(共11张PPT)
纸飞机中的数学问题
交中初级中学
徐志华
一起来折一个简易的纸飞机
提出问题
分析问题
解决问题：数学化问题
已知条件
所求内容
歼15总设计师——孙聪院士
作业
详细查看作业单
谢谢大家
数学知识
cN高
中国劲酒
LH重
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1.
MM
国劲酒
复
简单
简单
复纸飞机中的数学问题
上海民办浦东交中初级中学
徐志华
一、教学内容及其解析
本节课是上教版八年级第一学期第十九章《几何证明》的内容,按照单元规划属于“直角三角形”单元。该单元的主要内容包括：直角三角形的全等判定，直角三角形的性质，勾股定理，两点的距离公式。本节课是基于本单元内容而设计的一堂体现“综合与实践”的探究活动课。本课通过折纸飞机，观察纸飞机，自主探索、小组探讨的活动中，提出相关数学问题，并利用所学过的数学知识进行解决。本课所呈现的数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，初中阶段适当开展实践活动可以为高中阶段的探究性学习打下基础，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。
本堂课的探究载体是纸飞机，作为一项学生从小就熟悉认识的玩具，很容易让学生接受并引起探究的兴趣。探究活动具体表现为：折纸飞机，观察纸飞机，提出与纸飞机有关的数学问题（研究对象主要为线段，角度，面积等），通过画出所折纸飞机的折痕图 [1] ，将立体图形平面化，实际问题数学化。通过小组讨论，解决学生自己提出的问题。本节课是在学生已经学习了勾股定理及其逆定理的基础上展开的，勾股定理是定量几何的基础，是几何的支柱之一，是未来高中解析几何的基础之一。通过观察纸飞机的折叠步骤，提出问题，画出折痕图，利用勾股定理等方法求有关纸飞机中的线段长这几个活动，感受实际问题数学抽象化的过程，体会化归的数学思想。这是探究活动课的“地利” [2] 。探究活动课中鼓励学生提出问题，在自主思考的情况下进行小组讨论，对于未来的学习有着十分重要的意义。本节课内容在初中数学学习中是一个探索，希望学生进一步理解有关知识，发展应用意识和能力。
基于以上的分析，本节课的教学重点是经历观察纸飞机的形状和大小，提出有关的数学问题；利用勾股定理等知识，求解有关纸飞机中线段长的问题。
二、教学目标及其解析
基于探究活动课的特点以及对教学内容的思考，我将本节课的教学目标设置为：
1.在观察纸飞机的形状、大小的基础上，能提出用所学的数学知识解决的问题；
2.能把实际问题转化为数学问题，利用勾股定理等知识解决纸飞机中的有关线段的长度、面积等问题；
3.经历探究纸飞机中数学问题的过程，提高提出问题和解决问题的能力，感受实际问题数学抽象化的过程，体验化归的数学思想；
4.在独立思考、合作交流解决问题的过程中，体验成功的乐趣，进一步提高学习、研究数学问题的兴趣。
制定这些教学目标主要依据是《义务教育数学课程标准（2011）》中“综合与实践”板块提到的：体验建立模型，解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题，以及《上海市中小学数学课程标准（2004）》中提出的“重视学习方式多样化，促进学生学习方式完善”“随着学生学习经验的增长和能力的提高，应该逐步增加探究（研究）性学习活动。”这是开展探究活动课的“天时”。我想通过这节课的探究活动，让学生体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题，感受实际问题数学抽象化的过程，丰富数学学习经验，积累一定的数学活动经验。
三、学生学情分析
学生经历了勾股定理的学习，能解决比较简单的实际应用问题。所处的课堂一般是教师提出问题，学生解答问题，学生习惯完成教师布置的作业，缺少发现问题，提出问题的能力。部分学生遇到难题的时候，往往没有解答问题的思路，不知道从哪里入手。而又存在部分学生有遇事问个为什么的想法，为了探究课的顺利进行，采用小组的合作模式进行教学，给予学生充分的小组讨论和自我思考时间，有助于学生充分观察，充分思考，这种探究氛围是探究活动的“人和”。
因此本节探究活动课的教学难点是尝试提出问题和解决问题.
