勾股定理（第1课时）
人教版《义务教育教科书·数学》
（八年级下册第十七章17.1）
授课教师：刘文
工作单位：湖北省黄冈市黄州思源实验学校
2019年11月
义务教育教科书
数学
八年级下册（人民教育出版社）
17.1勾股定理（第1课时）
教学设计
黄州思源实验学校
刘文
一、内容和内容解析
1．内容
勾股定理的探究、证明及简单应用．
2．内容解析
勾股定理的内容是：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．勾股定理是中学数学重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把形的特征（三角形中有一个角是直角）转化成数量关系：三边之间满足等式：a2＋b2＝c2，它搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用．勾股定理体现了数形结合的思想方法，具有科学创新的重大意义．勾股定理启发了人类对数学的深入思考，促成了在三角学、解析几何学、微积分学的建立，使数学的几何学和代数学两大门类结合起来，对数学进一步的发展拓宽了道路．没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦．因此，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一．
勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，体现了从特殊到一般的探索的过程，由具体的关系归纳出抽象的猜想，学生亲手实践赵爽的面积证法，证明猜想、发现定理，并以此引导学生探索、发现、证明定理的思路．通过对勾股定理的探究和发现，培养学生学习数学的热情和自信心．
我国对勾股定理的研究和其他国家相比是比较早的，在国际上得到肯定．通过对勾股定理历史和我国古代研究勾股定理成就的介绍，以及赵爽证明勾股定理的巧妙弦图，培养学生的民族自豪感，品味数学文化．
在直角三角形中，已知任意两边长，就可以求出第三边长．勾股定理常用来求解线段长度或距离问题，这是勾股定理最基础的应用．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明勾股定理．
二、目标和目标解析
1．目标
（1）经历勾股定理的探究、证明过程．了解关于勾股定理的文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感．
（2）能用勾股定理解决一些简单问题．
2．目标解析
目标（1）要求学生通过观察以直角三角形的三边为边长的正方形面积之间的关系，归纳并合理地用数学语言表示勾股定理的结论．理解赵爽弦图的意义及其证明勾股定理的思路，能通过面积不变的关系和对图形面积的不同算法证明勾股定理．了解勾股定理相关的史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就．
（2）学生能运用勾股定理进行简单的计算，关键是已知直角三角形的两边长能求第三条边的长度．
三、教学问题诊断分析
勾股定理是反映直角三角形三边关系的一个特殊的结论．在正方形网格中比较容易发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出三边之间的关系．但要从等腰直角三角形过渡到网格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，学生有较大困难．因此，在教学中先引导学生观察网格背景下的正方形的面积关系，然后思考正方形的面积和直角三角形边的关系，再将这种关系表示成边长之间的关系，归纳出结论．学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，小组合作在此发挥了很大的优势，学生间的互助、交流有利于学生自然、合理地发现和证明勾股定理．
本节课的教学难点是：勾股定理的探究和证明．
四、教学支持条件分析
借助PPT动画，动态地演示从网格中的等腰直角三角形，到网格中的一般直角三角形的变化过程，启发学生考虑用割补法求正方形的面积.在学生拼图验证猜想后，播放视频动画再现赵爽弦图的剪拼过程，形象、直观．利用软件的迭代功能，制作出漂亮的勾股树，品味数学之美．
教学流程：
1、创设情境，导入新课→
2、师生互动，探究规律→
3、动手实践，验证猜想→
4、观察欣赏，感知文化→
5、运用定理，巩固新知→
6、畅谈收获，归纳小结→
7、布置作业，温故新知.
五．教学过程设计
环节一：情景引入
同学们，2002年国际数学家大会在我国的北京召开，下图就是这一届大会会徽的图案.
