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7.1.2平面直角坐标系
吉林省长春市东北师大附中
尹婷婷
人民教育出版社义务教育教科书《数学》七年级下册
第7章《平面直角坐标系》
内容与内容解析
目标与目标解析
教学问题诊断分析
教学支持条件分析
教学过程设计
目标检测设计
一、内容与内容解析
教
材：人教版（七下）
教学内容：7.1.2平面直角坐标系
“平面直角坐标系”作为表示平面内点的位置的重要工具，在认识上实现了从一维空间到二维空间的跨越，构成平面内的数形结合的理论基础.它是今后学习函数及相关知识的必要基础.
教学重点：理解直角坐标系及相关概念.
二、教学目标
1.通过实际问题生成平面直角坐标系，理解平面直角坐标系及相关概念；
2.通过设计由点的位置写出点的坐标，根据坐标描出点的教学环节，理解平面直角坐标系上的点与有序数对之间的一一对应关系；
3.通过对点的坐标按符号分类，观察同一类别的点的位置，理解象限及平面直角坐标系中点的位置与坐标符号的规律.
三、教学问题诊断分析
学习了数轴的概念后，已经有了数形结合的意识
如何过渡到二维平面上的点的表示方法
从生活实际出发创设情境
利用探究式教学
突出重点
教学难点：平面直角坐标系概念的生成.
突破难点
四、教学支持条件分析
利用国庆联欢活动中确定某一位置为载体，创设问题情境，更能激发学生的学习兴趣，并利用多媒体辅助教学能够更直观地呈现问题，并帮助学生更好地进行数学抽象和直观想象，最终抽象出数学模型.
片段二：合作探究，生成概念
五、教学过程设计
1、语言描述，抽象出有序数对；
2、去掉参照，表示点B；
3、问题提出，小组合作探究；
4、优化方案，构建数学模型.
落实教学目标1
设计意图：学生是数学学习的主体.通过让学生参与平面直角坐标系的生成过程，不仅可以更好地理解平面直角坐标系的内涵，同时积累了有效的活动经验，使每位学生获得不同的成功体验.
片段三：交流讨论，生成坐标
五、教学过程设计
落实教学目标1
设计意图：加深对平面直角坐标系的理解，探究如何使用新的工具，生成坐标的概念，感受一维空间下点的坐标与二维空间下点的坐标的区别.
片段四：实践探究，深化概念
五、教学过程设计
落实教学目标2
设计意图：通过活动加深对平面直角坐标系的理解和落实；借助平面直角坐标系由点来确定坐标并由坐标确定点，探究点与有序实数对之间的对应关系，使学生体会由特殊到一般以及由具体到抽象的发展过程.
片段五：观察思考，发现规律
五、教学过程设计
落实教学目标3
设计意图：此环节设计为开放教学，通过让学生对平面上点的坐标进行分类，经历由特殊到一般的过程，生成象限的概念并探索点的坐标特征与分布位置的规律，深化平面内的点和有序数对的一一对应关系的理解.
片段六：梳理知识，提升思维
五、教学过程设计
设计意图：通过梳理本节课所学内容，理解本节课的核心——平面直角坐标系中点与坐标的一一对应关系，揭示平面直角坐标系的价值及作用，感受数形结合的思想.
六、目标检测设计
1.在平面直角坐标系中，A，B点的位置如图．
(1)写出A，B两点的坐标；
(2)若C(－2，－3)，D(3，0)，请在图示的平面直角坐标系中标出C，D两点．
2.在平面直角坐标系中，点P(1.5，－5)在( )
A.第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3.已知坐标平面内点A(m,n)在第四象限，那么点B(n,m)
在（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为(4，3)，(－2，1)，则表示棋子“炮”的点的坐标为( )
A．(－3，3)
B．(3，2)
C．(0，3)
D．(1，3)
感谢聆听吉林省
长春市东北师大附中（净月校区）
尹婷婷
7.1.2平面直角坐标系
教学设计
东北师大附中净月校区
尹婷婷
7.1.2平面直角坐标系
一、
内容和内容解析
（一）内容
通过实际问题生成平面直角坐标系及相关概念，探索平面直角坐标系中点与有序实数对之间的一一对应关系.
