2019年沪科版八年级上册数学《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2019年沪科版八年级上册数学《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 261.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-30 20:10:08 | ||
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文档简介
2019年沪科新版八年级上册数学《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．如图中，三角形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
3．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝9，则S1﹣S2＝（ ）
A． B．1 C． D．2
4．下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5cm，3cm，9cm B．5cm，3cm，8cm
C．5cm，3cm，7cm D．6cm，4cm，2cm
5．如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°．其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
6．下列句子中，不是命题的是（ ）
A．三角形的内角和等于180度
B．对顶角相等
C．过一点作已知直线的垂线
D．两点确定一条直线
7．下列语句：①每一个外角都等于60°的多边形是六边形；②“反证法”就是举反例说明一个命题是假命题；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是真命题；④分式有意义的条件是分子为零且分母不为零．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．A，B，C，D四个队赛球，比赛之前，甲和乙两人猜测比赛的成绩次序：甲：从第一名开始，名次顺序是A，D，C，B；乙：从第一名开始，名次顺序是A，C，B，D，比赛结果，两人都猜对了一个队的名次，已知第一名是B队，请写出四个队的名次顺序是（ ）
A．B，A，C，D B．B，C，A，D C．D，B，A，C D．B，A，D，C
9．成都七中学生网站是由成都七中四大学生组织共同管理的网站，该网站是成都七中历史上首次由四大学生组织共同合作建成的一个学生网站，其内容囊括了成都七中学生学习及生活的各个方面．某学生在输入网址“http：∥www．cdqzstu．com”中的“cdqzstu．com”时，不小心调换了两个字母的位置，则可能出现的错误种数是（ ）
A．90 B．45 C．88 D．44
10．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，应先假设这个直角三角形中（ ）
A．有一个锐角小于45° B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
二．填空题（共8小题）
11．原三角形如图所示，如图1，原三角形内部有1个点时，原三角形可被分成3个三角形；
如图2，原三角形内部有2个不同点时，原三角形可被分成5个三角形；
如图3，原三角形内部有3个不同点时，原三角形可被分成7个三角形；
…
以此类推，原三角形内部有n个不同点时，原三角形可被分成 个三角形．
12．锐角三角形的三条高都在 ，钝角三角形有 条高在三角形外，直角三角形有两条高恰是它的 ．
13．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，已知△ABC的面积为10，则△ADE的面积为 ．
14．三角形三边长为7cm、12cm、acm，则a的取值范围是 ．
15．把“同角的余角相等”写成“如果…，那么…”的形式为 ．
16．命题“互为相反数的两个数的和为0”的逆命题为 ．
17．小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A、B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按1～5题的顺序排列）是 ．
题号答案选手 1 2 3 4 5 得分
小聪 B A A B A 40
小玲 B A B A A 40
小红 A B B B A 30
18．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的0都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有 ．（请填入方块上的字母）
三．解答题（共8小题）
19．一个三角形的周长为36cm，三边之比a：b：c＝2：3：4，求a，b，c的值．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．
21．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为40，BD＝5，则E到BC边的距离为多少．
22．已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|．
23．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．下面有三个等式：①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，相构成以下三个命题：命题Ⅰ“如果①②成立，那么③成立”； 命题Ⅱ“如果①③成立，那么②成立”；命题Ⅲ“如果②③成立，那么①成立”．
（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答） ；
（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．
24．如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．并证明这个命题（只写出一种情况）①AB＝AC②DE＝DF③BE＝CF
已知：EG∥AF， ， ．
求证： ．
证明：
．
25．大冠买了一包宣纸练习书法，每星期一写1张，每星期二写2张，每星期三写3张，每星期四写4张，每星期五写5张，每星期六写6张，每星期日写7张．若大冠从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数已超过120张，则5月30日可能为星期几？请求出所有可能的答案并完整说明理由．
26．A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．
[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．
2019年沪科新版八年级上册数学《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图中，三角形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】不在同一直线上三点可以确定一个三角形，据此即可判断．
【解答】解：根据图示知，图中的三角形有：△ABE，△ABC，△DEC，△DBC，△EBC，共有5个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的认识，按正确的顺序计算三角形的个数是解决本题的关键．
2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【分析】根据直角三角形的性质即可直接得出结论．
【解答】解：∵直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，
∴若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形高的性质，熟知直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点是解答此题的关键．
