(共50张PPT)
第2课时 方向角和坡角问题
新课导入
前面我们学习了仰角和俯角，那么你们知道方位角的概念吗？
从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。
提问
今天我们要学习的内容就与方位角有关.
学习目标：
1.能根据方向角画出相应的图形，会用解直
角三角形的知识解决方位问题.
2.知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三
角形的知识解决与坡度有关的实际问题.
学习重、难点：
重点：会用解直角三角形的知识解决方向角、坡度的相关问题.
难点：将实际问题转化为数学问题(即数学建模).
例1 一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65°方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向上的 B 处，这时， B 处距距离灯塔 P 有多远（结果取整数）？
方向角类型的解直角三角形问题
知识点1
推进新课
思考：根据题意，你能画出示意图吗？
提问
结合题目的条件，你能确定图中哪些线段和角？
PA= 80，∠A= 65° ，∠B= 34° .
要求的问题是什么？你能写出解答过程吗？
PB之间的距离.
解：如图在 Rt△APC 中，
PC=PA·cos（90°- 65°）
=80×cos 25°
≈72.505．
在 Rt△BPC 中，∠B=34°，
∵ sin B= ，
∴ PB = =
≈130（n mile）．
a.将实际问题抽象为数学问题；b.根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；c.得到数学问题的答案；d.得到实际问题的答案.
你能小结出利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路吗？
问
练习
1.海中有一个小岛A，它周围8n mile内有暗礁.渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛
A在北偏东60°方向上，航行12n mile到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
北
南
西
东
B
60°
30°
D
A
E
解：过A点作AE⊥BD于E点.
易证∠A=∠ABD=30°，∴AD=BD=12 n mile.
∴AE=AD·sin60°
=12×
没有触礁危险.
坡度类型的解直角三角形问题
知识点2
L
h
α
问题：我们经常说某某山的坡度很陡，那么坡度究竟是指什么呢？
提问
你能根据图示给出坡度的定义吗？
坡面的垂直高度h和水平宽度L的比叫坡度（或叫坡比）用字母表示为 .
坡面与水平面的夹角记作α（叫坡角）则
tanα= .
1
2
练习
2.如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，斜面坡度 i =1:1.5 是指坡面的铅直高度 AF 与水平宽度 BF 的比，斜面坡度 i =1:3 是指DE 与CE 的比，根据图中数据，求：
（1）坡角α 和 β 的度数；
（2）斜坡 AB 的长(结果保留小数点后一位)．
解 ：（1）∵tanα＝1:1.5，tanβ＝1:3，
利用计算器可求得α≈33.7°，β≈18.4°；
（2）∵tanα＝1:1.5，又AF＝6m，
∴BF＝9m，由勾股定理得 AB≈10.8m.
1. 已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（ ）
A.南偏东50° B.南偏东40°
C.北偏东50° D.北偏东40°
D
随堂演练
基础巩固
2.如图，某村准备在坡度为i=1:1.5的斜坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为5 m，则这两棵树在坡面
上的距离AB为 m.（结果保留根号）
3.为方便行人横过马路，打算修建一座高5 m的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1:1.5，计算斜坡AB的长度(结果取整数).
解： ，AC=5，
∴BC=1.5×5=7.5.
综合应用
4.某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据计算AC,BD和AB的长度(结果保留小数点后两位).
解：如图所示，在Rt△BDE中，BE=5.00，∠DBE=30°,
∴DE=BE·tan30°= ,
在Rt△ACF中，CF=BE=5.00，∠FCA=45°，
∴AF=CF=5.00，
∴AC= CF=5 ≈7.07(m).
∴AB=BF-AF=DE+CD-AF
= +3.40-5.00≈1.29(m).
课堂小结
方向角
坡度
从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角.
坡面的垂直高度h和水平宽度L的比叫坡
度（或叫坡比）用字母表示为 .
