课题：5.1认识二元一次方程组
授课教师：李颖
所在学校：辽宁省朝阳市第一中学
第五章
二元一次方程组
5.1认识二元一次方程组
辽宁省朝阳市第一中学
李颖
一、教学内容及其解析
1.教学内容
本节是北师大版八年级数学上册第五章二元一次方程组的第一节，本节内容安排1个课时.具体内容是：让学生通过对实际问题的分析，进一步体会方程的模型思想，同时理解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念.
2.内容解析
本节既是一元一次方程的延续,又是进一步学习本章后续内容（解二元一次方程组、应用二元一次方程组、二元一次方程与一次函数、用二元一次方程组确定一次函数表达式、三元一次方程组）的前提，同时也是学习物理、化学等其他学科知识的一个重要基础，因此本节具有承上启下的作用.列方程（组）解应用题是联系实际的重要方面，突显了方程作为一种数学模型的重要特征，这既是培养学生逻辑思维能力的载体，也是培养学生应用意识和实践能力的良好题材.
基于学生对一元一次方程理解的基础上，本节从实际问题出发，通过类比完成概念的归纳，培养学生归纳概括的能力，突出强调建模思想，展现方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.
因此，确定本节的教学重点是：理解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念，进一步体会方程的模型思想.
二、教学目标及其解析
课程标准对本节的具体要求是探索具体问题中的数量关系，能根据数量关系列出方程，体会模型思想，建立符号意识.通过本章的学习，使学生经历从实际问题中抽象出二元一次方程（组）的过程，并会解简单的二元一次方程组，从而初步理解化未知为已知和化复杂问题为简单问题的化归思想.发展灵活运用有关知识解决实际问题的能力，培养良好的数学应用意识.根据课程标准，结合学生实际，我确定本节的教学目标如下：
1.教学目标
（1）通过对实际问题的分析，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.
（2）理解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念,
会判断一组数是不是二元一次方程组的解.
2.目标解析
达成目标（1）的标志是学生能够从贴近生活的现实情境中分析数量关系，通过设未知数，建立方程模型，培养学生分析问题、解决问题的能力.在突出重点、突破难点的教学中，学生能够自主思考，完善实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组.
达成目标（2）的标志是认识二元一次方程（组），会判断一组数是不是二元一次方程组的解.提高对“元”和“次”的认识，同时逐步培养了类比分析和归纳概括的能力.
三、学生学情分析
1.学生已有的基础
学生在七年级已学过一元一次方程，已理解“元”和“次”的含义，经历过由具体问题抽象出一元一次方程的过程，初步感受了方程的模型作用，并积累了利用方程解决实际问题的经验.
2.学生面临的问题
要想达成本节课的教学目标，需引导学生发现新方程，归纳有关新概念,使学生逐步建立方程的知识体系.学生可能对应用题有畏难心理，觉得找等量关系很困难.但本节所涉及的实际问题均为学生所熟悉的情境,容易被学生接受和理解,也容易建立相应的数学模型,这一困难便可消除.但对学生来说，对二元一次方程（组）解的理解是有难度的，尤其是对二元一次方程组解的理解，这一点需要在教师的帮助下消除.因此，本节课的教学难点是：对二元一次方程组解的理解.为突破难点，我首先引导学生分析同一字母所代表的含义，再通过列举数值、填表等活动，使难点分散.
四、教学策略分析
1.“鸡兔同笼”是学生熟知的贯穿于小学、初中的一道经典问题，学生能很轻松地用算术、一元一次方程解决，甚至有的同学可以列出二元一次方程组，用这个问题引出课题自然、流畅.有趣的“谁的包裹多”和贴近生活的“公园门票”问题，学生很容易找到等量关系，列出方程，体会方程的模型思想，同时也为后续相关概念的探究提供了素材.
2.本节二元一次方程概念中同样有“元”和“次”的含义，教学中我让学生类比一元一次方程，采用自主探究和小组交流的方式，对所列方程特征进行观察、比较，从而归纳出二元一次方程的概念.
3.基于学生对一元一次方程的理解，并积累了利用方程解决实际问题的经验，本节引导学生从实际问题出发，设计以下问题：（1）观察所列方程，它们有什么共同特征？（2）两个方程中未知数的含义是否分别相同？（3）能否找到满足方程的一组未知数的值 （4）能否找到同时满足两个方程的一组未知数的值？通过“问题串”的探究，归纳出二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念.