3．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝9，则S1﹣S2＝（ ）
A． B．1 C． D．2
【分析】S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，因为AD＝2BD，BE＝CE，且S△ABC＝9，就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积．
【解答】解：∵BE＝CE，
∴BE＝BC，
∵S△ABC＝9，
∴S△ABE＝S△ABC＝×9＝4.5．
∵AD＝2BD，S△ABC＝9，
∴S△BCD＝S△ABC＝×9＝3，
∵S△ABE﹣S△BCD＝（S△ADF+S四边形BEFD）﹣（S△CEF+SS四边形BEFD）＝S△ADF﹣S△CEF，
即S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD＝4.5﹣3＝1.5．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形的面积，然后求出差．
4．下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5cm，3cm，9cm B．5cm，3cm，8cm
C．5cm，3cm，7cm D．6cm，4cm，2cm
【分析】根据三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只要把三边代入，看是否满足即可．
【解答】解：A中，5+3＜9，不能构成三角形；
B中，5+3＝8，不能构成三角形；
C中，5+3＞7，5﹣3＜7，能构成三角形；
D中，2+4＝6，不能构成三角形．
故选：C．
【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
5．如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°．其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】由已知条件可知∠ABC+∠ACB＝90°，又因为CD、BE分别是△ABC的角平分线，所以得到∠FBC+∠FCB＝45°，所以求出∠CFB＝135°；由平行线的性质可得到：∠ABG＝∠ACB，∠BAG＝2∠ABF．所以选项①③④正确．
【解答】解：∵AB⊥AC．
∴∠BAC＝90°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°
∵CD、BE分别是△ABC的角平分线，
∴2∠FBC+2∠FCB＝90°
∴∠FBC+∠FCB＝45°
∴∠BFC＝135°故④正确．
∵AG∥BC，
∴∠BAG＝∠ABC
∵∠ABC＝2∠ABF
∴∠BAG＝2∠ABF 故①正确．
∵AB⊥AC，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵AG⊥BG，
∴∠ABG+∠GAB＝90°
∵∠BAG＝∠ABC，
∴∠ABG＝∠ACB 故③正确．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及平行线的性质，角平分线的性质，具有一定的综合性．
6．下列句子中，不是命题的是（ ）
A．三角形的内角和等于180度
B．对顶角相等
C．过一点作已知直线的垂线
D．两点确定一条直线
【分析】根据命题的定义即表示对一件事情进行判断的语句叫命题，分别对每一项是否是命题进行判断即可．
【解答】解：A、三角形的内角和等于180度是命题；
B、对顶角相等是命题；
C、过一点作已知直线的垂线，没有对一件事情进行判断，不是命题；
D、两点确定一条直线是命题；
故选：C．
【点评】此题考查了命题与定理，用到的知识点是命题的定义，表示对一件事情进行判断的语句叫命题，关键是能根据命题的定义对每一项进行判断．
7．下列语句：①每一个外角都等于60°的多边形是六边形；②“反证法”就是举反例说明一个命题是假命题；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是真命题；④分式有意义的条件是分子为零且分母不为零．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据多边形的外角，反证法的定义，等腰三角形的性质与判定，分式有意义的条件，进行逐一判定分析，即可解答．
【解答】解：①每一个外角都等于60°的多边形是六边形，正确；
②“反证法”就是从反面的角度思考问题的证明方法，故错误；
③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形为等腰三角形，是真命题，正确；
④分式有意义的条件是分母不为零，故错误；
正确的有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了反证法．
8．A，B，C，D四个队赛球，比赛之前，甲和乙两人猜测比赛的成绩次序：甲：从第一名开始，名次顺序是A，D，C，B；乙：从第一名开始，名次顺序是A，C，B，D，比赛结果，两人都猜对了一个队的名次，已知第一名是B队，请写出四个队的名次顺序是（ ）
A．B，A，C，D B．B，C，A，D C．D，B，A，C D．B，A，D，C
【分析】两人都猜对了一个队的名次，已知两队猜的第一名是错误的，因此甲猜的第四名和乙猜的三名也是错误的．因此甲猜的第三项和乙猜的第四项是正确的，即这四个队的名次顺序为B、A、C、D．
【解答】解：由于甲、乙两队都猜对了一个队的名次，且第一名是B队．那么甲、乙的猜测情况可表示为：
甲：错、错、对、错；乙：错、错、错、对．
因此结合两个人的猜测情况，可得出正确的名次顺序为B、A、C、D．
故选：A．
【点评】解决本题的关键，是要综合考虑两个人的猜测情况，以免造成多解和错解．
9．成都七中学生网站是由成都七中四大学生组织共同管理的网站，该网站是成都七中历史上首次由四大学生组织共同合作建成的一个学生网站，其内容囊括了成都七中学生学习及生活的各个方面．某学生在输入网址“http：∥www．cdqzstu．com”中的“cdqzstu．com”时，不小心调换了两个字母的位置，则可能出现的错误种数是（ ）
A．90 B．45 C．88 D．44
【分析】“cdqzstu．com”中字母有10个．相同字母有2个．若第一个错误的字母是第一个字母c，那么c和它后面除c外任何一个字母调换后都可能出现错误，则错误的种类可能有8种．若第1个错误的字母是第二个字母d，排除和第一个字母已经计算过的错误后，可能出现的错误应该有8种，按照此种方法，错误的种类依次为：7，6，5，4，3，2，1；共有：16+7+6+5+4+3+2+1＝44种．
【解答】解：“cdqzstu．com”中共有10个字母；若c与后面的字母分别调换，则有：10﹣1＝9种调换方法；
依此类推，调换方法共有：9+8+7+…+1＝45种；
由于10个字母中，有两个字母相同，因此当相同字母调换时，不会出现错误．
因此出现错误的种数应该是：45﹣1＝44种．故选D．
【点评】解答本题时需注意：相同字母调换后结果不会出现错误．
10．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，应先假设这个直角三角形中（ ）
A．有一个锐角小于45° B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，
应先假设每一个锐角都大于45°．
故选：D．
【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
二．填空题（共8小题）
11．原三角形如图所示，如图1，原三角形内部有1个点时，原三角形可被分成3个三角形；
如图2，原三角形内部有2个不同点时，原三角形可被分成5个三角形；
如图3，原三角形内部有3个不同点时，原三角形可被分成7个三角形；
…
以此类推，原三角形内部有n个不同点时，原三角形可被分成 2n+1 个三角形．
【分析】认真审题可以发现：在三角形内部每增加一个点，得到三角形的个数正好是比点的个数的2倍还多1个，以此类推，即可发现规律．所以原三角形内部有n个不同点时，答案即现．
【解答】解：三角形内部每增加一个点，得到三角形的个数正好是比点的个数的2倍还多1个．