（二）内容解析
“平面直角坐标系”作为表示平面内点的位置的重要工具，在认识上实现了从一维空间到二维空间的跨越，构成平面内的数形结合的理论基础.它是今后学习函数及相关知识的必要基础.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解平面直角坐标系及相关概念.
二、目标和目标解析
（一）目标
1.通过实际问题生成平面直角坐标系，理解平面直角坐标系及相关概念；
2.通过设计由点的位置写出点的坐标，根据坐标描出点的教学环节，理解平面直角坐标系上的点与有序数对之间的一一对应关系；
3.通过对点的坐标按符号分类，观察同一类别的点的位置，理解象限及平面直角坐标系中点的位置与坐标符号的规律.
（二）目标解析
目标1解析：学生经历由实际问题逐步抽象为数学问题的过程，在其已有知识的基础上，通过小组合作探究表示平面上点的方法，达到由一维空间到二维空间的过渡，构建数学模型.
目标2解析：平面直角坐标系是建立平面上的点与有序实数对之间联系的重要工具，通过借助平面直角坐标系中点的位置写出点的坐标，并根据坐标描出点的位置，让学生加深对概念理解的同时归纳平面直角坐标系上的点与有序实数对之间的一一对应关系.
目标3解析：通过平面直角坐标系中四个象限的生成过程体会分类思想.
三、教学问题诊断分析
学生在学习了数轴的概念后，已经有了一定的数形结合的意识，积累了借助数轴上的一个实数表示直线上的点的经验.然而如何引入平面直角坐标系，如何过渡到二维平面上的点的表示方法，学生理解起来有一定的困难.教师应以数轴为知识储备.
本节课的教学难点确定为：平面直角坐标系的概念的生成.
怎样突破：从学生生活实际出发创设情境，引导学生发现、分析并解决问题，利用探究式教学突出重点、突破难点.
四、教学支持条件分析
利用国庆联欢活动中确定某一位置为载体，创设问题情境，更能激发学生的学习兴趣，并利用多媒体辅助教学能够更直观地呈现问题，并帮助学生更好地进行数学抽象和直观想象，最终抽象出数学模型.
五、教学过程设计
（一）创设情境，引入新知
国庆联欢活动中，大型动态图形表演气势恢宏、令人难忘，这一幅幅流光溢彩的画面的呈现主要是通过3290名演员不断移动自己的位置实现的，所以在这个活动中表示位置尤为重要.
问题1
你能描述这个演员在这一排中的位置吗？
师生活动：教师提出问题，学生可能会用语言描述位置，教师引导学生从语言中抽象出数字，这个数字就是规定基准点、方向和单位长度后表示这个点的数字，即建立数轴.
追问（1）
有了数轴，你是否可以用一个数字描述这条直线上的任意一点的位置？反之，当给出一个数时，在数轴上是否可以确定一个点的位置？
师生活动：教师提问，学生得出肯定的答案，并引导学生得出数轴上点的坐标的定义：数轴可以使直线上的任意一点用一个数字来表示，这个数就叫做这个点的坐标.
追问（2）
以上问题说明，借助数轴，直线上的点和实数有怎样的关系？
师生活动：教师提问，学生回顾直线上的点和实数的一一对应关系，
设计意图：从实际生活出发，在回顾旧知的基础上，给出数轴上点的坐标的定义，重温借助数轴建立了直线上的点和实数的一一对应关系.
（二）合作探究，生成概念
问题2
如果这个演员在方队中点A的位置，你能表示点A的位置吗？如果在组成下一个画面时，这位演员需要移动到点B的位置，没有了列数和排数的参考，你能表示点B的位置吗？能否找到一种办法，表示平面内任意一点的位置？
师生活动：学生结合手中的学案进行合作探究.
追问（1）
这两条数轴具有什么特征呢？
师生活动：教师引导学生总结平面直角坐标系：平面内两条互相垂直，原点重合的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴称为x轴（横轴）,取向右为正方向，竖直的数轴称为y
轴（纵轴）,取向上为正方向，这两条数轴统称为坐标轴，它们的交点为平面直角坐标系的原点，一般情况下，两坐标轴所取的单位长度是一致的.
设计意图：在学生已有的储备知识：有序数对、数轴的基础上，以确定平面内点的位置为目的，让学生在解决实际问题的过程中，生成平面直角坐标系及其相关概念.
