(共12张PPT)
创设情境导入新课
第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础
进行设计的。如图,会标是由四个全等的直角三角形拼成的一个大正方
形。现在需要制作一个面积为2的正方形图标,那么这个正方形的边长
怎么表示呢
第
实数
2.2平方根(第一课时
算术平方根
单位:银川市第
执教:常欣
问题诱思学习概念
如图,是由4条横线,4条竖线构成的
方格网,它们相邻的行距、列距都是1。从
这些线段相交得的16个点(称为格点)
中,我们可以选择其中4个格点作为顶点连
接成一个正方形,叫做格点正方形
有面积分别是1、4、9的格点正方形吗
49
问题诱思学习概念
填表
正方形面积
边长
关系
149
、问题诱思学习概念
定义:如果一个正数X的平方等于a,即X=a。那么这
数x叫做a的算术平方根
记作
读作“根号a
其中,a是被开方数。
、问题诱思学习概念
3.如图,是由4条横线,4条竖线构成的方格网,它们相邻的行距、列
距都是1。有面积是5的格点正方形吗 它的边长是多少 这个数与5之
可的关系是什么
分层训练精讲点拔
例求下列各数的算术平方根
49
(1)900(2)1(3
(4)016(5)7
64
解
开平方与平方互为逆运算
、分层训练精讲点拨
变式训练计算下列各式的
49
V49的算术平方根
(2)
10
6
(3)
4
四、合作探究发散思维
如图,是由4条横线,4条竖线构成的方格网,它们相邻的行距、列距都
(1)那么图中正方形的面积是多少 试说明理由。
(2)请你估计√2的值在哪两个整数之间 为什么 2到底有多大
五、巩固应用深化理解
自由下落物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系h=4.9t.有
铁球从19.6米高的建筑物上自由下落,到达地面需要多长时间
解:将h=196代入公式h=49t,
得t=4,所以正数t=4=2(s)
即铁球到达地面需要2秒
少六反思总结自主质疑
1.这节课,你学习了什么知识
你是如何求算术平方根的
3.你用到了哪些数学思想
七、分层作业深化提是高
1必做题:教材第27页习题第1.2.3题
2选做题:教材第27页习题第4题
3预习题:带着问题“算术平方根和平方根有什么区别
和联系 ”阅读教材第27到29页。《算术平方根》教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
算术平方根
2.内容解析
在此之前，学生已学习了有理数、乘方运算、字母表示数、勾股定理和无理数，这为过渡到本节课的学习起到了铺垫作用。通过这一节课的学习，让学生了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根，能够利用概念的本质探索求算术平方根的方法，了解平方与开平方互为逆运算，能用有理数估计的大致范围。
在运算方面，引入了开平方运算，使学生掌握的代数运算由原来的加、减、乘、除、乘方五种扩展到六种，建立起较完善的代数运算体系。
在学习概念的过程中，渗透数形结合思想（正方形面积与边长的关系、估计的大致范围）、分类讨论思想（正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根）。
本节内容既是对前面所学知识的深化和发展，也是今后学习实数、根式、分式、函数等知识的重要基础。因此，本节处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。
基于以上分析，我确定本节课的教学重点是：
（1）会用根号表示一个数的算术平方根；
（2）会求一个非负数的算术平方根。
二、目标和目标解析
1.目标：
（1）了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根。
（2）了解平方与开平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。
（3）能用有理数估计的大致范围。
（4）经历概念形成的过程，体会数形结合、分类讨论的思想方法。
2.目标解析：
（1）结合图形，学生能将已知面积求边长的问题抽象成数学问题，即已知一个正数的平方，求这个正数的问题，进而引入算术平方根的概念，并会用根号表示数的算术平方根。
（2）在了解算术平方根概念的基础上，了解求一个数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根。
