(共19张PPT)
“圆”来如此简单
昆明市白塔中学：杨燕
——探究辅助圆的基本模型
2019年9月30日全国公映的电影《我和我的祖国》票房大卖。小明想提前预定中国巨幕翠园国际影城电影票，却发现中国巨幕厅只剩两个座位可供选择，如图所示，第7排的A座位位于该厅右侧，且∠ANM=90o，第13排的B座位在这一排正中间的位置，请同学们从数学角度进行分析，选择哪个座位看电影视角更好。
荧
幕
M
N
B
A
探究1.若OA=OB=OC，∠AOB=60o，则∠ACB=
.
半径
圆心
定长
定点
30o
圆的定义
变式
确定定点和定长
探究2.已知点C为
一动点，且∠ACB=90o，AB=2，动
点C在运动过程中所经过的路径是什么？
C
A
B
O
动态展示
线段AB上方
线段AB外
如何画图？
小组活动
第一组：已知点C为线段AB上方一动点，且∠ACB=80o，请探究
动点C的运动路径.
第二组：已知点D为线段AB下方一动点，且∠ADB=100o，请探
究动点D的运动路径.
动态展示
第一组图
第二组图
探究3.在四边形ABCD中，∠B+∠D=180o，能否做出四边形
ABCD的外接圆呢？
反
证
法
提出假设
假设对角互补的四边形不能做出外接圆
找出矛盾
得出结论
对角互补的四边形能做出它的外接圆
情况一：四边形ABCD，其中点A、B、C三点共圆，点D在圆外.且∠B+∠D=180o.
A
B
C
D
O
E
情况二：四边形ABCD，其中点A、B、C三点共圆，点D在圆内.且∠B+∠D=180o.
A
B
C
D
E
O
结论：点D只能在圆上.
∵∠B+∠AEC=180o
∠B+∠D=180o.
∴∠AEC=∠D
∵∠AEC>∠D
∴矛盾
∵∠B+∠AEC=180o
∠B+∠ADC=180o.
∴∠AEC=∠ADC
∵∠ADC>∠AEC
∴矛盾
情况一矛盾，所以点D不能在圆外.
情况二矛盾，所以点D不能在圆内.
分
类
讨
论
思
想
以上的探究中，明明图中没有“圆”，偏偏在探究过程中要用到“圆”，像这样根据相关条件构造出图形中的圆我们称之为“辅助圆”.
M
荧
幕
N
B
A
1.
2019年9月30日全国公映的电影《我和我的祖国》票房大卖。甲提前预定中国巨幕翠园国际影城电影票，却发现中国巨幕厅只剩两个座位可供选择，如图所示，第7排的A座位位于该厅右侧，且∠ANM=90o，第13排的B座位在这一排正中间的位置，请同学们从数学角度进行分析，选择哪个座位看电影视角更好。
O
C
答：选择A座位，角度更大，因此看电影视角更好.
2.如图，
△PAC为等边三角形，点A，点B关于直线l对称，其中点A，点B在x轴上，点C在y轴上，点P在直线l上，求线段OC和线段OB的数量关系.
y
A
B
P
C
x
O
l
y
A
B
P
C
x
O
l
解析：
∴以点P为圆心，以线段PA的长度为半径画圆
∵定点：点P
定长：PA=PC=PB
答案：
3.如图，
点A（2，0），点B（6，0），点P为x轴上方一动点，且∠APB=60o，求点P的运动路径的长度.
y
x
O
A
B
P
2
6
4
定角
解析：
∵定线：线段AB
定角：∠APB=60o
y
x
O
A
B
P
2
6
C
D
2
∴以点D为圆心，以
为半径画弧
答案：
4
4.抛物线
与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C.
点P在抛物线上，直线PQ//BC交x轴于点Q，连接BQ.若含45o角的直角三角板DCE如图所示放置，其中一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式.
y
x
O
A
B
D
C
E
Q
P
（1,3）
（1,0）
解析：
y
x
O
A
B
D
C
E
P
Q
（1,3）
（1,0）
（4,0）
∴以DE为直径作四边形
CQED的外接圆.
