(共13张PPT)
义务教育教科书数学湘教版
七年级上册
一元一次方程模型的应用
益阳市安化县东坪镇中学
彭珺
今年暑假学校聘请了专业的施工队,将操场上的跑道改造成了塑胶跑道.
已知操场的跑道总长为420米,计划平均每天修42米,计划完成这项工程需多少天？
解应用题
一元一次方程模型的应用
学习目标
1.知道工程问题中基本量之间的关系；
2.根据工程问题中的等量关系,能建立一元一次方程模型,会运用一元一次方程解决实际生活中问题.
东坪中学要修一条塑胶跑道,甲工程队单独完成需要15天,乙工程队单独完成需要10天.
阅读《自学资料》,然后完成《自学检测》.
自学检测
思考：(1)甲每天完成全部工作的
；
乙每天完成全部工作的
；
(2)甲x天完成全部工作的
；
乙x天完成全部工作的
.
8月18日,东坪中学对修塑胶跑道这项工程招标.应聘单位有两家.甲队单独完成要15天,乙队单独完成要10天.但工程前期准备和验收预计共需要4天,学校9月1日开学必须使用,如果你是负责人,你有什么好办法？
分析
本问题涉及的等量关系式有：
方法1：工作效率之和×工作时间=工作总量.
答：两队合修6天完成.
解得
解
设两队合修需要x天完成,根据等量关系,得
例1
修建一条塑胶跑道,甲队单独完成要15天,乙队单独完成要10天.两队合修需要多少天完成？
解得
方法1：
方法2：
方法2：甲的工作量+乙的工作量=工作总量.
接下来做什么？
甲的工作量+乙的工作量=工作总量.
分析
本问题涉及的等量关系式有：
解
设修好跑道还需要x天,根据等量关系,得
解得
答：修好跑道还需要5天.
例2
修建一条塑胶跑道,甲队单独完成要15天,乙队单独完成要10天.甲乙两队合修3天后,甲队因学校另有任务安排,剩下工作由乙队完成,则修好跑道还需要几天？
甲乙合作的工作量+乙的工作量=工作总量.
方法1：
方法2：
方法1：
方法2：
解得
运用一元一次方程解决工程问题的步骤有哪些？
8月18日,学校对修塑胶跑道这项工程招标.应聘单位有两家.甲队单独完成要15天,乙队单独完成要10天.甲乙两队合修3天后,甲队因学校另有任务安排,剩下工作由乙队完成.学校9月1日开学能使用吗？(工程前期准备和验收预计共需4天.)
解
根据题意得,设剩下工作还需要x天完成.
解得
答:工程可在8月30日完工,9月1日开学能使用.
则完成的日期为：18+3+5+4=30,能按时完成.
1.一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天.如果由这两个工程队从两端同时施工，要x天可以铺好这条管道？
本题涉及的等量关系为
.
根据题意可列出方程为
.
甲的工作量+乙的工作量=工作总量
或甲乙工作效率之和×工作时间=工作总量
2.某工程由甲、乙两队完成,甲队单独完成需16天,乙队单独完成需12天.如先由甲队做4天,然后两队合作,问再做x天后可完成工程的
？方程可列为（
）.
B
1.利用一元一次方程模型解决实际问题的关键是找到等量关系：
工作效率×工作时间=工作总量（“1”）
各部分工作量之和=工作总量（“1”）
2.利用一元一次方程模型解决实际问题的基本步骤：
审、设、列、解、验、答.
1.(必做题)整理一批图书,如果让男生单独整理,需要4小时完成;如果让女生单独整理,需要2小时完成.实际安排一起整理1小时后,剩余整理任务由女生单独完成,还需多长时间
2.(选做题)某茶厂包装一批安化黑茶,若一个人做要40小时才能完成.现在计划由一部分人先做4小时,再增加2人和他们一起做8小时完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，则应先安排多少人工作4小时？湖南省益阳市安化县东坪镇中学
义务教育教科书数学湘教版
七年级上册
第十一届初中青年数学教师优秀课展示与培训活动
教学设计
课
题：《一元一次方程模型的应用-工程问题》
执教者：彭珺
单
位：湖南省益阳市安化县东坪镇中学
时
间：2019年10月15日
《一元一次方程模型的应用-工程问题》
湖南省益阳市安化县东坪镇中学
彭珺
一、教学内容及其解析
1.本课教学内容
湘教版《义务教育教科书数学》七年级上册第三章的内容.
