《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计
黔南师院附中
陈拥凤
教学内容分析
本节课的内容是人教版版九年级数学上册第二十一章一元二次方程中的选学内容。它是学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后的又一重点知识，它完美地揭示了一元二次方程的两根与系数之间的关系。教材通过复习一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式得出一元二次方程根与系数的关系，通过例题巩固练习根与系数的关系并用根与系数的关系解决一些计算的知识。
学生情况分析
在本章前面几节中，学生已学习了用多种方法解一元二次方程，熟悉求根公式。本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的。他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，对于具体问题归纳总结得到的一些结论，他们有一定的推理欲望和基础，但更关注应用，对所得结论的逆命题缺乏主动思考。
教学目标
1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根巧妙地求出另一个根与未知数，会用一元二次方程根与系数的关系简化一些计算问题。
2、能力目标：通过探索一元二次方程根与系数的关系的教学过程，使学生经历观察、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生体验、思考和表达的能力。
3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
四点突破
【兴趣点】
通过具体方程中计算两根和、两根积并发现它们与系数的关系，猜想是否有根的方程中两根和、两根积都满足这样的关系？这样的关系对我们的学习有什么作用？从而激发学生对两根和、两根积的进一步探究和应用有了兴趣。
【重点】
重点：一元二次方程根与系数的关系以及应用。
【难点】
难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述和正确推理；以及根据一元二次方程根与系数的关系求两根的平方和；在用一元二次方程根与系数的关系解决不等式问题时，学生往往忽略已知方程有根的前提条件。
【目标达成点】
通过观察、发现和推理一元二次方程根与系数的关系，获得学习数学新知识的方法，并灵活应用一元二次方程根与系数的关系简化运算和解决问题。
过程设计
复习引入
师：前面我们已经学习了求一元二次方程的根的方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），根是由方程解出来的，那么根与方程就一定存在一些必然的联系，它们之间到底有怎样的联系呢？下面我们用三个具体的方程一起来探究。（原生兴趣）
设计意图：让学生明白前后所学知识有必然联系，但是没有告诉学生是怎样的联系，学生会受好奇心驱使，想知道有怎样的联系，从而激发学生的探究兴趣。
二、观察发现
播放PPT:
解下列方程并完成表格：
师：请同学们分组完成这三个方程的求解，第一组解第一个方程，第二组解第二个方程，第三、四组解第三个方程，一分钟后我找同学回答。
学生：在草稿纸上算。
师：检查学生完成情况，让学生分组回答；让学生观察根与方程的关系。（伴生兴趣）
设计意图：结合学生的计算能力制作表格，表格前两个一元二次方程不太难，让学生找到做题的自信，但是为了给新课铺垫，第三个一元二次方程的二次项系数不是1。让学生经历从特殊到一般的探究过程，明确一元二次方程根与系数的关系.
三、探究新知
师：请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系。（伴生兴趣）
学生：思考,回答:
师：你能证明上面的猜想吗？请证明。（伴生兴趣）
学生思考、回答；课件展示推理过程:
EMBED
Equation.DSMT4
\
MERGEFORMAT
EMBED
Equation.DSMT4
\
MERGEFORMAT
EMBED
Equation.DSMT4
\
MERGEFORMAT
EMBED
Equation.DSMT4
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MERGEFORMAT
设计意图：通过猜想和证明一元二次方程根与系数的关系，培养学生观察、思考、归纳、逻辑推理等能力。
师:
归纳总结：（PPT展示）
如果一元二次方程有两个根
x1，x2
，那么
师：如果不用求根公式，你能用其他方法证明一元二次方程两根和和两根积与方程系数的关系吗？
学生思考，如果想得到方法，就让学生说，如果想不到，教师就提示：
方程的二次项系数可以化为1，得：
由于方程有两根x1，x2，由因式分解法知，方程可以化为（x-x1）(x-x2)=0,去括号整理得x2-(x1+x2)x+x1x2=0,对比两个方程即可得出
四、运用新知
师:
不解方程，求下列方程两根的和与积：
设计意图：巩固一元二次方程根与系数的关系，考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用。
课堂练习:
若关于x的方程的一个根是-2，则另一根为（
）.
