(共52张PPT)
章末复习
新课导入
通过本章的学习，你收获了哪些知识和方法？各知识点间有什么联系呢？如何运用这些知识和方法解决问题呢？
本节课将对本章所学进行小结与复习.
想一想
复习目标：
1.理解熟悉正弦、余弦、正切的概念，能熟
练地运用它们进行相关计算.
2.会解直角三角形，并会用解直角三角形的
有关知识解决实际问题.
复习重、难点：
重点：正弦、余弦、正切的概念，解直角三
角形及其应用.
难点：实际问题.
推进新课
提问
本章我们学习了哪些内容？你能画出本章的知识结构框架图吗？
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，锐角 A 的对边与斜边的比，记作 sin A.
∠A
的
对
边
A
B
C
c
a
b
斜边
正弦
即sin A= = ．
∠A 的对边
斜边
要点1 正弦、余弦、正切的定义.
余弦
cos A=
∠A 的邻边
斜边
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A的邻边与斜边的比，记作cosA.
a
C
A
c
B
b
正切
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A的对边与邻边的比，记作tan A.
a
C
A
c
B
b
tan A=
∠A 的对边
∠A 的邻边
要点2 特殊角的三角函数值.
30°
60°
45°
45°
a
2a
a
a
（设最短的边为a）
30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A
锐角A
锐角
三角函数
要点3 用计算器求锐角三角函数值.
以求sin18°为例.
sin键
输入角度值18°
得到sin18°结果
以求tan30°36'为例.
tan键
输入角度值30°36'或将其化为30.6°
得到tan30°36'结果
要点4 解直角三角形的依据.
（1）三边之间的关系
a2+b2=c2（勾股定理） ；
（2）两锐角之间的关系
∠A+∠B=90°；
（3）边角之间的关系
sin A= ，cos A= ，tan A= .
要点5 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤.
将实际问题抽象为数学问题；
1
根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
2
得到数学问题的答案；
3
得到实际问题的答案.
4
解析 先根据三角形的面积求出a，再解直角三角形求出∠A，根据三角形内角和定理求出∠B，根据含30度角的直角三角形的性质求出c即可.
考点1 解直角三角形
例 在Rt△ABC中，∠C=90°，b=3，S△ABC=
，解这个直角三角形.
解：如图.
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，b=3，
∴∠B=30°，c=6.
考点2 特殊角及其锐角三角函数的简单应用
例 如图，在四边形ABCD中，AB=2，∠A=∠C=60°，DB⊥AB于点B，∠DBC=45°，求BC的长.
解：如图，过点D作DE⊥BC于点E.
∵DB⊥AB，AB=2，∠A=60°，
∵∠DBC=45°，DE⊥BC，
∴BD=AB·tan60°=2 .
∵∠C=60°，∠DEC=90°，
∴BE=DE=BD·sin45°= .
1.已知□ ABCD中，AB=a，BC=b，锐角B=α，则用a，b，α表示 □ABCD的面积为 ．
随堂演练
基础巩固
absinα
2.如图，两建筑物的水平距离BC为32.6 m, 从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为45°，求这两个建筑物的高度（结果保留根号）.
解：如图，AE=BC=32.6.
在Rt△ACE中，∠CAE=45°,∴CE=AE=32.6.
∴AB=CE=32.6(m),CD=CE-DE=
在Rt△ADE中，∠DAE=30°,
∴ED=AE·tan30°
综合应用
3.如图，在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/时的速度向西偏北25°的PQ方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/时的速度不断扩张．
（1）当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；当台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；
100
（60+10t）
（2）当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由（参考数据 ≈1.41， ≈1.73）．
解：过O作OH⊥PQ于H.
∠OPH=70°-25°=45°，OP=200.
此时受台风侵袭的圆形区域半径约为60+10×7.05
=130.5＜141，这股台风不侵袭这座海滨城市.
∴PH=OH=OP·sin45°=200×
=100 ≈141（千米）.
