(共28张PPT)
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定（1）
27.2 相似三角形
新课导入
问题1：我们学过哪些判定两个三角形全等的方法？
SSS，SAS，ASA，AAS
问题2：类比上面这些方法，猜一猜判定两个三角形相似的方法有哪些？
学习目标：
1.能用符号表示两个三角形相似，能确定它们的相似比、对应边和对应角.
2. 能叙述平行线分线段成比例定理及其推论，并能结合图形写出正确的比例式.
3.能用平行线分线段成比例定理的推论证明三角形相似的判定引理.
学习重、难点：
重点：平行线分线段成比例定理及其推论.
难点：正确理解定理中的“对应线段”.
推进新课
相似三角形
知识点1
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形.
∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'．
在△ABC和△A'B'C'中，如果
我们就说△ABC和
△A'B'C'相似，相似比为k，相似符号为“∽”.
如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
全等
两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？
30°
45°
两个直角三角形不一定相似
两个等腰直角三角形相似
思考
两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？
等腰三角形不一定相似
等边三角形相似
判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边分别相等外，还可以使用简便的判定方法（SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？我们先来探究下面的问题.
自由讨论
探究
如图，任意两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2 都相交的平行线l3，l4，l5．分别度量l3，l4，l5在直线 l1上截得的两条线段AB，BC和在l2上截的得两条线段DE，EF的长度，
与 相等吗？任意平移l5， 与 还相等吗？
可以发现，当l3∥l4∥l5时，有
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况：
在图1中，把l4看成平行于△ABC的边BC的直线；在图2中，把l3看成平行于△ABC的边BC的直线，那么我们可以得到结论：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
1
2
练习
1．如图，DE∥BC， ，
则 ________．
A
B
C
E
D
2.如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，求 的值.
解：∵AB∥CD∥EF,
判定三角形相似定理
知识点2
思考
如图，在△ABC中，DE∥BC，
且DE分别交AB，AC，于点D，
E，△ADE与△ABC有什么关系？
△ADE∽ △ABC
证明：在△ADE与△ABC中，∠A= ∠A，
∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
过点E作EF∥AB，交BC于点F，
∵DE∥BC，EF∥AB,
∴ ,
∵四边形DBFE是平行四边形，
∴DE=BF， ，∴
∴△ADE∽△ABC
这样，我们证明了△ADE和△ABC相似，因此我们有如下判定三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
如图， DE∥BC分别交BA、CA的延长线于点D、E，那么△ADE与△ABC相似吗？
△ADE∽ △ABC
证明： DE∥BC，∠E=∠C，∠B=∠D，
过E作EF∥BD交CB的延长线于F，
∵DE∥BC，EF∥BD，∴
又∵四边形BDEF是平行四边形，∴DE=BF
∴ ∴△ADE∽△ABC
练习
1.如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD=3，DB=2.图中的相似三角形是________________，其相似比是____.
△ADE∽△ABC
2.如图，DE∥BC，DF∥AC，则图中相似三角形一共有（ ）
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
C
随堂演练
基础巩固
1.如图，DE∥BC， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
B
2.如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
A
3.如图，△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA.
（1）写出对应边的比例式；
（2）写出所有相等的角；
（3）若AB=10，BC=12，CA=6，求AD、DC的长．
综合应用
解：（1）
（2）∠BAC=∠CDA，∠B=∠ACD，∠ACB=∠DAC;
（3）由（1）中的结论和已知条件可知
求得AD=3，DC=5.
课堂小结
基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
结论
判定定理
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
拓展延伸
如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AB、AC于点D、E，试证明：
证明：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB,
∴ ，
∴
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
教学反思
本课时先给出相似三角形的定义，说明有关概念，明确相似三角形的符号表示和相似比的意义.由于三角形的相似与比例线段密不可分，因此在形成相似三角形的概念之后，主要安排学习比例线段，进而讨论平行于三角形一边的平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理，为研究相似三角形提供了必要的知识准备.教学过程中应遵循学生的理解认知能力，由浅入深，逐步推进.
(共30张PPT)
第2课时 相似三角形的判定（2）
新课导入
三边对应相等的两个三角形全等，这是判定三角形全等的SSS方法.
类似地，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
学习目标：
1.知道三边成比例的两个三角形相似，知道两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
2.能够运用这两个判定定理解决简单的证明和计算问题.