4.对于学优生在小组讨论中，集思广益，引导他们自主探究出本节的重点概念；对于学困生主要采取提出质疑、同学互解，达到理解概念的目的.
5.对不同层次学生采用不同的教学方法，培养学优生从多角度分析问题，解决问题的能力.同时，使学困生在问题消除后，也获得了成功的喜悦，提高了学习兴趣.真正实现了让不同学生得到不同层次的发展.
五、教学过程设计
（一）创设情境，引入新课
【教师活动】
问题：我国古算名题：
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
这个问题，你见过吗？
【学生活动】
学生独立思考，分析后书写解题过程，投影展示、学生讲解.
【设计意图】
以经典的古算题“鸡兔同笼”拉开了本节的序曲.引入学生熟知的情境，可以激发学生的学习兴趣.学生可能用小学的算术方法、七年级的一元一次方程.如果学生没有列出二元的，教师应进一步引导学生观察问题中有几个未知量、几个等量关系，进而引导学生设两个未知数，列出二元的方程.如果有的学生已经列出二元的，通过两种方程的比较，引发思考，从而顺理成章地引出章标题.通过回忆一元一次方程的学习内容（定义、解法、应用），提出这一章也要学习上述内容，这节课先认识二元一次方程组，从而佷自然地导入课题.
（二）探究新知，形成概念
探究活动1二元一次方程、二元一次方程组的概念
情境1：
【教师活动】
一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个.”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”它们各驮了多少包裹呢？
问题：这个问题要求几个量？
教师注意引导学生根据老牛和小马的对话，探索出其中的等量关系，依据等量关系列出含有未知数的方程.
【学生活动】
学生先独立思考，代表发言.
学生：设老牛驮了个包裹，小马驮了个包裹.老牛驮的包裹数比小马驮的多2个，可列方程：，若老牛从小马背上拿来1个包裹，就是小马的两倍，可列方程：.
【设计意图】
以生动有趣的老牛、小马的对话引入，可以激发学生的学习兴趣，让学生体会生活中无处不在的数学问题，让学生再次经历建模的过程.
情境2:
【教师活动】
昨天，我们8个人去红山公园玩，买门票共花了34元.每张成人票5元，每张儿童票3元.到底去了几个成人、几个儿童呢？
问题：这个问题要求几个量？
【学生活动】
学生先独立思考，代表发言.
学生：设去了个成人，个儿童.根据题意得，
【设计意图】
以贴近生活的问题情境引入，引导学生通过分析问题中的等量关系，列出含有两个未知数的方程，进一步体会方程的模型思想，同时为后续关于二元一次方程的讨论提供了素材.
在问题情境中，如果有学生认为用一元一次方程也可以解答，教师要肯定其做法，并将答案保留下来，放到第二节二元一次方程组解法的学习中去，让学生更有学习的好奇心与积极性.
【教师活动】
问题：上面的问题中，我们分别得到方程
这些方程有什么共同的特征呢？
【学生活动】
学生先独立思考、再合作交流，通过观察、分析、比较所列方程的特征，类比一元一次方程，归纳出二元一次方程的概念.
【设计意图】
由数学情境挖掘数学本质属性，去掉问题背景，发现所列方程的共性，归纳出二元一次方程的概念，即含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.教师引导学生剖析概念中的关键词，体会“所含未知数的项的次数”，进一步加深对概念的理解.
【教师活动】
练习：下列方程是二元一次方程吗？为什么？
【学生活动】
学生独立思考，回归概念，作出判断.
【设计意图】
进一步巩固对二元一次方程概念的理解.提高对“元”和“次”的认识.
【教师活动】
上面的方程中的含义相同吗？呢？
【学生活动】
学生思考后回答的含义分别相同,并指出分别代表什么含义.
【教师活动】
的含义分别相同，因而必须同时满足这两个方程，把它们用大括号联立起来，得，这样就组成了一个二元一次方程组.例如，“鸡兔同笼”、“谁的包裹多”问题中的含义也分别相同，也可以写成这样的形式和
【学生活动】
学生自己观察、比较，师生共同得出概念.
【设计意图】
引导学生体会两个方程中所代表的含义分别相同，且需要同时满足两个方程.从而得出二元一次方程组的概念：像这样，共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.通过对概念中关键词的分析，体会“共”的含义，进一步巩固对概念的理解.
【教师活动】
练习：下列方程组是二元一次方程组吗？为什么？
【学生活动】
学生依据概念，作出判断，举手作答.
