人教版七年级下册
《§
7.1.2平面直角坐标系》
教学设计
学校：乌鲁木齐市第126中学
教师：许磊
2019.11
7.1平面直角坐标系（第2课时）
内容和内容解析
内容
平面直角坐标系及相关概念。
内容解析
“平面直角坐标系”是“数轴”的发展，使点与坐标的对应关系顺利实现了从一维到二维的过渡.“平面直角坐标系”的建立使有序数对与平面内的点产生了一一对应，提供了用代数方法来研究几何问题的重要数学工具.
上一节课，学生在具体情境中学习了有序数对表示物体的位置，本节课先介绍数轴上点与坐标的一一对应，在此基础上说明建立平面直角坐标系的必要性及合理性，同时引入相关的概念，以及平面内点与坐标是一一对应的结论，对于平面直角坐标系中象限的概念，本节课只作简单介绍，下节课再探讨象限中特殊位置的点的坐标的特征.
一般地，在平面内互相垂直且原点重合，分别位于水平位置与铅直位置的两条数轴组成平面直角坐标系，习惯取向右、向上为正方向。建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，可以在坐标平面内确定它所表示的一点，从而建立坐标平面内点与有序数对的一一对应，体现数形结合的思想.
由以上分析，可以确定本节课的教学重点：平面直角坐标系及相关概念.
在本章学习中，平面直角坐标系是学生从数的角度进一步认识平移变换的基础，也是后续学习函数、平面解析几何等必备的知识．平面直角坐标系是数轴的发展，它的建立和应用过程，实现了认识上从一维到二维的发展，体现了类比方法、渗透着数形结合等数学思想，因此学习平面直角坐标系这一内容是发展学生思维，提高能力的极好时机．
目标和目标解析
目标
理解平面直角坐标系的相关概念.
掌握平面直角坐标系内点与坐标是一一对应的.
目标解析
达成目标（1）的标志是：学生理解平面直角坐标系中两条数轴一般具备的特征：互相垂直；原点重合；取向右、向上为正方向。能在平面直角坐标中理解x轴(横轴)、y轴（纵轴）、原点、坐标、象限等相关概念.
达成目标（2）的标志是:学生理解建立平面直角坐标系的必要性，体会到平面内点与有序数对的“一一对应”：给一个点，就有唯一确定的坐标与之对应；反之，给一个坐标，就有唯一确定的点与之对应.在给定的平面直角坐标中，学生会由点的位置写出点的坐标，由点的坐标确定点的位置.
教学问题诊断分析
平面内点的坐标是根据数轴上点的坐标来定义的，平面内点与坐标的对应关系虽然与数轴上的点与坐标的对应关系类似，但学生毕竟在认识上第一次从一维空间过渡到二维空间，因此理解建立平面直角坐标系的必要性比较困难。“7.1.1有序数对”是在具体情况中认识物体与有序数对的对应，学生易于理解，但由具体情境抽象出平面直角坐标系中点与坐标的一一对应，要求学生有较强的抽象思维能力.
因此，本节课的教学难点是：理解建立平面直角坐标系的必要性(即如何引导学生经历用有序数对描述物体位置到用平面直角坐标系描述物体位置的过程).
体会平面直角坐标系中点与坐标的一一对应关系.
教学过程设计
复习回顾，引入新知
问题：回顾已学内容，回答下列问题：
几何与代数知识中最基本元素分别是什么
已有知识中能建立起代数与几何之间联系的工具有什么？
数轴上的点与实数有什么关系？
师生活动：学生回答问题后，教师引导学生得出数轴上的点可以用一个数表示，这个数叫做点的坐标，已知数轴上点的坐标，这个点的位置就确定了.
设计意图：从学生熟悉的数轴出发，给出数轴上点的坐标的定义，建立点与坐标一一对应关系，并提出研究问题：如何将平面内点的位置与数建立起联系.