四、教学策略分析
为了达到教学设计中的教学目标，根据以上的分析，我制定了如下的策略：
1.用视频唤起兴趣，用对话引起思考
在课程开始时，播放电视公开课《开讲啦》片段的前半部分，唤起学生的学习兴趣。在探究活动完成后，播放片段的后半部分，用对话引起学生的思考和对这节探究课的总结，让学生悟出探究课中的收获。
2.自主思考发现问题，小组交流探究问题
在小组讨论时，教师巡视的过程中，鼓励学生提出问题。根据学生提出的问题，进行分类后，进行探究活动。在活动中，时刻关注有表达意愿的学生，给予机会，并鼓励同组中的其他学生共同完成探究活动。
3.折纸操作活动促进空间想象能力发展
学生一开始接触到的纸飞机是一个立体图形，通过自主观察如何折出简易的纸飞机，画纸飞机的折痕图的过程中，借助折纸这一工具，让学生在操作过程中直观的发现立体图形平面化，实际问题数学化的过程。
4.利用几何画板，展现规范折痕图
在使用信息技术方面,本节课根据教学目标的要求和课堂实际的情况,我主要采用电脑（几何画板）加投影的形式，充分利用电脑投影的快速，几何画板的直观清晰等优势，提高课堂教学效率，给学生留出更多的思考、探究、交流时间。
5.自评互评结合，促进探究活动开展
设置探究活动自评，他评环节，让学生积极参与小组合作式的数学项目实践活动，从中学会有效地与他人分工协作，平等地与他人对话分享，树立合作意识。
五、教学过程设计
这节探究活动，满足了“天时地利人和”的要求，我的教学过程设计如下：
1.
融入情境：
探究活动课需要学生积极参与到探究的活动中去，为了调动学生的兴趣，我利用了《开讲啦》中的一段视频，上课时首先播放一段视频，在主持人和嘉宾飞出纸飞机后停止播放，引起学生的兴趣，并引出这节课的探究对象：纸飞机。
2.
发现问题
事先在每个小组放置了一架折好的纸飞机，给学生一定的观察和操作时间，通过大家一起折一架与教师提供的相同的纸飞机。
3.
提出问题
组织学生观察纸飞机，思考后提出一个问题，然后用我们所学过的数学知识加以解决。教师提示“根据以往的经验，我们平时研究几何图形中的哪些量？”根据学生提出的有关问题，从边、角、周长、面积等方面进行适当分类，确定所要研究解决的问题。
4.
分析问题
根据学生提出的问题，引导学生分析、思考解决问题的方法，特别是渗透化归思想，在直角三角形中，利用勾股定理求有关线段的长。
5.
解决问题
通过和学生的对话，引出实际问题需要数学化，需要画出纸飞机的折痕图并逐点标注出已知条件，找到需要探索的线段在折痕图中的位置，给学生充分的思考和讨论时间，并请小组派代表进行交流。在交流的过程中，鼓励学生的多种解答思路。教师巡视时，尽量不干扰学生的数学思想，让学生自主讨论，并给予充分的时间进行思考与交流，慢下来给学生“悟”的时间和空间，探究活动是需要时间的。
在分析问题和解答问题的过程中，渗透化归的数学思想。为了求出PF的长，转化到求PI的长，随后引出DF与MK的长。其中求MK线段时，在学生积极探索的情况下，利用已知顶角45°的等腰三角形，勾股定理以及面积转化等思路进行求解。并引导学生发现前面提出的其他问题可以转化到求相应线段长度的问题，体验化归的数学思想。
6.