拓展延伸
海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为16 n mile的圆形海域内有暗礁，一艘船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上，且A，P之间的距离为32 n mile.若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.若有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度的方向航行，才能安全通过这一海域?
解：如图，∠PAB=30°，AP=32.
∴PB= AP=16（n mile）.
∴PB＜16 n mile，
轮船有触礁危险.
又∵AP=32，PC=16 ，
∴∠PAC=45°,∴α =15°.
假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过，此时航线AC与⊙P相切，即PC⊥AC.
∴轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行,才能安全通过这一海域.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
教学反思
本课时应先认知“方向角”“坡度”及其所代表的实际意义，添作适当的辅助线，构建直角三角形.然后结合解直角三角形的有关知识加以解答，层层展开，步步深入.
习题28.2
复习巩固
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）c=8， ；
（2）b=7， ;
（3）a=5，b=12.
2. 如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为10m，∠B＝36°，求中柱AD（D为底边中点）和上弦AB的长？（结果保留小数点后两位）
解：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD=5×tan36°≈ 3.6 (m).
3. 如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角＝16°31′。求飞机A到指挥台B的距离？（结果保留整数）
解：由题意可知，在Rt△ABC中，
因此飞机A到指挥台B的距离约为4221m.
4. 从高出海平面55m的灯塔处收到一艘帆船的求助信号，从灯塔看帆船的俯角为21°，帆船距灯塔有多远？（结果保留整数）
解：如图所示，由题意可得
∠B=21°，AC=55m.
因此帆船距灯塔约153m.
5.如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜角为24度，求斜坡上相邻两树间的坡面距离。
解：由题意可得：
答：斜坡上相邻两树间的距离约为6.0m.
综合运用
6.在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）已知∠A，c，写出解Rt△ABC的过程；
（2）已知∠A，a,写出解Rt△ABC的过程；
（3）已知a，c，写出解Rt△ABC的过程；
(1)∠B=180°-90°-∠A=90°-∠A，
a=c·sinA，b=c·cosA；
由sinA = ，求出∠A，∠B=90°－∠A
7.如图，已知金字塔的下底面是一个边长为130m的正方形，且每一个侧面与底面成65°角，这座金字塔原来有多高（结果取整数？）
解：设这座金字塔原来高x m，
由题意得
∴x=65×tan65°≈139.
答：这座金字塔原来高约139m.
8.如图，一枚运载火箭从底面L处发射.当火箭到达A点时，从位于底面R处的雷达站测得AR的距离是6Km，仰角为43°；1 s后火箭到达B点，此时测得仰角为45.54°，这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果取小数点后两位）？
解：在Rt△ALR中，AL=AR·?sin∠ARL=6×sin43°≈ 4.092 (km),
LR=AR·cos∠ARL=6×cos43°≈ 4.388 (km).
在Rt△BRL中，BL=RL·tan∠BRL≈4.388×
tan45.54°≈4.472 (km)?,
9.为方便行人横过马路，打算修建一座高5 m的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1:1.5，计算斜坡AB的长度(结果取整数).
解： ，AC=5，
∴BC=1.5×5=7.5.
10. 海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为16 n mile的圆形海域内有暗礁，一艘船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上，且A，P之间的距离为32 n mile.若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.若有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度的方向航行，能安全通过这一海域?
综合运用
解：如图，∠PAB=30°，AP=32.
∴PB= AP=16（n mile）.
∴PB＜16 n mile，
轮船有触礁危险.
又∵AP=32，PC=16 ，
∴∠PAC=45°,∴α =15°.
假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过，此时航线AC与⊙P相切，即PC⊥AC.
∴轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行,才能安全通过这一海域.
11.根据图中标出的百慕大三角的位置，计算百慕大三角的面积（结果取整数）.
解：如图，过B作直线分别垂直AD于D，CE于E，在Rt△ABD中，∠BAD=62°，AB=1700km.
∴BD=AB·sin∠BAD=1700×sin62°，
AD=AB·cos∠BAD=1700×cos62°.
