24.1.4
圆周角（第一课时）
教学设计
青海师大附中
杨维鸽
课题
24.1.4
圆周角（第一课时）——人教版教材九年级上册
姓名
杨维鸽
学校
青海师范大学附属中学
教学内容
圆周角的概念，圆周角定理及其推论
教学内容解析
从知识角度看：本节课有三方面学习内容:一是圆周角的概念；二是圆周角定理及推论的证明；三是圆周角定理及其推论的应用。它是继圆及其相关概念、圆心角定理、垂径定理后的又一重要内容。深入理解圆周角概念、定理及推论为后续学习圆内接多边形、圆内相关量的计算、证明等奠定了坚实的基础。因此本课时的教学重点是灵活运用圆周角定理及其推论。
从数学思想方法来看：圆周角定理的探究，采用了数学问题的一般研究模式“操作实验--猜想——验证——证明”，充分感受知识的生成过程。定理内容探索体现了“特殊到一般”的思考路径，定理的证明突出了分类讨论的思想方法，从“特殊到一般”进行证明，将“一般情况化为特殊情况”论证以及“化未知为已知”的化归思想。渗透数学抽象、逻辑推论、直观想象的数学素养。
教学目标
根据课程标准要求，结合对教学内容的分析，融三维目标为一体，本课时的教学目标确定为：
通过在圆中画一条弧所对的角，观察角的顶点位置变化，类比圆心角，归纳出圆周角的概念，利用正例与反例区别圆周角概念的本质属性，从而会认、会找、会画一条弧所对的圆周角，进一步体会类比的思想方法。
通过画图、观察、测量、猜想、演示、等过程探究一条弧所对的圆周角与圆心角之间的位置关系与数量关系，通过分类讨论、类比、化归等思想方法证明圆周角定理，发展学生的合作交流、逻辑推理能力，
通过观察猜想，合作探究等活动，让学生养成独立思考、团结合作的习惯。
教学目标解析
能在具体的图形中正确判断哪些角是圆周角，且正确识别一条弧所对的圆周角；知道圆周角定理及其推论的内容，能够在圆中识别直径所对的圆周角，在具体问题中根据需要能够构造直径所对的圆周角；能够运用圆周角定理及其推论解决简单的问题。培养学生的直观想象、数学建模的素养。
能通过画图、分析从中抽象、概括圆周角的概念，经历画图、观察、度量、猜想、演示验证、归纳等方式发现一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角之间的数量关系以及同弧所对的圆周角之间的数量关系，能根据圆心与圆周角一边的位置关系对同弧所对的圆周角进行分类，理解证明圆周角定理时分类讨论的必要性，理解证明圆周角定理时可以化一般情况（圆心在圆周角内部和圆心在圆周角外部）为特殊情况（圆心在圆周角一边上）的思想方法。渗透数学抽象、逻辑推理的核心素养
通过操作交流、观察猜想、合作探究等活动，既关注了知识理解程度，又关注知识的理解方式和策略，发展学生的逻辑思维能力，不断提升思维品质。
教学重点
灵活运用圆周角定理及其推论
学生学情分析
学习本节课内容时，学生已经学习了三角形、平行四边形等基本几何图形的判定和性质，同时在本章中学生也已经学习了一些与圆有关的性质，知道了圆既是轴对称图形又是中心对称图形，结合圆的对称性的性质得到了垂径定理及其推论，了解圆心角的概念，探究了圆中弧、弦、圆心角之间的关系。说明学生们已经具备了一定的对于概念的抽象与概括的能力，具备了一定的探究问题、分析问题、解决问题的基本逻辑推理能力，能够掌握简单的几何命题证明，但对于概念的生成缺乏更深刻的探究与认知，对于命题的证明为什么要要分类讨论以及在证明过程中将一般情况化为特殊情况的化归思想有疑问
教学难点
圆周角定理的证明
教学方法
本节课通过探究式、小组合作式、教师引导的方式推进教学。
采用已有的圆心角知识创设问题情境，让学生通过观察、测量、猜想、演示、证明等方法独立思考或合作探究，自主发现圆周角定理，让学生经历完全归纳、类比、化归等数学思想，在独立思考的基础上进行合作交流，从而引发学生的数学思维，引导学生主动学习、主动思考、主动探究的学习习惯。
教学策略分析
建构主义认为，教师的教围绕从学生的学
因此本节课通过复习圆心角的概念及圆心角有关性质入手，让学生从已有认知水平上去理解学习与圆有关的另一类重要的角----圆周角的必要性，类比圆心角概念的生成过程，抽象并概括出圆周角的概念，同时结合具体例题，呈现与圆周角有关的正例与反例，揭示概念的本质属性。
经过观察—抽象—探索—概括—演示—验证—逻辑推理等过程，实现
概念向性质的自然延续。突出圆周角定理及其推论的探究过程，注重学生逻辑思维能力的训练。
通过几何画板演示，可以将抽象问题具体化，便于学生的理解。如一条弧所对的圆周角有无数多个，圆周角与圆心角之间的数量关系，让学生了解现代信息技术是解决问题的有力工具，激发学生对于数学学习的积极性。提高学生的直观想象素养.