台风从P到H用的时间约为 =7.05(小时).
课堂小结
锐角三角函数
直角三角形中的边角关系
锐角三角函数
解直角三角形
实际问题
a
C
A
c
B
b
拓展延伸
如图，在锐角△ABC中，求证： .
(提示：分别作AB和BC边上的高)
证明：过A作AD⊥BC于D，过C作CE⊥AB于E.
在Rt△ABD中，
AD=AB·sinB=c·sinB.
在Rt△ACE中，
CE=AC·sinA=b·sinA.
又∵
同理
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
教学反思
本课时为复习课，首先让学生了解本章的知识体系，教学的展开以问题的解决为中心，指导学生自主理清由实际问题转化为锐角三角函数模型的思路，增强学生对数学问题的转化意识.在教学过程中，还要强化学生“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的思想，加强数形结合思想，加深对锐角三角函数本质的认识.
习题28
复习巩固
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=2，c=6，求sinA，cosA和tanA的值.
2. 在△ABC中，∠C＝90°，cosA= ，AC=
，求BC的长.
3. 求下列各式的值：
4. 用计算器求下列各式的值：
(1)cos76°39′+sin17°52′；
(2)sin57°18′-tan22°30′；
(3)tan83°6′-cos4°59′；
(4)tan12°30′-sin15°.
解：(1)0.5378 (2)0.4273 (3)7.2673 (4)-0.0371
5. 已知下列锐角的三角函数值，用计算器求锐角A的度数：
(1)cosA=0.7651; (2)sinA=0.9343;
(3)tanA=35.26; (4)tanA=0.707.
解：(1)40.08° (2)69.12° (3)88.38° (4)35.26°
6.等腰的底角是30°，腰长为 ，求它的周长.
解：如图，过点A作AD⊥BC于D，则BC=2BD.
在Rt△ABD中，
△ABC的周长
7. 从一艘船看海岸上高为42m的灯塔顶部的仰角为33°，船离海岸多远（结果取整数）？
因此船离海岸的距离约为65m.
综合应用
8. 如图，两建筑物的水平距离BC为32.6 m, 从A点测得D点的俯角α为35°12′，测得C点的俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高度（结果保留根号）.
∴DE=BC·tanα=32.6×tan35°12′≈23.0 (m).
解：延长CD，交过A的线于点E，
在Rt△ABC中，BC=32.6m，∠ACB=43°24′.
∴CD=AB-DE≈30.8-23.0=7.8 (m).
因此这两座建筑物的高度分别约为30.8m、7.8m.
∴AB=BC·tan∠ACB=32.6×tan43°24′≈30.8 (m).
9.某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据计算AC,BD和AB的长度(结果保留小数点后两位).
解：如图所示，在Rt△BDE中，BE=5.00，∠DBE=30°,
∴DE=BE·tan30°= ,
在Rt△ACF中，CF=BE=5.00，∠FCA=45°，
∴AF=CF=5.00，
∴AC= CF=5 ≈7.07(m).
∴AB=BF-AF=DE+CD-AF
= +3.40-5.00≈1.29(m).
10.如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般满足50°≤α≤75°．现有一架长6m的梯子.
此时OB=6sin75°≈6×0.97=5.82≈5.8(m).
解：(1)在Rt△AOB中，OB=AB·sinα=6sinα.
∵sinα随着α的增大而增大，且50°≤α≤75°，
故使用这个梯子最高可以安全攀上5.8m高的墙.
∴当α=75°时，sinα最大，即OB取得最大值，
(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙(结果保留小数点后一位)？
∵50°≤66°≤75°，
当OA=2.4时，
∴这时人能够安全使用这个梯子.
∴α=66.42°≈66°.
(2)当梯子底端距离墙面2.4m时，等于多少度(结果取整数)此时人是否能够安全使用这架梯子？
11.如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处.已知折痕AE=5 cm，且
tan∠EFC= .
(1)△AFB与△FEC有什
么关系？
(2)求矩形ABCD的周长.