∵∠CDE+∠CQE=180o
答案：y
=
-x
+
4
·
O
A
知识
辅助圆
模型
圆
三角形、四边形
函数
技能方法
分析法和综合法
从特殊到一般
构造法
反证法
数学思想
化归
数学建模
数形结合
分类讨论
完成学案上的分层作业
谢谢！
昆明市白塔中学：杨燕《“圆”来如此简单—探究辅助圆的基本模型》教学设计
昆明市白塔中学
杨燕
【一、内容和内容解析】
（一）内容
探究辅助圆的基本模型
（二）内容解析
在初中数学中，圆是我们常见的一个数学问题，也是初中教材中一个重要内容，但是有些题目明明题中和图中都没有圆的出现，但是在解题的过程中却要借助圆，这样的圆就是“辅助圆”。
这类“辅助圆”的出现也是有迹可循的：第一类当出现定点和定长时，可根据圆的定义构造圆；第二类当出现定线和定角时，可根据同弧（弦）所对的圆周角构造圆，或是90o的圆周角所对的弦是直径构造圆；第三类对角互补的四边形可构造圆。三类模型的出现都需要进行探究，而这个探究过程是从特殊到一般的过程。通过模型的探究，便可以利用圆的性质解决问题。
基于以上的分析，确定本节课的教学重点是：探究辅助圆的基本模型。
【二、教学目标及解析】
（一）目标
1.利用所学的知识对辅助圆模型进行探究.并在探究的过程中培养学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力；用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达现实世界.
2.能将所探究的辅助圆模型应用到生活实际问题和数学问题中，并进一步体会数学建模思想、分类讨论思想、化归思想和数形结合思想，养成良好的数学学习习惯.
（二）目标解析
达成目标1的标志是:能够通过小组讨论得到辅助圆出现的条件，并通过小组合作的形式利用图像、几何语言及文字语言总结出模型的特点，以及模型出现所需要具备的条件。
达成目标2的标志是：能够利用所探究的模型应用到生活实际问题和数学问题中去，并独立找到生活实际问题和数学问题的解决办法。
【三、教学问题诊断分析】
九年级的学生抽象思维趋于成熟，而且具有独立思考，合作交流，逻辑推理，归纳概括的能力。本节课是探究辅助圆的基本模型，在已有知识的基础之上，利用条件得到辅助圆并不困难，但是根据条件确定圆心和半径，进一步画出辅助圆对于学生会有一定的困难。因此在本节课的教学中，可以让学生从已有的知识出发，通过实践操作，自主探究、合作交流，归纳总结等数学活动中，理解和掌握数学知识技能，形成数学思想方法。
基于以上分析，本节课的难点为：在已有条件下，画出辅助圆.
【四、教学支持条件分析】
本课时教学以学生的动手操作、思考探究、合作交流为主，旨在培养学生的学习兴趣和探究新知的好奇心．在教学中，为帮助学生更好地探究辅助圆模型，在学生合作交流、动手操作的基础上，利用《几何画板》的度量功能和动画功能，准确、全面验证在探究操作中发现的结论，直观、形象地展现了辅助圆的出现过程.纵观整节课，采取动手操作和多媒体辅助演示等手段，加强学生的直观感受和师生之间的互动，让学生始终处于主动学习的状态，使课堂气氛活跃，充满新鲜感、愉快感、成功感，学生更易接受和理解，在活动中培养学生的归纳与概括的能力，增强积极参与课堂教学活动的意识．
【五、教学过程设计】
（一）情境引入
2019年9月30日全国公映的电影《我和我的祖国》票房大卖。小明提前预定中国巨幕翠园国际影城电影票，却发现中国巨幕厅只剩两个座位可供选择，如图所示，第7排的A座位位于该厅右侧，且∠ANM=90o，第13排的B座位在这一排正中间的位置，请同学们从数学角度进行分析，选择哪个座位看电影视角更好。
师生活动：通过“视角更好”引导学生是要比较∠A和∠B的大小，那么如何进行比较，引起学生的思考，激发他们的探究欲望.
设计意图：通过生活中熟悉的实际问题激发学生的学习兴趣及探究欲望.
（二）建模条件的探究
1．探究一
问题1：大家还记得圆的定义是什么吗？
师生活动：利用几何画板回忆圆的定义——到定点距离等于定长的点的集合.
问题2：OA=OB=OC，∠AOB=60o，则∠ACB=
.