故答案为：2n+1．
【点评】这是一道找规律的题目，解决此类题目关键是要找出数据之间的关系．
12．锐角三角形的三条高都在 三角形内部 ，钝角三角形有 二 条高在三角形外，直角三角形有两条高恰是它的 直角边 ．
【分析】根据三角形的高的概念，通过具体作高，发现：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条在内部．
【解答】解：锐角三角形有三条高，高都在三角形内部，且锐角三角形三条高的交点一定在三角形内部；
钝角三角形有三条高，一条高在三角形内部，另外两条高在三角形外部，
直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部，三条高的交点在顶点上；
故答案分别是：三角形内部；二；直角边．
【点评】此题主要考查学生对三角形的高的概念的理解和掌握，解答此题的关键是三角形的高的概念，特别向学生强调的是直角三角形高的情况．
13．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，已知△ABC的面积为10，则△ADE的面积为 2.5 ．
【分析】先根据AD是△ABC的中线可知S△ADC＝S△ABC，再由DE是△ADC的中线可知S△ADE＝S△ADC，故可得出结论．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积为10，
∴S△ADC＝S△ABC＝×10＝5，
∵DE是△ADC的中线，
∴S△ADE＝S△ADC＝×5＝2.5．
故答案为：2.5．
【点评】本题考查的是三角形的面积，熟知三角形的中线将三角形的面积分为相等的两部分是解答此题的关键．
14．三角形三边长为7cm、12cm、acm，则a的取值范围是 5＜a＜19 ．
【分析】根据三角形中：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边，即可求解．
【解答】解：a的范围是：12﹣7＜a＜12+7，
即5＜a＜19．
故答案是：5＜a＜19．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
15．把“同角的余角相等”写成“如果…，那么…”的形式为 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 ．
【分析】命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【解答】解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”．
【点评】本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题有题设和结论两部分组成．
16．命题“互为相反数的两个数的和为0”的逆命题为 和为0的两数互为相反数， ．
【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可的出原命题的逆命题．
【解答】解：命题“互为相反数的两个数的和为0”的题设是“两数互为相反数”，结论是“和为0”，
故其逆命题是和为0的两数互为相反数，
故答案为：和为0的两数互为相反数．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
17．小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A、B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按1～5题的顺序排列）是 BABBA ．
题号答案选手 1 2 3 4 5 得分
小聪 B A A B A 40
小玲 B A B A A 40
小红 A B B B A 30
【分析】根据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2个错误，首先从三人答案相同的入手分析，然后从小聪和小玲不同的题目入手即可分析．
【解答】解：根据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2个错误．
第5题，三人选项相同，若不是选A，则小聪和小玲的其它题目的答案一定相同，与已知矛盾，则第5题的答案是A；
第3个第4题小聪和小玲都不同，则一定在这两题上其中一人有错误，则第1，2正确，则1的答案是：B，2的答案是：A；
则小红的错题是1和2，则3和4正确，则3的答案是：B，4的答案是：B．
总之，正确答案（按1～5题的顺序排列）是BABBA．
故答案是：BABBA．
【点评】本题考查了命题的推理与论证，正确确定问题的入手点，理解题目中每个题目只有A和B两个答案是关键．
18．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的0都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有 B、D、F、G ．（请填入方块上的字母）
【分析】根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷，A、B对应的方格中有一个雷，中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷．由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．由此得到本题答案．
【解答】解：图乙中最左边的“1”和最右边的“1”，可得如下推断
由第三行最左边的“1”，可得它的上方必定是雷．
结合B下方的“2”，可得最左边的A、B对应的方格中有一个雷；
同理可得最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，中间D、E对应方格中有一个雷；
由于B下方的“2”和第二行最右边的“2”，它们周围的雷已经够数，
所以C对应的方格肯定不是雷，如下图所示：
进行下一步推理：
因为C对应的方格不是雷，所以C下方“2”的左上、右上的方格，即B、D都是雷；
而B下方的“2”的周围的雷也已经够数，所以A对应的方格也不是雷．
因为D下方的“2”，它的周围的雷已经够数，可得E对应的方格不是雷，
根据F下方的“4”周围应该有4个雷，结合E不是雷，可得F、G对应的方格都是雷．
综上所述，A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．
故答案为：B、D、F、G．
【点评】此题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、E、F对应方格是否为雷．着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识，属于中档题．
三．解答题（共8小题）
19．一个三角形的周长为36cm，三边之比a：b：c＝2：3：4，求a，b，c的值．
【分析】设三边长分别为2x，3x，4x，根据周长为36cm，列出方程，解出方程的解即可得出答案．
【解答】解：设三边长分别为2x，3x，4x，
由题意得，2x+3x+4x＝36，
解得：x＝4．
则a＝2×4＝8（cm），
b＝3×4＝12（cm），
c＝4×4＝16（cm）．
【点评】本题考查了三角形，用到的知识点是三角形的周长、一元一次方程的应用，解答本题的关键是设出三边的长，利用方程思想求解．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．
【分析】根据中线的定义知CD＝BD．结合三角形周长公式知AC﹣AB＝5cm；又AC+AB＝11cm．易求AC的长度．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD＝BD．
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长＝5cm．
∴AC﹣AB＝5cm．
又∵AB+AC＝11cm，
∴AC＝8cm．
即AC的长度是8cm．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