建立模型，形成概念
问题1：如果一只蜘蛛向右爬了5cm,怎么用数来表示它的位置？
问题2：如果这只蜘蛛沿着这条数轴上向左爬了3cm,怎么用数来表示它的位置？
问题3：如果这只蜘蛛很调皮，爬到了这条数轴外点P的位置,那么怎么用数表示它的位置
师生活动：教师创设数学史的故事情境，给出以上三个问题，学生独立思考很容易用数轴的知识给出问题1与问题2的答案，而问题3是真正引起学生认知冲突的问题，在此思维冲突基础上，确定平面内点的位置只用这条数轴上的一个实数不能表示，应该用两个数（有序数对）表示．引发学生进一步思考，如何用有序数对确定平面内点的位置.
设计意图：在数学史的运用上，采用“重构式”故事情境为背景，目的是吸引学生的注意力，以及让学生意识到平面是二维的，通过问题3引发学生认知冲突，此问题也是本节课的难点，解决此问题，学生才能理解为什么要用“有序数对”来表示平面内的点，这里情境导入的主线是“从一维到二维”，符合知识拓展、延续的过程.这样的问题情境不仅能激发学生探究新知的欲望，而且让学生初步体会到新知识是由生活中常见确定物体位置的需要产生的，在此基础上说明建立平面直角坐标系的必要性以及合理性.
问题4：类似于数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种办法确定平面内点的位置呢？
师生活动：学生先独立思考，再小组讨论交流解决问题的方法.教师巡视对孩子们的讨论结果做到心中有数.学生以小组为单位汇报讨论结果，互相补充.得到以下结论：
利用有序数对表示平面内点的位置，在原有探究过程中，教师只给出一条数轴，需要添加数轴.
建立的数轴中，存在相交与平行等位置关系，并且夹角有锐角，直角及钝角等多种形式，学生借助于相交线与平行线相关知识在所建立的结构中利用有序数对确定点的位置.
学生经历了观察、思考、比较、类比、抽象、概括等一系列思维过程，教师引导学生如何才能更方便、快捷、容易统一标准地表示平面内点的位置，自然地形成平面直角坐标系的概念.
教师明确：建立两条相互垂直、且原点重合的数轴，就可用有序数对表示平面内点的位置，这个工具叫做平面直角坐标系.告诉学生今天这节课在平面直角坐标系中，研究平面内的点与有序数对之间的联系（学生的具体做法详见后面附录）.板书课题.平面直角坐标系.
设计意图：揭示“平面直角坐标系”的形成过程，使学生经历了观察、思考、比较、类比、抽象、概括等一系列思维过程．这样也使得教学过程更符合学生的认知特点，有利于学生能力的培养．
问题5：请阅读教材第66页，并完成下列问题：
说一说组成平面直角坐标系的两条数轴具备什么特征？
什么是横轴？什么是纵轴？什么是坐标原点？
以点O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴，建立一个适当地平面直角坐标系.（同桌之间相互评判强调细节之处）．
师生活动：教师引导并结合画图：平面直角坐标系即在平面内画互相垂直、原点重合的两条数轴，水平的数轴成为x轴或横轴，取向右方向为正方向；竖直的数轴成为y轴或纵轴，取向上方向为正方向.两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.
追问（1）：借助平面直角坐标系，点P用有序数对表示为什么？
师生活动：学生分别过点P向x轴、y轴作垂线，垂足所对应的数分别为4、5，垂足M在x轴上的坐标是4，垂足在y轴上的坐标是4，有序数对点（4，5）叫做点P的坐标.其中4是横坐标，5是纵坐标.(注意：表示点的坐标时，必须横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开.
追问（2）：一个点的坐标有几个？为什么？
师生活动：学生回答：只有一个，因为过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，垂线与数轴的交点有且只有一个．
设计意图：利用学生学过的有序数对、数轴知识，以确定平面内点P的位置为目的，让学生在解决具体问题的过程中，自然而然地建立平面直角坐标系，并理解相关概念.