探究活动2二元一次方程的一个解、二元一次方程组的解的概念
【教师活动】
问题1：你能找到适合方程的的值吗？
问题2：你是如何找的？
问题3：完成表格：
【学生活动】
学生先列举出的值，并阐述方法：确定一个值就能求出一个值；确定一个值就能求出一个值，体会这样的值可以找到无数组，然后完成表格.
【教师活动】
问题4：你能用同样的方法找到适合方程的的值吗？
问题5：完成表格：
问题6：你能类比一元一次方程的解，说一说什么是二元一次方程的解吗？
【学生活动】
学生找到的值，完成表格.通过类比，归纳二元一次方程解的概念:适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解.
【设计意图】
由学生归纳概括二元一次方程的解的概念，提高学生的语言表达能力.让学生体会二元一次方程有无数解，而由表格可观察出两个二元一次方程的公共解，很自然地引入二元一次方程组解的概念:二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.二元一次方程组的解也是基于同一字母代表同一个含义，这样对于每个方程来讲相同字母才是一样的,教师应引导学生体会这一点.
【教师活动】
问题7：再回到“鸡兔同笼”的问题中，观察、比较两种方法.
一元一次方程的方法：
二元一次方程组的方法：
思考：能否用一元一次方程的解来验证是不是二元一次方程组的解呢？
【学生活动】
学生快速口算验证，发现是二元一次方程组的解.
【设计意图】
利用学生已解出的答案来验证，学以致用，进一步加深对二元一次方程组解的理解，体会数学知识的联系性，同时也巧妙地首尾呼应.
【总设计意图】
概念教学的核心是引导学生开展概念活动，首先以实际背景为载体，然后隐去背景挖掘其本质属性，抽象概括出共同的本质特征，从而归纳出数学概念，强调学生经历概念的得出过程，体会概念形成的一般方法.
【教师活动】
练习：
1.下列4组数值中，哪些是二元一次方程的解？
（1）
（2）
（3）
（4）
2.二元一次方程组的解是（
）
（1）
（2）
（3）
（4）
3.写出二元一次方程的所有正整数解.
【学生活动】
学生独立思考及小组交流,代表讲述方法，说明理由.
【设计意图】
1题：四个中有三个都是这个方程的解，再次体会二元一次方程有无数个解.
2题：鼓励学生采用多种方法求解.
3题：让学生知道二元一次方程的解有无数个，但某些二元一次方程的正整数解却有有限个，从而进一步巩固对概念的理解.
巩固训练，检测目标
【教师活动】
1.若是二元一次方程，则
，
.
2.写出一个以为解的二元一次方程
.（答案不唯一）
3.如果是方程组的解，那么
，
.
【学生活动】
学生分析、思考，代表回答.
【设计意图】
检验对二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念的理解.
(四)课堂小结，深化提升
1.本节课我们学习了哪些概念？
2.通过本节课的学习，你还想学习哪些知识？
3.本节课用到了哪些数学思想方法？
【设计意图】
1.通过回顾本节的知识和数学思想方法，发展学生归纳总结能力，发挥学生的主体作用，.
2.学生谈一谈还想学习的内容，为本章后续的学习埋下伏笔，形成知识体系.同时也是今后研究分式方程、一元二次方程基本的思路.
（五）布置作业,分层训练
基础题：习题5.1
1、2、3
提高题：习题5.1
5
【设计意图】
分层作业既可以使优等生更上一层楼，又可以调动学困生学习的积极性，有利于学生保质保量的完成作业，提高了学习的兴趣.
课堂教学目标检测
通过二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念习题的练习，检测学生对本节重点概念的理解，提高对“元”和“次”的认识.实现对教与学的及时反馈和纠正.
在突出重点、突破难点的教学中，设置有针对性的习题，通过自主探究及合作交流，让不同层次的学生都学有所得.