21．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为40，BD＝5，则E到BC边的距离为多少．
【分析】（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；
（2）过E作BC边的垂线即可得：E到BC边的距离为EF的长，然后过A作BC边的垂线AG，再根据三角形中位线定理求解即可．
【解答】解：（1）∵∠BED是△ABE的外角，
∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝15°+40°＝55°；
（2）过E作BC边的垂线，F为垂足，则EF为所求的E到BC边的距离，
过A作BC边的垂线AG，
∴AD为△ABC的中线，BD＝5，
∴BC＝2BD＝2×5＝10，
∵△ABC的面积为40，
∴BC?AG＝40，即×10?AG＝40，解得AG＝8，
∵EF⊥BC于F，
∴EF∥AG，
∵E为AD的中点，
∴EF是△AGD的中位线，
∴EF＝AG＝×8＝4．
∴E到BC边的距离为4．
【点评】本题考查了三角形外角的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，涉及面较广，但难度适中．添加适当的辅助线是解题的关键．
22．已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|．
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断出正负情况，再根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值号，然后再进行整式的加减．
【解答】解：∵a、b、c是三角形三边长，
∴b+c﹣a＞0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，a﹣b+c＞0，
∴|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|，
＝b+c﹣a﹣b+c+a﹣c+a+b﹣a+b﹣c
＝2b．
【点评】本题主要利用三角形的三边关系和绝对值的性质求解，利用三边关系判断出正负情况是去掉绝对值号的关键．
23．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．下面有三个等式：①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，相构成以下三个命题：命题Ⅰ“如果①②成立，那么③成立”； 命题Ⅱ“如果①③成立，那么②成立”；命题Ⅲ“如果②③成立，那么①成立”．
（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答） Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ ；
（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．
【分析】（1）根据真命题的定义即可得出结论，
（2）根据全等三角形的判定方法及全等三角形的性质即可证明．
【解答】解：（1）Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，
故答案为：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ．
（2）选择命题Ⅱ“如果①③成立，那么②成立”；
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中，
∵
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE．
【点评】本题主要考查了真命题的定义及全等三角形的判定方法，难度适中．
24．如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．并证明这个命题（只写出一种情况）①AB＝AC②DE＝DF③BE＝CF
已知：EG∥AF， AB＝AC ， DE＝DF ．
求证： BE＝CF ．
证明：
作EG∥AF交BC于G，
∴∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠EGB，
∴EB＝EG，
在△EGD和△FCD中，
，
∴EG＝CF，
∴BE＝CF ．
【分析】作EG∥AF交BC于G，根据平行线的性质得到∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD，证明△EGD≌△FCD，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】已知：EG∥AF，AB＝AC，DE＝DF．
求证：BE＝CF．
证明：作EG∥AF交BC于G，
∴∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠EGB，
∴EB＝EG，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD，
∴EG＝CF，
∴BE＝CF．
故答案为：AB＝AC；DE＝DF；BE＝CF；作EG∥AF交BC于G，
∴∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠EGB，
∴EB＝EG，
在△EGD和△FCD中，
，
∴EG＝CF，
∴BE＝CF
【点评】本题考查的是命题和定理的证明，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．大冠买了一包宣纸练习书法，每星期一写1张，每星期二写2张，每星期三写3张，每星期四写4张，每星期五写5张，每星期六写6张，每星期日写7张．若大冠从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数已超过120张，则5月30日可能为星期几？请求出所有可能的答案并完整说明理由．
【分析】首先得出5月1日～5月30日，包括四个完整的星期，分别分析5月30日当分别为星期一到星期天时所有的可能，进而得出答案．
【解答】解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期，
∴5月1日～5月28日写的张数为：4×＝112，
若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1＝120，
若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120，
若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120，
若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120，
若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120，
若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120，
若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120，
故5月30日可能为星期五、六、日．
【点评】此题主要考查了推理与论证，根据题意分别得出5月30日时所有的可能是解题关键．
26．A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．
[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．
【分析】根据题意每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛，根据规则每场比赛，两队得分的和是3分或2分，据此对A队的胜负情况进行讨论，从而确定．
【解答】解：至少要7分才能保证一定出线；
每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛．
若A队两胜一平，则积7分．
因此其它队的积分不可能是9分，依据规则，不可能有球队积8分，
每场比赛，两队得分的和是3分或2分．