在Rt△BCE中，∠BCE=54°，BC=2720km,
∴BE=BC·sin∠BCE=2720×sin54°.
CE=BC·cos∠BCE=2720×cos54°.
S△ABC=S梯形ADEC-S△ABD-S△BCE?
(共25张PPT)
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的交点为A ，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2米，AB=54.5米.
新课导入
知道以上条件，你能求出∠A的度数吗？
学习目标：
1.知道解直角三角形的概念，理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系.
2.能综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
学习重、难点：
重点：直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系，解直角三角形.
难点：合理选用三角函数关系式解直角三角形.
推进新课
解直角三角形的定义
知识点1
已知：
求问：
∠A的度数.
A
C
B
Rt△ABC中，∠C=90°，
BC=5.2 m，AB=54.5 m.
利用计算器可得∠A ≈ 5°28′.
一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.
（1）三边之间的关系
a2+b2=c2（勾股定理） ；
（2）两锐角之间的关系
∠A+∠B=90°；
（3）边角之间的关系
在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？
探究
sin A= ，cos A= ，tan A= .
知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？
探究
必须已知除直角外的两个元素（至少有一个是边）.
已知两边：a.两直角边；b.一直角边和斜边.
已知一边和一锐角：a.一直角边和一锐角；b.斜边和一锐角.
练习
1.如图，河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测的∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为多少米？（结果保留根号）
30°
60°
60m
？
解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，
∴∠CAD=30°，AD=CD=60m.
∴AB=AD·sin∠ADB=60×
解直角三角形
知识点2
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=
，BC= ，解这个直角三角形．
提问
需求的未知元素：
斜边AB、锐角A、锐角B.
方法一：
方法二：
由勾股定理可得AB=
例2 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=
35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）．
提问
需求的未知元素：
直角边a、斜边c、锐角A.
还有别的
解法吗？
练习
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：
（1）c=30，b=20；
（2）∠B=72°，c=14；
（3）∠B=30°，a=
1.已知在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若a= ,b= ,则c= ；
（2）若a=10，c= ，则∠B= ；
（3）若b=35，∠A=45°，则a= ；
（4）若c=20，∠A=60°，则a= .
45°
随堂演练
基础巩固
35
2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长.（结果保留根号）
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
△ABC的周长为2+ +4=6+
综合应用
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，△ABC
的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精确到0.1 cm）
5x
12x
13x
解：
5x
12x
13x
课堂小结
解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
两边：两直角边或斜边、一直角边
一边一角：直角边、一锐角或斜边、一锐角
拓展延伸
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，
AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBC= ，求AD的长.
AC=BC=6
tan∠DBC=
解：
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
本课时以自主探究和小组讨论为主，以教师归纳讲解为辅，激发学生自主学习的兴趣和能力.通过综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形的过程，使学生进一步巩固和深化锐角三角函数和直角三角形知识的理解，培养学生数形结合的思想和分析问题、解决问题的能力.
教学反思
(共27张PPT)
28.2.2 应用举例
第1课时 与视角有关的解直角三角形
应用问题
新课导入
我们平时观察物体时，视线相对于水平线来说有哪几种情况？
三种：重叠、向上和向下．
提问
今天我们就来学习与圆和俯角、仰角有关的解直角三角形问题.
学习目标：
1.会运用解直角三角形和圆的知识解决实际
问题.
2.知道仰角和俯角的含义，会用三角函数解
决观测问题.
学习重、难点：
重点：解直角三角形.
难点：将实际问题转化为数学问题.
例1 2012 年 6 月 18 日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.
“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km 的圆形轨道上运行，如图.