学习重、难点：
重点：三角形相似的判定1和判定2.
难点：两判定定理的证明.
推进新课
相似三角形的判定定理
知识点1
探究
任意画一个三角形，
再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍. 度量这两个三角形的角，他们分别相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论.
通过测量结果，可以发现，这两个三角形相似. 我们用上面的定理进行证明.
如图，在△ABC和△A'B'C'中，
求证△A'B'C'∽ △A'B'C'
证明：在线段A'B'（或它的延长线）上截取
A'D=AB，过点D作DE∥B'C'，
交A'C'于点E，根据前面的
定理，可得
△A'DE∽△A'B'C'.
∴
又 ，A'D=AB
∴ ,
∴DE=BC，A'E=AC
∴△A'DE △ABC
∴△ABC∽△A'B'C'
△ A'DE是证明的中介，它把△ABC与△A'B'C'联系起来.
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理
△ABC∽△A'B'C'
三边成比例的两个三角形相似.
判定定理1：
全等三角形还可以用SAS来判定，那么相似三角形呢？能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？
∠A=∠A'
△ABC∽△A'B'C'
证明：在A'B'上截取A'D=AB，作DE∥B'C'交A'C'于点E.
D
E
∵DE∥B'C'
∴△A'DE∽△A'B'C'
又∵
A'D=AB
∴ A'E=AC
△ABC∽△A'DE
∴
△ABC∽△A'B'C'
∠A=∠A'
△ABC∽△A'B'C'
由此我们得到另一个判定三角形相似的定理
判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
两个判定定理
三边成比例的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
1
2
练习
1.下列条件能判定△ABC与△A′B′C′相似的是（ ）
C
A.
B.
C.
D.
，且∠A=∠C'
，且∠B=∠B'
，且∠B=∠B'
2.下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（ ）
A. B. C. D.
B
运用判定定理1和2
知识点2
思考
对于△ABC和△ABC，如果 ,
∠B=∠B'，这两个三角形一定相似吗？试着画
画看？
A/A'
B
C
C'
B'
A/A'
B
C
C'
B'
如图所示，
∠B=∠B'
有两种情况，所以
以上条件下，△ABC和△A'B'C'不一定相似.
若把∠B换成∠C，
情况一样。
例1 根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
（1）AB=4cm, BC=6cm, AC=8cm,
A'B'=12cm, B'C'=18cm, A'C'=24cm;
（2）∠A=120°, AB=7cm, AC=14cm,
∠A'=120°, A'B'=3cm, A'C'=6cm.
解：（1）∵
∴
∴ △ABC∽△A'B'C'
（2）∵
∵
又∠A=∠A'
∴ △ABC∽△A'B'C'
练习
1.根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
（1）∠A=40°, AB=8cm, AC=15cm,
∠A'=40°, A'B'=16cm, A'C'=30cm.
（2）AB=10cm, BC=8cm, AC=16cm,
A'B'=16cm, B'C'=12.8cm, A'C'=25.6cm;
相似，因为两边成比例，夹角相等.
相似，因为三边成比例.
2.图中的两个三角形是否相似？为什么？
相似
∠ACB=∠ECD
相似
随堂演练
基础巩固
1.（1）判断图1中两三角形是否相似；
解：（1）相似. 设小方格边长为1，
则AB=2, BC=2 ，AC=2 ,
EF=2，ED= , DF= .
∵ ∴△DEF∽△ABC.
（2）求图2中x和y的值.
解：（2）∵
∠ACB=∠ECD
∴△ACB∽△ECD
∴∠B=∠D=98°，
∴x=40.5 y=98
2.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=5，DE=4，AE= , DB=7，BC= ,
EC= , 那么△ADE∽△ABC吗？为什么？
解： △ADE∽△ABC
∵
∴ △ADE∽△ABC
综合应用
3.如图，已知△ABD∽△ACE．
求证：△ABC∽△ADE.
证明：∵ △ABD∽△ACE
∴∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠DAC= ∠CAE+ ∠DAC
即∠BAC=∠DAE. 又∵
∴△ABC∽△ADE.
课堂小结
相似三角形的两条判定定理
三边成比例的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
拓展延伸
在△ABC中,∠B=30°，AB=5cm，AC=4cm，在△A′B′C′中，∠B′=30°，A′B′=10cm，A′C′=8 cm，这两个三角形一定相似吗？若相似，说说是用哪个判定方法;若不相似，请说明理由.
