(共28张PPT)
28.1 锐角三角函数
第1课时 正弦
第二十八章 锐角三角函数
思考 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的仰角为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？
新课导入
将这个问题转化为数学语言怎么说呢？
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∠A=30°，BC=35 m，求AB.
你准备怎样解决这个问题呢？
若要使出水口的高度为a m，又需要准备多长的水管呢？
学习目标：
1．利用相似的直角三角形，探索并认识正弦的概念.
2．理解正弦的概念，能根据正弦的定义公式进行相关计算.
学习重、难点：
重点：正弦的概念.
难点：利用正弦进行相关计算.
推进新课
正弦的定义
知识点1
C
B
A
已知：∠C=90°，∠A=30°，BC=35 m.
根据：在直角三角形中， 30°角所对的边等于斜边的一半.
故：AB=
2BC=70 (m).
在上面的问题中，如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？
C＇
50 m
B＇
a m
D
E
35 m
A
B
C
思考
为a m 时呢？
通过上述计算，你发现了什么规律？
在直角三角形中，如果一个锐角的度数等于30°，那么无论这个直角三角形的大小如
何，这个角的对边与斜边的比都等于 ．
30°角的对边
斜边
即 = ．
思考
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A 的对边与斜边的比.
Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得
提问
该比值与三角形的大小有关吗？若该三角形边长变为原来的2倍，该比值有变化吗？
无关；没有变化，该比值仍为 .
思考 当∠A为任意一个确定锐角时，它的对边与斜边的比仍为固定值吗？
探究
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C
=∠C'=90°．∠A=∠A'，那么 与 有什
么关系．你能解释一下吗？
A'
B'
C'
因为∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A ′ ＝α，
A
B
C
所以 Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，
在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，它的对边与斜边的比是一个固定值．
小结
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A.
∠A
的
对
边
A
B
C
c
a
b
斜边
即sin A= = ．
∠A 的对边
斜边
sin 30°= ；
sin 45°= ；
sin 60°= ．
∠A
的
对
边
A
B
C
a
b
斜边c
提问
你发现了什么？
∠A 的正弦 sinA 随着∠A的变化而变化.
“sinA”是一个完整的符号，单独写符号sin是没有意义的，表达时有时要省去角的符号“∠” 。
正弦的表示
sin∠DEF、 sin∠1 （不能省去角的符号）
注意
sinA 、 sin39 ° 、 sinβ （省去角的符号）
1
2
练习
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，求sinA的值.
sin 60°= ．
运用正弦定义求正弦值的方法
知识点2
例 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
A
B
C
3
4
(1)
A
B
C
13
5
(2)
解：如图（1）在Rt△ABC中，
例 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
解：如图，在 Rt△ABC 中，
因此 sin A=
C
A
B
13
5
sin B=
回顾上面的解答过程，你发现了什么？
小结
求 sin A 就是要确定∠A 的对边与斜边的比；求 sin B 就是要确定∠B 的对边与斜边的比．
练习
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求（1）中的sinA和（2）中的sinA的值.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求（1）中的sinA和（2）中的sinA的值.
1.在△ABC中，已知AC=5，BC=4，AB=3.那么下列各式正确的是（ ）
A.sinA= B.sinA=
C.sinB= D.sinB=
A
随堂演练
基础巩固
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，延长AB到B′，使BB′= AB，延长AC到C′，使CC′=AC，连接B′C′，在△AB′C′中，sinA的值（ ）
A.扩大 B.等于
C.等于 D.以上都不对
C
综合应用
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，求sinB.
4.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，求sinα的值.
解：sinB= .
解：sinα= .
课堂小结
1
2
sinA= = ．
∠A 的对边
斜边
∠A
的
对
边
A
B
C
a
b
斜边c
正弦的定义.
sinA是线段之间的一个比值 ，它没有单位.
拓展延伸
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列线段的比中不可能等于sinA的是（ ）
D
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
本课时教学时主要是通过让学生画图、动手操作获得相关的结论.正弦的概念是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，教学中应十分重视.在教学过程中教师应注意调动学生的积极性与主动性，争取让学生自己发现规律并用自己的语言进行归纳，教师引导学生比较、分析，最后得出结论.
教学反思
同时正弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在教学中应作为难点处理.
(共25张PPT)
第2课时 余弦和正切
复习导入
我们是如何得到锐角正弦的概念的？
sin A= = ．
∠A 的对边
斜边
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A 的对边与斜边比随之确定．那∠A的邻边与斜边的比呢？∠A的对边与邻边的比呢？
学习目标：
1.了解锐角三角函数的概念，理解余弦、正切的概念.
2.能依据正弦、余弦、正切的定义进行相关的计算.
学习重、难点：
重点：余弦、正切的概念.
难点：余弦、正切的求值.