师生活动：把学生分成小组，让学生以小组讨论的形式解决问题，并引导学生发现能够构造辅助圆的条件是“OA=OB=OC”，并进一步根据圆的定义总结出能够构造辅助圆的条件是“定点、定长”。最后让学生通过小组合作的方式将探究的结果以图形、几何语言和文字语言的形式用彩笔整理到卡纸上。
整理完成后展示汇报结果。
整个探究过程以学生的思考回答为主体，教师重点关注学生自主探究的方法，并通过学生的回答给予指导，整个探究的过程是一个从特殊到一般的过程.
问题3：若OA=OB=OC，OB绕点O逆时针方向旋转，当OB旋转到A、O、B三点共线时（点A，B不重合），则∠ACB=
.
师生活动：让学生们继续感受“定点、定长”可以构造辅助圆，并通过构造的辅助圆解决角度问题。同时利用几何画板验证答案，得到直径所对的圆周角为90o.
整个解决问题的过程让学生感受到辅助圆带来的便利——“圆”来如此简单，并进一步让学生体会类比思想.
设计意图：通过探究过程让学生得到构造辅助圆的第一个条件，并掌握从特殊到一般的数学方法，体会类比思想.问题3的设计不仅要让学生知道本节课探究的目的所在，而且也为接下来探究二的出现做了铺垫.
2．探究二
问题1：已知点C为线段AB外一动点，且∠ACB=90o
，AB=2，动点C在运动过程中所经过的路径是什么？如何画图？
师生活动：通过探究一学生可以很快的找到点C的运动路径是以线段AB为直径的圆，此时点C在圆上，教师进一步引导学生得到点C是该路径下的圆周角。再利用几何画板验证答案。
接着提出“如果点C为线段AB上方一动点，其他条件不变，动点C的运动路径是什么？”根据已有经验，学生可以很快答出是半圆弧。
问题2：小组活动
第一组：已知点C为线段AB上方一动点，且∠ACB=80o，请探究动点C的运动路径.
第二组：已知点D为线段AB下方一动点，且∠ADB=100o，请探究动点D的运动路径.
师生活动：通过问题1学生可以找到点C和点D的运动路径是弧，在利用几何画板演示点C和点D的运动轨迹，验证学生的答案。再提出问题：“你能画出这段弧所在的圆吗？”让学生进行合作讨论，思考该问题的解决方法.
由于画辅助圆是本节课的难点，所以针对学生的不同方法、不同的表达形式进行指导，并进行进一步的引导——画圆的两个要素是确定圆心和半径，所以要先确定圆心。线段AB是固定的线段，可以做该线段的垂直平分线，则圆心在线段AB的垂直平分线上，再根据定角∠ACB可以确定圆心角的度数，最后可以利用量角器构造出以线段AB为底边，顶角为160o的等腰三角形，从而确定圆心和半径。整个过程教师均已提问的方式进行引导，引导学生得到辅助圆的画法，并在学生回答的过程中利用几何画板作为技术支持，更进一步的验证所得到的答案。
在该画法的解决过程中，学生会出现下面的这种情况：连接AC、BC，做三角形ABC任意两边的线段垂直平分线，两条线段垂直平分线的交点即为圆心，圆心到A、B、C三点的距离即为半径，从而可以画出圆。出现的这种情况，教师要提出：点C是定点吗？让学生引起思考，进一步得到AC和BC两条线段也不是定线，所以不能做这两条线段的垂直平分线，而只能做定线AB的线段垂直平分线.
根据第一组活动，就容易解决第二个活动的辅助圆的做法，但是在解决问题的过程中，学生会发现圆心角为200o，超过了180o，这时利用几何画板让学生直观的看到活动二的圆心角仍然可以用160o来解决，此时画出的圆和活动一的圆是同一个。
接着教师提出问题：这两个活动都具备了什么共同的条件，可以让我们来构造辅助圆。学生可能回答是角度不变，有一条线段固定。教师再提出问题：那么这里的角度还可以换成40o，75o，108o等这样的度数吗？学生可以得到结论，无论角度怎么变只要在运动过程中角度不发生变化，都可以构造圆。这时教师再继续引导角度不变即为定角，线段固定即为定线，定线定角可以构造辅助圆。最后让学生通过小组合作的方式将探究的结果以图形、几何语言和文字语言的形式用彩笔整理到卡纸上。
整理完成后展示汇报结果。
设计意图：通过探究过程让学生得到构造辅助圆的第二个条件，并再次感受从特殊到一般的数学方法.问题2的设计两个定角的度数是互补的，为探究三做了引入.
