(共29张PPT)
27.3 位似
第1课时 位似图形的概念及画法
在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形，它们有什么特征？
新课导入
在日常生活中，经常遇到一些把图形放大或缩小，但不改变图形的形状的情形。经过放大或缩小的图形，与原图形是相似的.用这样的方法，我们可以得到真实的图片和满意的照片．
这样的图形有什么特点呢？
学习目标：
（1）知道位似图形以及相似与位似的关系，能说出位似
图形的性质.
（2）能按要求作一个图形的位似图形，会利用位似作图
将一个图形放大或缩小.
学习重、难点：
重点：位似图形的概念、性质和位似作图.
难点：利用作位似图形的方法将一个图形按一定的比
例放大或缩小.
图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么特征？
O
O
O
探索新知
知识点1
思考
位似图形的概念
三组多边形相似
O
O
O
如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
A
A′
B
B′
O
P
P′
点A，B，…，P与点A′, B ′ , …，P ′ 分别对应，
它们的连线AA′, BB′, …, PP′, …都经过同一点O.
位似中心
位似比
明确
相似
对应顶点的连线相交于一点
O
位似中心
知识点2
位似图形的性质
位似的特征：
1．位似图形一定是相似图形，反之相似图形不一定是位似图形．
2．判断位似图形时，要注意首先它们必须是相似图形，其次每一对对应点所在直线都经过同一点．
辨析
下面哪些相似图形是位似图形？
判断
√
√
×
×
√
相似图形成为位似图形必须具备两个条件:
①对应点的连线交于一点;
②对应边互相平行或在同一条直线上．
如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？为什么？
O
C
D
A
B
提问
AB∥CD;因为AB、CD是两个位似图形的对应边.
是位似图形;因为AB∥CD,则△OAB∽△OCD,又因为对应点连接交于O点,所以△OAB与△OCD是位似图形.
如果AB∥CD, 那么△OAB和△OCD是位似图形吗? 为什么?
提问
O
C
D
A
B
利用位似，可以将一个图形放大或缩小．
例如，要把四边形 ABCD 缩小到原来的 ．
知识点3
画位似图形
怎么画出来呢？
位似比=相似比
.
O
D
A
B
C
A＇
B＇
C＇
D＇
作法一：1．在四边形外任选一点 O ．
2.分别在线段 OA，OB，OC，OD 上取A′，B′，C′，D′，使得 = = = = ．
OA′
OA
OB ′
OB
OC ′
OC
OD ′
OD
3.顺次连接点A′，B′，C′，D′，所得四边形A′B′C′D′就是所
要求的图形．
动手操作
如果在四边形外任选一点O，分别在OA，OB，OC，OD 的反向延长线上取点A′，B′，C′，D′使得
= = = = 呢？如果点 O 取在四
边形 ABCD 内部呢？分别画出这时得到的图形．
O
D
A
B
C
A＇
B＇
C＇
D＇
O
D
A
B
C
作法二：
OA＇
OA
OB＇
OB
OC＇
OC
OD＇
OD
A＇
B＇
C＇
D＇
位似中心可能在多边形内部或外部
如图，以点O为位似中心，把△ABC 放大为原来的3倍.
A
B
C
O
.
A′
B′
C′
画一画
随堂演练
基础巩固
1.下列说法不正确的是（ ）
A.位似图形一定是相似图形
B.相似图形不一定是位似图形
C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离
之比等于相似比
D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
D
2.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心（ ）
A.只能选在原图形的外部
B.只能选在原图形的内部
C.只能选在原图形的边上
D.可以选择任意位置
D
3.如图, △ABC与△DEF是位似图形, 相似比为2∶3, 已知AB=4, 则DE的长等于( )
A.6 B.5 C.9 D.
A
综合应用
4.如图，正方形EFGH，IJKL都是正方形ABCD的位似图形，点P是位似中心.
（1）如果相似比为3，正方形ABCD的位似图形是哪一个？
（2）正方形IJKL是正方形EFGH的位似
图形吗？如果是，求相似比；
（3）如果由正方形EFGH得到它的位似
图形正方形ABCD，求相似比.
是
3∶2
1∶2
课堂小结
本节课你学习了哪些知识？
自由讨论
A
B
C
O
.
