(共33张PPT)
17.2
勾股定理的逆定理
（第1课时）
贵州省
黔东南州黄平县重安中学
吴开勋
CONTENTS
目录
1
教学内容及其解析
2
教学目标及其解析
3
4
教学策略分析
5
教学过程设计
学生学情分析
01
教学内容及其解析
探究勾股定理的逆定理及其简单应用
原命题、逆命题及其相互关系
教学内容
a2+b2=c2
教学内容解析
直角三角形
三边之间的数量关系
直角三角形
的特殊性
从“形”到“数”
勾股定理
a2+b2=c2
三角形
三边长的数量关系
三角形
形的特殊性
勾股定理的逆定理
从“数”到“形”
教学内容解析
了解互逆命题的结构特点.理解原命题为真命题,逆命题不一定为真命题.
教学内容解析
通过设置情境，启发学生提出数学问题,探究并证明勾股定理的逆定理.
教学重点
02
教学目标及其解析
教学目标
（1）理解勾股定理的逆定理，经历“情境、问题、实验、猜想、证明”的探究过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想，并能简单运用勾股定理的逆定理.
（2）了解原命题、逆命题的相关概念，进一步加深对性质和判定定理之间关系的认识.
教学目标解析
目标（1）要求经历勾股定理逆定理的探究过程，了解证明几何命题的思想方法，同时体会“构造法”证明数学命题的基本思想，并能应用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是不是直角三角形.
目标（2）要求知道互逆命题的结构特点，能根据原命题写出它的逆命题，了解原命题为真命题时，逆命题不一定为真命题，理解用“举反例”来判断逆命题为假命题的方法.
教学目标解析
03
学生学情分析
学生学情分析
其一，通过前面的学习，学生已具备研究几何问题的基本经验，能够进行一般的推理和论证，对动手操作和问题探究充满热情，但思维有一定的局限性，能力也有差距.
学生学情分析
其二，构造一个直角三角形，用“同一法”来证明勾股定理逆定理的方法是第一次遇到，大多数学生对此难以理解.
教学难点
勾股定理逆定理的证明.
04
教学策略分析
教学策略分析
通过设置数学情境，引导观察，启发思考，提出数学问题.再通过操作实验，分析归纳，推理论证来探究勾股定理逆定理及其证明，培养学生从“特殊”到“一般”的数学思想，以及分析和解决问题的能力.
05
教学过程设计
设置情境
提出问题
实验
猜想
证明
运用定理
1
2
3
4
5
勾股定理逆定理的教学流程
1
设置情境，提出问题
通过回忆勾股定理的内容，以及勾股定理的数学符号语言如何表达.让学生再次感受到勾股定理揭示了直角三角形可以由“形”的特殊性得到其“三边长”的数量关系——即由“形→数”，使学生在已体会到由“形→数”的情况下，有一种对由“数→形”的置疑，完成提问“如果三角形的三边长a,b,c，且满足a +b =c ，那么三角形是直角三角形吗？”培养学生的逆向思维，以及发现和提出问题的能力.
2
实验
1
尺规作图
以3,4,5为边长画三角形，研究三角形的形状.
2
尺规作图
以2.5,6,6.5为边长画三角形，研究三角形的形状.
3
动态演示
利用超级画板演示：三角形两边的长度固定为6、8，改变第三边长度，观察三角形的形状.
第1,2个实验锻炼和强化学生的规范作图技能，培养学生动手操作和归纳概括的能力.第3个实验培养学生的观察能力和问题意识，例如除了观察到当第三边为10时，三角形是直角三角形外，还有一些新发现：观察到运动中三角形的形状随第三边长度的变化而各有特点，特别是能意识到此运动过程中存在着的不变量等等，为后继探究勾股定理的逆定理及其证明奠定了基础.
3
猜想
03
质疑
问题
如果三角形的三边长a,b,c，满足a +b =c ，那么三角形是直角三角形吗？
实验结果
三组实验中，每组的三边长都满足a +b =c ，且都是直角三角形.
实验
进行三组实验
01
02
通过老师追问，引发学生质疑.让学生意识到，这三组实验只是得到了一种猜想，如果要想说明猜想（命题）是正确的，那就必须通过推理证明，从而发展学生的理性思维和实践能力.