2.本课所在单元的教学分析
方程是人们探索世界的有力数学工具.在解决许多日常生活问题时，常常需要根据其中的等量关系建立方程并解方程.学习本课前已经学过解一元一次方程和由实际问题列一元一次方程．本节课是在此基础上进一步学习如何用一元一次方程解决工程问题．通过本节课对工作总量“1”的理解和列一元一次方程解决实际问题的思维方法，逐步提升学生“数学抽象与数学建模”的素养，为学生以后学习用二元一次方程组、分式方程以及一元二次方程解决实际问题打下良好的基础．
3.本课教学内容的重点
建立一元一次方程模型解决实际问题中的工程问题.
二、教学目标及其解析
结合《初中数学新课程标准（2011版）》的总体目标中提出的让学生“经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基础技能”，因此将教学目标定位于以下三个：
1.知识与能力:能用一元一次方程解答实际生活中的工程问题，包括分析等量关系建立方程模型、解方程，并能根据实际问题的意义检验所得解的合理性.
2.过程与方法:经历“从现实情境中抽象出问题,然后用数学观点解释问题,继而转换为数学符号语言,最后形成知识体系”的全过程,体会数学建模的价值.
3.情感态度：通过将地方特色与数学问题相结的方式，即培养了学生建立认识、理解和处理实际生活中数学问题的能力，又引导学生发现家乡的特色.
三、学生学情分析
初中阶段是人的一生中一个重要的阶段，初一的学生从抽象逻辑思维来看，已经开始占有优势,刚入初中的他们对数学有强烈的好奇心和求知欲，敢于发表自己的想法，有一定处理问题的能力.但本节课的学习要求学生具有较强的分析能力，需要具备从具体的情景中站在数学的角度发现问题和提出问题的能力.因此从数学角度看待实际问题，分析工程问题的等量关系，建立一元一次方程模型成为了本节课的难点.为突破教学难点，教师从实际问题导入新课，引导学生回顾已经学过的知识，从熟悉的知识入手，层层递进，进而引导学生经历从不同的角度寻求分析问题和解决问题的方法，经历一个“数学建模”的过程，获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识，学会与他人合作交流.
教学策略分析
1.联系生活实际，从学生身边的事情创设情景，将陌生的内容从熟悉的知识入手，将一个实际问题经历多种变化，高效率地掌握数量之间的关系，找到等量关系，这种“低起点、慢节奏、重引导、快总结”的方式，让学生轻松学习.
2.“分析实际问题中的数量关系，并表示工程问题的等量关系，建立方程模型”是始终贯穿全课的主线，紧扣教学重点，采用启发式教学法、小组合作法、练习交流法、自主学习法等多种教学方法相结合，同时鼓励学生采用多种方法分析和解决问题.
3.为了帮助学生突破难点，教学中都增加了分析等量关系的部分，从已知条件中找到关键词或关键句分析，目的就是分散难点，帮助学生理解问题中的数量关系；当堂练习采用分层设计，这样对不同认知基础的学生提供相应的学习机会.
4.让学生能够比较完整地经历一个“从现实情景中抽象出问题，然后用数学观点解释问题，再转换为数学符号语言，最后形成知识体系”的全过程，并鼓励学生用自己的语言进行表述，勇于上台板演解题过程.
五、教学过程设计
（一）复习旧知
已知操场的跑道总长为420米,计划平均每天修42米,计划完成这项工程需多少天？
【设计意图】旧知识是新知识的基础，根据学生已有的知识状况进行教学，并在此基础上提高，促进知识的系统化，发展学生的思维能力.
（二）学
阅读《自学资料》，然后完成《自学检测》.
自学检测
东坪中学要修一条塑胶跑道,甲工程队单独完成需要15天,乙工程队单独完成需要10天.
思考：(1)甲每天完成全部工作的
；
乙每天完成全部工作的
；
(2)甲x天完成全部工作的
；
乙x天完成全部工作的
.
【设计意图】通过题中的关键词或关键句找到数量关系列出代数式，理清各个量之间的关系，为解决列1打基础..
（三）问题导入
8月18日,东坪中学对修塑胶跑道这项工程招标.应聘单位有两家.甲队单独完成要15天,乙队单独完成要10天.但工程前期准备和验收预计共需要4天,学校9月1日开学必须使用,如果你是负责人,你有什么好办法？
【设计意图】数学课程标准要求：“使学生体验从实际背景中抽象出数学问题，构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程.”因此，我首先选取“学校修塑胶跑道”创设教学情景，向学生征求解决方案，激发学生思考，得出合作完成是最佳方案，自然地引入例1，培养学生从数学的角度看待问题.