A′
B′
C′
两个相似图形，如果对应点的连线都经过同一点，则这样的两个图形称为位似图形。
1
.
位似图形的概念:
(1)位似图形一定是相似图形,而相
似图形不一定是位似图形．
(2)位似图形的对应点的连线相交于
一点．
(3)位似图形的对应边互相平行或在
同一条直线上．
(4)位似图形上任意一对对应点,到
位似中心的距离之比等于相似比．
A
B
C
O
.
A′
B′
C′
2
位似图形的性质:
①选点:确定位似中心(可以在图
形外部、内部或边上) ．
②作射线:以位似中心为端点向
各关键点作射线．
A
B
C
O
.
A′
B′
C′
3
位似图形的画法:
③定对应点:根据已知的相似比分别在射线上取各
关键点的对应点,满足放缩比例．
④连线:顺次连接各关键点的对应点,即可得到要求
的新图形．
拓展延伸
如图, △ABC与△A′B′C′是位似图形, 点A, B, A′, B′,O共线, 点O为位似中心.
(1)AC与A′C′平行吗? 请说明理由;
(2)若AB＝2A′B′, OC′=5, 求CC′的长.
A
B
A′
B′
C
C′
O
解：（1）AC∥A′C′.
∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，
∴∠A=∠B′A′C′，
∴AC∥A′C′.
(2)∵△ABC与△A′B′C′位似,
∴△ABC∽△A′B′C′,
∴ ，
∴OC=10，∴CC′=OC-OC′=5.
A
B
A′
B′
C
C′
O
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
本课时通过创设情境让学生感受了什么是位似图形，接着通过实际操作让学生体会了位似图形的作法.学生之间相互交流讨论，明白位似图形是一种特殊的相似图形，所以它具有相似图形的一切性质，又具有特殊的性质.应用知识的迁移，引导学生快速掌握位似图形的性质.同时学会利用位似，可以将一个图形放大或缩小.
教学反思
(共35张PPT)
第2课时 平面直角坐标系中的位似
O
y
x
A(1,3)
B(0,1)
C(2,1)
新课导入
直角坐标系中的变换：
平移
轴对称
旋转
5
5
规律
位似图形在直角坐标系中又有什么规律呢？
学习目标：
(1)进一步熟悉位似的作图.
(2)会用坐标的变化来表示图形的位似变换.
(3)会根据位似图形上的点的坐标变化的规律，在坐标系中画一个图形以原点为位似中心的位似图形.
学习重、难点：
重点：位似图形的点的坐标变化规律.
难点：以原点为位似中心的位似作图.
在直角坐标系中，画出线段AB,其中A(6，3)，B(6，0). 再以原点O为位似中心，相似比为 ，把线段AB缩小.
探索新知
知识点1
在直角坐标系中画出位似图形
O
x
y
A(6,3)
5
B(6,0)
①画出线段AB
②连接位似中心O
③找 的对应点
A′
B′
B″
A″
还有满足条件的线段吗？
在直角坐标系中，△AOC 的三个顶点的坐标分别为A(4,4), O(0,0)，C(5,0).以点O为位似中心，相似比为2，将△AOC放大.
O
x
y
①画出线段△AOC
②连接位似中心O，找到相似比为2的对应点
A(4,4)
C(5,0)
5
5
经过位似变换还可以得到其他图形吗？
当以原点为位似中心的两位似图形位于原点同侧时，对应点的坐标有什么变化？
探究1
(2,1)
(2,0)
A′(8,8)
C′(10,0)
规律：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么当两图形位于原点同侧时，与原图形上的点(x , y)对应的位似图形上的点的坐标是 .
（kx , ky）
探究2
当以原点为位似中心的两位似图形位于原点异侧时，对应点的坐标有什么变化？
(-2,0)
(-2,-1)
A″(-10,0)
B″(-8,-8)
规律：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么当两图形位于原点异侧时，与原图形上的点(x , y)对应的位似图形上的点的坐标是 .
（-kx , -ky）
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.
位似图形的坐标规律
典例精析
例 如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（-2,4）, B（-2,0）, O（0,0）. 以原点O为位似中心, 画出一个三角形, 使它与△ABO的
相似比为 .
x
O
y
-2
-4
2
2
4
6
A
B
x
O
y
-2
2
2
4
6
A
B
还可以得到其他图形吗？
A′(-3,6)
B′(-3,0)
A″
B″
1.如图表示△AOB和把它缩小后得到的△OCD，求△AOB与△COD的相似比。
解：相似比为OB:OD=5：2.