在教学中教师要有适当的“追问”环节，其目的是使学生弄清知识的来龙去脉，不仅知道“是什么”，更要知道“为什么”以及“你是怎样知道为什么是这样的”，此即“知其然，知其所以然，何由以知其所以然”“示以学生思维之道”.
同时，在学习过程中通过对问题的置疑与分析，质疑甚至是批判，力争培养学生具有属于自己的创造性思维.
4
证明
明确任务
引导学生用图形和数学符号语言表示命题，明确任务.
01
“全等”
根据学生的几何知识基础和学习经验，启发他们想到可以利用“三角形”中的“全等三角形”.
02
“构造”
根据问题中已知条件，通过尺规作图构造一个直角三角形.
03
证明
证明两个三角形全等.
04
01
这是本节课的难点.教师一定要给足时间，引导学生充分讨论，提出解决问题的方法.如果学生仍没有思路和解决办法，可适时点拔以下关键点：
（1）从已知条件不能直接证明△ABC是直角三角形怎么办？
（2）我们至今学过哪些几何知识？有哪些证明几何问题的方法和经验？
由此启发学生想到可以利用“三角形”中的“全等三角形”，而至少要有两个三角形才能考虑全等，于是才能顺理成章地想到可先构造一个直角三角形，再证明△ABC与这个直角三角形全等即可，从而突破本节课的教学难点.
5
运用定理
通过练习把陈述性的定理转化为认知操作，学会用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是为直角三角形，规范地示范解答过程，并介绍勾股数的概念.
逆命题的教学
通过上述两个命题的结构特点，引入逆命题的概念，并进一步了解原命题及其逆命题之间的关系.通过类比回顾已学过的“平行线”的性质定理和判定定理，使学生进一步加深对互逆定理、性质和判定定理之间关系的认识，体现数学知识及学习的整体性和系统性.
逆命题的练习
加深学生对原命题、逆命题，真命题、假命题等概念的理解，理解任何一个命题都有逆命题，但是逆命题不一定都是真命题，理解并会用“举反例”来判断一个命题为假命题.
课堂小结
提高学生总结归纳能力和语言表达能力.拓展学生的思维，培养学生发现问题和提出问题的能力.
如果三角形三边长a,b,c,没有满足a +b =c ，那么它还是直角三角形吗？
如果三角形三边长a,b,c,满足a +b ＞c ，那会发生怎样的事情？
如果三角形三边长a,b,c,满足a +b ＜c ，又会怎样？
小结时学生生成的问题
作业布置
教科书第33页练习第1,2；
习题17.2第4,5题.
通过适量的课后作业，考查勾股定理逆定理的应用，互逆命题的概念及其关系，判断一个命题是假命题的方法.
感
谢
聆
听！
贵州省
黔东南州黄平县重安中学
吴开勋17.2《勾股定理的逆定理（第1课时）》教学设计
贵州省
黔东南州黄平县重安中学
吴开勋
一、教学内容及其解析
1.教学内容
探究勾股定理的逆定理及其简单应用；原命题、逆命题及其相互关系.
2.教学内容解析
勾股定理揭示了直角三角形由“形”的特殊性，可以得到“三边长”的数量关系.反之，可逆向探究从三角形三边长的数量关系来判断它是不是直角三角形.即“如果三角形三边长a，b，c满足a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形”.了解互逆命题的结构特点，理解原命题为真命题时,其逆命题不一定为真命题.
教学重点：通过设置情境，启发学生提出数学问题,探究并证明勾股定理的逆定理.
二、教学目标及其解析
1.教学目标
（1）理解勾股定理的逆定理，经历“情境、问题、实验、猜想、证明”的探究过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想，并能简单运用勾股定理的逆定理.
（2）了解原命题、逆命题的相关概念，进一步加深性质和判定定理之间关系的认识.
2.教学目标解析
目标（1）要求经历勾股定理逆定理的探究过程，了解证明几何命题的思想方法，同时体会“构造法”证明数学命题的基本思想，并能应用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是直角三角形.