解：(1)△AFB与△FEC相似.
(2)∵∠EFC=∠BAF，
设BF=3k，AB=4k，则AF=AD=5k，
∵AF2+EF2=AE2，
∴AB=4k=8 (cm)，AF=AD=5k=10 (cm).
∴矩形ABCD的周长为（8+10）×2=36 (cm).
12. □ABCD中，已知AB、BC及其夹角∠B（∠B是锐角），能求出□ABCD的面积S吗?如果能，用AB、BC及其夹角∠B表示S.
解：能. S=AB·BC·sinB.
拓广探索
13. 已知圆的半径为R.
(1)求这个圆的内接正n边形的周长和面积；
解：(1)周长为2nRsin ，
面积为nR2sin ·cos (或 sin
；
(2)利用(1)的结果填写下表；
内接正
n边形 正六边形 正十二边形 正二十四边形 ……
周长
面积
6R
24Rsin15°
48Rsin7.5°
12R2sin15°
3R2
观察上表,随着圆内接正多边形边数的增加，正多边形的周长（面积）有怎样的变化趋势，与圆的周长（面积）进行比较，你能得出什么结论?
随着圆内接正多边形边数的增加，正多边形的周长逐渐接近圆的周长2πR，面积逐渐接近圆的面积πR2.
14.如图，在锐角△ABC中，求证：
之间的关系.(提示：分别作AB和BC边上的高)
证明：过A作AD⊥BC于D，过C作CE⊥AB于E.
在Rt△ABD中，
AD=AB·sinB=c·sinB.
在Rt△ACE中，
CE=AC·sinA=b·sinA.
又∵
同理
(共48张PPT)
小结与复习
第二十八章 锐角三角函数
(2)∠A的余弦：cosA＝ ＝ ；
(3)∠A的正切：tanA＝ ＝ .
要点梳理
1. 锐角三角函数
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
(1) ∠A的正弦：
∠A的对边
斜边
sin A =
∠A的邻边
斜边
∠A的邻边
∠A的对边
sin30°＝ ，sin45°＝ ，sin60°＝ ；
cos30°＝ ，cos45°＝ ，cos60°＝ ；
tan30°＝ ，tan45°＝ ，tan60°＝ .
2. 特殊角的三角函数
1
合作探究
(1) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，
∠B，∠C的对边．
三边关系： ；
三角关系： ；
边角关系：sinA＝cosB＝ ，cosA＝sinB
＝ ，
tanA＝ ，tanB＝ .
a2＋b2＝c2
∠A＝90°－∠B
3. 解直角三角形
(2) 直角三角形可解的条件和解法
?条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少
有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．
?解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出
另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；
知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股
定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边，
再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添
加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．
(3) 互余两角的三角函数间的关系
sinα = ，
cosα = ，
sin2α + cos2α = .
tanα · tan(90°－α) = .
cos(90°－α)
sin(90°－α)
1
1
对于sinα与tanα，角度越大，函数值越 ；
对于cosα，角度越大，函数值越 .
大
小
(4) 锐角三角函数的增减性
(1) 利用计算器求三角函数值
第二步：输入角度值，
屏幕显示结果.
(也有的计算器是先输入角度再按函数名称键)
第一步：按计算器 键，
sin
tan
cos
4. 借助计算器求锐角三角函数值及锐角
(2) 利用计算器求锐角的度数
还可以利用 键，进一步得到角的度数.
第二步：输入函数值
屏幕显示答案 (按实际需要进行精确)
方法①：
°＇″
2nd F
第一步：按计算器 键，
2nd F
sin
cos
tan
方法②：
第二步：输入锐角函数值
屏幕显示答案 (按实际需要选取精确值).
第一步：按计算器 键，
°＇″
2nd F
(1) 仰角和俯角
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
5. 三角函数的应用
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角，叫做方位角. 如图所示：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
(2) 方位角
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有
i = tan α.
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
显然，坡度越大，坡角α就越大，
坡面就越陡.