请你仔细的观察这副图案，说一说，它是由哪些基本图形组成的？
生：四个直角三角形和正方形组成的
师：直角三角形与正方形是我们生活当中比较常见的基本图形，我们已经学过直角三角形两角之间的关系，两个锐角互余，今天这节课来研究直角三角形三边之间的特殊关系
评析：本节课由国际数学学家大会的会徽导入，激发学生的兴趣，引入新课教师引导学生发现会徽图案是由直角三角形、正方形组成.引出本节内容是研究直角三角形三边之间的某种特殊关系.
环节二：师生互动，探究规律
问题1：相传2500多年前，毕达哥拉斯从地砖图案中发现了直角三角形三边之间的某种数量关系．我们也来观察一下这副示意图，我把地砖的颜色给隐藏，可以清楚的发现图中每个小三角形都是等腰直角三角形，假设每个小等腰直角三角形的面积为1．
问题1：图中三个正方形
A,B,C的面积分别是多少？三个面积之间有什么等量关系？
接下来，在网格图中画出一个任意的直角三角形，像刚才的示意图一样，以这个直角三角形的三边为边长向外作出三个正方形，分别记为A,B,C,假设图中每个小正方形的面积为1.
问题1：正方形A的面积为？正方形B的面积为？正方形C的面积呢？
追问：如何求正方形C的面积呢？
师：通过古希腊数学家在朋友家做客，发现朋友家的地板砖三边之间的数量关系，通过图中观察正方形内的三角形是什么三角形？
生：等腰直角三角形
师：假设每个小的等腰直角三角形的面积为1，请同学们思考A、B、C三角形的面积各位多少？
生：正方形A与B的面积为2，正方形C的面积为4
师：继续思考正方形A、B、C面积之间有怎样的等量关系？
生：正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积
师：这个结论在等腰直角三角形的前提下成立，反问在一个任意的直角三角形当中是否还成立呢
生：猜想成立
问题2：三个正方形A，
B，C面积之间有什么关系？
SA+SB=SC
下面，我把这幅示意图中的三个正方形推开，把这个直角三角形的三边记为a，b，c，直角三角形三边之间有什么关系呢？
得出猜想：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为
c，那么a2+b2=c2.
问题：c的平方可以表示为什么图形的面积？
师：给出任意的直角三角形以各个边向外作正方形A、B、C,假设每个小正方形面积都为1，思考正方形A、B、C的面积为多少？
生：正方形A的面积为16，正方形B的面积为9
正方形C的面积为25
师：请学生解释一下正方形C的面积为什么为25？
生：正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积
师:这个规律刚刚是在等腰直角三角形当中得到的，这个三角形是一般的直角三角形，这个结论还能用吗？
生：不能
师：如何来求正方形C的面积呢？请同学们思考一下
生：使用割的办法来求正方形C的面积，把正方形C切割成4个直角三角形+一个正方形得到正方形C的面积为25
师：请思考一下还有没有其他办法？
生：补上4个小的直角三角形，通过大的正方形的面积减去4个直角三角形的面积
师：这两种方法都可以求出正方形C的面积，统称为“割补法”
师：通过正方形A、B、C的面积数据，有什么等量关系？你们能得出什么结论？
生：正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积
师：把直角三角形的三边记为a、b、c，能否由上面的等式推出直角三角形三边之间的等量关系？
生：因为SA+SB=SC,所以a2+b2=c2
师：那个同学能够用文字语言来表达一下呢？
生：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
师：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2，这个结论是在网格图当中得到，去掉网格，这个结论还成立吗？
评析：由地砖中存在的特殊示意图导入，发现围成等腰直角三角形的三个正方形面积之间存在特殊的数量关系.在正方形的网格图中进一步研究这个示意图，由特殊的直角三角形过渡到一般的直角三角形，面积之间也存在特殊的数量关系.
问题1中，教师提出问题，让学生自己独立观察图形，分析数据，思考其中隐含的规律．
得出结论：在等腰直角三角形的前提条件下，从这幅示意图中可以得出小正方形A，B的面积之和等于大正方形C的面积．学生很容易通过数格子的方法答出正方形A和正方形B的面积.难点是求由斜边所作的正方形C的面积.