目标（2）要求知道互逆命题的结构特点，能根据原命题写出它的逆命题，了解原命题为真命题时，逆命题不一定为真命题,理解用“举反例”来判断逆命题为假命题的方法.
三、学情分析
通过前面的学习，学生已具备研究几何问题的基本经验，能够进行一般的推理和论证，对动手操作和问题探究充满热情，但思维有一定的局限性，能力也有差距.其二，构造一个直角三角形，用“同一法”来证明勾股定理逆定理的方法是第一次遇到，大多数学生对此难以理解.
教学难点：勾股定理逆定理的证明.
四、教学策略分析
通过设置数学情境，引导观察，启发思考，提出数学问题.再通过操作实验，分析归纳，推理论证来探究勾股定理逆定理及其证明，使学生体会从“特殊”到“一般”的数学思想，培养分析和解决问题的能力.
通过回忆勾股定理从“形”到“数”的研究过程，启发学生逆向思考提出相关的数学问题，并有针对性地进行了三组实验.
第一、二组实验是为了培养学生的规范作图、观察思考和简单的逻辑推理能力.第三组实验运用“超级画板”软件直观地进行了动态演示，渗透从“特殊”到“一般”的数学思想，体会几何证明的必要性，培养学生严密审慎的逻辑思考习惯，同时也能让学生在不断有问题生成的课堂中饶有兴趣地展开学习活动.
此外，通过回顾和类比已学的“平行线”性质定理和判定定理，使学生进一步加深对互逆定理、性质和判定定理之间关系的认识，体现数学知识及学习的整体性和系统性.
在教学中教师要有适当的“追问”环节，其目的是使学生弄清知识的来龙去脉，不仅知道“是什么”，更要知道“为什么”以及“你是怎样知道为什么是这样的”，此即“知其然，知其所以然，何由以知其所以然”“示以学生思维之道”.同时，在学习过程中通过对问题的置疑与分析、质疑甚至是批判，力争为培养学生的创造性思维做点努力.
五、教学过程设计
1.回忆旧知，再次梳理
问题1：勾股定理的内容是什么？
预设学生回答“a +b =c ”，这时可以追问a，b，c是任意三条边吗？”（这里主要是让学生明确勾股定理是“直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方”.）
设计意图：让学生通过回忆，巩固勾股定理的内容，以及勾股定理的数学符号语言如何表达.也让学生再次感受到勾股定理揭示了直角三角形可以由“形”的特殊性得到其“三边长”的数量关系——即由“形→数”，为下一步启发思考、提出问题做铺垫.
2.提出问题
问题2：你能提出一个相关的数学问题吗？
设计意图：希望学生在已体会到由“形→数”的情况下，有一种对由“数→形”的置疑，培养学生的逆向思维能力.
学生完成提问：如果三角形的三边长a,b,c，且满足a +b =c ，那么三角形是直角三角形吗？
老师追问：满足a +b =c 这个等式的三个数多不多？
学生答：多.
老师问：有哪些？
预计学生回答：3,4,5；6,8,10;5,12,13……
老师提出质疑：那是不是以每一组数作为三边长所围成的三角形都是直角三角呢？
设计意图：启发学生提出问题后，先让学生们明白其实三角形的三边长满足a +b =c 这个等量关系的数特别多，但是不是都是直角三角形呢？由此引起学生的质疑，让他们感觉到要通过实验来验证的必要性，培养学生的科学精神和严谨的学习态度.
3.实验
第一组实验：
教师：“我们选择3,4,5这组数来验证一下.”
∵3 +4 =25
5 =25
∴3 +4 =5
既然3,4,5满足a +b =c 这个等量关系，那我们就以3,4,5为三边长画三角形，看看它是什么三角形？”
（1）学生动手画图.
（2）大部分学生画完后，请一位同学上黑板来画，让其他同学观察其画法.
设计意图：①用实验来验证提出的问题；②培养学生的规范作图能力；③对于本问题的研究来说，“已知三边长画三角形”要用尺规作图的方法，但并非所有同学都会作图.大多数学生在以前的学习中，都知道“勾三股四弦五”，所以在画图时就很容易犯一个经验性的错误——直接用3,4为直角边画出一个直角三角形.通过对这个“错误”的纠正，培养学生严密审慎的逻辑思考习惯.