如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面坡度.记作i，即i = .
(3) 坡度，坡角
(4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过
程是：
① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，
转化为解直角三角形的问题）；
② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等
去解直角三角形；
③ 得到数学问题的答案；
④ 得到实际问题的答案．
A
C
M
N
①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
E
②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
③量出测倾器的高度AC=a，可求出
MN=ME+EN=l · tanα+a.
α
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
6. 利用三角函数测高
(2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
A
C
B
D
M
N
E
α
②在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角
∠MDE=β；
β
③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离
AB=b.根据测量数据，可求出物体MN的高度.
考点一 求三角函数的值
考点讲练
例1 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则tanB的值为 ( )
A. B. C. D.
解析：根据sinA＝ ，可设三角形的两边长分别为4k，5k，则第三边长为3k，所以tanB＝
B
方法总结：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值．
1. 在△ABC中， ∠A、 ∠B都是锐角，且sinA=cosB，
那么△ABC一定是______三角形．
直角
2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，
C都在格点上，则∠ABC的正切值是____.
针对训练
例2 矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．
分析：根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE=∠BCF，进而在Rt△BFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得 tan∠BCF
的值，借助∠AFE=∠BCF，可得tan∠AFE的值．
10
8
解：由折叠的性质可得，CF=CD，
∠EFC=∠EDC=90°.
∵∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°，
∴∠AFE+∠BFC=90°.
∵∠BCF+∠BFC=90°，∴∠AFE=∠BCF.
在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10，
由勾股定理易得BF=6.
∴tan∠BCF = .
∴tan∠AFE=tan∠BCF= .
10
8
针对训练
解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD =
∴BD = AD·tan∠BAD=12× =9，
∴CD=BC－BD=14－9=5，
∴
∴sinC =
如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，
AD＝12，tan∠BAD＝ ，求sinC的值．
考点二 特殊角的三角函数值
例3 计算：
解：原式＝
(1) tan30°＋cos45°＋tan60°；
(2) tan30°· tan60°＋ cos230°.
计算：
解：原式
解：原式
针对训练
考点三 解直角三角形
例4 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC = ，求：
(1) DC的长；
分析：题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在Rt△ACD和Rt△ABC中求得，由AD＝BC，图中CD＝BC－BD，由此可列方程求出CD．
A
B
C
D
又 BC－CD＝BD，
解得x =6，∴CD=6.
A
B
C
D
解：设CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC = ，
(2) sinB的值．
A
B
C
D
解：BC=BD+CD=4+6=10=AD，
在Rt△ACD中，
在Rt△ABC中，
方法总结：本考点主要考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解.
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3.
点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°.
求△ABC的周长 (结果保留根号).
针对训练
解：在Rt△ADC中，
∴BD＝2AD＝4.
∴BC＝BD＋DC＝5.
在Rt△ABC中，
∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC
解：连接OC.
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OCB＝90°，
∴∠OCA＋∠BCA＝90°.
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC＋∠BCA＝90°，
∵∠BOA＝90°，∴∠OAC＋∠APO＝90°，
∵∠APO＝∠BPC，∴∠BPC＝∠BCA，∴BC＝BP.
例5 已知：如图，Rt△AOB中，∠O＝90°，以OA为半径作⊙O，BC切⊙O于点C，连接AC交OB于点P.
(1) 求证：BP＝BC；
解：延长AO交⊙O于点E，连接CE，在Rt△AOP中，
∵sin∠PAO＝ ，设OP＝x，AP＝3x，
∴AO＝ x.
∵AO＝OE，∴OE＝ x，
∴AE＝ x.
∵sin∠PAO＝ ，
∴在Rt△ACE中 ，∴ ，解得x＝3，
∴AO＝ x＝ ，即⊙O的半径为 .