预期达成效果分析
通过本节课的学习：经过观察—抽象—探索—概括—演示—验证—逻辑推理等过程，实现概念向性质的自然延续。从而达到：
1、学生会认圆周角，能正确画出圆周角，找出一条弧所对的圆心角与圆周角，从圆心角的大小确定圆周角的大小，反之也可以。
2、会分析圆周角与圆心角之间的位置关系，并准确画出图形
3、能得到圆周角与圆心角之间的数量关系，经过探究后能给出定理的证明，能根据圆周角定理，进一步探究出圆周角定理的推论。
4、在圆中会进行简单的计算及证明。
5、了解分类讨论、类比、化归等数学思想。
教具准备
圆规、直尺、PPT幻灯片、几何画板等多媒体设备
教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
第一环节：创设情境，引入新课
思考：某工厂制造了一批半圆形工件，工人师傅手上只有一把直角曲尺，为了检查工件是否合格，工人师傅将直角曲尺的直角顶点放在如图所示的位置上，便能检查出那个工件合格。你知道为什么吗？
第二环节：合作交流
探究新知
（一）圆周角的概念
师：如图1所示，∠AOB是圆心角，谁能说出圆心角的概念？
生：顶点在圆心上的叫做圆心角
师：它所对的弧是哪条弧？
生：弧AB
师：在⊙O中，弧AB所对的角的顶点除了在圆心处之外，还可以在哪些位置？
生：圆内、圆上、圆外（如图2所示）
师：这些都是与圆有关的角，其中最特殊的是顶点在圆上的角。我们把它叫做圆周角。
师：今天我们先来研究特殊情况----圆周角
观察圆周角的顶点与边的特点，试着给出圆周角的概念。
生：顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角
及时反馈----练一练1：
判断下列图形中的角是不是圆周角？并说明理由。
生：思考后回答，只有第3个是圆周角，其它都不是
（二）圆周角定理的探究与证明
如图所示，可以发现∠BAC与∠BOC对着同一条弧，那它们之间存在什么关系呢？我们来研究一下。
活动一：请同学们在自己准备的⊙O中，用红笔任意画出一条弧BC，再画出这条弧所对的圆周角和圆心角。
你可以画出多少个圆周角？多少个圆心角？
2、通过观察这些圆周角与圆心角，从位置关系上看，你们有什么发现？
3、再量一量它们的度数，从数量关系上看，你有什么发现
？
小组成员之间讨论交流，组长将讨论结果记录下来，派代表
分享小组的成果。
生：位置关系可以归纳为三种，如下图所示：
数量关系可以猜想为：
（1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
（2）同弧所对的圆周角相等
师：通过几何画板演示，验证了归纳和猜想的正确性，但是对于特殊情况下得出的猜想（命题），在数学上需要进行严密的逻辑证明。
师：那我们先从证明那个猜想入手呢？
应该先证明第一个猜想，再用第一个的结论证明第二个猜想
师：证明命题的基本步骤是什么？
生：找题设和结论---画出图形---写出已知和求证---证明
师：请同学们找出此命题的题设和结论。
生：题设：在圆中，已知一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角
结论：这条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半
师：画出一条弧所对的圆心角与圆周角，会有几种情况？
生：3种
师：因此这个命题的证明需要分类讨论。
已知：如下图所示，在⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，所对的圆心角是∠BOC.
求证：
∠BAC=
∠BOC
同学们想想，我们先从哪一个图开始证明呢？
生：第一个，因为第一个最特殊
师：我们先从图4开始证明，当圆心O在∠BAC的一边上时，
生：学生独立思考后，给出方法
证明：∵
OA=OC
∴∠C=∠BAC
∵
∠BOC=∠BAC+∠C
∴∠BAC=∠BOC.