A
B
5
5
C
D
练习
2.如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(4,-5), B(6,0), O(0,0). 以原点O为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到△A′B′O′.写出△A′B′O′三个顶点的坐标.
6
-5
A
B
6
-5
A
B
A(4,-5), B(6,0)
A′(8,-10), B′(12,0)
A″(-8,10), B″(-12,0)
至此，我们已经学习了平移、轴对称、旋转和位似等图形的变化方式.你能在下图所示的图案中找到它们吗？
平移、轴对称、旋转、位似变换的坐标变化规律
平移变换
轴对称变换
旋转变换
位似变换
对应点的横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的单位长度
以x 轴为对称轴,则对应点的横坐标相等,纵坐标互为相反数;以y 轴为对称轴,则对应点的纵坐标相等,横坐标互为相反数
一个图形绕原点旋转180° ,则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数
当以原点为位似中心时,变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值等于相似比
随堂演练
基础巩固
1.某学习小组在讨论“变化的鱼”时, 知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示), 则小鱼上的点(a, b)对应大鱼上的点( )
A.(-2a, -2b) B.(-a, -2b)
C.(-2b, -2a) D.(-2a, -b)
A
2.△ABC三个顶点坐标分别为A(-2，-2)，B(-4，-2)，C(-6，-4)，以原点为位似中心，将△ABC放大后得到的△DEF与△ABC的相似比为2∶1，这时△DEF中点D的坐标是 .
(-4，-4)或(4，4)
综合应用
如图所示, 图中的小方格都是边长为1的正方形, △ABC与△A′B′C′是以O为位似中心的位似图形, 它们的顶点都在小正方形的顶点上.
(1)画出位似中心点O;
(2)直接写出△ABC与△A′B′C′
的相似比;
x
y
O
相似比为2∶1
6
12
(3)以位似中心O为坐标原点, 以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系, 画出△A′B′C′关于点O 中心对称的△A″B″C″, 并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．
x
y
O
6
12
A″(6,0)，
B″(3，-2)，
C″(4，-4).
课堂小结
目前已经学了哪些变换？有什么区别与联系？
平移、轴对称、旋转
还有
位似变换
位似与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别:
联系:位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式;
区别:平移、轴对称、旋转三种图形变换都是全等变换,而位似变换是相似(扩大或缩小)变换．
若
①以原点为位似中心；
②新图形与原图形的相似比为k；
③原图形上的点（x，y）；
则对应的位似图形上的点的坐标为
（kx，ky）或（-kx，-ky）.
坐标系中的位似变换规律:
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
本课时可类比上一课时的教学方式进行，只不过本课时涉及到了平面直角坐标系，教学时教师应让学生充分参与，体会平面直角坐标系的位似变换，以培养学生的动手操作能力和用位似变换解决实际问题的能力.本课的难点是用图形的坐标变化来表示图形的位似变换的变化规律，教师可让学生以小组为单位进行讨论，争取让学生自己发现规律，教师再予以适当点拨，以培养学生的探究能力.
教学反思
教 材 习 题
27.3
1.如图，如果虚线图形与实线图形是位似图形，求它们的相似比并找出位似中心.
复习巩固
2.如图，以点P为位似中心，将五角星的边长缩小为原来的 .
3.△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，C(6，4). 以原点O为位似中心，将△ABC缩小得到△DEF，使△DEF与△ABC对应边的比为1:2，这时△DEF各个顶点的坐标分别是多少？
D′(1，1)，E′(2，1)，F′(3，2)
D″(-1，-1)，E″(-2，-1)，F″(-3，-2)
或
4.如图，正方形EFGH，IJKL都是正方形ABCD的位似图形，点P是位似中心.
（1）哪个图形与正方形ABCD的相似比为3？
（2）正方形IJKL是正方形EFGH的位似图形吗？如果是，求相似比.
（3）正方形EFGH与正方形ABCD
的相似比是多少？
综合运用
3:2
2:1
5.如图，矩形AOBC各点的坐标分别为A(0，3)，O(0，0)，B(4，0)，C(4，3).以原点O为位似中心，将这个矩形缩小为原来的 ，写出新矩形各顶点的坐标.
