(共9张PPT)
复习旧知
构建程序
计算：
复习旧知
构建程序
活动二：
两个分式相加减
判断分母的关系
约分
找最简公分母
通分
结果
分母不变
分子相加减
判断是否为最简分式
10.4
分式的加减法
邢晓东
运用程序
探索新知
运用程序
探索新知
计算：
运用程序
探索新知
知识要素分析
解：原式
巩固提升
深化新知
巩固提升
深化新知
计算：
归纳小结
布置作业
作业：必做
作业：选做
根据课堂上绘制的分式的加减法的流程框图，自己绘制分式的运算的流程框图.
比衣
Beijing
No
9
Middle
School教学基本信息
课题
§10.4分式的加减法（第3课时）
授课教师
北京市第九中学分校
邢晓东
学科
数学
学段
第三学段
年级
八年级
相关领域
数与代数
教材
书名：《数学（八年级上册）》
出版社：北京出版社
出版日期：2014年7月
指导思想与理论依据
1.建构主义学习理论
学生是积极主动的知识建构者，在一种处于最近发展区的情境中，在教师及同伴的适度帮助下，采取富有个性的认知加工策略，建构自己的独立理解.
本节课的教学，引导学生从上节课解决分母同为单项式的异分母分式加减运算这一原有的经验中“生长”出新的知识经验，促进学生的认知结构，以实现知识经验的重新组织、转换和改造.
2.《义务教育数学课程标准（2011版）》的基本理念
课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律.课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法.课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；……；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系.课程内容的呈现应注意层次性和多样性.
本节课将异分母分式加减法的两节课，分解为分母同为单项式和分母含多项式的两节课，符合学生认知规律，有利于学生积累与发展学习经验，分析与解决问题.
3.数学核心素养
数学运算：是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.数学运算是解决数学问题的基本手段，是演绎推理，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.在本节课的学习过程中主要培养了学生的运算能力.
逻辑推理：是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，在本节课的学习过程中用到了类比.
教学背景分析
一、教学内容分析
本单元为京教版义务教育教科书《数学》八年级上册第十章《分式》的《§10.4分式的加减法》，属于《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的“数与代数”领域.
是在小学学习了分数的加减法和初中学习了整式的运算、因式分解、分式的基本性质、分式乘除法的基础上进一步研究的内容.主要内容有“类比同分母分数的加减法学习同分母分式的加减法；类比分数的通分学习分式的通分；类比同分母分式的加减法学习异分母分式的加减法”，
是发展学生类比推理能力非常好的载体.本单元共五课时，包括“同分母分式的加减法”，“”分母为单项式的异分母分式的加减法，“分母含多项式的异分母分式的加减法”，“分式的四则混合运算”，以及“失误纠正、能力提升”，本节课为第三课时.
本节课是“分式加减法”中的重点内容，在学生已有的认知与经验的基础上，重点研究分母含多项式的异分母分式加减法，加深对异分母分式加减法化为同分母分式加减法的理解，关注程序性知识的本质，理解其中的算理及算法，剖析运算过程中知识要素，整体感知分式加减运算的逻辑和顺序，培养规范化思考的习惯与程序化解题的意识，在数学活动中积累经验，发展逻辑推理、数学运算的核心素养.本节课既是前面所学知识的巩固与发展，又是后续分式混合运算学习的基础，也为后续学习分式方程、函数、一元二次方程等内容奠定知识与思路方法的基础，也为物理化学的学习提供了支撑.
学生情况分析
认知基础：学生已经学习了有理数的运算、整式的运算、因式分解、同分母分式的加减法和分母是单项式的异分母分式的加减法，能够通过类比进行简单的数学学习活动，具有一定的数学活动经验，具备一定的运算能力及分析问题、解决问题的能力.
心理特点：本班的学生具有较强的求知欲，学习热情较高，愿意参与课堂活动.能通过观察实践、独立思考、合作交流，积极地进行学习与探究.
预设障碍：在分析问题、解决问题的过程中，学生对问题的认识和理解不够深刻，不能深入探究本质；规范化、程序化思考问题的意识不强，能力有待提高.
因此本节课创设熟悉的数学情境，激发学生兴趣，引发主动思考，营造自主探索和合作交流的学习氛围，在重点和关键处设计交流的活动，引导学生主动探索、发现异分母分式加减法的运算程序，明确算理依据，梳理知识要素，重视知识的实际获得，锻炼归纳概括的能力，发展数学运算素养.