追问（3）：在平面直角坐标系中，点A,B,C,D,E的坐标分别是什么？
师生活动：学生自主思考，说出坐标，并说明理由.
追问（4）：在上述平面直角坐标系中，x轴和y轴上点的坐标有什么特点？原点坐标是什么？
师生活动：教师适当引导：从上面联系中发现
①x轴上点的纵坐标为0，一般记为（x,0）;
②y轴上点的纵坐标为0，一般记为（0,y）;
③原点O的坐标是（0,0）.
设计意图：在给出平面直角坐标系的定义之后，及时安排用坐标表示点的练习.先表示一般点的坐标，再表示特殊点的坐标，这样符合学生的认知规律，使学生更容易理解和掌握所学的知识.
3．合作探究，深化新知
活动一:在建立的平面直角坐标系中分别写出点A~点E的坐标.
师生活动：学生落实由点写坐标的方法，从理性上体会由点到坐标的对应.
活动二:在所建的平面直角坐标系中描出下列各点.
H
(-2
,
-2)，I
(-3
,
-3)
，J
(3
,3)，K
(0,
3)
师生活动：教师引导：学生介绍描出点A(-4.5)的方法：先在x轴上找出表示-4的点，再在y轴上找出表示5的点，过这两个点分别作x轴、y轴的垂线，垂线的交点就是点A.其余点要求学生自己描出，教师巡视，学生相互纠错.
追问（1）：每一个坐标对应一个点，你能用学过的知识解释吗？
师生活动：学生回答：两条直线相交，有且只有一个交点．
设计意图：已知点的坐标，让学生在平面直角坐标系内找到对应点的位置.
问题6：类似于数轴上点与坐标的关系，坐标平面内的点与坐标又有什么关系？
师生活动：学生小组讨论：类比数轴上点与坐标的关系，让学生归纳平面上的点与坐标(有序数对)也是一一对应的.教师运用几何画板验证点与坐标的一一对应关系.
设计意图：以上教学环节旨在通过作图加深学生对点与坐标的对应的理解和落实.通过借助同一平面直角坐标系中设计了两个活动：（1）由点写坐标；（2）由坐标描点．使其先通过动手操作实现感性的认识，落实写坐标与描点；再通过利用几何知识解释，进行理性思考，几何画板演绎，深入体会点与坐标的对应让学生从已有的认知——数轴与实数的关系，引导到本节课学习的新知——坐标平面内的点与有序实数对的关系，有效降低教学难度，突出教学重点，促进知识的有效迁移.
4．归纳总结，拓展延伸
活动三:
探究平面内不在坐标轴上的点的坐标特点.
师生活动：教师给出象限概念后，学生小组交流合作，得出每个象限的点的坐标的特征，两坐标轴的点不属于任何象限.学生归纳横、纵坐标相等的点在一条直线上；横坐标相等的点在垂直于x轴的直线上;
纵坐标相等的点在垂直于y轴的直线上等.
设计意图：这是一个开放性问题.
给下节课学习特殊位置点的坐标作铺垫．同时渗透平面直角坐标系的根本作用是表示函数图像、几何曲线，体现数形结合,再次突出平面直角坐标系的重要地位.
5．总结分享，梳理知识
同学们，这节课到这里已经接近了尾声，下面一起回顾一下本节课所学内容，请回答一下问题：
①什么是平面直角坐标系？
②平面直角坐标系中一个有序数对可以确定一个点的位置，它与数轴上一个实数确定一个点的位置有什么区别？
③平面直角坐标系内点与坐标之间有什么关系？
知识结构图：
师生活动：学生独立思考，畅所欲言.
教师利用知识结构图梳理本节内容.
设计意图：通过小结，优化学生知识结构，教师梳理知识，给出本节所学知识的内在结构，理解本节课的核心——平面直角坐标系中点与坐标一一对应关系，感受数形结合的思想.