（3）结合具体情境，学生能利用不等式的性质对的近似值进行估计，初步体会无理数的特点。
（4）经历探索算术平方根概念的过程，体会知识的来源与发展，渗透数形结合、分类讨论的思想方法。
三、学生学情分析
知识储备：学生已经具备了乘方运算的基础，能记住一些自然数的平方，但是存在几个层次：
1.能记住10以内各自然数的平方；
2.能记住20以内各自然数的平方；
3.能由一个数的平方求出这个数。
能力储备：学生已具有一定的逆向思维的意识和经验，但是绝大多数学生的逆向思维的意识和经验不足。所以，在学生计算算术平方根时，引导学生发现:已知一个正数的平方，求这个正数，与求一个数的平方的过程正好相反。
综上所述，我将本节课的教学难点定为：根据算术平方根的概念求数的算术平方根。
四、教学策略分析
数学概念是数学学科知识体系的骨架和标签。形成准确、清晰的概念是数学学习的基本前提，这需要教师以教科书为起点向内挖掘概念内涵、向外拓展概念外延，整合有关素材，创新教学设计。
根据八年级学生的生理和心理特征，在学生的最近发展区，找准概念的生长点，引导学生经历概念的形成过程。探究已知面积求边长的问题时，让他们初步感受把开平方（此时学生头脑中还没有这个概念）转化为原有知识（平方的运算来解决），紧接着引导学生经历算术平方根概念形成的过程，逐步理解概念。然后再通过具体的练习，帮助学生养成用概念解决问题的好习惯。
五、教学过程设计
（一）创设情境，导入新课
第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的。如图1，会标是由四个全等的直角三角形拼成的一个大正方形。现在需要制作一个面积为2m2的正方形图标，那么这个正方形的边长怎么表示呢？
(
图
1
)教师：已知正方形的面积为2m2,它的边长应该怎么表示呢？让我们带着这个问题，开始今天的学习——算术平方根。
【设计意图】从实际问题中抽象出算术平方根的数学模型，在面积为2m2的正方形中，通过对其边长的表示方式的质疑，引发学生认知冲突，引出新课。
（二）问题诱思、学习概念
(
图
2
)1.如图2，是由4条横线，4条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1。从这些线段相交得出的16个点（称为格点）中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形。
在格点正方形中有面积分别是1、4、9的格点正方形吗？
(
面积为
1
面积为
4
面积为
9
)
填表：
正方形面积
边长
关系
1
1
12=1
4
2
22=4
9
3
32=9
师生活动：让学生感受到已知正方形的面积，能够推出它的边长，它们的关系是边长的平方等于面积。
板书：
面积
边长
关系
1
1
12=1
4
2
22=4
9
3
32=9
教师：如果我们用字母表示面积，用字母x表示边长，给定一个面积对应一个边长x，它们的关系是：x2=，因为x表示的是正方形的边长，所以x>0.满足这个关系的x叫做的算术平方根。
板书：
面积
边长
关系
x
x2=
板书：
定义：若
x2=,那么x叫做的算术平方根，记作
，读作“根号a”，a是被开方数。
师生活动：同学独立完善学案中算术平方根的定义,然后思考：“你怎样理解算术平方根的定义 ”，并在教师的引导下得到结论：正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。及时解决这节课刚开始的问题：“在面积为2m2的正方形中，边长怎么表示？”
板书：
规定：0的算术平方根是0。
负数没有算术平方根。
【设计意图】通过三个具体实例：已知正方形面积（选用学生熟悉的平方数1、4、9）求边长，引导学生发现它们的共同特征，感受到算术平方根存在的合理性，进而抽象出算术平方根的概念。本环节注重直观想象素养的培养，而学生获得的体验是后续抽象成数学知识的重要基础。在研究思路上从数和形两个方面加以引导，渗透函数思想、数学建模思想。紧接着，让学生说说对算术平方根定义的理解，强调定义中x>0,同时规定：0的算术平方根是0。引导学生发现负数没有算术平方根，渗透分类讨论的数学思想。
2.如图3，是由4条横线，4条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1。有面积是5的格点正方形吗？若有，把它画出来。它的边长是多少 这个数与5之间的关系是什么？
板书：
5
2=5
(
图
3
)
学生活动：学生独立完成，尝试用多种方法画出面积为5的格点正方形，并从几何与代数两个方面解释与5之间的关系。