6场比赛两队的得分之和最少是12分，最多是18分，
∴最多只有两个队得7分．
所以积7分保证一定出线．
若A队两胜一负，积6分．
如表格所示，根据规则，这种情况下，A队不一定出线．
同理，当A队积分是5分、4分、3分、2分时不一定出线．
总之，至少7分才能保证一定出线．
【点评】本题考查了正确进行推理论证，在本题中正确确定A队可能的得分情况是关键．
一．选择题（共10小题）
1．如图中，三角形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
3．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝9，则S1﹣S2＝（ ）
A． B．1 C． D．2
4．下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5cm，3cm，9cm B．5cm，3cm，8cm
C．5cm，3cm，7cm D．6cm，4cm，2cm
5．如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°．其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
6．下列句子中，不是命题的是（ ）
A．三角形的内角和等于180度
B．对顶角相等
C．过一点作已知直线的垂线
D．两点确定一条直线
7．下列语句：①每一个外角都等于60°的多边形是六边形；②“反证法”就是举反例说明一个命题是假命题；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是真命题；④分式有意义的条件是分子为零且分母不为零．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．A，B，C，D四个队赛球，比赛之前，甲和乙两人猜测比赛的成绩次序：甲：从第一名开始，名次顺序是A，D，C，B；乙：从第一名开始，名次顺序是A，C，B，D，比赛结果，两人都猜对了一个队的名次，已知第一名是B队，请写出四个队的名次顺序是（ ）
A．B，A，C，D B．B，C，A，D C．D，B，A，C D．B，A，D，C
9．成都七中学生网站是由成都七中四大学生组织共同管理的网站，该网站是成都七中历史上首次由四大学生组织共同合作建成的一个学生网站，其内容囊括了成都七中学生学习及生活的各个方面．某学生在输入网址“http：∥www．cdqzstu．com”中的“cdqzstu．com”时，不小心调换了两个字母的位置，则可能出现的错误种数是（ ）
A．90 B．45 C．88 D．44
10．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，应先假设这个直角三角形中（ ）
A．有一个锐角小于45° B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
二．填空题（共8小题）
11．原三角形如图所示，如图1，原三角形内部有1个点时，原三角形可被分成3个三角形；
如图2，原三角形内部有2个不同点时，原三角形可被分成5个三角形；
如图3，原三角形内部有3个不同点时，原三角形可被分成7个三角形；
…
以此类推，原三角形内部有n个不同点时，原三角形可被分成 个三角形．
12．锐角三角形的三条高都在 ，钝角三角形有 条高在三角形外，直角三角形有两条高恰是它的 ．
13．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，已知△ABC的面积为10，则△ADE的面积为 ．
14．三角形三边长为7cm、12cm、acm，则a的取值范围是 ．
15．把“同角的余角相等”写成“如果…，那么…”的形式为 ．
16．命题“互为相反数的两个数的和为0”的逆命题为 ．
17．小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A、B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按1～5题的顺序排列）是 ．
题号答案选手 1 2 3 4 5 得分
小聪 B A A B A 40
小玲 B A B A A 40
小红 A B B B A 30
18．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的0都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有 ．（请填入方块上的字母）
三．解答题（共8小题）
19．一个三角形的周长为36cm，三边之比a：b：c＝2：3：4，求a，b，c的值．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．
21．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为40，BD＝5，则E到BC边的距离为多少．
22．已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|．
23．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．下面有三个等式：①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，相构成以下三个命题：命题Ⅰ“如果①②成立，那么③成立”； 命题Ⅱ“如果①③成立，那么②成立”；命题Ⅲ“如果②③成立，那么①成立”．
（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答） ；
（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．
24．如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．并证明这个命题（只写出一种情况）①AB＝AC②DE＝DF③BE＝CF
已知：EG∥AF， ， ．
求证： ．
证明：
．
25．大冠买了一包宣纸练习书法，每星期一写1张，每星期二写2张，每星期三写3张，每星期四写4张，每星期五写5张，每星期六写6张，每星期日写7张．若大冠从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数已超过120张，则5月30日可能为星期几？请求出所有可能的答案并完整说明理由．
26．A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．
[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．
2019年沪科新版八年级上册数学《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图中，三角形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】不在同一直线上三点可以确定一个三角形，据此即可判断．
【解答】解：根据图示知，图中的三角形有：△ABE，△ABC，△DEC，△DBC，△EBC，共有5个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的认识，按正确的顺序计算三角形的个数是解决本题的关键．
2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【分析】根据直角三角形的性质即可直接得出结论．
【解答】解：∵直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，
∴若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形高的性质，熟知直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点是解答此题的关键．
3．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝9，则S1﹣S2＝（ ）
A． B．1 C． D．2