环节三：动手实践，验证猜想
拼图活动：
请同学们拿出课前老师分发的四个直角三角形,拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有边长为c的正方形.
请同学上台展示他们的拼图结果。
这两种拼法满足我们的要求含有边长为c
的正方形吗？
其实这两种拼法还有一定的内在联系.
下面，我将第一种拼法中边长为c的正方形标记出来，从面积的角度可以得出什么样的等量关系？
追问：小正方形的边长怎么表示？
我们借助于这种拼图里存在的面积之间的等量关系，从而得到直角三角形三边之间的特殊关系.
请同学们借助于第二种拼法，独立的完成第二种拼法的证明.
勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为
c，那么a2+b2=c2.
几何语言：在Rt△
ABC中，∠C＝90°,那么．
师：如何通过证明这个猜想呢？通过课前准备的4个直角三角形让学生摆一摆拼一拼看你能否得到一个以边长为c的正方形，通过拼图活动让学生动手拼一个边长为C的正方形，得到两种拼法
师：通过面积之间的等量关系S小正方形=S大正方形-4S直角三角形
得到a2+b2=c2通过证明推出它是正确的，那就是定理
师：用另外一种拼图办法同样也能推出这个定理a2+b2=c2
这两种拼法之间还有一定的联系，当把第一种拼法向内翻折就得到了第二种拼法，当把第二种拼法向外翻折就得到第一种拼法，现在我们能够运用两种方法证明a2+b2=c2在古代我们把这个定理叫作勾股定理
师：为什么把这个定理叫勾股定理呢？通过古文引出勾股定理的由来
师：欣赏赵爽证法
师：学生们记一下勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2
师：勾股定理的条件和结论分别是什么？
生：条件是直角三角形
结论：两直角边的平方和等于斜边的平方
师：通过勾股定理我们能够知道直角三角形任意两条边求第三边。
师：通过实例运用勾股定理解决一下计算直角三角形边的问题
师：通过变式，已知3和4是直角三角形的两边长，求第三边的长
生：因为不清楚3和4为直角三角形的那边，所以分3种情况讨论，但只有有两种情况符合题意
师：讲第2个例题
生：通过2种方法解决问题
师：通过面积法，得到规律，引入美丽的勾股树。体现数学之美。
评析：教师引导学生将四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，有两种不同的方法。
这两种不同的拼图方法，实际上就是网格中用割补法求面积所用到的两种图形。第一个图形就是导入中提到的会徽，也是三世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为赵爽弦图。播放小视频介绍赵爽弦图的证明方法.
了解中外勾股定理的历史，说明勾股定理的重要性.了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生以获得成功体验的空间，激发学习的积极性，建立学好数学的信心.学生独立完成后，共同归纳出用勾股定理解决问题时的应用条件以及需要注意的事项.
环节四：畅谈收获
1.
本节课你学了哪些知识？
2.
本节课你感悟到了什么数学思想？
本节课你还有其他的收获吗？
师：回顾今天这一节课学到了什么？
生1：证明勾股定理运用面积法
生2：勾股定理的运用
师：本节课你感悟到了哪些数学思想呢？
生：数形结合、分类讨论、由特殊到一般、割补法
解析：学生反思、归纳本节课学习的内容.体会并交流自己的收获.归纳知识点，并强调运用知识的时候需要注意的地方.回顾本节课的知识点引导学生说出体现的什么数学思想，数学思想的归纳.
中国教育学会第十一届初中青年
数学教师优秀课展示活动
C
B
A
b
a
c
C
B
A
b
a
c(共23张PPT)
17.1 勾股定理（1）
主讲教师：刘文
工作单位：湖北省黄冈市黄州思源实验学校
人教版八年级下册
创设情景
引入新课
说一说：它是由哪些基本几何图形组成？
师生互动
探究规律
假设每个小等腰直角三角形的面积为1.
