2019年沪科版八年级上册数学《第15章 轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2019年沪科版八年级上册数学《第15章 轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 415.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-30 20:11:01 | ||
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文档简介
2019年沪科新版八年级上册数学《第15章 轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
3．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°
4．正三角形ABC所在平面内有一点P，使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（ ）
A．1个 B．4个 C．7个 D．10个
5．如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是
①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD＝CE．（ ）
A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
6．把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（ ）
（1）F，R，P，J，L，G，（ ）
（2）H，I，O，（ ）
（3）N，S，（ ）
（4）B，C，K，E，（ ）
（5）V，A，T，Y，W，U，（ ）
A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，X C．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M
7．下列说法正确的是（ ）
A．任何一个图形都有对称轴
B．两个全等三角形一定关于某直线对称
C．若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC≌△A′B′C′
D．点A，点B在直线l两旁，且AB与直线l交于点O，若AO＝BO，则点A与点B关于直线l对称
8．下列表情中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（ ）
A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01
10．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1，还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2，按上述方法不断操作下去…经过第2018次操作后得到的折痕D2017E2017到BC的距离记为h2018，若h1＝1，则h2018的值为（ ）
A．2﹣ B． C．1﹣ D．2﹣
二．填空题（共8小题）
11．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD＝4，则PC等于 ．
12．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长＝ cm．
13．等腰三角形的一边长是3cm，另外一边长是5cm，则它的第三边长是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有 个．
15．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，∠1＝∠2，若∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1等于 ．
16．如图，在∠AOB的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若△PCD的周长为30cm，则线段MN的长为 cm．
17．在一些缩写符号SOS，CCTV，BBC，WWW，TNT中，成轴对称图形的是 ．
18．小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是 ．
三．解答题（共8小题）
19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
20．作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，
并且到点A、C的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹）
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．
（1）求证：AM∥BC；
（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．
22．在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H，
①求证：△APF是等腰三角形；
②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．
23．如图，P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，MN分 别交OA、OB于E、F．
（1）若△PEF的周长是10cm，求MN的长．
（2）若∠AOB＝30°，试求∠MON的度数．
24．画图：试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格，
正多边形的边数 3 4 5 6 7 …
对称轴的条数 …
根据上表，猜想正n边形有 条对称轴．
25．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1；
（2）在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；
（3）在直线m上画一点P，使得C1P+C2P的值最小．
26．如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．在下面每个网格中画出一种符合要求的图形（画出三种即可）．
2019年沪科新版八年级上册数学《第15章 轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】首先由角平分线的性质可知DF＝DE＝2，然后由S△ABC＝S△ABD+S△ACD及三角形的面积公式得出结果．
【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF＝DE＝2．
又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝4，
∴7＝×4×2+×AC×2，
∴AC＝3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质；利用三角形的面积求线段的大小是一种很好的方法，要注意掌握应用．
2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
【分析】先根据题意得出AB是线段CD的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AC＝AD，BC＝BD，
∴AB是线段CD的垂直平分线．
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
3．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°
【分析】先知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【解答】解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．
4．正三角形ABC所在平面内有一点P，使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（ ）
A．1个 B．4个 C．7个 D．10个
【分析】（1）点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，所以点P是三角形的外心；
（2）点P在三角形的外部时，每条边的垂直平分线上的点只要能够使顶点这条边的两端点连接而成的三角形是等腰三角形即可．