（四）导
例1
修建一条塑胶跑道,甲队单独完成要15天,乙队单独完成要10天.两队合修需要多少天完成？
分析
本问题中涉及的等量关系有
方法1：工作效率之和×工作时间=工作总量;
方法2：甲的工作量+乙的工作量=工作总量.
解
设两队合修需要天完成，根据等量关系，得
方法1：
方法2：
解得
，
解得
，
答：两队合修需要6天完成.
【设计意图】本节课教学的难点是“找实际问题中的等量关系，建立一元一次方程模型”.因此为了突破教学难点，先引导学生审题，通过题中的关键词或关键句找到已知量和未知量，根据数量关系列出代数式，最后利用等量关系，把文字等式列成方程，启发学生用数学的思维方法思考问题，同时培养学生“数学抽象、数学建模”的素养.
例2
修建一条塑胶跑道,甲队单独完成要15天,乙队单独完成要10天.甲乙两队合修3天后,甲队因学校另有任务安排,剩下工作由乙队完成,则修好跑道还需要几天？
分析：本问题中涉及的等量关系有
方法1：甲乙合作的工作量+乙独做的工作量=工作总量.
解
设修好跑道还需要天，根据等量关系，得
，
解得
，
答：修好跑道还需要5天.
方法2：甲的工作量+乙的工作量=工作总量.
解
设跑道修好还需要天，根据题意，得
解得
答：修好跑道还需要5天．
【设计意图】例1是简单合作的工程问题，而例2却是较复杂的实际问题，学生也许不能直接找到问题中的等量关系，因此分析时，一定要对应工程每一阶段的工作效率和工作时间来确定独做或合作的工作总量，为学生找到等量关系设置好台阶和基础；尤其对学生容易产生困惑的地方分析更为详细，教师也可以借此向学生说明遇到较为复杂的实际问题时，可以先分步思考问题中的基本的、简单的等量关系，再综合各个等量关系列出方程.利用数学方法解决问题,逐一击破难点.
（五）议
运用一元一次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？（请生上台贴顺序）
1.审题，分析题意，寻找等量关系；
2.设未知数；
3.根据等量关系建立方程模型；
4.解方程，求出未知数的值；
5.检验；
6.作答.
【设计意图】设计“议一议”环节，是为了让学生在体验建立一元一次方程模型解决实际问题后，及时归纳步骤，帮助学生构建知识体系，体会数学建模的价值，同时为练习奠定理论基础.
（六）拓展延伸
8月18日,学校对修塑胶跑道这项工程招标.应聘单位有两家.甲队单独完成要15天,乙队单独完成要10天.甲乙两队合修3天后,甲队因学校另有任务安排,剩下工作由乙队完成.学校9月1日开学能使用吗？（工程前期准备和验收预计共需4天.）
【设计意图】数学源于生活，也将回归于生活，引导学生学会将实际问题“数学化”，引导学生发现方程的解是否符合实际，通过数学学习建立认识、理解和处理实际问题的能力.
（七）课堂检测
1.一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天.如果由这两个工程队从两端同时施工，要x天可以铺好这条管道？
本题涉及的等量关系为
.
根据题意可列出方程为
.
2.某工程由甲、乙两队完成,甲队单独完成需16天,乙队单独完成需12天.如先由甲队做4天,然后两队合作,问再做x天后可完成工程的？方程可列为（
）.
【设计意图】练习是使学生掌握知识、形成技能、发展智力的重要手段,发散性的练习既是对课堂的挑战,也是对学生的挑战,这样既检验学生的综合能力,又增强学生应用数学的意识,进一步提升学生的“数学抽象、数学建模”的素养.
（八）课堂小结
1.利用一元一次方程模型解决实际问题的关键是找到等量关系：
工作效率×工作时间=工作总量（“1”）
各部分工作量之和=工作总量（“1”）
2.利用一元一次方程模型解决实际问题的基本步骤：
审、设、列、解、验、答.
【设计意图】“编篓编筐，重在收口”，通过课堂小结，指导学生将新旧知识联系起来，形成知识结构，促进学生知识内化，引导学生透过现象看本质，找到知识的核心所在，深化理解的作用，为后续的学习奠定基础.