解：不一定. 虽然
∠B=∠B', 但∠B和∠B'不是对应边的夹角，
∴这两个三角形不一定相似.（见知识点2思考）
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
教学反思
本课时教学采用类比的方法进行，根据全等三角形是特殊的相似三角形，通过对判定全等三角形所需条件进行分析，类比全等三角形的判定方法，引导学生在类比中猜想相似三角形的判定方法.课堂上突出学生的主体地位，多给学生提供自主学习、自主操作、自主活动的机会，让学生真正成为数学学习的主体.
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第3课时 相似三角形的判定（3）
新课导入
观察直角三角尺，其内外轮廓构成的两个三角形是否相似？你是怎么判定的？
学习目标：
1.知道两角分别相等的两个三角形相似；知道斜边、直角边成比例的两个直角三角形相似.
2.能证明结论“斜边、直角边成比例的两个直角三角形相似”.
3.能灵活选择适当的方法证明两个三角形相似.
学习重、难点：
重点：相似三角形的判定方法3以及直角三角形相似的判定方法.
难点：定理的证明.
推进新课
相似三角形的判定定理
知识点1
我们由三角形全等的SSS和SAS的判定方法类似地得到了三角形相似的判定定理，那么能否同样地由三角形全等的ASA或AAS类比得到相应的三角形相似的判定方法呢？
在△ABC 与△A'B'C'中，如果满足∠B=∠B＇，∠C=∠C＇，那么能否判定这两个三角形相似？
A＇
B＇
C＇
B
A
C
猜想：△ABC∽△A'B'C'
如何证明
证明：在A'B'上截取A'D=AB，过D作DE∥B'C'
交A'C'于点E，∵DE∥B'C'，
∴△A'DE∽△A'B'C'
又∵∠A=∠A'
∠ B=∠B',
DE∥B'C',
AB=A'D
∴∠A'DE=∠B'=∠B
∴△ABC≌△A'DE
∴△ABC∽△A'B'C
一般地，我们有利用两组角判定两个三角形相似的定理.
∠A=∠A'
∠B=∠B'
△ABC∽△A'B'C
两角分别相等的两个三角形相似.
判定定理3：
例2 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D，求AD的长.
解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°
又∵∠C=90°,∠A=∠A,
∴△AED∽△ABC.
∴
∴
如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似.
一个判定定理
两角分别相等的两个三角形相似.
1
练习
1.如图，当 时，△ABC∽△AED(填写一个条件).
∠ADE=∠C（答案不唯一）
2.底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论.
解：（1）相似（2）相似
都符合两个角对应相等的两个三角形相似.
直角三角形相似判定定理
知识点2
思考
我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=90°，∠C'=90°， ，
求证Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'.
分析：要证Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'.
可设法证
若设
则只需证
证明：设 ，
则AB=kA'B'，AC=kA'C'
由勾股定理得
∴
∴
∴
Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'.
练习
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高.求证：
（1）△ACD∽△ABC；（2）△CBD∽△ABC.
证明：（1）∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°.
∴∠ADC=∠ACB，
在△ACD和△ABC中，
∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,
∴△ACD∽△ABC.
（2）∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°.
∴∠ACB=∠CDB.
在△CBD和△ABC中，
∵∠B=∠B,∠CDB=∠ACB,
∴△CBD∽△ABC.
2.如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（ ）
C
A.P1 B.P2
C.P3 D.P4
随堂演练
基础巩固
1.从下面这些三角形中，选出相似的三角形.
①、⑤、⑥相似，③、④、⑧相似，②和⑦相似.
2.如图△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于点D，求证：△ABC∽△BDC.
证明：∵AB=AC，∠A=36°, BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°,∴∠A=∠DBC.
在△ABC和△BDC中,
∠A=∠DBC，∠C=∠C.
∴△ABC∽△BDC.
3.如图，AD是Rt△ABC的斜边上的高. 若AB=4 cm，BC=10 cm，求BD的长.
解：∵AD⊥BC,∠BAC=90°,
∴∠ADB=∠CAB.
∴△ABD∽△CBA,
即 ,
BD=1.6(cm).
∴
综合应用
4.如图，△ABC中，D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16.
（1）求证：△ABC∽△DAC;
（2）求CD的长.
（1）证明：∵∠BAC=∠ADC,∠C=∠C,
∴△ABC∽△DAC.