(2) 若sin∠PAO＝ ，且PC＝7，求⊙O的半径．
E
如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点
B的切线与AD的延长线交于点F．若cos∠C = ，DF=3，
求⊙O的半径．
针对训练
解：连接BD．
在⊙O中，∠C=∠A，
∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°．
设AB=4x，则AF=5x，
由勾股定理得，BF=3x．
∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，
∴cosA=cosC=
∴△ABF∽△BDF，
∴⊙O的半径为
考点四 三角函数的应用
例6 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中AD∥
BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．(结果保留根号)
解：过点A作AF⊥BC于点F，
在Rt△ABF中，
∠ABF =∠α=60°，
则AF=AB·sin60°= (m)，
在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，
则 (m).
故改造后的坡长 AE 为
m.
F
如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横断面为梯形ABCD) 急需加固，背水坡的坡角为45°，高10米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2米，加固后背水坡EF的坡比i =1: ．求加固后坝底增加的宽度AF. (结果保留根号)
针对训练
A
B
C
D
E
F
45°
i=1:
A
B
C
D
E
F
45°
i=1:
G
H
解：作DG⊥AB于G，EH⊥AB于G，
则GH=DE=2米，EH=DG=10米.
(米)，
(米).
又∵AG=DG=10米，
∴ (米).
故加固后坝底增加的宽度AF为 米.
例7 如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，
≈1.73）
解：如图，过点 D 作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，
则四边形DHCG为矩形．
故DG=CH，CG=DH，DG∥HC，
∴∠DAH=∠FAE=30°，
在直角三角形AHD中，
∵∠DAH=30°，AD=6，
∴DH=3，AH= ，
∴CG=3，
设BC为x，
在直角三角形ABC中，
G
H
在Rt△BDG中，∵ BG=DG · tan30°，
解得：x ≈13，
∴大树的高度为：13米.
∴
∴
G
H
针对训练
如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C
之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．
(1) 求点B到AD的距离；
答案：点B到AD的距离为20m.
C
(2) 求塔高CD（结果用根号表示）．
C
解：在Rt△ABE中，
∵∠A=30°，∴∠ABE=60°，
∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°－60°－75°=45°，
∴DE=EB=20m，
则AD=AE+EB= (m)，
在Rt△ADC中，∠A=30°，
答：塔高CD为 m.
∴ (m).
例8 如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
解：设B处距离码头O x km，
在Rt△CAO中，∠CAO=45°，
∵tan∠CAO=CO/AO ，
∴CO=AO · tan∠CAO=（45×0.1+x）· tan45°=4.5+x，
在Rt△DBO中，∠DBO=58°，
∵tan∠DBO=DO/BO ，
∴DO=BO · tan∠DBO=x · tan58°，
∵DC=DO－CO，
∴36×0.1=x · tan58°－（4.5+x），
因此，B处距离码头O大约13.5km.
∴
某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l (如图). 救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海
岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝
40米，B在C的北偏东35°方向，甲、乙
的游泳速度都是 2 米/秒，则谁先到达 B
处？请说明理由 (参考数据：sin55°≈0.82，
cos55°≈0.57，tan55°≈1.43).
针对训练
分析： 在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可．
解：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°.
∴BD＝CD · tan∠BCD＝40×tan55°≈57.2(米)．
BC＝CD · cos∠BCD＝40×cos55°≈70.2(米)．
∴t甲≈57.22÷2＋10＝38.6(秒)，
t乙≈70.22÷2＝35.1(秒)．
∴t甲>t乙．
答：乙先到达B处．
锐角三角函数
特殊角的三角函数
解直角三角形
简单实际问题
课堂小结
正弦
锐
角
三
角
函
数
余弦
正切
三边关系
三角关系
边角关系
仰俯角问题
方位角问题
坡度问题
(共24张PPT)
数学活动
新课导入
半圆形量角器，细线，小挂件(或其他小重物)，软尺，利用这些小物件可以制成什么器具呢？
测角仪
今天我们就要学习利用测角仪测定实际物体的高度.
想一想
活动目标：
1.能自制测角仪，根据实际情况设计测
量物高的方案.