【设计意图】趁热打铁，让学生再次从数和形两个方面加深对算术平方根概念的理解。
（三）分层训练、精讲点拨
例
求下列各数的算术平方根：
（1）900
（2）1
（3）
（4）0.16
（5）7
师生活动：教师在黑板上书写第（1）小题的计算过程，学生仿照格式完成其他小题，教师拍照上传，学生自评、互评。
追问：通过前面的计算，你觉得怎么求一个数的算术平方根？
师生活动：在教师的引导下得到结论。求一个数的算术平方根就是要找到一个正数，使它的平方等于这个数，而求这个数的算术平方根的过程叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。
(
平方
)板书：
(
正数
平方数
)
(
开平方
)
【设计意图】通过计算具体数的算术平方根，再次巩固算术平方根的概念。引导学生严格按照定义书写，这样有利于学生体会平方与开平方的互逆关系。
变式训练
计算下列各值：
（1）=_______
（2）
=______
（3）
=______
学生活动：让学生独立完成，并说出解题思路。
追问：的值和的算术平方根的值相同吗？
【设计意图】第（1）小题，让学生辨析求的值和求的算术平方根的含义是否相同；第（2）小题，让学生思考哪个正数的平方等于10-6，使算术平方根的概念在运用中得以升华；第（3）小题，求带分数的算术平方根，先将带分数化为假分数。
（四）合作探究、发散思维
如图4，是由4条横线，4条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1。
图中格点正方形的面积是多少？试说明理由。
请你估计的值在哪两个整数之间？为什么 究竟有多大？
(
图
4
)师生活动：学生先独立思考，然后小组内积极交流讨论，完成后小组代表展示成果。
【设计意图】此时教师充分发挥学生的主体能动性，给学生独立思考，自主探究的机会，鼓励他们畅所欲言。从代数角度出发：因为12=1，（）2=2，22=4，所以＜＜；从几何角度出发：面积为1的正方形＜面积为2的正方形＜面积为4的正方形。因此，它们相对应的边长也满足同样的大小关系，即1＜＜2。让学生再次感受平方与开平方互为逆运算。另外，在直角三角形中，斜边大于直角边，且在三角形中两边之和大于第三边，由此得到1＜＜2。通过数与形的相互转化、相辅相成来解决问题。
（五）巩固应用、深化理解
自由下落物体的高度h(米)与下落时间t（秒)的关系．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
学生活动：学生独立完成，并分享答案。
教师：时间一定是正数，这里实际上是求4的算术平方根。
【设计意图】借助实例，让学生感受算术平方根的实际应用。注重数学建模和数据分析素养的培养。
（六）反思总结、自主质疑
师生共同回顾本节课所学的主要内容，并请学生思考以下问题：
1.这节课，你学习了什么知识？
2.你是如何求算术平方根的
3.你用到了哪些数学思想？
【设计意图】小结归纳不应该仅仅是知识的罗列，而应该是优化知识结构，完善知识体系的一种有效手段。通过问题1引导学生回顾相关知识，通过问题2帮助学生进一步理解算术平方根与平方运算的联系，发展逆向思维能力，通过问题3进一步渗透学生的数学核心素养。整个过程在生生互动（相互补充）中进行，教师适时补充，帮助学生构建知识网络。
（七）分层作业、深化提高
1.必做题：教材第27页习题第1.2.3题；
2.选做题：教材第27页习题第4题；
3.预习题：带着问题“算术平方根和平方根有什么区别和联系？”阅读教材第27到29页内容。
【设计意图】必做题巩固本节所学知识；选做题发展学生对算术平方根概念的认识，分层布置作业，关注不同层次学生的发展；预习作业为下节课学习做准备。
板书设计
主板书
电子白板
辅板书
2.2.1算术平方根
1.定义：若x2=(x>0)，则称x是的算术平方根。记作，读作“根号”
2．规定：=0
3．负数没有算术平方根
面积边长关系1112=14222=49332=9
x
x2=
(
平方
)5
(2=5
正数
平方数
(
开平方
)
示范：
解：(1)因为302=900，所以900的算术平方根是30，即。
六、教学过程反思
1.
注重概念的形成过程。
对于八年级学生来说，他们的思维方式从以“形象思维”为主，逐步过渡到以“抽象思维（逻辑思维）”为主。在概念形成的过程中，首先通过三个具体实例让学生初步感受到平方与开平方互为逆运算（算术平方根的生长点），经过分析、综合，去掉非本质特征，保持本质属性，自然地引出了算术平方根的概念。让学生感受到算术平方根存在的合理性，逐步理解算术平方根的概念。
2.