5.1认识二元一次方程组
点评稿
本节“认识二元一次方程组”是北师大版八年级上册第五章第一节的内容.李老师这节课没有百出的花样形式，但都是让学生在演绎自己的思维，真正以学生为主体，呈现学生思维的碰撞，激发学生的思考。
以学生熟知的“鸡兔同笼”拉开本节的序曲，这是一道贯穿小学、初中的经典古算题。同学们用不同方法求解并讲解，发现了与一元一次方程不同的新方程，此时引入课题恰到好处，自然流畅，语言精准到位。随后李老师又带学生进入“谁的包裹多”的问题情境。两名同学的表演生动有趣，极大地激发了学生学习的积极性。引导学生设两个未知数，根据等量关系列出方程，感受方程模型，接着教者引入身边的“公园门票”的实际问题。学生独立思考，根据等量关系列出方程，观察特征，通过交流探索，成果展示，总结分享，抽象概括出相关概念。问题情境自然引入，让学生初步感知，某些实际问题设两个未知数列两个方程会很快捷。
概念的得出及剖析概念是在得出的方程中进行的，自然，一目了然。尤其是判断是不是二元一次方程组的解时，又回到“鸡兔同笼”的问题中，利用学生一元一次方程的解来验证二元一次方程组的解，首尾呼应，是画龙点睛之笔。
通过辨析练习，使学生的思维不断被激发，在学生的各种质疑和纠错中，加深对概念理解。
李老师最后的小结恰到好处，本节课是继一元一次方程后学习的一类新方程，学生通过谈一谈还想学习的内容，呈现了研究所有方程的一般思路，为接下来方程组相关知识的学习做好铺垫。
辽宁省朝阳市教师进修学院
于士荣
第十一届初中青年数学教师优秀课展示与培训活动教学设计(共20张PPT)
5.1认识二元一次方程组
辽宁省
朝阳市第一中学
李颖
目录
CONTENTS
二、
教学目标
三、
学情分析
四、
教学策略
五、
教学过程
一、
教学内容
一、教学内容及其解析
本节既是一元一次方程的延续，又是进一步学习解二元一次方程组、应用二元一次方程组的前提，同时也为物理、化学等其他学科的学习奠定了基础.因此，在义务教育阶段的数学课程中占有重要的地位.基于学生对一元一次方程理解的基础上，本节从实际问题出发，通过类比完成概念的归纳，培养学生归纳概括的能力，突出强调建模思想，展现方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.
教学重点
理解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念，进一步体会方程的模型思想.
问题情境
模型思想
符号意识
二、教学目标及其解析
01
02
03
二元一次方程组
解二元一次方程组
应用二元一次方程组
化未知为已知
化复杂为简单
应用意识
经历从实际问题
抽象出二元一次
方程组的过程
二、教学目标及其解析
1.通过对实际问题的分析，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.
2.理解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念，会判断一组数是不是二元一次方程组的解.
三、学生学情分析
认知基础
一元一次方程
一元一次方程的解
二元一次方程组的解
已理解“元”和“次”的含义，经历过由具体问题抽象出一元一次方程的过程，初步感受了方程的模型作用，积累了利用方程解决实际问题的经验.
已理解一元一次方程解的含义
对抽象概念的理解能力有待于提高
难点
同一字母代表的含义
列举数值
填表活动
教学难点
对二元一次方程组解的理解.
培养了学优生从多角度
分析问题；学困生在问
题消除后也获得了成功
的喜悦，提高了学习兴
趣.实现了让不同学生得到不同层次的发展.
通过“问题串”的
探究，归纳相关概念
学优生通过小组讨论，集思广益，自主探究概念；学困生提出质疑、同学互解，达到理解概念的目的.
通过实际问题的分析，进一步体会模型思想，为相关概念的探究提供素材.
教学策略
四、教学策略
采用自主探究、合
作交流的方式，观察、比较所列方程的特征，归纳概念.
（一）创设情境，引入新课
鸡兔同笼
五、教学过程
算术方法
一元一次方程
师生
互动
通过两种方程的比较
引发思考，引出课题
二元一次方程
创
设
情
境
五、教学过程
学生经历概念的得出过程，体会概念形成的一般方法
谁的包裹多
公园门票
情境1
情境2
方程模型
数学概念
观察
比较
五、教学过程
探究活动（一）
探究活动（一）
五、教学过程
探究活动（二）
寻找满足方程的
一组未知数的值
数学概念
鸡兔同笼
学以致用，体会数学知识的联系性
归纳
探究活动（二）
五、教学过程
（三）巩固训练
有针对性
质疑、纠错
因材施教
巩固概念思维升华
实现对教与学的及时反馈与纠正
巩
固
训
练
本节课我们学习了哪些概念
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（四）课堂小结，深化提升
通过本节课的学习，你还想学习哪些知识
本节课用到了哪些
数学思想方法
加深理解
培养能力
主体作用
奠定基础
课
堂
小
结
教育是缺憾的美，
希望得到专家评委的指导！
谢谢！