6．融入史料，提升认识
坐标系概念是法国数学家笛卡尔提出的，你知道他是怎样想到这种方法的吗？请同学们课后查阅相关资料了解平面直角坐标系的产生以及它对数学发展的影响.
设计意图：融入史料，激发学生的学习兴趣，同时培养学生善于思考、发现问题、提出问题的好品质，以及对学生数学文化方面的熏陶.
7．布置作业，内化提高
A层：教材P68练习题；P69.3
；P70.7
；P70.10
．
B层：查阅资料：了解平面直角坐标系以外的各种坐标系．
设计意图：分层作业旨在让不同的学生在数学上得到不同的发展.
其中A层作业为必做题巩固所学知识，B层为选做题尊重学生个体差异.
目标检测设计
如图，下列说法中正确的是（
）
(A)点A的横坐标是2
(B)点A的横坐标是1
(C)点A的坐标是(1,2)
(D)点A的横坐标是(2,1)
设计意图：本题主要考查学生根据平面直角坐标系中已知点的位置确定点的坐标的能力.
2.已知P点坐标为（2a+1，a-3）
①点P在x轴上，则a=
.
②点P在y轴上，则a=
.
设计意图：本题考查学生对坐标轴上点的坐标特征的掌握.
3.
如图，在平面直角坐标系中,描出下列各点,并顺次连接.
(0,-4),
(3,-5),
(6,0),
(0,-1),
(-6,0),
(-3,-5)，(0,-4).
设计意图：本题主要考查学生根据平面直角坐标系中点的坐标的确定方法的掌握.
4.如图，写出图中多边形ABCDEF各个顶点的坐标，并说明点C，E分别在什么象限.
设计意图：本题主要考查学生对平面直角坐标系中点的坐标的表示和对象限概念的理解.
教学反思
1.筹划平面直角坐标系教学——“识微见远”
就平面直角坐标系而言,本身较简单、纯粹,学生只要记住方法步骤,按图索骥即可,但此时学生不能很好地优化认知结构和提高知识迁移能力,所以,教师不能被当堂的表面效果蒙蔽,而应筹划发展学生思维，提高学生能力的教学,
故在设计本课教学内容时，查阅大量的相关资料：了解平面直角坐标系生成的历史，平面直角坐标系的发生与发展过程以及建立平面直角坐标系的作用.最终旨在让学生从整体和内部规律上系统掌握平面直角坐标系的知识，本节课教学中，在努力再现“如何想到用平面直角坐标系来描述物体（点）的位置，即平面直角坐标系的生成过程”引导学生进行较为充分的探究，初步经历数学史上平面直角坐标系的形成过程，这种设计与学生潜意识地想到“做两条共原点的互相垂直的数轴就可以构成平面直角坐标系”（平常多数教师讲这节课时就是这样处理的）形成鲜明的对比，在筹划平面直角坐标系教学时多次深入到各层次学生中做调研，更深入地了解学生的认知水平以及已有认知结构，为课堂中可能出现的情况做好充分的准备，
也有助于设计出学生主动建构的方案,从而更好的提高学生掌握知识的能力,使数学知识向着更深、更高层次发展.
2.实施平面直角坐标系教学——“绸缪桑土”
重视设置问题情境,
在数学史的运用上，采用“重构式”故事情境为背景，目的是吸引学生的注意力，以及让学生意识到平面是二维的，这里情境导入的主线是“从一维到二维”，符合知识拓展、延续的过程.这样在已学知识基础上进行探究就显得很自然,然后设置渗透了类比思想的问题,避免无来由的“类似于数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种方法确定平面内的点的位置”的突兀感,让建立平面直角坐标系有个生长过程,学生在经历知识形成的过程中,加深了对平面直角坐标系的理解与数形结合思想的感悟.