【解答】解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；
（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．
每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．
故选：D．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质；要注意分点在三角形内部和三角形外部两种情况讨论，思考全面是正确解答本题的关键．
5．如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是
①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD＝CE．（ ）
A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，
∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，
∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，
∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，
∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．
∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，
∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
6．把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（ ）
（1）F，R，P，J，L，G，（ ）
（2）H，I，O，（ ）
（3）N，S，（ ）
（4）B，C，K，E，（ ）
（5）V，A，T，Y，W，U，（ ）
A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，X C．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M
【分析】分析各组的对称性与字母D、M、Q、X、Z，的对称性，即可作出判断．
【解答】解：（1）不是对称图形，5个子母中不是对称图形的只有：Q，Z；
（2）有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则规律相同的是：X；
（3）是中心对称图形，则规律相同的是：Z；
（4）是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，满足规律的是：D；
（5）是轴对称图形，对称轴是竖直的直线，满足规律的是：M．
故各个空，顺序依次为：Q，X，Z，D，M．
故选：D．
【点评】本题主要考查了图形的对称性，正确找到各组数的规律是解决本题的关键．
7．下列说法正确的是（ ）
A．任何一个图形都有对称轴
B．两个全等三角形一定关于某直线对称
C．若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC≌△A′B′C′
D．点A，点B在直线l两旁，且AB与直线l交于点O，若AO＝BO，则点A与点B关于直线l对称
【分析】根据轴对称的性质，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、轴对称图形才有对称轴，故错误；
B、两个全等三角形一定关于某直线对称，由于位置关系不明确，不能正确判定，故错误；
C、若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则对应的线段、角都相等，则△ABC≌△A′B′C′，故正确；
D、点A，点B在直线1两旁，且AB与直线1交于点O，若AO＝BO，则点A与点B关于直线l对称，由于位置关系不明确，不能正确判定，故错误．
故选：C．
【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
8．下列表情中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确找出对称轴的位置．
9．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（ ）
A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与12：01成轴对称，所以此时实际时刻为10：51，
故选：C．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
10．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1，还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2，按上述方法不断操作下去…经过第2018次操作后得到的折痕D2017E2017到BC的距离记为h2018，若h1＝1，则h2018的值为（ ）
A．2﹣ B． C．1﹣ D．2﹣
【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DA＝DA'＝DB，从而可得∠ADA'＝2∠B，结合折叠的性质可得∠ADA'＝2∠ADE，可得∠ADE＝∠B，继而判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得AA1⊥BC，得到AA1＝2，求出h1＝2﹣1＝1，同理h2＝2﹣，h3＝2﹣×＝2﹣，于是经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn＝2﹣，据此可得答案．
【解答】解：连接AA1．
由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA＝DA1，
又∵D是AB中点，
∴DA＝DB，
∴DB＝DA1，
∴∠BA1D＝∠B，
∴∠ADA1＝2∠B，
又∵∠ADA1＝2∠ADE，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴AA1⊥BC，
∴AA1＝2，
∴h1＝2﹣1＝1，
同理，h2＝2﹣，h3＝2﹣×＝2﹣
…
∴经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn＝2﹣．
∴h2018＝2﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，平行线等分线段定理，找出规律是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD＝4，则PC等于 8 ．
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质求出PE，根据直角三角形的性质和平行线的性质解答即可．
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PD＝4，
∵OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵PC∥OB，
∴∠ECP＝∠AOB＝30°，
∴PC＝2PE＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
12．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长＝ 19 cm．
【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD＝CD，AC＝2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，
又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，
∴AB+BD+CD＝13cm，
即AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19（cm）．
故答案为：19．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
13．等腰三角形的一边长是3cm，另外一边长是5cm，则它的第三边长是 3或5 ．
【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．
【解答】解：∵题中没有指明哪个是底哪个是腰，
根据三角形三边关系，