问题3
建立了平面直角坐标系后，我们如何用有序数对表示平面内点的位置呢？
师生活动：教师引导学生思考，在平面直角坐标系中，想要确定表示点的有序数对，就是要确定构成有序数对的这两个数字，即分别表示这个点水平位置和竖直位置的数字，怎样在坐标轴上确定表示这个点的水平位置和竖直位置的点呢？结合过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的储备知识，所以分别向两坐标轴做垂线，垂足的对应的数字分别就是横坐标和纵坐标，横坐标在前，纵坐标在后，这个有序数对就叫做点的坐标.
设计意图：加深对平面直角坐标系的理解，探究如何使用新的工具，生成坐标的概念，感受一维空间下点的坐标与二维空间下点的坐标的区别，提升学生运用知识的综合能力.
（三）实践探究，深化概念
学生活动1：在一个平面内，有点A、B、C、D、E、F、O，你能以起点O为坐标原点，建立平面直角坐标系（每个小正方形的边长为1）确定这些点的坐标吗？
追问（1）
借助平面直角坐标系，是否平面内任意一点都有一个确定的坐标？
师生活动：学生按照要求作图，教师观察各小组作图情况，并用课件出示以点O为坐标原点的平面直角坐标系，学生回答：A(1,2),
B(-1,4),
C(-3,-1),
D(2,-3),
E(3,0),
F(0,-2.5)
,O(0,0).得出结论：平面内任意一点都有一个确定的坐标.
设计意图：深化对坐标的理解，熟练使用工具，为后面生成一一对应作铺垫.
学生活动2：在平面直角坐标系中找到下列各点．
M（4，5）；N（-2，3）；P（-4，-1）；Q（2.5，-2）；H（0，3）
追问（2）
在平面直角坐标系中，任意一个坐标都能找到它所对应的一个确定的点吗？
师生活动：教师引导学生讲解找到点M的方法，其余点鼓励学生独立找到，通过实践，达成共识，任意一个坐标都能找到它所对应的一个确定的点.
设计意图：锻炼学生逆向思维的能力，进一步加深对坐标的理解，为后面生成一一对应作铺垫.
追问（3）
通过以上两个活动，你能发现在平面直角坐标系下，平面内的点和有序数对具有怎样的对应关系呢？
师生活动：教师引导学生得出结论：平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应.
设计意图：借助平面直角坐标系由点来确定坐标并由坐标确定点，生成平面直角坐标系中的点和有序实数对的一一对应关系，通过活动生成概念.
师生活动：教师播放视频，学生通过观看视频了解笛卡尔创建平面直角坐标系的过程.
设计意图：通过了解数学史的过程激发学生学习数学的兴趣.
（四）观察思考，发现规律
继续观察刚才练习中出现的12个点的坐标，把点按照坐标的符号分类，学生通过
观察发现，同一类别的点分布比较集中，坐标为0的点都分布坐标轴上，其他的点都分布在被坐标轴分成了几个部分中，每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，同一类别的点都分布在同一象限.
问题4
你能观察到点分布的位置和坐标的特征有什么规律吗？
师生活动：教师引导学生思考：每个象限内点的坐标有什么规律？不属于任何象限的坐标轴上的点的坐标有什么规律？学生小组讨论得出结论：第一象限内点的横纵坐标都为正数，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正，第三象限内点的横纵坐标都为负数，第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负.x轴上的点的纵坐标为0,
y轴上的点的横坐标为0，原点O的横,纵坐标都是0.
设计意图：通过对点的坐标进行分类，体验分类思想；经历由特殊到一般的过程，给出象限的概念并探索点的坐标特征与分布位置的规律，深化对平面内的点和有序数对的一一对应关系的理解.
学生活动3
老师给出一些点的坐标，看看谁能快速又准确地说出这些点所在的位置.
抢答：（-1,2），（3，6），（-4，-5），（5，-2），（0，3），（-9，0）
师生活动：学生说出答案：第二象限，第一象限，第三象限，第四象限，y轴，x轴.
设计意图：结合平面内的点和有序数对的一一对应关系，巩固规律，深化概念.