3.提炼平面直角坐标系的根本作用——“有的放矢”
整节课以“数轴”“用有序数对描述物体位置”“相交线与平行线”等知识为基础，类比数轴确定直线上点的位置，通过用数的角度表示平面内的点的探究，从而得到平面直角坐标系.它的建立，使代数的基本元素(数)与几何的基本元素(点)之间在平面内产生一一对应，“数”发展成式、方程与函数，“点”运动而成直线、曲线等几何图形，所以本节课在活动三设置一个开放性问题.，不仅给下节课学习特殊位置点的坐标作铺垫．同时渗透平面直角坐标系的根本作用是表示函数图像、几何曲线，体现数形结合,既实现了认识上从一维空间到二维空间的发展，又使学生初步感知平面直角坐标系的作用.再次突出平面直角坐标系的重要地位.
4.本节课在设计时遇到的困难：本节课旨在让学生从整体和内部规律上系统掌握平面直角坐标系的知识，力图再现“如何想到用平面直角坐标系来描述物体（点）的位置，即平面直角坐标系的生成过程”，引导学生进行较为充分的探究，初步经历数学史上平面直角坐标系的形成过程，这种设计与学生潜意识地可能想到“做两条共原点的互相垂直的数轴就可以构成平面直角坐标系”（平常多数教师讲这节课时就是这样处理的）形成鲜明的对比，该设计对于如何设置问题引导学生自然生成，
并且符合学生认知规律进行了深入思考.
附录：针对“问题4：类似于数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种办法确定平面内点的位置呢？”课堂探究中学生讨论成果的真实反馈:
111111111111111111111111111111111111111111111111
《平面直角坐标系》评课稿
本节课以“重构”数学史的故事情境为背景，类比数轴概念建立平面直角坐标系概念，引导学生经历用有序数对描述物体位置到用平面直角坐标系描述物体位置的过程，感受建立平面直角坐标系的必要性.学生在教师的引导下充分地进行自主学习，重视学生的思维过程.并让学生体验数形结合、类比转化等数学思想.整节课凸显以下特点：
引课简明扼要，突出要点
本节课通过引导学生回想代数的基本元素(数)与几何的基本元素(点)以及建立起它们联系的桥梁，回顾了数轴的定义，并强调数轴作为数形结合的一个重要工具，建立了直线上的点与坐标的一一对应关系.并结合有序数对提出研究问题：如何将平面内点的位置与数建立起联系.
2.类比探究，追求思维培养
本节课通过类比数轴确定直线上点的位置，经历用有序数对表示平面内的点位置的探究，得到平面直角坐标系.使学生经历了数学史上平面直角坐标系的形成过程，实现了认识上从一维空间到二维空间的发展，初步感知平面直角坐标系的作用，体现教学设计注重学生思维的培养，
将学生思维的发展作为教学的着力点与落脚点.
3.合理使用学习方式，积累活动经验
在形成平面直角坐标系的过程中，教师设计了自主探究、独立思考、合作交流、自主阅读教材并动手建系等多种学习方式，促进学生思维的发展，加深对知识的理解，并使学生在学习过程中积累了丰富的数学活动经验.
4.
问题设计精心，引发学生深度思考
本节课采用问题探究教学法，探究活动更多地属于“教师引导下的学生生动探究”.