【分析】S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，因为AD＝2BD，BE＝CE，且S△ABC＝9，就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积．
【解答】解：∵BE＝CE，
∴BE＝BC，
∵S△ABC＝9，
∴S△ABE＝S△ABC＝×9＝4.5．
∵AD＝2BD，S△ABC＝9，
∴S△BCD＝S△ABC＝×9＝3，
∵S△ABE﹣S△BCD＝（S△ADF+S四边形BEFD）﹣（S△CEF+SS四边形BEFD）＝S△ADF﹣S△CEF，
即S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD＝4.5﹣3＝1.5．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形的面积，然后求出差．
4．下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5cm，3cm，9cm B．5cm，3cm，8cm
C．5cm，3cm，7cm D．6cm，4cm，2cm
【分析】根据三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只要把三边代入，看是否满足即可．
【解答】解：A中，5+3＜9，不能构成三角形；
B中，5+3＝8，不能构成三角形；
C中，5+3＞7，5﹣3＜7，能构成三角形；
D中，2+4＝6，不能构成三角形．
故选：C．
【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
5．如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°．其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】由已知条件可知∠ABC+∠ACB＝90°，又因为CD、BE分别是△ABC的角平分线，所以得到∠FBC+∠FCB＝45°，所以求出∠CFB＝135°；由平行线的性质可得到：∠ABG＝∠ACB，∠BAG＝2∠ABF．所以选项①③④正确．
【解答】解：∵AB⊥AC．
∴∠BAC＝90°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°
∵CD、BE分别是△ABC的角平分线，
∴2∠FBC+2∠FCB＝90°
∴∠FBC+∠FCB＝45°
∴∠BFC＝135°故④正确．
∵AG∥BC，
∴∠BAG＝∠ABC
∵∠ABC＝2∠ABF
∴∠BAG＝2∠ABF 故①正确．
∵AB⊥AC，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵AG⊥BG，
∴∠ABG+∠GAB＝90°
∵∠BAG＝∠ABC，
∴∠ABG＝∠ACB 故③正确．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及平行线的性质，角平分线的性质，具有一定的综合性．
6．下列句子中，不是命题的是（ ）
A．三角形的内角和等于180度
B．对顶角相等
C．过一点作已知直线的垂线
D．两点确定一条直线
【分析】根据命题的定义即表示对一件事情进行判断的语句叫命题，分别对每一项是否是命题进行判断即可．
【解答】解：A、三角形的内角和等于180度是命题；
B、对顶角相等是命题；
C、过一点作已知直线的垂线，没有对一件事情进行判断，不是命题；
D、两点确定一条直线是命题；
故选：C．
【点评】此题考查了命题与定理，用到的知识点是命题的定义，表示对一件事情进行判断的语句叫命题，关键是能根据命题的定义对每一项进行判断．
7．下列语句：①每一个外角都等于60°的多边形是六边形；②“反证法”就是举反例说明一个命题是假命题；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是真命题；④分式有意义的条件是分子为零且分母不为零．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据多边形的外角，反证法的定义，等腰三角形的性质与判定，分式有意义的条件，进行逐一判定分析，即可解答．
【解答】解：①每一个外角都等于60°的多边形是六边形，正确；
②“反证法”就是从反面的角度思考问题的证明方法，故错误；
③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形为等腰三角形，是真命题，正确；
④分式有意义的条件是分母不为零，故错误；
正确的有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了反证法．
8．A，B，C，D四个队赛球，比赛之前，甲和乙两人猜测比赛的成绩次序：甲：从第一名开始，名次顺序是A，D，C，B；乙：从第一名开始，名次顺序是A，C，B，D，比赛结果，两人都猜对了一个队的名次，已知第一名是B队，请写出四个队的名次顺序是（ ）
A．B，A，C，D B．B，C，A，D C．D，B，A，C D．B，A，D，C
【分析】两人都猜对了一个队的名次，已知两队猜的第一名是错误的，因此甲猜的第四名和乙猜的三名也是错误的．因此甲猜的第三项和乙猜的第四项是正确的，即这四个队的名次顺序为B、A、C、D．
【解答】解：由于甲、乙两队都猜对了一个队的名次，且第一名是B队．那么甲、乙的猜测情况可表示为：
甲：错、错、对、错；乙：错、错、错、对．
因此结合两个人的猜测情况，可得出正确的名次顺序为B、A、C、D．
故选：A．
【点评】解决本题的关键，是要综合考虑两个人的猜测情况，以免造成多解和错解．
9．成都七中学生网站是由成都七中四大学生组织共同管理的网站，该网站是成都七中历史上首次由四大学生组织共同合作建成的一个学生网站，其内容囊括了成都七中学生学习及生活的各个方面．某学生在输入网址“http：∥www．cdqzstu．com”中的“cdqzstu．com”时，不小心调换了两个字母的位置，则可能出现的错误种数是（ ）
A．90 B．45 C．88 D．44
【分析】“cdqzstu．com”中字母有10个．相同字母有2个．若第一个错误的字母是第一个字母c，那么c和它后面除c外任何一个字母调换后都可能出现错误，则错误的种类可能有8种．若第1个错误的字母是第二个字母d，排除和第一个字母已经计算过的错误后，可能出现的错误应该有8种，按照此种方法，错误的种类依次为：7，6，5，4，3，2，1；共有：16+7+6+5+4+3+2+1＝44种．
【解答】解：“cdqzstu．com”中共有10个字母；若c与后面的字母分别调换，则有：10﹣1＝9种调换方法；
依此类推，调换方法共有：9+8+7+…+1＝45种；
由于10个字母中，有两个字母相同，因此当相同字母调换时，不会出现错误．
因此出现错误的种数应该是：45﹣1＝44种．故选D．
【点评】解答本题时需注意：相同字母调换后结果不会出现错误．
10．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，应先假设这个直角三角形中（ ）
A．有一个锐角小于45° B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，
应先假设每一个锐角都大于45°．
故选：D．
【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
二．填空题（共8小题）
11．原三角形如图所示，如图1，原三角形内部有1个点时，原三角形可被分成3个三角形；
如图2，原三角形内部有2个不同点时，原三角形可被分成5个三角形；
如图3，原三角形内部有3个不同点时，原三角形可被分成7个三角形；
…
以此类推，原三角形内部有n个不同点时，原三角形可被分成 2n+1 个三角形．
【分析】认真审题可以发现：在三角形内部每增加一个点，得到三角形的个数正好是比点的个数的2倍还多1个，以此类推，即可发现规律．所以原三角形内部有n个不同点时，答案即现．
【解答】解：三角形内部每增加一个点，得到三角形的个数正好是比点的个数的2倍还多1个．
故答案为：2n+1．
【点评】这是一道找规律的题目，解决此类题目关键是要找出数据之间的关系．
12．锐角三角形的三条高都在 三角形内部 ，钝角三角形有 二 条高在三角形外，直角三角形有两条高恰是它的 直角边 ．