活动二：小组合作讨论，如何在图5、图6证明“一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”呢？
学生先思考，若无法解决，教师进行引导
师：图4主要运用三角形外角和定理进行的证明，图5、图6可以通过添加辅助线，构造三角形，类比图4的证明方法，实现转化。
生：可以，做辅助线，连接AO并延长交⊙O于点D，如图所示：
小组内进行分析探究，学生口述证明过程，课后独立完成书写证明过程：
综上所述：在⊙O中，始终有∠BAC=∠BOC（或∠BOC
=2∠BAC）因此，我们得到了定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，这就是圆周角定理
（三）圆周角定理的推论
现在，我们来证明第二个猜想：（2）同弧所对的圆周角相等
如下图所示，在⊙O中，弧BC所对的圆周角分别为∠C，∠D，∠E，证明∠C=∠D=∠E，
生：利用圆周角定理可得：
∠C=∠BOC，∠D=∠BOC，
∠E=∠BOC
∴∠C=∠D=∠E
因此，同弧所对的圆周角相等
思考：如图所示，在⊙O中，,
那么∠BAC和∠CAD有什么关系
生：通过此题我们可以的得到“等弧所对的圆周角相等”
师：综上所述，我们得到推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
思考：如图所示，在⊙O中，线段AB是⊙O的直径，点C
是圆上任意一点（不与A、B两点重合），那么∠ACB就是直
径AB（或半圆）所对的圆周角，思考
∠ACB是什么样的角？
生：直角
师：教师点拨，学生分析，口述证明过程。
师：谁用文字来叙述一下这个结论？
生：直径所对的圆周角等于
师：我们得到推论：半圆或直径所对的圆周角等于直角（），反之，圆周角所对的弦是直径
第三环节：例题解析
应用新知
例：如图所示，在⊙O中，如图所示，在⊙O中，线段AB是⊙O
的直径，
（1）∠C
=_____
（2）若BC=3,AC=4,则AB=_____
（3）若∠A=40°，则∠B=_____，
变式:例题的已知条件不变，在圆周上任
取一点D,连接AD，CD
（4）若∠A=40°∠B=_____,∠D=_____,
（5）直径AB为10cm，弦BC为6cm，CD
平分∠ACB，求AC，AD的长。
课前思考：某工厂制造了一批半圆形工件，工人师傅手上只有一把直角曲尺，为了检查工件是否合格，工人师傅将直角曲尺的直角顶点放在如图所示的位置上，便能检查出那个工件合格。你知道为什么吗？
第四环节：学习小结
本节课你收获了哪些知识？
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两条边都与圆相交，这样的角叫做圆周角。
（2）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
（3）圆周角定理的推论：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
半圆或直径所对的圆周角等于直角，反之，
90度的圆周角所对的弦是直径
请你选择下面一个或几个关键词谈本节课的体会：方法、思想、收获、喜悦、困惑、成功……
通过画图、测量、猜想、验证、证明的过程，学习了分类讨
论、完全归纳法，化一般为特殊的化归思想等
第五环节：作业布置
必做题：教科书89页：3题、5题
选做题：能力培养测试73页，7题、8题、9题
第六环节：课后反思
《圆周角》这节分为两个课时进行教学，第一课时是了解圆周角定义、探索圆周角定理以及简单应用。本节课安排整个教学活动从学生的认知规律出发，从问题情境出发，层层设问，激发学生的主动性与创造力。利用几何画板演示能有效地突出重点，突破难点，使教学过程轻松自如，学生易于并乐于接受。
但是学生对于圆周角定理证明过程中，对其进行分类讨论理解不够明确，在做题时，先找圆周角，再找圆周角所对的弧、弧所对的弦，这三者之间关系的转化不熟练，应在后续教学中，加强学生的识图能力和数学思维能力的训练。
板书设计：
(
24.1.4
圆周角
一、圆周角定义
顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角
二、圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
图（
1
）
证明（
1
）图过程
证明：
∵
OA=OC
∴∠C
=
∠BAC
∵
∠BOC
=
∠BAC
+
∠
C
∴∠BAC
=
∠B
O
C
三、圆周角定理的推论
1、
在同圆或等圆中，
同弧或等弧所对的圆周角
相等
2、半圆或直径所对的圆周角等于直角（
），反之，
圆周角所对的弦是直径
例
：证明过程
)
教师给出问题，学生分析思考。
教师给出一组图形，学生回答哪些是圆周角，并说明理由。
通过找圆周角与圆心角所对的弧，发现它们之间对的是同一条弧，引发学生思考这样的圆周角与圆心角之间的是否还存在其它关系
学生通过小组合作，观察与度量图中圆心角与圆周角之间的关系，得到猜想，教师用几何画板演示，让学生通过直观观察进一步体会猜想的正确性。