A.
5
B.
-1
C.
2
D.
-5
设计意图：考察学生灵活运用根与系数的关系解决问题的能力，并体会根与系数的关系在求根问题中的巧妙应用。
2.
小明、小华、小亮分别求出方程的根.
小明：
小华：
小亮：
请判断谁的答案正确？
设计意图：考察学生灵活运用根与系数的关系解决问题的能力，并体会根与系数的关系在验根中的巧妙应用。
五、能力提升
1.已知一元二次方程
的两根为x1,
x2.求
的值.
2.若关于x的一元二次方程
的两个实数根是x1，x2
,且，求实数m的取值范围.
设计意图：与方程两根有关的计算，一般都可以转化为方程的两根和与两根积的运算，同时也考察学生思考问题的灵活性和全面性。
六、能力拓展
用今天所学的知识解下列方程：
设计意图：发散学生的思维，培养学生巧妙思考和解决问题的能力。
七、课堂小结
今天我们学习了一元二次方程根与系数的关系。还体会到了这一关系可以巧妙的用于求根、验根、简化计算等。通过本节课的学习，我们还体会到了可以将新问题化归为已学过的知识来解决，加强了对化归思想的理解和应用。
八、课后作业
课本第17页第7、8题
九、板书设计
21.2.4一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程有两个根
x1，x2
，那么
一元二次方程根与系数的关系展示课点评稿
本节课，我们力求不搭花架子，不搞形式主义真实反映学生学习的过程，真实反映教师在课堂上的灵活性和基本功。
本节课采用的是黔南民族师范学院附属中学获得贵州省中小学教学成果二等奖的“四点突破”教学范式。该教学范式的创新点是将每节课学生的兴趣进行了划分，有原生兴趣的激活，伴生兴趣的引发和衍生兴趣的延伸，形成由兴趣肇始，兴趣贯穿始终、无限生长，引领学生积极参与，“激趣、培志、养成”功能突显的课堂。
在引入环节，陈老师设计了激活学生学习本节内容的原生兴趣—一元二次方程的根是由方程解出来的，那么它必然和原方程存在着必然的联系，那么一元二次方程的根到底和方程之间有什么样的关系。
接着陈老师设计了突破重难点的伴生兴趣，1、先看看三个具体的一元二次方程，解出根后来观察它与方程究竟有什么关系；2、我们得到的猜想x1+x2=-b/a,
x1x2=c/a,只是特殊情况，如何进行验证呢；3、除了用求根公式还有其他证明方法吗？这一连串的兴趣设计，引导学生不仅找到了根与系数之间的关系，还找到了验证的两种方法，真正理解了根与系数的关系存在的必然性和依据。
在知识迁移过程中陈老师引发了学生学习的衍生兴趣：既然一元二次方程根与系数有如此紧密的关系，那么这种关系有什么作用呢？老师在知识迁移过程中至始至终让学生思考寻找解决问题的策略，引导学生发现了一元二次方程根与系数的关系可以快速求根、可以验根、可以简化计算等，这一环节培养了学生发现问题和用新知识解决问题的能力。
最后陈老师利用课本中出现的习题中解方程12x2+7x+1=0，延伸了学生学习的衍生兴趣：我们能用今天的方法求方程的根吗？进一步延伸引发学生用新知识解决问题的兴趣。
通过今天这节课，我们有这样的感悟，一节优秀的数学课是能为培养学生必备的品格和能力打下坚实的基础的，我们有义务让我们的优质课堂成为常态，为学生今后的成长、成功服务。(共22张PPT)
21.2.4
一元二次方程的根与系数的关系
人教版九年级数学上册第二十一章
黔南民族师范学院附属中学
陈拥凤
教学内容分析
教学目标分析
学情分析
教学策略分析
教学过程设计
1
2
3
4
5
黔南民族师范学院
附属中学
陈拥凤
准备知识
揭示了一元二次方程的两根与系数之间的关系
一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的解法
一.