A′(0，1.5)，B′(2，0)，C′(2，1.5).
或
A′(0，-1.5)，B′(-2，0)，C′(-2，-1.5).
6.如图，图中的图案与“A”字图案(虚线图案)相比，发生了什么变化？对应点的坐标之间有什么关系？
（1）纵坐标不变，横坐标扩大一倍.
（2）横坐标不变，纵坐标扩大一倍.
7.如图，以点Q为位似中心，画出与矩形MNPQ的相似比为0.75的一个图形.
Q
P
M
N
N′
M′
P′
P″
N″
M″
拓广探索
(共41张PPT)
第2课时 相似三角形应用举例（2）
新课导入
当你在路上行走时，经常会见到一种现象：远处的高楼越来越矮，而近处的矮楼却越来越高，你能解释这种现象吗？
学习目标：
1.利用相似三角形的知识，解决求实际问题中不能直接测量的物体高度或长度问题.
2.体会数学转化的思想，建模的思想.
3.知道相似三角形面积的比等于相似比的平方.
学习重、难点：
重点：利用相似三角形的知识，解决求实际问题中不能直接测量的物体高度或长度的问题. 难点：数学建模.
推进新课
视线遮挡问题
知识点
例3 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB =8 m和 CD=12 m，两树底部的距离 BD=5 m，一个人估计自己的眼睛距地面 1.6 m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶点 C 了？
分析：如图，设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，分别交AB，CD于点H，K. 视线FA与FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角. 类似地，∠CFK是观察点C时的仰角. 由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ，观察者都看不到.
当仰角∠AFH＜∠CFK时，人能看到小树AB后面的大树CD；
当仰角∠AFH＝∠CFK时，人刚好能看到小树AB后面的大树CD；
当仰角∠AFH＞∠CFK时，人不
能看到小树AB后面的大树CD.
如图1
解：如图2，假设观察者从左向右走到E点时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上.
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH∽△CEK
∴
即
解得 EH=8（m）
由此可见，当她与左边较低的树的距离小于8m时，就不能看到右边较高的树的顶点 C 了.
练习
1.如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ．建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N．小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮.
a.请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；（如图所示）
b.已知：MN=20 m，MD=8 m，PN=24 m，求a中的点C到胜利街口的距离CM.
解：∵BA∥PQ,
∴△CMD∽△PND.
∴ ，
即
解得 CM=16(m).
随堂演练
基础巩固
1.已知零件的外径为25 cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA∶OC=OB∶OD=3，CD=7 cm.
求此零件的厚度.
解：∵ ，
而∠AOB=∠COD,
∴△AOB∽△COD.
∴
又∵CD=7 cm，∴AB=21 cm.
由题意和图易知 25-2x=21,∴x=2(cm).
∴此零件的厚度为2 cm.
综合应用
2.当你乘车沿一平坦的大道向前行驶时，你会发现：前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面的矮一些的建筑后面去了．如图，已知楼高AB=18米，CD=9米，BD=15米，在N处的车内小明视点距地面2米，此时刚好可以看到楼AB的P处，PB恰好为12米，再向前行驶一段到F处，从距离地面2米高的视点刚好看不见楼AB，那么车子向前行驶的距离NF为多少米？
解：∵CD∥AB, ∴△CDO∽△ABO,△CDQ∽△PBQ.
∴ ，即 ，解得OD=15（米）
，即 ，解得OD=45（米）
∴OQ=DQ-DO=45-15=30（米）.
∴NF=OQ=30（米）.
即车子向前行驶的距离NF为30米.
课堂小结
解题思路
根据题意建立相似三角形模型
证明三角形相似
得比例线段
列方程求值
拓展延伸
如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立高3 m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小亮又在点C1处直立高3 m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合．小亮的眼睛离地面高度EF=1.5 m，量得CE=2 m，EC1=6 m，C1E1=3 m.
（1）△FDM∽△______，△F1D1N∽△_______；
（2）求电线杆AB的高度.
解：(1)依题意，
∵DC⊥AE， D1C1⊥AE，
BA⊥AE
∴DC∥D1C1∥BA,
∴△FDM∽△FBG，△F1D1N∽△F1BG.
(2)由（1）知△F1D1N∽△F1BG，∴
而△FDM∽△FBG，∴ .易知D1N=DM.