结合三种情况，学生分析认识到图4属于特殊情况，研究数学问题一般是从特殊情况到一般情况。师生结合图4，分析证明。
学生思考，尝试解决，若存在困难，教师加以引导，提示学生进行转化，师生共同完成证明。
学生思考，通过圆周角定理验证“同弧所对的圆周角相等”
学生猜想、分析，利用已有知识圆周角定理去解决该问题。
学生分析，利用圆周角定理算出结果，再次加深对圆周角定理的理解
教师提问，引导学生回顾，学生总结本节课的学习小结。
通过生活情境引入，带动学生思考，设置悬念，激发学生的学习兴趣。
让学生体会圆周角概念的生成过程，根据已有知识类比得到新知，教会学生解决问题的思路：将新知与旧知有效结合。
同时发展学生的直观想象与数学抽象素养。
同时呈现有关圆周角的正例和反例，有利于学生对于圆周角概念的本质属性和非本质属性进行比较，加深对于概念的理解。
引发学生思考，提出问题，激发学生主动探究的意识，培养学生学习的积极性。
引导学生经历度量、观察、猜想、分析、交流、验证等基本数学活动，探索圆周角与圆心角之间的位置关系和数量关系。
教师进一步演示，让学生在动态变化过程中观察变化的位置关系以及不变的数量关系
通过合情推理与直观操作，使得推理论证成为学生观察、分析、探究得出结论的自然延续
让学生理解一条弧所对的圆周角有无数多个，因此证明圆周角定理时，不能逐一验证无数个圆周角，让学生容易理解需要对圆周角进行分类。
从特殊情况入手，证明猜想，既符合学生的认知规律，又为其它两种情况的证明提供了转化方向。
从一般情况转化为特殊情况的过程中，学生体会化归的数学思想，通过三种情况的证明，感受分类讨论的必要性，同时加强学生的逻辑推理能力。
活学活用，利用圆周角定理验证“同弧所对的圆周角相等”，既加深了对圆周角定理的理解，又进一步认识了弧与圆周角之间的关系。
认识特殊的圆周角——即直径所对的圆周角是直角，让学生由一般到特殊加深对定理的理解，掌握知识之间的特殊联系，进而获得推论。
运用圆周角定理及其推论解决问题综合考察学生对于圆周角定理和等弧所对的圆心角相等之间关系的掌握。
解决课前设置的问题情境，检测学生在学习中对知识的掌握情况。
数学课堂的教学不单是知识的学习，还有方法、思想、逻辑思维的锻炼、参与数学活动探究中所获得的成功，探索中所存在的疑问等等，都是本节课的学习小结。重在让学生至少能够感知到一个收获。以此培养学生的数学思维能力，激发学生学习数学的兴趣。(共25张PPT)
青海师范大学附属中学
杨维鸽
第一环节：创设情境，引入新课
思考：某工厂制造了一批半圆形工件，工人师傅手上只有一把直角曲尺，为了检查工件是否合格，工人师傅将直角曲尺的直角顶点放在如图所示的位置上，便能检查出那个工件合格。你知道为什么吗？
第二环节：合作交流
探究新知
1、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两条边都与圆相交。
（一）圆周角概念
判断下列图形中的角是不是圆周角？请说明理由
及时反馈----练一练1：
第二环节：合作交流
探究新知
（二）圆周角定理探究与证明
如图所示，可以发现∠BAC与∠BOC对着同一条弧，那它们之间存在什么关系呢？我们来研究一下。
第二环节：合作交流
探究新知
（二）圆周角定理探究与证明
活动一：请同学们在自己准备的⊙O中，用红笔任意画出一条弧BC，再画出这条弧所对的圆周角和圆心角。
1、你可以画出多少个圆周角？多少个圆心角？
2、通过观察这些圆周角与圆心角，从位置关系上看，你们有什么发现？
3、再量一量它们的度数，从数量关系上看，你有什么发现
？
小组成员之间讨论交流，组长将讨论结果记录下来，派代表分享小组的成果。
第二环节：合作交流
探究新知
（二）圆周角定理探究与证明
1、你可以画出多少个圆周角？多少个圆心角？
无数个圆周角
1个圆心角
第二环节：合作交流
探究新知
（二）圆周角定理探究与证明
2、通过观察这些圆周角与圆心角，从位置关系上看，你们有什么发现？
第二环节：合作交流
探究新知
（二）圆周角定理探究与证明
2、通过观察这些圆周角与圆心角，从位置关系上看，你们有什么发现？
图4
图5
图6
圆心在圆周角一边上
圆心在圆周角内部
圆心在圆周角外部
第二环节：合作交流
探究新知
（二）圆周角定理探究与证明
3、再量一量它们的度数，从数量关系上看，你有什么发现
？
我们可以猜想：（1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
（2）同弧所对的圆周角相等
4、利用几何画板演示验证
5、逻辑推理（证明）
题设：在圆中，已知一条弧所对的圆周角和圆心角
猜想1：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
结论：这条弧所对的圆周角是圆心角的一半
证明命题的基本步骤：
找题设和结论---画出图形---写出已知和求证---证明
依据题设画图：
已知：如图所示，在⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，所对
的圆心角是∠BOC.