2.能运用解直角三角形的知识根据测量
的数据计算物高.
活动重、难点：
重点：自制测角仪，测量物高.
难点：测量活动.
制作测角仪，测量树的高度
活动1
推进新课
阅读课本“活动1”.
1.测角仪是由哪几个部分组成的？
2.测角仪上角的读数与仰角有怎样的关系？
思考
把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处.
提问
如何制作一个简易的测角仪呢？
1
在细线的另一端系一个小挂件即可.
2
将仪器拿到眼前，使视线沿着量角器直径刚好到达树的最高点（如图）.
提问
如何使用测角仪呢？
答
读出仰角α的度数.
提问
如何测出物体的高度呢？
1
测出人到树的底部的距离L.
2
根据三角函数可计算出树的高度h.
3
L
h
利用测角仪测量塔高
活动2
思考
若不能直接测出AN的长度，还有别的方法可以测出物体的高度吗？
具体怎么操作呢？
步骤
在塔前的平地上选择一点A，用活动1中制作的测角仪测出看塔顶的仰角α（如图）.
1
步骤
在A点和塔之间选择一点B，测出你由B点看塔顶的仰角β.
2
测出A，B两点间的距离.
3
设塔高为x，测量者的身高为y，
提问
如何计算出塔的高度呢？
解
则可以得到关于x的方程：
解这个方程，就可以求出塔高x.
1.如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10 m到达B点，在B处测得树顶C的仰角为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们的测量数据计算这棵树的高度（结果精确到0.1 m）．
随堂演练
基础巩固
解：设CD=x.
∴AB=AD-BD，
即
x=在Rt△BCD中，BD=
在Rt△ACD中，
2.如图，小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7 m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M的仰角为45°；小红眼睛与地面的距离（CD）是1.5 m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28 m且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）.求出旗杆MN的高度（结果精确到0.1 m）.
解：如图所示，作AE⊥MN于E，CF⊥MN于F.设MN=x.
在Rt△MAE中，
ME=MN-EN=MN-AB=x-1.7，∠MAE=45°,
∴AE=ME=x-1.7.
在Rt△MCF中，MF=MN-NF=MN-CD=x-1.5，∠MCF=30°,
又∵BD=BN+ND=AE+FC,
∴x-1.7+ (x-1.5)=28.
∴x≈11.8.∴MN≈11.8(m).
因此，旗杆MN的高度约为11.8 m.
综合应用
3.大楼AD的高为100米，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶B处的仰角为60°，爬到楼顶D处测得塔顶B的仰角为30°，求塔BC的高度.
解：作DE⊥BC于E.
设BC=x，在Rt△ABC中，
在Rt△BDE中，
BE=BC-EC=BC-AD
=x-100.
又∵DE=AC，∴ x = (x-100)，
∴x = 150，BC = 150（米）.
因此，塔BC的高度为150米.
课堂小结
设塔高为x，测量者的身高为y，
解
拓展延伸
某数学兴趣小组在河边的一点A处测得河对岸小山顶上一座铁塔的塔顶C的仰角为60°、塔底B的仰角为45°，已知铁塔的高度BC为20m，你能根据以上数据求出小山的高BD吗？若不能，请说明理由；若能，请求出小山的高BD（精确到0.1 m）.
过程如下：
设AD=x，在Rt△ABD中，
∠BAD=45°，∴BD=AD=x.
解：能；
在Rt△ACD中，∠CAD=60°,
∴CD=AD·tan60°= x.
又∵BC=CD-BD，∴ x-x=20.
∴x≈27.3，BD≈27.3(m).
因此，小山的高BD约为27.3 m.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
教学反思
本课时的数学活动是利用测角仪测量物高.整个活动过程应充分发挥学生的主动性，指导学生利用半圆形量角器、细线、小挂件制作一个简单的测角仪，对于在活动过程中有问题的学生及时给予帮助，增强与学生的互动和交流，将实际问题转化为数学模型，利用解直角三角形的知识进行解答.