画完之后让学生通过测量，验证以3,4,5为边所围成的三角形确实是一个直角三角形.
教师再提出质疑：一个实验的结果，是必然的还是巧合呢？随之再进行下一组实验.
第二组实验：
分别以
2.5，6，6.5为边长画出三角形（单位：cm）.
教师提问：先计算一下这一组数有什么数量关系？
引导学生完成：∵2.5 +6 =42.25
6.5 =42.25
∴2.5 +6 =6.5
设计意图：通过前两次这种推理性的书写，让学生又次明确，在画图试验前，三边长的数量关系都满足了a +b =c .让学生有目的性地进行探究实验.
通过尺规作图，经测量，学生发现以2.5，6，6.5为边长围成的三角形也是直角三角形.
第三组实验：
“超级画板”动态演示以“6,8,10”为边长画三角形.
在动态演示过后，提问学生“你有什么发现？”
预设学生答案：（1）∵6 +8 =100，10 =100，∴6 +8 =10 ；（2）AB边越短，∠ACB越小……
设计意图：通过“超级画板”的动态演示，渗透从“特殊”到“一般”的数学思想，体会几何证明的必要性，培养学生的观察能力和问题意识，同时也能让学生在不断有问题生成的课堂中饶有兴趣地展开学习活动.也为本节课小结第二个问题，做一个动态、直观的铺垫.
通过这个活动，学生发现以6,8,10为边长围成的三角形也是直角三角形，且6 +8 =10 .再一次满足提问中的a +b =c 这样的数量关系.
教师问：看一下这三个实验的结果，现在能不能来回答之前所提出的问题？——“如果三角形的三边长a,b,c，且满足a +b =c ，那么三角形是直角三角形吗？”
预设1：
学生回答：能.
教师：也就是说“如果三角形的三边长a,b,c，且满足a +b =c ，那么三角形是直角三角形.”
教师追问：仅仅通过三个实验，能说明三边长满足a +b =c 的所有三角形都是直角三角形吗？
预设2：
学生回答：不能
教师：为什么，说出你的理由？
设计意图：先让学生通过三个实验来回答刚才的提问，如果学生回答“能”，这里可以先让他们品尝到实验的成果，同时认识到实验的必要性.但通过教师追问，让学生再次去质疑，毕竟满足a +b =c 这一等式的三边长有无数组，不仅仅只有实验的这三组数，让学生意识到，这三组实验只是得到了一种猜想，如果要想说明猜想（命题）是正确的，那就必须通过推理证明，从而发展学生的理性思维和实践能力.
老师总结：所以，我们通过实验得到“如果三角形的三边长a,b,c，且满足a +b =c ，那么三角形是直角三角形.”现在只能是一个猜想.
4.证明，形成定理
活动：如何证明这个猜想（命题）？
已知：如上图所示，△ABC的三边长a,b,c满足a +b =c .
求证：△ABC是直角三角形.
设计意图：引导学生用图形和数学符号语言表示命题，明确任务.
教师引导：如果要证明△ABC是直角三角形，只要证明∠C=90°，由命题的已知条件，能直接证明吗？
这是本节课的难点.教师一定要给足时间，引导学生充分讨论，提出解决问题的方法.如果学生仍没有思路和解决办法，可适时点拔以下关键点：
从已知条件不能直接证明△ABC是直角三角形怎么办？
我们至今学过哪些几何知识？有哪些证明几何问题的方法和经验？
由此启发学生想到可以利用“三角形”中的“全等三角形”，而至少要有两个三角形才能考虑全等，于是才能顺理成章地想到可先构造一个直角三角形，再证明△ABC与这个直角三角形全等即可.
设计意图：当难以直接证明△ABC是直角三角形时，需要“全等三角形”这一工具，通过构造一个直角三角形证明△ABC与这个直角三角形全等，从而证明△ABC是直角三角形，让学生体会“同一法”证明思路的合理性，帮助学生突破难点.
5.定理应用
例1
判断下列问题中以线段a，b，c为边组成的三角形是不是直角三角形？
a=15，b=8，
c=17
a=13，b=14，c=15
a=，b=4，c=5
师生活动：第（1）师生共同完成；（2）、（3）由学生独立完成.