求证：
∠BAC=
∠BOC
图1
图2
图3
一条弧所对的圆周角与圆心角之间的位置关系有几种？
画图：
我们首先选择在图（1）中，圆心O在∠BAC的一边上时
证明
图1
如何在图（2）证明“∠BAC=
∠BOC”呢？
图2
类比图1的证明方法，添加辅助线
证明
由图(1)可知
∴
∠DAC=
1/2∠DOC
同理可证∠DAB=
1/2∠DOB
∴
∠DAC+
∠DAB=
1/2∠DOC+1/2∠DOB
∴
∠BAC=
1/2∠BOC
图3
证明
由图（1）可知
∴
∠DAC=
1/2∠DOC
同理可证∠DAB=
1/2∠DOB
∴
∠DAB-∠DAC
=
1/2∠DOB-
1/2∠DOC
∴
∠BAC=
1/2∠BOC
如何在图（3）证明“∠BAC=
∠BOC”呢？
2、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
（三）圆周角定理的推论
思考：如下图所示，在圆中如何证明猜想（2）
同弧所对的圆周角相等？
利用圆周角定理可得：
∠C=
1/2∠BOC
∠D=
1/2
∠BOC
∠E=
1/2
∠BOC
∴∠C=∠D=∠E
通过此题我们可以的得到“在同圆中，同弧所对的圆周角相等”
思考：如图所示，在⊙O中，
那么∠BAC和∠CAD有什么关系
通过此题我们可以的得到“在同圆中，等弧所对的圆周角相等”
3、推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对
的圆周角相等
思考：如图所示，在⊙O中，线段AB是⊙O的直径，点C是圆上任意一点（不与A、B两点重合），那么∠ACB就是直径AB（或半圆）所对的圆周角，∠ACB是什么样的角？
反之，在⊙O中，若圆周角∠ACB
是直角，那么它所对的弦AB有什么
特点？
4、推论2：半圆或直径所对的圆周角等于直角，反之，
90度的圆周角所对的弦是直径
例：如图所示，在⊙O中，线段AB是⊙O的直径
（1）∠C=_____
（2）若BC=3,AC=4,则AB=_____
（3）若∠A=40°，则∠B=_____
∠D=_____
90°
5
50°
50°
第三环节：例题解析
应用新知
变式：
变式：（4）直径AB为10cm，弦BC为6cm，CD平分∠ACB，求AC，AD的长。
第三环节：例题解析
应用新知
课前思考：某工厂制造了一批半圆形工件，工人师傅手上只有一把直角曲尺，为了检查工件是否合格，工人师傅将直角曲尺的直角顶点放在如图所示的位置上，便能检查出那个工件合格。你知道为什么吗？
第四环节：学习小结
本节课你收获了哪些知识？
1、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两条边都与圆相交，这样的角叫做圆周角。
2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
3、圆周角定理的推论：
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
（2）半圆或直径所对的圆周角等于直角，反之，
90度的圆周角所对的弦是直径
请你选择下面一个或几个关键词谈本节课的体会：方法、思想、收获、喜悦、困惑、成功……
通过画图、测量、猜想、验证、证明的过程，学习了分类讨论、完全归纳法，化一般为特殊的化归思想等
第五环节：作业布置
必做题：教科书89页：3题、5题
选做题：能力培养与测试
谢谢大家