评价反思
播放《开讲啦》视频的后半部分，歼15总设计师孙院士的话可以体现这节探究课的育人价值，引导学生根据视频中的对话，进行自主小结，鼓励学生把每一件简单的事情都做好，就可以完成复杂的事情（类比探究课中，求复杂的线段长可以化归到已知的或者求解简单的线段长问题）。教师适当点评和总结出化归的数学思想，并组织学生进行自我评价和小组内的他评，布置回家作业。
期望通过这个数学探究活动，能够让学生体会探究、解决问题的一般方法：观察现象——提出问题——分析问题——解决问题。能够让学生体会数学抽象，数学建模的过程，提高发现问题，分析问题，解决问题的能力。
六
课堂教学目标检测
探究活动主要采用过程性评价，只要学生参与了实际的探究活动，就可以给予合格及以上的评价结果，要积极鼓励学生参与探究活动，我在以下几个方面进行课堂教学目标的检测：
1.在学生的学习单中设计了画出纸飞机的折痕图并写出已知条件和所求的内容的课堂探究活动。在自我思考与小组合作相结合的情况下，检测学生是否能否把实际问题数学化。对于有困难的学生，教师在巡查后投影折痕图图片，让他们感受实际问题数学抽象化的过程。
2.学习单上的探究活动一和探究活动二是灵活的，根据课堂生成，决定探究内容的是学生。本次教学中分别探究了线段PF，FD，MK的长度，学习单上可以反应学生为求PF的长而转化的过程。在教学过程中，让学生体验化归的数学思想，组织学生小组讨论之后上台发言交流，积极肯定各种解法，体验探究活动的乐趣。
3.课堂最后设置了此次探究活动的自评和小组互评环节，让学生对照评价标准进行，即回顾了整堂课的教学过程以及小组讨论的过程，又可以让学生更好的了解合作交流解决问题时需要注意的事项，丰富小组讨论的活动经验。
4.在回家作业设计中，习题1-3是折纸活动的相关练习，并且复习勾股定理逆定理。习题4鼓励学生对这次的探究活动进行再次尝试，巩固此次数学探究活动的成果。在批改回家作业时，习题4注重学生是否能在新的纸飞机的背景下提出有价值的问题，只要学生可以提出自己的问题，就应当多鼓励，如果遇到有价值的问题，可以安排部分感兴趣的学生继续探索，以撰写数学小论文的形式进行进一步的拓展和延申。
（附教案，学习单，作业单）
纸飞机中的数学问题
上海民办浦东交中初级中学
徐志华
【教学目标】
1.
在观察纸飞机的形状、大小的基础上，能提出用所学的数学知识解决的问题；
2.
能把实际问题转化为数学问题，利用勾股定理等知识解决纸飞机中的有关线段的长度、面积等问题；
3.
经历探究纸飞机中数学问题的过程，提高提出问题和解决问题的能力，感受实际问题数学抽象化的过程，体验化归的数学思想；
4.
在独立思考、合作交流解决问题的过程中，体验成功的乐趣，进一步提高学习、研究数学问题的兴趣。
【教学重点】
1.
经历观察纸飞机的形状和大小，提出有关的数学问题；
2.
利用勾股定理等知识，求解有关纸飞机中线段长的问题.
【教学难点】
通过观察提出问题和解决问题.
教学过程：
一、引入：
观看视频（纸飞机起飞），按要求折一架纸飞机，引出课题：纸飞机中的数学问题。
【设计意图】折纸飞机，为本节课的研究做必要的准备。
二、提出问题：
假设所给纸张的尺寸为20cm×30cm，机舱的高度为2cm，请大家仔细观察各自折好的纸飞机，思考后提出一个问题，然后用我们所学过的数学知识加以解决。根据学生提出的有关问题，从边、角、周长、面积等方面进行适当分类，确定所要研究解决的问题。
【设计意图】培养学生善于观察、善于思考、善于提出问题的意识。
三、解决问题：
问题一：机翼一边的长度
实际问题数学化，立体问题平面化。引导学生展开所折的纸飞机，在矩形中画出相应的折痕，标注条件，写好已知，求线段PF的长度。
已知：在矩形ABCD中，M、N分别是边AB和CD的中点，ME平分∠AMN，MF平分∠EMN，PQ∥MN，（MG平分∠AME，PH∥ME等），AD=30cm，CD=20cm，QN=2cm，求线段PF的长。
在学生独立思考的基础上，进行小组交流，班中介绍各自不同的方法。
PF=（cm）
【设计意图】鼓励学生从边、角等多个角度思考解决问题的方法，梳理有关所学的数学知识和数学方法，培养学生的思维能力。
问题二：飞机的机翼面积（四边形PFDQ的两倍）
问题化归到求底边的长。
【设计意图】在着重研究线段PF的长度后，作为完整性，研究四边形的面积，突出问题转化到线段的长度，体验化归的数学思想。
四、课堂小结：
1.学生谈本节课的收获和体会；