教学内容分析
一元二次方程的求根公式
黔南民族师范学院
附属中学
陈拥凤
●猜想一元二次方程的根与系数的关系
●证明一元二次方程的根与系数的关系
●应用一元二次方程的根与系数的关系
●探究一元二次方程的根与系数的关系
●应用一元二次方程的根与系数的关系
教学内容分析
一.
黔南民族师范学院
附属中学
陈拥凤
1.理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系，能运用根与系数的关系解决求根、验根、简化计算等问题。
教学目标
2.在一元二次方程的根与系数的关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律。
3.通过问题情境、观察、猜想、证明、应用等数学活动过程，激发学生的求知欲望，培养学生思考、表达和解决问题的能力。体验数学学习中充满着探索与成功感，建立自信心。
教学目标
二.
黔南民族师范学院
附属中学
陈拥凤
学情分析
三.
知识储备
一元二次方程解法
熟悉求根公式
技能储备
推理与
计算基础
能力
目标
逆向思维
推理证明
知识迁移
黔南民族师范学院
附属中学
陈拥凤
四点突破
兴趣点
难点
目标达成点
重点
教学策略分析
四.
黔南民族师范学院
附属中学
陈拥凤
重点:
一元二次方程根与系数的关系以及应用
难点:
发现并表达一元二次方程根与系数之间的关系;
求两根的平方和；
根与系数的关系解决不等式问题。
兴趣点:
原生兴趣:
一元二次方程的根到底和方程之间有什么样的关系？
伴生兴趣:
求根、观察、猜想、推理；
衍生兴趣：根与系数关系的作用？
目标达成点：
通过观察、发现和推理一元二次方程根与系数的关系，获得学习数学新知识的方法，并灵活应用一元二次方程根与系数的关系简化运算和解决问题。
延迟符
教学策略分析
四.
黔南民族师范学院
附属中学
陈拥凤
五.
教学过程
1
复习回顾
抛出问题
2
观察猜想
探究新知
3
推理论证
归纳总结
4
运用新知
能力提升
5
知识迁移
能力拓展
6
课堂小结
布置作业
五.
教学过程
黔南民族师范学院
附属中学
陈拥凤
五.
教学过程
黔南民族师范学院
附属中学
陈拥凤
一元二次方程的解法
根是由方程解出来的，那么根与方程就一定存在一些必然的联系，它们之间到底有怎样的联系呢？
原生兴趣
五.
教学过程
黔南民族师范学院
附属中学
陈拥凤
五.
教学过程
●
观察：根与方程，培养数学观察能力
●
猜想：根与系数的关系
黔南民族师范学院
附属中学
陈拥凤
●
探究：探究对一般方程，这种关系是否成立？
伴生兴趣
五.
教学过程
黔南民族师范学院
附属中学
陈拥凤
五.
教学过程
黔南民族师范学院
附属中学
陈拥凤
通过猜想和证明一元二次方程根与系数的关系，培养学生观察、思考、归纳、逻辑推理等能力.
意图
五.
教学过程
黔南民族师范学院
附属中学
陈拥凤
运用新知
五.
教学过程
黔南民族师范学院
附属中学
陈拥凤
运用新知
五.
教学过程
黔南民族师范学院
附属中学
陈拥凤
能力提升
五.
教学过程
黔南民族师范学院
附属中学
陈拥凤
巩固一元二次方程根与系数的关系，考察学生灵活运用知识解决问题的能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用。
意图
五.
教学过程
黔南民族师范学院
附属中学
陈拥凤
五.
教学过程
黔南民族师范学院
附属中学
陈拥凤
发散学生的思维，培养学生巧妙思考和解决问题的能力。
意图
衍生兴趣
五.
教学过程
黔南民族师范学院
附属中学
陈拥凤
体会到了可以将新问题化归为已学过的知识来解决，加强了对化归思想的理解和应用.
意图
谢谢聆听，欢迎指正！
黔南民族师范学院
附属中学
陈拥凤