【分析】根据三角形的高的概念，通过具体作高，发现：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条在内部．
【解答】解：锐角三角形有三条高，高都在三角形内部，且锐角三角形三条高的交点一定在三角形内部；
钝角三角形有三条高，一条高在三角形内部，另外两条高在三角形外部，
直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部，三条高的交点在顶点上；
故答案分别是：三角形内部；二；直角边．
【点评】此题主要考查学生对三角形的高的概念的理解和掌握，解答此题的关键是三角形的高的概念，特别向学生强调的是直角三角形高的情况．
13．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，已知△ABC的面积为10，则△ADE的面积为 2.5 ．
【分析】先根据AD是△ABC的中线可知S△ADC＝S△ABC，再由DE是△ADC的中线可知S△ADE＝S△ADC，故可得出结论．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积为10，
∴S△ADC＝S△ABC＝×10＝5，
∵DE是△ADC的中线，
∴S△ADE＝S△ADC＝×5＝2.5．
故答案为：2.5．
【点评】本题考查的是三角形的面积，熟知三角形的中线将三角形的面积分为相等的两部分是解答此题的关键．
14．三角形三边长为7cm、12cm、acm，则a的取值范围是 5＜a＜19 ．
【分析】根据三角形中：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边，即可求解．
【解答】解：a的范围是：12﹣7＜a＜12+7，
即5＜a＜19．
故答案是：5＜a＜19．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
15．把“同角的余角相等”写成“如果…，那么…”的形式为 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 ．
【分析】命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【解答】解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”．
【点评】本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题有题设和结论两部分组成．
16．命题“互为相反数的两个数的和为0”的逆命题为 和为0的两数互为相反数， ．
【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可的出原命题的逆命题．
【解答】解：命题“互为相反数的两个数的和为0”的题设是“两数互为相反数”，结论是“和为0”，
故其逆命题是和为0的两数互为相反数，
故答案为：和为0的两数互为相反数．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
17．小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A、B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按1～5题的顺序排列）是 BABBA ．
题号答案选手 1 2 3 4 5 得分
小聪 B A A B A 40
小玲 B A B A A 40
小红 A B B B A 30
【分析】根据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2个错误，首先从三人答案相同的入手分析，然后从小聪和小玲不同的题目入手即可分析．
【解答】解：根据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2个错误．
第5题，三人选项相同，若不是选A，则小聪和小玲的其它题目的答案一定相同，与已知矛盾，则第5题的答案是A；
第3个第4题小聪和小玲都不同，则一定在这两题上其中一人有错误，则第1，2正确，则1的答案是：B，2的答案是：A；
则小红的错题是1和2，则3和4正确，则3的答案是：B，4的答案是：B．
总之，正确答案（按1～5题的顺序排列）是BABBA．
故答案是：BABBA．
【点评】本题考查了命题的推理与论证，正确确定问题的入手点，理解题目中每个题目只有A和B两个答案是关键．
18．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的0都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有 B、D、F、G ．（请填入方块上的字母）
【分析】根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷，A、B对应的方格中有一个雷，中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷．由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．由此得到本题答案．
【解答】解：图乙中最左边的“1”和最右边的“1”，可得如下推断
由第三行最左边的“1”，可得它的上方必定是雷．
结合B下方的“2”，可得最左边的A、B对应的方格中有一个雷；
同理可得最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，中间D、E对应方格中有一个雷；
由于B下方的“2”和第二行最右边的“2”，它们周围的雷已经够数，
所以C对应的方格肯定不是雷，如下图所示：
进行下一步推理：
因为C对应的方格不是雷，所以C下方“2”的左上、右上的方格，即B、D都是雷；
而B下方的“2”的周围的雷也已经够数，所以A对应的方格也不是雷．
因为D下方的“2”，它的周围的雷已经够数，可得E对应的方格不是雷，
根据F下方的“4”周围应该有4个雷，结合E不是雷，可得F、G对应的方格都是雷．
综上所述，A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．
故答案为：B、D、F、G．
【点评】此题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、E、F对应方格是否为雷．着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识，属于中档题．
三．解答题（共8小题）
19．一个三角形的周长为36cm，三边之比a：b：c＝2：3：4，求a，b，c的值．
【分析】设三边长分别为2x，3x，4x，根据周长为36cm，列出方程，解出方程的解即可得出答案．
【解答】解：设三边长分别为2x，3x，4x，
由题意得，2x+3x+4x＝36，
解得：x＝4．
则a＝2×4＝8（cm），
b＝3×4＝12（cm），
c＝4×4＝16（cm）．
【点评】本题考查了三角形，用到的知识点是三角形的周长、一元一次方程的应用，解答本题的关键是设出三边的长，利用方程思想求解．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．
【分析】根据中线的定义知CD＝BD．结合三角形周长公式知AC﹣AB＝5cm；又AC+AB＝11cm．易求AC的长度．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD＝BD．
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长＝5cm．
∴AC﹣AB＝5cm．
又∵AB+AC＝11cm，
∴AC＝8cm．
即AC的长度是8cm．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
21．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为40，BD＝5，则E到BC边的距离为多少．
【分析】（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；
（2）过E作BC边的垂线即可得：E到BC边的距离为EF的长，然后过A作BC边的垂线AG，再根据三角形中位线定理求解即可．