∴ ，而F1N=C1E1=3 m,FN=C1E=6 m,
MF=CE=2 m,
∴MF1=MF+FN+NF1=11 m,
∴ ，∴GM=16（m）.
而 ，∴
∴BG=13.5（m）.∴AB=BG+GA=15 m.
∴电线杆AB的高度为15 m.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
教学反思
本课时针对实际问题中不能直接测量的物体高度或长度的问题，通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，然后运用三角形相似的知识进行解答.整个学习过程培养学生分析问题、解决问题的能力，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动的探索性和创造性.
习题27.2
复 习 巩 固
1.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m.在图纸上，这条边长为5cm，其他两条边的长都为4cm，求其他两条边的实际长度.
解：设其他两边长为xm，则
x=20（m）
即其他两边的实际长度为20m.
2.根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
（1）AB=10cm，BC=12cm，AC=15cm，A'B'=150cm，B'C'=180cm, A'C'=225cm；
解:（1）
∴△ABC∽△A'B'C'
（2）∠A=70°，∠B=48°，∠A'=70°，∠C'=62°
（2）∠C=180°-（70°+48°）=62°
∴∠A=∠A'=70°，∠C=∠C'=62°
∴△ABC∽△A'B'C'
3.如图，（1）判断两个三角形是否相似；
解：（1）图（1）中
∴△ABC∽△DEF
（2）求x和y的值.
（2）图（2）中
∴ ，又∠ACB=∠ECD
∴△ACB ∽△ECD
∴y=∠D=98°
∴x=40.5.
4.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
求证△ADE∽△EFC.
证明：∵DE∥BC，
∵∠AED=∠C
又∵EF∥AB
∴∠A=∠CEF，
∴△ADE∽△EFC.
5.如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形.
解：△ADE∽△AFG∽△ABC
6.如果把两条直角边分别为30cm，40cm的直角三角形按相似比 进行缩小，得到的直角三角形的两条直角边的长和面积各是多少？
解：30× =18（cm），40× =24（cm），
7.如图，AD是Rt△ABC斜边上的高. 若AB=4cm，BC=10cm，求BD的长.
解：∵ AD是Rt△ABC斜边上的高，
有∠ADB=∠CAB=90°，∠B=∠B，
∴△ADB∽△CAB
∴
即 ∴DB=1.6cm
8.如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成.利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短.如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OD，OB=3OC），然后张开两脚，使A,B两个
尖端分别在线段l的两个端点上，这时CD
与AB有什么关系？为什么？
综 合 运 用
解：CD= AB，∵ ，即 ,
而∠COD=∠BOA，
∴△COD∽△BOA
∴
9.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度.如果标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，楼高CD是多少？
解：EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD
（cm）
10.如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部. 这时∠LMK等于∠SMT吗？如果王青身高1.55m，她估计自己眼睛距地面1.50m，同时量得LM=30cm，MS=2m，这栋楼有多高？
解：∠LMK=∠SMT，
△LMK= △ SMT，
（m）
11.如图，四边形ABCD是矩形，点F在对角线AC上运动。EF∥BC，FG∥CD，四边形AEFG和四边形ABCD已知保持相似吗？证明你的结论.
解：EF∥BC，△AEF∽ △ABC，
同理
∴
而两个举行的额对应角均为90°
∴ 四边形AEFG∽矩形ABCD.
12.如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，试确定点D或E的位置.
解：DE∥BC，∴△ ADE∽△ ABC
∴ AD= AB
即D点在距A点的 AB处.
综 合 运 用
13.如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且 ，求∠ACB的大小.
解：∵ ，又∠ADC=∠CDB=90°
∴△ADC∽△CDB，∴∠A=∠DCB
∴∠ACD=∠B，
∴∠A+∠B=∠BCD+∠ACD=∠BCA
∴∠A+∠ACB+∠B=2∠ACB=180°
∴∠ACB=90°
14.如图，△ABC中，AB=8，AC=6，BC=9. 如果动点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿边BA向点A运动，此时直线DE∥BC，交AC于点E.记x秒时，DE的长度为y，写出y关于x的函数解析式，并画出它的图象.
解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
AD=AB-BD=8-2x
∴ ，∴
∴ 0<2x<8，∴0∴ (0图像是一条直线