圆和解直角三角形的综合运用
知识点1
推进新课
当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少(地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数)？
提问
能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？
P
从组合体中能直接看到的地球表面最远点，应是视线与地球相切时的切点．
答
思考：在平面图形中，用什么图形可表示地球，用什么图形表示观测点，请根据题中的相关条件画出示意图．
如图，用⊙O 表示 ，点 F 是 的位置，FQ是⊙O 的 ， Q 为切点，则所求问题为 ．
的长
地球
组合体
切线
解：在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形．
∵ cosα = =
≈ 0.9491，
∴ α≈18.36°．
∴ 的长为
PQ
×6400 ≈ ×6400≈2051(km)．
练习
1.如图是一个匀速旋转的摩天轮示意图，O为圆心，AB为水平地面，假设摩天轮的直径为80m，最低点C离地面6m，旋转一周所用的时间为6min，小明从点C乘坐摩天轮
（身高忽略不计），请问：经过
2min后，小明离地面的高度是多
少米？
解：过E作EG垂直于CO的延长线于点G，∠COE= ×360°=120°，∴∠GOE=60°.
∴OG=OE·cos∠GOE=20（m）
∴小明离地面的高度是OG+OC+CD=20+40+6=66（m）.
俯角、仰角的解直角三角形问题
知识点2
水平线
铅垂线
视点
视线
仰角
俯角
思考 你能概括出仰角、俯角的概念吗？
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角．
练习
2.如图，?BCA=?DEB=90?，
FB//AC // DE，
从A看B的仰角是 ；
从B看A的俯角是 ；
从B看D的俯角是 ；
从D看B的仰角是 ；
∠FBD
∠BDE
∠FBA
∠BAC
D
A
C
E
B
F
水平线
例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°，看这栋楼底部的俯角为 60°，热气球与楼的水平距离为 120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？
（1）从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°→
α=30°．
（2）从热气球看一栋楼底部的俯角为 60°→
β=60°．
（3）热气球与高楼的水平距离为120 m→
AD=120 m，AD⊥BC．
A
B
C
D
α
β
解：如图，α=30°，β=60°，AD=120．
∵ tanα= ，tanβ= ．
∴ BD=AD·tanα=120×tan 30°
=120× = ，
CD=AD·tanβ=120×tan 60°
=120× = ．
∴ BC=BD+CD= +
= ≈277（m）．
练习
3.如图，求旗杆AB的长度.
解：∵AC⊥DC，∴∠C=90°
∴∠BDC=45°,BC=DC=40m.
∴
1. 如图，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=
30 m，拱形的半径R=30m，则拱形的弧
长等于 m.
20π
随堂演练
基础巩固
2.如图，身高1.6 m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6 m，那么这棵树高大约为
m(结果精确到0.1 m，其
中小丽眼睛距离地面高度近
似为身高).
5.1
综合应用
3.某校课外活动小组在距离湖面7 m高的观测台A处，看湖面上空一热气球P的仰角为37°，看P在湖中的倒影P′的俯角为53°（P′为P关于湖面的对称点）．请你算出这个热气球P距湖面的高度PC约为多少米？
解：设过点A的水平线交PP′于点D，则DC=AB=7，设AD=x.
则PD=AD·tan37°≈34x.
P′D=AD·tan53°≈43x.
∵P′、P关于直线BC对称，
∴PC=P′C.即PD+DC=P′D-DC.
课堂小结
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
水平线
铅垂线
视点
视线
仰角
俯角
已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5 cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα= ．
（1）求点M离地面AC的高度BM；
（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度.
拓展延伸
解：（1）过点M作MD⊥OA于D.
则四边形ABMD是矩形.
∴BM=AD，AB=DM.
又MD=OM·sinα=5×5× =15.
∴AD=OA-OD=5,∴BM=5 cm.
延长DM交FC于点E.
ME=BC=AC-AB=11×5-15=40.
又∵∠FME=∠MOD=α,cosα= ,
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
教学反思
本课时中的特殊角是指30°，45°，60°的角，课堂上采用“自主探究”的形式，给学生自主动手的时间并提供创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究和合作的能力.本节课的最终教学目的是让学生理解并掌握30°，45°，60°角的三角函数值，并且能够熟记其函数值，然后利用它们进行计算.