【解答】解：（1）∵∠BED是△ABE的外角，
∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝15°+40°＝55°；
（2）过E作BC边的垂线，F为垂足，则EF为所求的E到BC边的距离，
过A作BC边的垂线AG，
∴AD为△ABC的中线，BD＝5，
∴BC＝2BD＝2×5＝10，
∵△ABC的面积为40，
∴BC?AG＝40，即×10?AG＝40，解得AG＝8，
∵EF⊥BC于F，
∴EF∥AG，
∵E为AD的中点，
∴EF是△AGD的中位线，
∴EF＝AG＝×8＝4．
∴E到BC边的距离为4．
【点评】本题考查了三角形外角的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，涉及面较广，但难度适中．添加适当的辅助线是解题的关键．
22．已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|．
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断出正负情况，再根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值号，然后再进行整式的加减．
【解答】解：∵a、b、c是三角形三边长，
∴b+c﹣a＞0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，a﹣b+c＞0，
∴|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|，
＝b+c﹣a﹣b+c+a﹣c+a+b﹣a+b﹣c
＝2b．
【点评】本题主要利用三角形的三边关系和绝对值的性质求解，利用三边关系判断出正负情况是去掉绝对值号的关键．
23．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．下面有三个等式：①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，相构成以下三个命题：命题Ⅰ“如果①②成立，那么③成立”； 命题Ⅱ“如果①③成立，那么②成立”；命题Ⅲ“如果②③成立，那么①成立”．
（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答） Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ ；
（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．
【分析】（1）根据真命题的定义即可得出结论，
（2）根据全等三角形的判定方法及全等三角形的性质即可证明．
【解答】解：（1）Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，
故答案为：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ．
（2）选择命题Ⅱ“如果①③成立，那么②成立”；
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中，
∵
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE．
【点评】本题主要考查了真命题的定义及全等三角形的判定方法，难度适中．
24．如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．并证明这个命题（只写出一种情况）①AB＝AC②DE＝DF③BE＝CF
已知：EG∥AF， AB＝AC ， DE＝DF ．
求证： BE＝CF ．
证明：
作EG∥AF交BC于G，
∴∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠EGB，
∴EB＝EG，
在△EGD和△FCD中，
，
∴EG＝CF，
∴BE＝CF ．
【分析】作EG∥AF交BC于G，根据平行线的性质得到∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD，证明△EGD≌△FCD，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】已知：EG∥AF，AB＝AC，DE＝DF．
求证：BE＝CF．
证明：作EG∥AF交BC于G，
∴∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠EGB，
∴EB＝EG，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD，
∴EG＝CF，
∴BE＝CF．
故答案为：AB＝AC；DE＝DF；BE＝CF；作EG∥AF交BC于G，
∴∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠EGB，
∴EB＝EG，
在△EGD和△FCD中，
，
∴EG＝CF，
∴BE＝CF
【点评】本题考查的是命题和定理的证明，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．大冠买了一包宣纸练习书法，每星期一写1张，每星期二写2张，每星期三写3张，每星期四写4张，每星期五写5张，每星期六写6张，每星期日写7张．若大冠从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数已超过120张，则5月30日可能为星期几？请求出所有可能的答案并完整说明理由．
【分析】首先得出5月1日～5月30日，包括四个完整的星期，分别分析5月30日当分别为星期一到星期天时所有的可能，进而得出答案．
【解答】解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期，
∴5月1日～5月28日写的张数为：4×＝112，
若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1＝120，
若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120，
若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120，
若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120，
若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120，
若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120，
若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120，
故5月30日可能为星期五、六、日．
【点评】此题主要考查了推理与论证，根据题意分别得出5月30日时所有的可能是解题关键．
26．A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．
[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．
【分析】根据题意每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛，根据规则每场比赛，两队得分的和是3分或2分，据此对A队的胜负情况进行讨论，从而确定．
【解答】解：至少要7分才能保证一定出线；
每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛．
若A队两胜一平，则积7分．
因此其它队的积分不可能是9分，依据规则，不可能有球队积8分，
每场比赛，两队得分的和是3分或2分．
6场比赛两队的得分之和最少是12分，最多是18分，
∴最多只有两个队得7分．
所以积7分保证一定出线．
若A队两胜一负，积6分．
如表格所示，根据规则，这种情况下，A队不一定出线．
同理，当A队积分是5分、4分、3分、2分时不一定出线．
总之，至少7分才能保证一定出线．
【点评】本题考查了正确进行推理论证，在本题中正确确定A队可能的得分情况是关键．