∴这个等腰三角形的第三条边长是3或5cm．
故答案为：3或5．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键，难度适中．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有 6 个．
【分析】分类讨论：AB＝AP时，AB＝BP时，AP＝BP时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．
【解答】解：①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P．
②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．
③当AP＝BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．
综上所述：符合条件的点P共有6个．
故答案为：6．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键．
15．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，∠1＝∠2，若∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1等于 60° ．
【分析】利用∠2+∠3＝90°，进而求出∠2的度数，再利用∠1＝∠2即可得出答案．
【解答】解：∵由题意可得：∠2+∠3＝90°，∠3＝30°，
∴∠2＝60°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝60°．
故答案为：60°．
【点评】此题主要考查了生活中的轴对称现象，得出∠2的度数是解题关键．
16．如图，在∠AOB的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若△PCD的周长为30cm，则线段MN的长为 30 cm．
【分析】利用对称性得到CM＝PC，DN＝PD，把求MN的长转化成△PCD的周长，问题得解．
【解答】解：∵点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，
∴MC＝PC，ND＝PD，
∴MN＝CM+CD+ND＝PC+CD+PD＝30cm．
故答案为：30．
【点评】本题考查轴对称的性质，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．
17．在一些缩写符号SOS，CCTV，BBC，WWW，TNT中，成轴对称图形的是 WWW，BBC ．
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
根据定义可得答案．
【解答】解：由定义得，WWW，BBC为轴对称图形．
【点评】本题涉及轴对称图形的相关知识，难度一般．
18．小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是 10：51 ．
【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际时间．
【解答】解：∵是从镜子中看，
∴对称轴为竖直方向的直线，
∵2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，
∴这时的时刻应是10：51．
故答案为：10：51．
【点评】考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5．
三．解答题（共8小题）
19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
【分析】（1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离即DE＝CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出CF＝EB；
（2）设CF＝x，则AE＝12﹣x，再根据题意得出△ACD≌△AED，进而可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在△CDF与△EDB中，
∵，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在△ACD与△AED中，
∵，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，
解得x＝2，即CF＝2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
20．作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，
并且到点A、C的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹）
【分析】先作出∠ABC的角平分线，再连接AC，作出AC的垂直平分线，两条平分线的交点即为所求点．
【解答】解：①以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC、AB于D、E两点；
②分别以D、E为圆心，以大于DE为半径画圆，两圆相交于F点；
③连接BF，则直线BF即为∠ABC的角平分线；
⑤连接AC，分别以A、C为圆心，以大于AC为半径画圆，两圆相交于H，G两点；
⑥连接GH交BF延长线于点M，则M点即为所求．
【点评】本题考查的是角平分线及线段垂直平分线的作法，需同学们熟练掌握．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．
（1）求证：AM∥BC；
（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明即可；
（2）利用平分线的定义和平行线的性质进行解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝．
∵AM平分∠EAC，
∴∠EAM＝∠MAC＝．
∴∠MAD＝∠MAC+∠DAC＝＝．
∵AD⊥BC
∴∠ADC＝90°
∴∠MAD+∠ADC＝180°
∴AM∥BC．
（2）△ADN是等腰直角三角形，
理由是：∵AM∥BC，
∴∠AND＝∠NDC，
∵DN平分∠ADC，
∴∠ADN＝∠NDC＝∠AND．
∴AD＝AN，
∴△ADN是等腰直角三角形．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定与性质解答．
22．在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H，
①求证：△APF是等腰三角形；
②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．
【分析】①根据题意作出图形，根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠4，同位角相等可得∠2＝∠P，再根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，然后求出∠4＝∠P，根据等角对等边的性质即可得证；
②根据两直线平行，内错角相等可得∠5＝∠B，再求出∠H＝∠1＝∠3，然后利用“AAS”证明△BEF和△CDH全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝CH，再求出AC＝CH，再根据AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，整理即可得解．
【解答】①证明：∵EF∥AD，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠P，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠4＝∠P，
∴AF＝AP，
即△APF是等腰三角形；
②AB＝PC．理由如下：
证明：∵CH∥AB，
∴∠5＝∠B，∠H＝∠1，
∵EF∥AD，
∴∠1＝∠3，
∴∠H＝∠3，
在△BEF和△CDH中，
∵，
∴△BEF≌△CDH（AAS），
∴BF＝CH，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠H，
∴AC＝CH，
∴AC＝BF，
∵AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，
∴AB＝PC．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行线的性质，题目较为复杂，熟记性质与判定是解题的关键，作出图形更形象直观．
