，让学生积累了活动经验，领悟了数学思想等深度体验，所以基于“从符号学习走向学科思想”的深度教学，有利于将抽象推理模型的基础思想在学习过程里由隐而不露变为显山露水，顺应学科思想的孕育升华。