推进新课
余弦、正切的定义
知识点1
探究 在Rt△ABC中，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比随之确定.那∠A的邻边与斜边的比呢？∠A的对边与邻边的比呢？
猜想
∠A邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是定值.
探究
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C
=∠C'=90°．∠A=∠A'，那么 与 相等吗？
与 呢？
A'
B'
C'
因为∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A ′ ＝α，
A
B
C
所以 Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，
在 Rt△ABC 中，当锐角 A 的度数一定时，∠A 的邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是一个固定值．
∠A的对边与邻边的比，记作tanA.
∠A的邻边与斜边的比，记作cosA.
余弦
正切
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
a
C
A
c
B
b
cos A=
∠A 的邻边
斜边
tan A=
∠A 的对边
∠A 的邻边
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，
sinA＝ ，求cosA、tanB的值．
A
B
C
6
练习
解：∵
∴
又
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，
sinA＝ ，求cosA、tanB的值．
A
B
C
6
运用正弦、余弦定义求值
知识点2
tanA= = ．
cosA= = ；
解：在 Rt△ABC 中，AC= =8．
sinA= = ；
6
C
A
10
B
例 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求 sinA，cosA，tanA 的值.
思考
若条件不变，你能求出sinB，cosB，tanB的值吗？
6
C
A
10
B
8
tanB= = ．
cosB= = ；
sinB= = ；
观察前面的结果，你有什么发现？
小结
若∠A +∠ B = 90°，
则sinA = cosB，tanA·tanB=1.
sinA= = ；
cosB= = ；
tanA= = ．
tanB= = ．
练习
2.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
解：由勾股定理
A
B
C
13
12
（1）
A
B
C
3
2
（2）
A
B
C
3
2
（2）
解：由勾股定理
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果各边长都扩大到原来的2倍，那么∠A的正弦值、余弦值和正切值有什么变化？
答：∠A的正弦、余弦和正切值没有变化.
理由：锐角三角函数值与三角形大小无关.
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则下列等式中不正确的是（ ）
A.a=c×sinA B.b=a×tanB
C.b=c×sinB D.
D
随堂演练
基础巩固
2.如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则cos∠AOB的值是（ ）
C
A. B.
C. D.
综合应用
3.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6.求sinB,cosB,tanB的值.
解：作AD⊥BC于D.
∵AB=AC=5，∴BD=DC= BC=3.
∴在Rt△ABD中，AD=
∴sinB=
课堂小结
a
C
A
c
B
b
余弦
正切
cos A=
∠A 的邻边
斜边
tan A=
∠A 的对边
∠A 的邻边
拓展延伸
在Rt△ABC中，∠C＝90°，请利用锐角三角函数的定义及勾股定理探索∠A的正弦、余弦之间的关系.
解：∠A的正弦、余弦值的平方和等于1.
理由如下：
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
教学反思
本节课的引入采用探究的形式.首先引导学生认知特殊角的余弦、正切，进而引出锐角三角函数的定义.通过作图、猜想论证，配合由浅入深的练习，使学生不但知道对任意给定锐角，它的余弦、正切值是固定值，而且加以论证并会运用.在教学过程中逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力，提高学生对几何图形美的认识，感受三角函数的实际应用价值.
(共42张PPT)
第3课时 特殊角的锐角三角函数值
复习导入
说说锐角三角函数是如何定义的.
若∠A为30°，你能立即说出它对应的三角函数值吗？
学习目标：
1.推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值.
2.能运用30°，45°，60°角的三角函数值进行简单的计算.
3.能由30°，45°，60°角的三角函数值求对应的锐角.
学习重、难点：
重点：推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值.
难点：相关运算.
推进新课
特殊角的三角函数值
知识点1
这两块三角尺的锐角分别等于多少度？
探究
1
30°
60°
45°
45°
每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系?
探究
30°
60°
45°
45°
2
a
2a
a
a
（设最短的边为a）
30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A
锐角A
锐角
三角函数
思考 你能根据前面的计算填出下表吗？
例1 求下列各式的值：
（1）cos260°＋sin260°；（2）
解 : （1）原式=
（2）原式=
例2 （1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= ，BC= ，求∠A的度数.
解 :
例2 （2）如图，AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO= OB，求α的度数.
解 :
练习
1.求下列各式的值：
（1）1-2sin30°cos30°；
（2）3tan30° - tan45°+2sin60°；
（3）(cos230°+sin230°)×tan60°.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= ，AC= ，试求∠A，∠B的度数。
A
C
B
∴∠A＝30°，∠B＝60°.
解：
思考：如果锐角A不是这些特殊角时，怎样得到它的三角函数值呢？
非特殊角的三角函数值的求取
知识点2
你是如何操作的呢？
试着用计算器求出下面的三角函数值。
（1）sin18°;
（2）tan30°36'.