（2）解：∵△ABC∽△DAC，
∴
,即
∴CD=4.
课堂小结
两角分别相等的两个三角形相似.
如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似.
拓展延伸
如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一个定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（ ）
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
C
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
教学反思
本课时应以学生自主探究为原则，让学生通过观察、实验、动手操作等方式探究并掌握判定三角形相似的方法.在这节课中，通过设计问题和启发、引导，让学生悟出学习方法和途径，培养学生独立学习的能力.整堂课应注重转化思想的运用，难点在于探究两个判定定理的过程及其证明方法，教师教学时讲解要尽可能详尽.教学过程中，应鼓励学生相互交流探讨，以提高学生的学习热情.
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27.2.2 相似三角形的性质
新课导入
三角形除了三条边的长度，三个内角的度数外，还有哪些几何量？相似三角形的这些几何量之间又有什么样的关系呢？
A
B
C
学习目标：
1.知道三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
2.知道相似三角形对应线段的比等于相似比.
3.知道相似三角形面积的比等于相似比的平方.
学习重、难点：
重点：相似三角形性质.
难点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的应用.
推进新课
相似三角形的对应线段之比
知识点1
思考
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等，如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？
根据三角形的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
现在，我们研究相似三角形的其他几何量之间的关系.
探究
如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
A＇
B＇
D＇
C＇
A
B
D
C
如图，分别作△ABC和△A'B'C'的对应高AD和A'D'.
∵△ABC∽△AB'C'
∴∠B=∠B'
又△ABD和△A'B'D'
都是直角三角形
∴△ABD∽ △AB'D'，∴
对应中线的比
对应角平分线的比
这样我们得到
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．
一般地，我们有
相似三角形对应线段的比等于相似比．
相似三角形的周长有什么关系
练习
1.△ABC中的三条中位线围成的三角形周长是15 cm，则△ABC的周长为（ ）
C
A.60 cm B.45 cm
C.30 cm D. cm
相似三角形面积之比
知识点2
思考
相似三角形面积的比与相似比有什么关系？
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
例3 如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D. 若△ABC的边BC上的高为6，面积为12 ，求△DEF的边EF上的高和面积.
A
B
C
D
E
F
∴△DEF的边EF上的高为 ×6=3，
面积为（ ）2 × 12 = 3 .
A
B
C
D
E
F
解：在△ABC和△DEF中，
∵AB=2DE，AC=2DF，∴
又∠D=∠A，∴ △DEF ∽△ABC
∴ △DEF与△ABC的相似比为 ，
∵△ABC的边BC上的高为6，
面积为12
相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
相似三角形对应线段的比等于相似比.
相似三角形的周长比等于相似比.
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
1
2
3
4
练习
1.判断题
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍.（ ）
（2）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍.（ ）
√
×
2.在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2 cm变成了6 cm，放缩比例是多少？这个三角形的面积发生了怎样的变化？
放缩比例3:1;面积是原来的9倍.
3.如图，△ABC与△A′B′C′相似，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，
求证:
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴ ，
∴
随堂演练
基础巩固
1.如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的周长的比 ，面积的比为 .
2.如果两个相似三角形面积的比为1∶9 ，那么它们的对应高的比为 .
3∶5
9∶25
1∶3
综合应用
3.如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120 mm，高AD=80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QP落在BC边上，另两个顶点E，F分别在AC，AB边上，求这个正方形零件的边长.
解：设高AD与EF交于N点，正方形零件边长为x mm.
∵EF∥BC
∴△AFE∽△ABC.
∴
解得 x=48.
∴正方形零件的边长为48 mm.
课堂小结
相似比
线段比
周长比
面积比
平方
等于
等于
拓展延伸
如图，△ABC中，AB=8，AC=6，BC=9.如果动点D以每秒2个单位长度的速度从点B出发沿边BA向点A运动，此时直线DE∥BC，交AC于点E. 记x秒时DE的长度为y，写出y关于x的解析式，并画出它的图象.
解：经过x秒后，BD=2x，AD=8-2x.
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC.
∴
即
即y=- x+9(0≤x≤4).
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
教学反思
本课时的教学过程中，首先提出问题让学生回答，这有助于学生回顾有关知识，接着老师提出问题并让学生自主探索形成初步认识，最后师生共同归纳，得出结论：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比、对应线段的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.