3．探究三
师生活动：在几何画板中同时将上述的两个活动及构造的辅助圆呈现出来。
教师追问1：∠ACB和∠ADB有何数量关系？
回答：互补。
教师追问2：四边形ADBC和圆O有何关系？
回答：四边形ADBC是圆O的内接四边形。
教师追问3：对角互补的四边形能做出它的外接圆吗？
问题：在四边形ABCD中，∠B+∠D=180o，能否做出四边形ABCD的外接圆呢？
师生活动：先让学生进行思考，然后提出在初中阶段我们还学习过一种证明方法叫做反证法——提出假设，找到矛盾，推翻假设，得到结论。引导学生提出假设：对角互补的四边形ABCD不能做出它的外接圆。根据不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，假设A、B、C三点共圆，此时点D不在圆上，可以引导学生得到点D要么在圆外，要么在圆内，需要分情况进行讨论。
①假设点D在圆外，让学生进行小组合作讨论如何利用已有知识找出矛盾。
证明：设AD与圆O交于点E，连接CE
则四边形ABCE是圆O的内接四边形
∴∠B+∠AEC=180o
∵∠B+∠D=180o，
∴∠AEC=∠D
∵∠AEC是三角形CDE的外角
∴∠AEC=∠D+∠DCE，即∠AEC>∠D
∴矛盾，点D不在圆O外
②假设点D在圆内，让学生进行小组合作讨论如何利用已有知识找出矛盾。
证明：延长AD交圆O于点E，连接CE
则四边形ABCE是圆O的内接四边形
∴∠B+∠AEC=180o
∵∠B+∠ADC=180o，
∴∠AEC=∠ADC
∵∠ADC是三角形CDE的外角
∴∠ADC=∠AEC+∠DCE，即∠ADC>∠AEC
∴矛盾，点D不在圆O内
综上，点D在圆O上.
师生活动：通过以上探究可以发现对角互补是构造辅助圆的又一个条件。最后让学生通过小组合作的方式将探究的结果以图形、几何语言和文字语言的形式用彩笔整理到卡纸上。整理完成后展示汇报结果。
设计意图：通过探究过程让学生得到构造辅助圆的第三个条件，并掌握反证法这种数学方法.并体会分类讨论思想.
4．总结整理
师生活动：以上的探究中，明明图中没有“圆”，偏偏在探究过程中要用到“圆”，像这样根据相关条件构造出图形中的圆我们称之为“辅助圆”.并提出“辅助圆”就是做辅助线的一种形式。并再次根据学生的汇报卡纸回顾本节课所探究的三种模型。
设计意图：通过整理，让学生再次巩固本节课所探究的构造辅助圆的三个条件，理解这三个模型的出现用到了分析法和综合法，从特殊到一般，构造法及反证法这些数学方法，并体会数学建模思想.
（三）应用举例
1．2019年9月30日全国公映的电影《我和我的祖国》票房大卖。小明提前预定中国巨幕翠园国际影城电影票，却发现中国巨幕厅只剩两个座位可供选择，如图所示，第7排的A座位位于该厅右侧，且∠ANM=90o，第13排的B座位在这一排正中间的位置，请同学们从数学角度进行分析，选择哪个座位看电影视角更好。
师生活动：利用定线定角这个条件，可以以AM为直径构造辅助圆，该圆与线段BN交于点C，连接MC，则∠A=∠NCM，利用外角的性质可以知道∠NCM>∠B
，所以∠A>∠B，因此可以知道选择A座位看电影的视角会更好。
设计意图：再次回到本节课的最初情境引入的问题，利用本节课所学的模型就很好的解决了座位的选择问题，辅助圆模型可以帮助我们解决生活中的实际问题，再次验证了“圆”来如此简单，同时可以进一步体会数学中的类比思想.
2.如图，△PAC为等边三角形，点A，点B关于直线l对称，其中点A，点B在x轴上，点C在y轴上，点P在直线l上，求线段OC和线段OB的数量关系.
设计意图：利用定点定长构造辅助圆解决问题,体会数形结合思想，感受“圆”来如此简单.
3.如图，点A（2，0），点B（6，0），点P为x轴上方一动点，且∠APB=60o，求点P的运动路径的长度.