让学生在了解算术平方根概念的基础上，求一个数的算术平方根。
仿照例题格式求一个数的算术平方根并不难，但要让学生理解算理，根据算术平方根的概念求一个数的算术平方根是一个难点，要通过本节课的教学让学生知道平方与开平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。
3.
提高学生自主探索和合作交流的能力。
在解决“面积为2的正方形的边长到底有多大？”的问题时，教师引导学生充分进行交流、讨论与探索，用有理数估计。鼓励学生借计算器等工具进行探索、猜测、验证，并用自己的语言清楚地表达。
4.
有意识地落实数学的思想方法、思维方法和研究方法.
数学教学的核心任务就在于学生学会数学思想方法并用以指导以后的学习和生活，因此本节课我有意识地为学生提供了有趣而富有数学含义的问题：方格网中画格点正方形，始终渗透数形结合的数学思想。
七、目标检测设计
1.求下列各数的算术平方根：
2.25，，361，，1.44
【设计意图】考查学生对算术平方根的掌握情况。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版》解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
《算术平方根》学案
【学习目标】1.知道算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根。
2.知道平方与开平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。
3.经历概念形成的过程，体会数形结合、分类讨论的思想方法。
4.能用有理数估计的大致范围。
【重难点】1.会用根号表示一个数的算术平方根；
2.会求一个非负数的算术平方根。
【学习过程】
创设情境，导入新课
第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的。如图，会标是由四个全等的直角三角形拼成的一个大正方形。现在需要制作一个面积为2的正方形图标，那么这个正方形的边长怎么表示呢？
二、问题诱思，学习概念
如下图，是由4条横线，4条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1。从这些线段相交得的16个点（称为格点）中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形。
有面积分别是1、4、9的格点正方形吗？
面积为1
面积为4
面积为9
填表：
正方形面积
边长
关系
1
1
12=1
4
9
定义：如果一个_______x的平方等于a，即x2=a,那么这个_______x叫做a的______________记作
______
，
读作“根号a"。其中，a是被开方数。
如图，是由4条横线，4条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1。有面积是5的格点正方形吗？把它画出来。它的边长是多少 这个数与5之间的关系是什么？
三、分层训练、精讲点拨
例
求下列各数的算术平方根：
（1）900
（2）1
（3）（4）0.16(5)7
（1）解：因为302=900，所以900的算术平方根是30，即=30。
变式训练
求下列各式的值：（1）=_______
（2）
=______
（3）
=________
四、合作探究、发散思维
请你估计的值在哪两个整数之间？为什么 究竟有多大？
五、巩固应用、深化理解
自由下落物体的高度h(米)与下落时间t（秒)的关系．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
解：
六、反思总结、自主质疑
1.这节课，你学习了什么知识？
2.你是如何求算术平方根的
3.你用到了哪些数学思想？
《算术平方根》评课稿
指导教师
施巍
《算术平方根》是学生在有理数、乘方运算、字母表示数、勾股定理和无理数基础上学习的新内容。由宁夏银川市第二十一中学常欣执教的这节课，以根据我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的第24届国际数学家大会会标创设问题情境，引发学生的认知冲突，在学生迫切想知道面积为2的正方形图标边长的表示方法时，引入新课，激发学生的求知欲；引导学生在“方格网”中数形结合探究面积为1、4、9的格点正方形的面积与其边长的对应关系及等量关系，由特殊到一般抽象出算术平方根的概念，在生生交流对平方根概念的理解中，加深学生对算术平方根概念的认识，感受0的算术平方根是0、负数没有算术平方根的合理性；让学生在方格网”中作面积为5的格点正方形、思考交流格点正方形边长与面积间的关系中直观感知算术平方根的概念，在多角度（代数、几何）解决问题中拓展学生思维，在变式训练中强化知识、熟练技能；在巩固应用中发展学生的应用意识，在合作交流中发展学生的数感。
教学过程中合理选用自主探究、合作交流的学习方式，有效利用信息技术辅助教学，“手机拍照”学生解题过程上传到交互电子白板反馈矫正、评价及时、恰当，注重教学生成，重视数学思想的渗透，教学组织形式和方法、策略有效，发展了学生数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养。
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