SA+SB=SC
.
SA=2,
SB=2,
SC=4.
毕达哥拉斯
三个正方形A,
B,C面积SA
,
SB
,
SC分别是多少
SA
,
SB
,
SC之间有什么等量关系呢
A
B
C
正方形A的面积为_____，
正方形B的面积为_____，
正方形C的面积为_____.
9
16
25
假设每个小正方形的面积都为1.
思考：三个正方形A，
B，C面积之间有什么等量关系呢
SA+SB=SC.
师生互动
探究规律
思考：
直角三角形三边a,b,c之间有什么等量关系
A
B
C
a2
+
b2
=
c2
SA+SB=SC
a
b
c
两直角边的平方和等于斜边的平方.
师生互动
探究规律
c
a
b
猜想
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,
斜边长为
c，那么a2+b2=c2.
师生互动
探究规律
摆一摆，拼一拼，能否得到一个含有边长为c的正方形
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
动手实践
验证猜想
a
c
b
S小正方形=
S大正方形－
4S直角三角形.
(a-b)2
c2
－
=
=
∴
a2+
b2
c2
.
猜想
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为
c，
那么a2+b2=c2.
a2－2ab+
b2
c2
－
2ab
.
=
动手实践
验证猜想
.
c
a
b
证明：∵
S小正方形=
S大正方形－4S直角三角形,
∴
c2
=
(a+b)2－
.
∴
c2
=
a2＋2ab＋
b2
－2ab
.
动手实践
验证猜想
猜想
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为
c，
那么a2+b2=c2.
即
a2＋
b2
=c2
.
动手实践
验证猜想
观察欣赏
感知文化
我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.在中国古代，把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”,下半部分称为“股”.把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
弦
股
勾
股
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣.不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现,现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一.
美国第二十任总统加菲尔德的证法，
所以又称这种证法为“总统”证法.
毕达哥拉斯证法
欧几里得
观察欣赏
感知文化
观察欣赏
感知文化
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为
a
,ｂ，斜边为ｃ，
那么
a2+b2=c2
.
A
B
C
a
c
b
符号语言：
∵
在Rt△
ABC中，
∠C=90°，
∴
a2+b2
=
c2
.
变形形式：
a2
=
c2
-
b2
，
b2=
c2
-
a2
.
动手实践
验证猜想
运用定理
巩固新知
例1
求出下列直角三角形中未知的边:
运用定理
巩固新知
练习1
已知3和4是直角三角形的两边长，求第三边的长.
解：设第三边的长为x(x>0).
①当3为斜边时，因为3小于4，所以此直角三角形不存在;
②当4为斜边时，由勾股定理得，32＋x2＝42,解得x＝
;
③当x为斜边时，由勾股定理得，32＋42＝
x2,解得x=5.
故第三边的长为5或
.
运用定理
巩固新知
例2
如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.求图中字母所代表的正方形的面积．
81
A
B
C
D
E
练习2
如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是
正方形.已知正方形A，B，C，D的面积分别是5
，3，3，1，
求最大正方形E的面积．
运用定理
巩固新知
8
4
12
这节课你学到了哪些数学知识？
归纳总结
畅谈收获
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
符号语言：∵
在Rt△ABC中，
∠C=90°
，
∴
a2+b2=c2.
注意：
1.定理应用条件：在直角三角形中.
2.看清哪个角是直角，从而判断出直角边和斜边.
a
b
c
这节课你感悟到了哪些数学思想呢？
归纳总结
畅谈收获
等腰直角三角形
一般的直角三角形
由特殊到一般的化归思想
数形结合
割补法
分类讨论
方程思想
归纳总结
畅谈收获
本节课中你还有其他的收获吗？
美丽的勾股树
作业：
（1）整理课堂上所提到的勾股定理的证明方法；
（2）教材28页，1、2、3；
（3）通过上网等方式查找勾股定理的有关史料、趣事及其他证明方法．
课后作业
深化新知