设计意图：利用定线定角构造辅助圆解决问题,体会数形结合思想，感受“圆”来如此简单.
4.抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C.
点P在抛物线上，直线PQ//BC交x轴于点Q，连接BQ.若含45o角的直角三角板DCE如图所示放置，其中一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式.
设计意图：利用对角互补构造辅助圆解决问题,体会数形结合思想，感受“圆”来如此简单.
（四）知识梳理
小结：
1.知识框架。
2.本节课上学到的解决问题的方法是什么
3.本节课体会到的数学思想是什么
设计意图：旨在让学生学会归纳总结，梳理知识，提高认识.
【六、目标检测设计】
基础练习
1.如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，BAC=26，CAD=74，则=________°，=________°
2.已知点A（1，0）、点B（7，0），在y轴上找到一点M，使∠AMB=45o，这样的点M有
个.
3.在平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（2，3），点P在y轴上，且△ABP为直角三角形.
请问满足条件的点P有几个？
并求出它们的坐标.
思维拓展
4.如图，在足球比赛场上，甲，乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点．从数学角度看，此时甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？
设计意图：考虑到学生的个体差异，为促使每一个学生得到不同的发展，同时促进学生对自己的学习进行反思。作业分两层:基础练习，目的是巩固本节课所学知识；思维拓展，给学生留有课后思维发散的空间，同时调动他们学习的积极性，开阔他们的视野。
《“圆”来如此简单—探究辅助圆的基本模型》教学评价
昆明市第十中学
谢晓玲
一位数学家这样描述几何学:“欧几里得几何建立了很简单直观、能为孩子们所接受的数学模型，然后教会他们用这样的数学模型去思考去探索。点、线、面、三角形和圆——这是一些多么简单又多么自然的数学模型，却能让孩子们在数学思维的天地里乐而忘返。很难想像有什么别的材料能够这样简单同时又这样有成效。”所以，几何教学，应遵循“点动成线、线动成面、面动成体”的研究体系来培养学生应用数学的意识和自主、合作、探索、创新的能力，为学生的可持续发展和终身学习奠定基础。帮助学生加深对几何知识的理解，内化所学知识。同时，在几何教学过程中，有效地渗透数学建模思想，不仅可以使学生体会到数学并非只是一门抽象的学科，而且可以使学生感受到利用数学建模思想结合数学方法解决实际问题的妙处，进而促进学生对数学产生极大的兴趣。
而本节课的教学设计就体现了几何教学的有效性。本堂课能够很好的激发学生的学习兴趣，调动学生的学习热情，培养学生的自主探究能力，使之掌握恰当的数学学习方法。最突出的有以下几点：
1.教学设计符合学生的认知规律，问题设计层层相扣，模型探究水到渠成。
情境引入中教师设计了电影院座位的选择问题，引起了学生的兴趣，从而引出本节课要探究的模型。通过圆的定义模型一学生很快可以探究出来，借助变式题自然的引出模型二，模型二中80o和100o两个角度的设计，为模型三的出现做了铺垫。整个设计一气呵成，构思巧妙。这样的设计符合学生的认知。整个探究过程体现了从特殊到一般的数学方法，渗透了从一般又到特殊的化归思想。
2.在合作中探究，在探究中提升学生的学习能力。
三个探究模型教师通过问题做引导，学生通过合作得出模型，在师生活动中充分的体现了学生的主体地位。再通过小组合作利用卡纸完成探究结果的总结，再次提升了学生的总结归纳能力，学生通过总结也可以更好的掌握模型出现的条件。
3.借助几何画板，为数学教学提供了良好的数学环境。
在模型探究中，教师多次使用到了几何画板，使得学生可以更直观生动的看到辅助圆的出现，不但实现了让学生进行有效的数学思维，而且还让整个课堂变得更加有趣和生动。同时也强化了数形结合思想。
4.应用举例，回归课题。
第一道例题，借助辅助圆轻松的回答了情境引入中的问题，诠释了“圆”来如此简单。其余三道例题的设计，分别应用到了前面探究的三个模型，也让学生再次感受到了辅助圆的出现，使得问题简单化，再次说明“圆”来如此简单，体现了本节课探究的意义所在，同时再次强化了数学中的化归思想。
另外应用举例中的四道题目均为学生进行讲解，实现了把课堂“还给”学生，再次体现了学生在课堂中的主体地位。
第一组图
第二组图