2.教师总结：探究、解决问题的一般方法：观察现象——提出问题——分析问题——解决问题，用数学知识解决现实中的问题往往需要进行数学的抽象，建立数学的模型，然后用数学的知识解决问题。
3.观看视频（《开讲啦》歼15总设计师孙聪的一段话），鼓励学生把每一件简单的事情都做好，就可以完成复杂的事情。
五、布置作业：见回家作业单
探究活动学习单
小组成员姓名：_____________________
探究活动一：_____________________
数学化问题
已知条件
所求内容
问题解决：
（备用图）
探究活动二：_____________________
数学化问题
已知条件
所求内容
问题解决：
自我评价：
请在下列你认为符合自己相应表现的地方打“√”
优秀
良好
需努力
参与态度
能积极参与小组合作学习
能努力完成小组分工的任务
分享合作
善于倾听同伴的观点
能主动提出问题或想法
能与同伴一起探讨问题和解决方案
乐于与同伴分享研究结果
交流表达
能清楚地表述自己的观点
能对同伴的观点进行判断、分析、质疑
组内互评：
班级：
被评者姓名：
小组成员：
请在下列你认为符合被评同学相应表现的地方打“√”
优秀
良好
需努力
参与态度
能积极参与小组合作学习
能努力完成小组分工的任务
分享合作
善于倾听同伴的观点
能主动提出问题或想法
能与同伴一起探讨问题和解决方案
乐于与同伴分享研究结果
交流表达
能清楚地表述自己的观点
能对同伴的观点进行判断、分析、质疑
我的体会：
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
《纸飞机中的数学问题》探究活动
回家作业单
姓名：_____________
班级：_______________
1.
如图，，，，，将边沿翻折，使点落在边上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，求线段的长.
2.
一架纸飞机的机翼形状和尺寸如图所示，求这架飞机的机翼面积.
3.
如图，将一张正方形纸片，依次沿着折痕，（其中向上翻折两次，形成“小船”（多边形的图样．若，四边形与的周长差为，求正方形的周长.
4.
请你用一张矩形纸片折一架与课堂中不一样的简易纸飞机，在矩形中画出折痕，写出已知条件，然后仔细观察所折的纸飞机，提出一个你感兴趣的、漂亮的、其他同学可以用所学过的数学知识解决的问题.
《纸飞机中的数学问题》一课点评
本节课作为一节“综合与实践”的探究活动课，教师引领学生经历观察、发现、提出问题、解决问题的过程，体验实际问题数学化的方法，同时也获得数学活动的经验，进一步理解有关数学知识，发展应用意识和能力。我感到这节课有以下四方面的特点：
1.引导观察，提出问题
教师选取学生相当熟悉的纸飞机作为研究的载体，引导学生认真观察、思考、提出有关数学问题，皆在培养学生的观察、归纳、猜想、提问等方面的能力，从而达到提高学生创新意识的目的。我认为，在我们当前数学教学课堂中，按照课程标准的要求，要培养学生的创新能力，应该从培养他们善于观察、善于归纳、善于思考、善于发现、善于提问着手，只有能提出恰当的问题，才能有创新的可能。
2.引导思考，化归问题
如何把一个实际问题转化为数学问题，也是需要学生认真、积极地思考。课堂中，在学生提出一些能用所学的数学知识解决的问题后，教师给了学生较为充足的时间，让他们思考、交流，把实际问题抽象为数学问题，即体验数学化的过程，从而再用数学的方法解决问题。
3.引导解决，落实基础
由于折纸展开图中，折痕较多，在解决问题时有一定的干扰，难度较大，因此教师在适当提示的基础上，继续给学生较为充裕的独立思考、合作交流的时间，这也符合学生探究问题所需要一定时间的规律。在此过程中，教师关注的不但是解决问题，而且还关注落实基础，因此引导学生通过交流，发现多种解决问题的方法。
4.引导评价，提高兴趣
作为今年上海初中数学教研的主题“探索‘问题解决’教学中的学习进程评价”，教师特别关注学生参与此类探究活动的兴趣，发挥评价的激励功能，进一步调动学生探究问题的积极性，除了“自评”外，还包括“他评”，因此教学效果也相当好。
点评者：浦东教育发展研究院
齐敏
条件：
矩形ABCD，AB=20，AD=30
^1
折痕图，又称CP图（Crease
patterns），是把根据折好的作品展开后在纸上留下的痕迹绘成的图
^2
参考《探究式教学的天时地利人和》，章建跃数学教育随想录下卷，671.