设计意图：这组练习是勾股定理逆定理的应用，通过练习把陈述性的定理转化为认知操作，学会用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形，规范地示范解答过程，并介绍勾股数的概念.
6.逆命题的教学
①如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a +b =c ．
②如果三角形的三边长a，b，c
满足a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形．
师生活动：比较两个命题的题设和结论，让学生初步感受到其题设和结论的关系，然后归纳和介绍原命题，逆命题，互逆定理的概念.同时再让学生回忆之前学习过的一些互逆定理.
设计意图：首先让学生观察上面两个命题的特点，然后引入逆命题的概念，再进一步了解互逆命题，互逆定理，体现数学的整体性、系统性，使学生进一步加深对性质和判定之间的关系认识.
例2
说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题是真命题吗？
如果a=b，那么a =b .
角平分线上的点到角两边的距离相等
.
师生活动：学生独立思考并口答完成.
设计意图：加深学生对原命题、逆命题，真命题、假命题等概念的理解，理解任何一个命题都有逆命题，但是逆命题不一定都是真命题，理解并会用“举反例”来判断逆命题为假命题.
7.小结
本节课你有什么收获？
通过今天的学习，你还能提出什么问题？
设计意图：通过第一个问题可引导对本节课内容及数学思想方法进行及时归纳和总结，且须特别强调研究几何问题的基本思路“观察、发现→提出问题→实验→得出猜想→证明→形成定理”.
第二个问题是本节问题研究的引申，并可引导学生提出新的问题，既开拓学生思维，又培养学生发现问题，提出问题的能力，让学生感受到课已终而学未止、思未休.
预测学生提出的问题有：钝角三角或者锐角三角形的三边长是否也存在某种数量关系？三角形三边长满足什么数量关系时，三角形是锐角三角形或钝角三角形？等等……
8.作业布置
教科书第33页练习第1,2，习题17.2第4,5题.
设计意图：考查勾股定理逆定理的应用，互逆命题的概念及其关系，判断一个命题是假命题的方法.
《17.2勾股定理的逆定理(第1课时)》点评
本节课以数学知识本身作为数学情境，通过复习勾股定理，启发学生逆向思考提出新的数学问题：“如果三角形三边长a，b，c满足a +b =c ，那么这个三角形是不是直角三角形。”
以此问题为导向，引导学生经历“情境、问题、实验、猜想、证明”的学习过程，探究并证明勾股定理的逆定理，了解原命题、逆命题的相关概念，进一步加深性质和判定定理之间关系的认识，体会从“特殊”到“一般”的数学思想及研究思路，培养学生的问题意识。在重视基础知识学习和基本技能训练的同时，更关注培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力。
勾股定理逆定理的证明是本节课的难点。根据学生的学习经验可知：要证明一个三角形是直角三角形，需要一个角为90°，但要证明这个角是90°，可以利用“三角形”中的“全等三角形”，而至少要有两个三角形才能考虑其“全等”，于是顺理成章地想到可先构造一个直角三角形，再证明已知中的△ABC与这个直角三角形全等，从而突破本节课用“同一法”的思想来证明数学命题的教学难点。
在教学设计中，教师对教材进行了一些灵活处理，而不是机械地只为学生解读课本。例如：古埃及人用（3，4，5）结绳画直角三角形的问题，是让学生自己去动手操作体验。虽然学生很容易犯“经验性”的错误：直接画三边长为3，4，5的三角形中的一个角是直角。通过质疑和讨论，培养学生严密审慎的逻辑思考习惯，体会几何证明的必要性，同时也能让学生在不断有问题生成的课堂中饶有兴趣地展开学习活动。
在本节课的学习中，教师通过不断追问，其目的是使学生理清思路，明白知识的来龙去脉，不仅知道“是什么”，更要知道“为什么”以及“你是怎样知道为什么是这样的”，此即“知其然，知其所以然，何由以知其所以然”“示以学生思维之道”。
同时，在学习过程中通过对问题的置疑与分析、质疑甚至是批判，力争让学生在问题提出与解决的过程中经历知识的发生、发展和形成过程，培养学生的创造性思维。