0.309016994
0.591398351
以求sin18°为例.
sin键
输入角度值18°
得到sin18°结果
以求tan30°36'为例.
tan键
输入角度值30°36'或将其化为30.6°
得到tan30°36'结果
提问
若已知某锐角的三角函数值，能否用计算器求出该锐角的度数呢？
若sin A=0.5018.
sin键
输入函数值0.5018
得到结果
2nd F
° ′ ″
练习
3.用计算器求下列锐角三角函数值：
（1）sin20°，cos70°；sin35°，cos55° ；
sin15°32′，cos74°28′
（2）tan3°8′，tan80°25′43″；
观察(1)题的结果，你能得出什么猜想？
(1)sin20°≈0.3420，cos70°≈0.3420.
sin35°≈0.5736，cos55°≈0.5736.
sin15°32′≈0.2678，cos74°28′≈0.2678；
(2)tan3°8′≈0.0547，?
tan80°25′43″≈5.9304.
从（1）的结果可以看出：一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值.
1. 2cos（α-10°）=1，则锐角α= .
A. B.
C. D.
70°
随堂演练
基础巩固
2. 已知α为锐角，tanα= ，则cosα等于（ ）
A
综合应用
3.在△ABC中，锐角A，B满足
=0，则△ABC是（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
D
4.如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD为⊙O的直径，DE⊥AB于点E，BC=1，AC=3，则∠D的度数为 .
30°
课堂小结
30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A
锐角A
锐角
三角函数
拓展延伸
对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α）.
（1）求sin 120°，cos 120°，sin 150°的值；
解：sin120°=sin(180°-120°)=sin60°=
cos120°=-cos(180°-120°)=-cos60°=
sin150°=sin(180°-150°)=sin30°=
（2）若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小.
解：∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4，
∴三角形三个内角度数分别为30°,30°,120°.
∴∠A=30°或120°，∠B=30°或120°.
∴sinA=sin30°= 或sinA=sin120°= ，
cosB=cos30°= 或cosB=cos120°= .
又∵sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，
∴sinA+cosB= ，sinA·cosB= .
∴sinA= ，cosB= ，∴∠A=30° ∠B=120° m=0.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
教学反思
本课时中的特殊角是指30°，45°，60°的角，课堂上采用“自主探究”的形式，给学生自主动手的时间并提供创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究和合作的能力.本节课的最终教学目的是让学生理解并掌握30°，45°，60°角的三角函数值，并且能够熟记其函数值，然后利用它们进行计算.
习题28.1
复习巩固
1. 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值，余弦值和正切值。
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°。当∠A确定时，它的正弦值是否随之确定？余弦值呢？正切值呢？为什么？
解：当一个直角三角形的一个锐角确定时，它的正弦值、余弦值、正切值都会随之确定.
3. 求下列各式的值：
4. 用计算器求图中∠A的正弦值、余弦值和正切值.
解：
（1）sinA≈0.58，cosA≈0.82，tanA≈0.71；?
（2）sinA=0.6，cosA=0.8，tanA=0.75；?
（3）sinA≈0.85，cosA≈0.53，tanA≈1.59.
5. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角A,B的度数：
(1)sinA=0.7,sinB=0.01;
(2)cosA=0.15,cosB=0.8;
(3)tanA=2.4,tanB=0.5.
∠A=44.427004°,∠B=0.572967344°;
∠A=81.37307344°,∠B=36.86989765°;
∠A=67.38013505°,∠B=26.56505118°.
6. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sinA的是（ ）
综合运用
D
7. 如图，焊接一个高3.5 m，底角为32°的人字形钢架，需要多长的钢材（精确到0.01m）？
解：在Rt△ACD中，∠ADC=90°,
∵∠A=32°，CD=3.5m，
∴AC+BC+AB+CD=2(AC+AD)+CD≈27.91(m).
∴需要的钢材长度约为27.91 m.
8. 如图，一块平行四边形木板的的两条邻边的长分别为62.31 cm和35.24 cm，它们之间的夹角为35°40′，求这块木板的面积（结果保留小数点后两位）.
解：S平行四边形ABCD=BC·AE
=BC·AB·sinB
=62.31×35.24×sin35°40′
≈1280.30(cm2).
因此，这块木板的面积约为1280.30 cm2.
拓广探索
9. 用计算器求下列锐角三角函数值，并填入表中：
随着锐角A的度数的不断增大，sinA有怎样的变化趋势？cosA呢？tanA呢？你能证明你的结论吗?
解：sinA不断增大，cosA不断减小，tanA不断增大.
10. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的正弦、余弦之间有什么关系？（提示：利用锐角三角函数的定义及勾股定理.）
解：
根据勾股定理得a2+b2=c2,