（五）梳理知识，提升思维
平面直角坐标系虽然是一个新的知识，但我们探究它的过程并不陌生，完全都是仿照我们探究数轴时的思路和方法，所以平面直角坐标系就是数轴的升级版，数轴解决了用数表示一维直线上的点的位置，而平面直角坐标系实现了用有序数对表示二维平面内的点的位置，点可以构成图形，而数对也可以看做是方程的解，所以平面直角坐标系还架起了代数和几何的桥梁，一些抽象的代数问题我们可以借助图形直观理解，一些较难的几何问题也可以借助代数的方法去解决，这就是我们以后学习解析几何的基础。同学们能最后再帮老师想一个办法，确定空间内的一点的位置吗？要表示空间内的一点需要几个数字呢？感谢大家本节课帮老师解答了这么多的问题，最后老师送给大家两句话，纵横交贯定乾坤，见微知著睹始终，希望大家通过本节课的探究，学会在生活中发现数学，探索规律，追本溯源，掌握数学本质。
设计意图：通过梳理本节课所学内容，理解本节课的核心——平面直角坐标系中点与坐标的一一对应关系，揭示平面直角坐标系的价值及作用，感受数形结合的思想.
六、目标检测设计
1.在平面直角坐标系中，A，B点的位置如图．
(1)写出A，B两点的坐标；
(2)若C(－2，－3)，D(3，0)，请在图示的平面直角坐标系中标出C，D两点．
2.在平面直角坐标系中，点P(1.5，－5)在(
)
第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3.已知坐标平面内点A(m,n)在第四象限，那么点B(n,m)在（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为(4，3)，(－2，1)，则表示棋子“炮”的点的坐标为(
)
A.(－3，3)
B.(3，2)
C.(0，3)
D.(1，3)
设计意图：考查学生对本节课内容的掌握.
《平面直角坐标系》课例点评
“平面直角坐标系”作为确定平面内点的位置的重要工具，是初中学生学习过程中的重点内容之一，这部分内容的掌握使学生在思维上实现了从一维到二维的飞跃。本节课从建国70周年联欢活动中的数学问题入手，经过小组合作探究的学习方式来突出教学重点，突破教学难点.在教师引导下通过观察、研讨、思考、作图、归纳等方法完成“平面直角坐标系”的有关概念生成，达到教学目标的实现.
本节课突出的地方有以下几点：
从建国70周年联欢活动中的数学问题入手，利用大型动态图形表演中的数学问题，在学生积极高涨的状态下引课，不但能激发学生的爱国情怀也激发了学生的学习兴趣，同时也达到提出问题的目的.
在平面直角坐标系有关概念生成的过程中，借助大型动态图形表演中确定位置提出问题，立足基本学情，让学生有思考，使学习能真正发生，打造高效课堂，进一步体会学数学的价值。
注重学生认知基础，从数轴上的实数表示一维直线上的点，过渡到二维平面上的点的表示方法，这一过程中.利用类比的方法，采取小组合作的方式进行了探究，让学生真正体会到“平面直角坐标系”是表示平面内点的位置的重要工具.
4.在概念生成的过程中体现数学思想的渗透，始终围绕从特殊到一般的研究问题的学习过程.学生经历了数轴上的点和实数是一一对应的，再到平面上的点和有序实数对是一一对应的探究过程.增加了数学思维的活动量，有利于学生学习能力的形成与发展，是思维、思想、方法的高度融合.
5.由坐标系到点的坐标再到象限的生成，体现了教师对数学教学的严谨态度，不断将数学的分类思想、数形结合思想、渗透给学生，在这个过程中教师能把时间和空间留给学生，让学生不断地参与，不断的思考和争论，教师将学生的主体地位提升到了较高的层面，让数学素养落地生根.
6.教师没有把做题做为本节课的重点，重心放在了知识的形成过程，教给学生解决问题的方法，激活学生思维活力，提升学生思维品质，促进学生能力的发展.
7.小视频中对笛卡尔的介绍，让数学文化走入学生心中，与建国70周年联欢活动中的数学问题融为一体，是现代与历史的碰撞，古典与现代的交融，学有用的数学，数学就在我们身边.
不足之处：学生在表述过程中语言不够标准、严谨，本节课如果能更好地关注学习相对比较薄弱的个体，给他们更多的个性化指导，激发他们的兴趣和动机，可能教学效果会更好.
第十一届初中青年数学教师优秀课展示活动