在上述教学过程中，教师要充分调动学生的积极性，自主探究，体会发现和解决问题的乐趣.
(共22张PPT)
第1课时 相似三角形应用举例（1）
27.2.3 相似三角形应用举例
新课导入
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”. 塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米. 据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间. 原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低.
利用学过的相似三角的知识，如何来测量金字塔的高度呢？
学习目标：
1.利用相似三角形的知识，解决求实际问题中不能直接测量的物体高度或长度的问题.
2.体会数学转化的思想，建模的思想.
3.知道相似三角形面积的比等于相似比的平方.
学习重、难点：
重点：利用相似三角形的知识，解决求实际问题中不能直接测量的物体高度或长度的问题. 难点：数学建模.
推进新课
测量金字塔高度
知识点1
例4 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO.
怎样测出
OA 的长？
金字塔的影子可以看成一个等腰三角形，则OA等于这个等腰三角形的高与金字塔的边长一半的和.
解：太阳光是平行光线，因此
∠BAO=∠EDF．
又 ∠AOB=∠DFE=90°，
∴ △ABO∽△DEF．
∴ = ．
∴ BO = = =134（m）．
因此金字塔的高度为 134 m．
练习
1.在某一时刻，测得一根长为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一栋高楼的影长为90 m，这栋高楼的高度为多少？
x = 54m
竹竿1.8m
高
楼
3m
影长90m
解:设这栋高楼的高度为x.
测量河的宽度
知识点2
在无法过河的条件下，怎样估算河的宽度？
例5 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R．已测得 QS = 45 m，
ST = 90 m，QR = 60 m，请
根据这些数据，计算河宽 PQ．
解：∵ ∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，
∴ △PQR∽△PST．∴
即 ， ,
PQ×90=（PQ+45）×60．
解得 PQ=90（m）．
因此，河宽大约为 90 m．
练习
1.如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求河宽AB.
解：∵∠ABD=∠ECD=90°，∠ADB=∠EDC,
∴△ABD∽△ECD.
∴
即 . 解得AB=100（m）
2.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如右图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，AC； ②EF，DE，BD；③DE，DC，BC．能根据所测数据求出A，B间距离的有（ ）
A.1组 B.2组
C.3组 D.0组
B
随堂演练
基础巩固
1.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度.如果标杆BE高1.2 m，测得AB=1.6 m，BC=8.4 m，则楼高CD是多少？
解：∵EB∥DC,
∴△AEB∽△ADC.
∴ ，
即
求得 DC=7.5（m）.
2.为了测量一池塘的宽AB，在岸边找到了一点C，使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E，使DE⊥AC，测出AD=35 m，DC=35 m，DE=30 m，求池塘的宽AB.
解：∵AC⊥AB，DE⊥AC，
∴AB∥DE, ∴△CDE∽△CAB,
∴ ，
即
求得 AB=60（m）.
综合应用
3.如图，为了测量一栋大楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直至她刚好在镜子中看到大楼顶部，这时∠LMK等于∠SMT吗？如果王青身高1.55 m，她估计自己的眼睛离地面1.50 m，同时量得LM＝30 cm，MS＝2 m，这栋大楼有多高？
解：∠LMK=∠SMT. 又∵∠KLM=∠TSM=90°,
∴△KLM∽△TSM,
∴
即 ,
解得 TS=10(m).
∴这栋大楼有10 m高.
课堂小结
解题思路
根据题意建立相似三角形模型
证明三角形相似
得比例线段
列方程求值
拓展延伸
如图，点D、E分别在AC、BC上，如果测得CD=20 m，CE=40 m，AD=100 m，BE=20 m，DE=45 m，求A、B两地间的距离.
解：由题意可知，CD=20 m，CE=40 m，AD=100 m，BE=20 m，DE=45 m.
∴AC=AD+DC=120 m，BC=BE+CE=60 m
∴ ,而∠C=∠C,∴△CDE∽△CBA.
∴ ,∴AB=135(m).
∴A、B两地间的距离为135 m.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
教学反思
本课时主要是让学生经历了运用两个三角形相似解决实际问题中的测量问题的过程，体验从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力和数学应用能力.因此，为了增强数学的趣味性，在教学设计中选择有趣的实际问题，让学生在富有故事性或现实性的数学情境问题中，谈及解决问题的方法，激发学生的学习兴趣.