教学目标(含重、难点)
教学目标：
1.在分母为单项式的异分母分式加减运算的基础上构建分式加减运算的程序框图，并会运用其进行分母含多项式的异分母分式加减运算，感悟运算的逻辑和顺序；
2.在自主探索、合作交流、分享展示中，理解运算对象，明晰运算思路；在分式加减运算及知识要素的分析梳理中，明确算法和依据，锻炼有条理的表达，积累数学活动的经验，发展数学运算素养.
3.在数学活动中，体会探索的乐趣，培养规范化思考问题的习惯与程序化解题的意识.
重点：会进行分母含多项式的异分母分式的加减法运算；明确运算的程序与思路.
难点：确定分母含多项式的异分母分式的最简公分母.
教学策略分析
1.在对课标、教材研读的基础上，从“程序性知识”的角度对教学内容进行分析，引导学生领悟“程序性知识”的学习方法.
2.本节课采取教师启发引导与学生合作学习相结合的方式，帮助学生理解异分母分式加减法的算理与算法、运算过程中知识要素的剖析.
教学过程
【复习旧知
构建程序】
活动一：
计算：
设计意图：通过讲评课前练习，回顾上节课分母同为单项式的异分母分式的加减运算的运算方法与依据，为本节的继续学习作认知铺垫.
预设层次1
解：原式
预设层次2
解：原式
预设层次3
解：原式
表现形式：学生讲台展示并讲解，学生质疑，主讲学生纠正及解答质疑.
活动二：回顾上节课所学习的分式的加减法运算过程，小组讨论并梳理程序框图.
设计意图：构建分式加减法的程序框图，有助于学生认清分式运算的算法，厘清分式加减法的程序框图，
体会其步骤间的联系与内在逻辑，并以此指导解决新问题。
预设：
对策：学生梳理黑板上运算程序，并说明框图摆放的依据与运算进行的顺序.
表现形式：学生讲解程序框图顺序，同学补充不同见解，教师补充提升.
教师对题目的分母进一步追问，学生明确此题是两分母均为不同单项式的异分母分式加减法，并思考、讨论发现分母还有其他的情况.
【运用程序
探索新知】
活动三（问题讨论）：
任务1.自主编题：以以下五个整式为分母
（分子设定为1）编写出异分母分式加减法的题目.
设计意图：为聚焦分式的分母，在编写题目的时候教师
先设定分子为1.关注分母的不同，进一步探究分母含
多项式的异分母分式加减法，与之前所学分母为单项式的异分母分式加减法进行区别；增加学生的参与度，参与到课堂环节的设计中，凸显学生的主体地位.
预设：，，，，……
表现形式：学生自己设计题目；某学生讲解展示算式的分母特征，并简单分析求解思路.
任务2.计算：
设计意图：（1）从学生所参与编题目中选取题目；（2）、选取较为简单的（分母为单项式和多项式）的异分母分式加减法，目的是抓重点分散难点；（3）、通过类比上节课解题的方法，运用程序框图，完善解题步骤，进一步掌握运算法则，体会算法的普遍性和确定性.
预设1
预设2
预设3
解：原式
解：原式
解：原式
表现形式：学生板书步骤，讲解运算思路，自查自改，同学间进行讨论.
活动四（知识要素分析）：
任务1.分析运算中涉及的知识要素，独立完成后小组讨论.
设计意图：通过学生的分析和讨论，学生能够完善解题步骤，掌握运算法则，培养学生思考、分析、解决问题的严谨性、逻辑性和策略性，提升学生的数学运算素养.
预设：解：原式
对策：小组代表展示分析，师生补充.
表现形式：独立思考，小组讨论，小组展示，组间补充，教师总结提升.
教师从之前的任务中找对应题目，请学生进行题目讲解
【巩固提升
深化新知】
活动五：
任务1.计算：
设计意图：巩固两分母为不同多项式的异分母分式加减法的运算，注意规范步骤与格式，不断总结分式加减法中的易错点，培养学生的运算能力.
预设1
解：原式
预设2
解：原式
预设3
解：原式
表现形式：学生展示解题过程，学生讲解思路，其他学生及教师予以补充.
【归纳小结
布置作业】
课堂小结：通过本节课的学习，你有什么收获？
预设1：本节课学习的是异分母分式的加减法，主要方法还是将异分母分式的加减变为同分母分式的加减.转变的核心步骤是找最简公分母，通分.本节课所学习的内容和上节课的不同在于本节课所学习的分式分母含多项式，所以进行通分之前要考虑分母是否需要因式分解.因此找最简公分母的步骤也和之前的学习略有不同.