教师创设数学史的故事情境，提出问题：如何用有序数对确定平面内点的位置？引发学生深度思考，课堂教学由此展开，教师总是基于知识的生长点、认知的冲突点设问，引导学生层层深入的进行学习。
总的来说：本节课执教老师教学流程设计合理，教学思路清晰，探索过程中各个阶段之间衔接自然，符合课标理念.教学过程充分调动了学生自主学习的积极性，紧扣数轴与有序数对，数形结合,让学生掌握知识的同时体验数学思想方法,提升思维能力,这些都体现了教师对学生主体地位的肯定,真正地将“重视学生主体地位”落到了实处，较好地完成了教学任务.(共16张PPT)
7.1.2平面直角坐标系
乌鲁木齐市第126中学
授课教师：许磊
复习回顾，引入新知
0
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-6
7
数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标．
问题：数轴上的点与实数具有什么关系？
数轴上的点
实数
一一对应
C
建立模型，形成概念
5cm
3cm
问题1：如果一只蜘蛛向右爬了5cm,怎么用数来表示它的位置？
问题2：如果这只蜘蛛沿着这条数轴向左爬了3cm,怎么用数来表示它的位置？
建立模型，形成概念
问题3：如果这只蜘蛛很调皮，爬到了这条数轴外点P的位置，怎样用数表示它的位置？
P
问题4：类似于数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种办法确定平面内的点的位置呢？
建立模型，形成概念
0
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
3
1
4
2
5
-2
-4
-1
-3
3
1
4
2
5
-2
-4
-1
-3
3
1
4
2
5
-2
-4
-1
-3
平面直角坐标系
P
合作探究，深化新知
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
-3
-4
-5
(0,0)
(-3,0)
(5,0)
A
B
x
y
C
(-8,8)
M
N
D
(0,6)
活动一:在建立的平面直角坐标系下分别写出点A~点F的坐标.
（1,3）
（-4,-1）
（3,1）
（3,-4）
5
-2
-3
-4
-1
3
2
4
1
6
y
x
-5
-4
-2
-1
2
5
-3
4
3
1
-6
6
7
-5
（-3,1）
G
-5.5
6.5
（-5.5，6.5）
F
(0,
-5)
活动二:在所建的平面直角坐标系中描出下列各点.
（1,3）
（-4,-1）
（3,1）
（3,-4）
5
-2
-3
-4
-1
3
2
4
1
6
y
x
-5
-4
-2
-1
2
5
-3
4
3
1
-6
6
7
-5
（-3,1）
G
-5.5
6.5
（-5.5，6.5）
H
(-2
,
-2)，I
(-3
,
-3)
，J
(3
,
3)，K
(0
,
3)
F
(0,
-5)
合作探究，深化新知
想一想：类似于数轴上点与实数的关系，平面内的点与有序实数又有什么关系？
平面内的点
有序实数（坐标）
一一对应
几何画板
活动三:探究平面内不在坐标轴上的点的坐标特点.
5
-2
-3
-4
-1
3
2
4
1
6
y
x
-5
-4
-2
-1
2
5
-3
4
3
1
-6
6
7
-5
G
（-5.5，6.5）
A(1,
3)
B(-3,
1)
C(-4,
-1)
D(3,
1)
E(3,
-4)
(0,
0)
O
第一象限
Ⅰ
第二象限
Ⅱ
Ⅲ
第三象限
Ⅳ
第四象限
F
(0,
-5)
（+
,
+）
（-
,
+）
（-
,
-）
（+
,
-)
注意：坐标轴上的点不属于任何象限.
课堂小结，知识梳理
①什么是平面直角坐标系？
②平面直角坐标系中一个有序数对可以确定一个点的位置，它与数轴上一个实数确定一个点的位置有什么区别？
③平面直角坐标系内点与坐标之间有什么关系？
课堂小结，知识梳理
课堂小结，知识梳理
确定平面内
点的位置
画两条数轴
建立平面直
角坐标系
点
P
①垂直
②有公共原点
知识结构图：
点
坐标
P
（x,y)
你知道吗？
笛卡尔
，法国著名哲学家，数学家.1596年出生于法国拉艾镇，法国巴黎普瓦捷大学毕业，获法律学位.
数学方面的主要成就：
哲学专著《方法论》一书中的《几何学》，第一次将x看作点的横坐标，把y看作是点的纵坐标，将平面内的点与一种坐标对应起来，并创立了解析几何，这是数学史上的转折点.
法国数学家笛卡尔（Descartes,1596-1650）,最早引入坐标系，用代数方法研究几何图形.
A层：教材P68练习题；P69.3
；P70.7；P70.10
．
B层：查阅资料：了解平面直角坐标系的产生以及它对数学的影响．
布置作业，内化提高
感谢您的聆听
请批评指正！