（九）作业
1.(必做题)整理一批图书,如果让男生单独整理,需要4小时完成;如果让女生单独整理,需要2小时完成.实际安排一起整理1小时后,剩余整理任务由女生单独完成,还需多长时间
2.(选做题)某茶厂包装一批安化黑茶,若一个人做要40小时才能完成.现在计划由一部分人先做4小时,再增加2人和他们一起做8小时完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，则应先安排多少人工作4小时？
【设计意图】当堂练习采用分层设计，进行弹性处理，提供更多的选择空间，这样既巩固本节课所学知识，检测教学目标达成与否，又对不同认知基础的学生提供相应的学习机会，必做题面向全体学生，重在巩固基本知识，培养初步的应用能力，达到学习的最基本要求；选做题面向部分优生，重在发展智力和拓展思维，培养创新能力.
（十）板书设计
【设计意图】通过条理清晰、直观的板书形式将知识点呈现在学生面前，能简练地、系统地体现教学内容，启迪学生思维，明确本课重难点和形成知识间架结构.
六、课堂教学目标检测
课堂教学目标是一切教学活动的出发点和最终归宿.为使每个学生都受到良好的数学教育，数学教学不仅要使学生获得数学的知识技能，而且要把知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面有机结合.本节课的教学目标不仅是能用一元一次方程解答实际生活中的工程问题，还应包括分析等量关系建立方程模型、解方程，还要体会数学建模的价值，并在这个过程中建立认识、理解和处理实际生活中数学问题的能力.因此针对教学目标教师引导学生解决简单的实际问题，参与教学过程，提升实际问题的难度，组织学生探究思考，鼓励学生分析问题，与学生一起解决问题，从而引导学生感受数学建模的价值，体验解决问题的喜悦，增强自信心，最后通过课堂检测和课堂作业了解学生三维目标的达成情况，使学生愿意学，喜欢学，对数学感兴趣.同时精心设计课堂板书也是教学设计中不可忽略的环节，板书的呈现不是一蹴而就，而是伴随着教学内容逐步推进，动态地呈现知识的形成过程，有效地吸引学生逐步构建自己的认知，更深刻地体会知识的来龙去脉.
义务教育教科书数学湘教版
七年级上册
第十一届全国初中青年数学教师优秀课展示
课例点评
指导老师：王迪辉
陆艳珍
单
位：湖南省益阳市安化县东坪镇中学
时
间：2019年10月15日
《一元一次方程模型的应用-工程问题》课例点评
在解决许多日常生活问题时，方程是探索和解决问题的有力数学工具.本节课彭老师设计了“复习旧知”、“学”、“问题导入”、“导”、“议”、“拓展延伸”、“课堂检测”、“课堂小结”、“作业布置”九个环节，课堂结构严谨有序，环环相扣，层层递进，极富逻辑性.仔细品味：亮点无限，精彩纷呈！
亮点1：本土的问题导入
多维度提高学生核心素养
选取“学校修塑胶跑道”创设问题情景，向学生征求解决方案，激发学生思考，得出“合修”是最佳方案.培养学生从数学的角度看待问题，激发了学生探究的欲望，同时激发学生爱校的情怀.
亮点2：循序渐进的例题设置
画龙点睛的点拨
顺利突破难点
彭老师做得很到位的一点就是：在学生探究过程中都明确要求学生先写出等量关系再列方程.采用一个问题贯穿全课，由易到难，层层推进，解决问题水到渠成，从而培养学生数学建模的能力.
亮点3：鼓励一题多解，活跃学生思维，能力得以提升
中学数学知识被切割成各个版块，例如集合、函数、立体几何、解析几何等等，导致中学生对数学的认知较为单一.一题多解能培养学生从多角度观察问题，了解不同数学知识之间的区别和联系.它在不同的版块之间建立了桥梁，帮助学生形成良好的认知结构.
亮点4：小纸条
大作用
解决数学语言的规范化
学生基本知道了应用一元一次方程模型解决实际问题的基本步骤，但是一般很难用规范的数学语言概括出来，彭老师采用了小纸条让学生排序，学生立马就有了答案，并让学生第一时间知会了这个步骤要如何用规范的数学语言来表达.
通过精心设计问题情境，为学生创造了再发现再认识的机会，学生不仅获得的是解法，更重要的是学生亲身经历了这个解法的再发现.这样的发现之旅就是为核心素养而教，以核心素养为纲，包括以核心素养为教学价值的取向，以核心素养为教学思考的指南，以核心素养为教学研究的引领，这是我们的教学所追求的最高目标.
一元一次方程模型的应用
--工程问题
工作效率×工作时间=工作总量
各部分的工作量之和=工作总量
一般步骤：
学生板书区
审题，分析等量关系
设未知数
建立方程模型
解方程
检验
作答