对策一：学生总结的很到位，教师可以让其他同学重复相关重点内容.之后教师带领学生回顾分式加减的运算程序框图及运算涉及的知识要素.
预设2：本节课学习的是异分母分式的加减法，还学习了找最简公分母和通分.这节课还学习了分母是多项式要考虑分母是否需要因式分解.
对策二：学生总结的不全面，教师可以让其他同学进行补充，或教师自己补充异分母分式的加减是变为同分母分式加减进行计算的，以及找最简公分母的步骤略有不同.
预设3：本节课学习的是异分母分式的加减法，还学习了找最简公分母和通分.
对策三：学生总结的不全面，教师可以让其他同学进行补充，或教师自己补充运算的主要方法还是将异分母分式的加减变为同分母分式的加减.转变的核心步骤是找最简公分母，通分.
以及找最简公分母的步骤略有不同.
设计意图：小结是本节课学生思维的第二次飞跃，通过回顾，学生整体感知分式加减运算的算法程序及
算理，内化学习经验，深化认知策略，建构知识体系。
分层作业
：A组必做
计算：
B组选做
根据课堂上绘制的分式的加减法的流程框图，自己绘制分式四则运算的流程框图.
设计意图：巩固异分母分式加减法的运算，注意规范步骤与格式，培养学生的运算能力.
A组题目可以直接约分，运算更为简单；B组选做作业可以让学生从整体角度认识分式的运算，并为之后的课程打好基础.不同的题目设置让不同层次的学生有所收获.
本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点
本节课从学生的实际出发，充分调动学生的主观能动性，学生能够参与到课堂的设计中来，由学生自主引导探究并解决问题.
1.分解难点
分式运算是初中代数中较为复杂的运算问题，所涉及的知识多，综合性强，给学生带来的困难较大.所以在本节课的设计中，通分的细节在上课伊始由学生分析，分子设计为“1”为运算减少负担，分母类型分类让学生思路更加明晰，从而逐个突破运算中的难点.
2.充分学习和利用程序性知识
分式运算和之前所学习的有理数运算、整式运算、解方程等都属于程序性知识，可以运用算法流程图以及知识要素来帮助学生理清分式运算的算理和算法，从而更加清晰地认识到分式运算的环节.
3.以学生为主体推进课堂环节
本节课的课堂环节多以学生为主体来进行，例题、习题的运算过程，算法流程图的摆放，知识要素的梳理都是学生在自主探究的基础上合作、交流、分享而得到的，充分体现了以学生为学习的主体.
分式的加减法的点评
京教版数学第15册§10.4《分式的加减法》，是初中阶段重要的学习内容，也是学生面对的较为复杂的代数式运算类型。
明确主线分解难点
感悟数式通性，体会一般化及类比的方法是学习分式运算的主线。教师在学生学习了通分、同分母分式的加减法的基础上，将异分母分式的加减法分为分母均为单项式以及分母含有多项式的两节课，分母的归类分解了难点。本节课为最后一节，本节课的分式运算与前面运算相比运用的知识不仅包括通分、约分，还涉及因式分解，去括号、添括号等整式运算相关知识，步骤增多，难度加大，具体的运算方法也比较灵活，分解难点更符合学生认知规律，有利于学生把握主线，有利于学生类比学习以及分析与解决问题。
程序性问题算法化
本节课通过学生自主探究并呈现算法框图，并通过学生对算法的进一步解读、对每步用到的知识元素、依据的理解与分析，一是培养学生规范化思考的习惯与程序化解题的意识，并能根据法则和运算律正确地进行运算；二是有助于学生理解运算的算理，整体感知分式加减运算的逻辑和顺序；三是培养学生既能够宏观把握运算目标与方向，又不拘泥于步骤，能够灵活多样的寻求合理简洁的运算途径解决问题。
关注学生发展能力
本节课教学内容与环节，教学难点的突破、重点的落实紧紧围绕以学生为主体。学生将学习内容知识置于“分式的运算”的知识体系中，在剖析挖掘知识的“生长点”和“延伸点”以及解题思路的梳理过程中，理解运算程序的合理性、自主归纳算法、灵活运用程序，巩固与发展所学的知识与认知经验，在观察分析、独立思考、合作交流等探究活动中启思明理，发展了学生能力，落实了数学核心素养的培养。
北京教育学院石景山分院
吴京涛
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