23．如图，P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，MN分 别交OA、OB于E、F．
（1）若△PEF的周长是10cm，求MN的长．
（2）若∠AOB＝30°，试求∠MON的度数．
【分析】（1）根据轴对称的性质可得ME＝PE，NF＝PF，然后求出MN＝△PEF的周长；
（2）结合线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质推知OP＝OM，∠MOA＝∠AOP，同理，∠BOP＝∠BON，则∠MON＝2∠AOB＝60°．
【解答】解：（1）∵M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，
∴ME＝PE，NF＝PF，
∴MN＝ME+EF+FN＝PE+EF+PF＝△PEF的周长，
∵△PEF的周长等于10cm，
∴MN＝10cm；
（2）如图，连接OP、OM、ON．
∵OA垂直平分MP，
∴OP＝OM，
∴∠MOA＝∠AOP，
同理，∠BOP＝∠BON，
∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝30°．
∴∠MON＝2∠AOB＝60°．
【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
24．画图：试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格，
正多边形的边数 3 4 5 6 7 …
对称轴的条数 …
根据上表，猜想正n边形有 n 条对称轴．
【分析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．
【解答】解：如图，
故填3，4，5，6，7，n．
【点评】正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键，本题是一个基础题．
25．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1；
（2）在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；
（3）在直线m上画一点P，使得C1P+C2P的值最小．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A1B1C1即可；
（2）根据轴对称的性质画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2即可；
（3）连接C1C2交直线m于点P，则点P即为所求点．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）连接C1C2交直线m于点P，则点P即为所求点．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
26．如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．在下面每个网格中画出一种符合要求的图形（画出三种即可）．
【分析】根据轴对称的性质设计出图案即可．
【解答】解：如图所示．
．
【点评】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
一．选择题（共10小题）
1．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
3．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°
4．正三角形ABC所在平面内有一点P，使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（ ）
A．1个 B．4个 C．7个 D．10个
5．如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是
①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD＝CE．（ ）
A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
6．把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（ ）
（1）F，R，P，J，L，G，（ ）
（2）H，I，O，（ ）
（3）N，S，（ ）
（4）B，C，K，E，（ ）
（5）V，A，T，Y，W，U，（ ）
A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，X C．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M
7．下列说法正确的是（ ）
A．任何一个图形都有对称轴
B．两个全等三角形一定关于某直线对称
C．若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC≌△A′B′C′
D．点A，点B在直线l两旁，且AB与直线l交于点O，若AO＝BO，则点A与点B关于直线l对称
8．下列表情中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（ ）
A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01
10．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1，还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2，按上述方法不断操作下去…经过第2018次操作后得到的折痕D2017E2017到BC的距离记为h2018，若h1＝1，则h2018的值为（ ）
A．2﹣ B． C．1﹣ D．2﹣
二．填空题（共8小题）
11．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD＝4，则PC等于 ．
12．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长＝ cm．
13．等腰三角形的一边长是3cm，另外一边长是5cm，则它的第三边长是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有 个．
15．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，∠1＝∠2，若∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1等于 ．
16．如图，在∠AOB的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若△PCD的周长为30cm，则线段MN的长为 cm．
17．在一些缩写符号SOS，CCTV，BBC，WWW，TNT中，成轴对称图形的是 ．
18．小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是 ．
三．解答题（共8小题）
19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
20．作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，
并且到点A、C的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹）
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．
（1）求证：AM∥BC；
（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．
22．在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H，
①求证：△APF是等腰三角形；
②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．
23．如图，P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，MN分 别交OA、OB于E、F．
（1）若△PEF的周长是10cm，求MN的长．
（2）若∠AOB＝30°，试求∠MON的度数．
24．画图：试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格，
正多边形的边数 3 4 5 6 7 …
对称轴的条数 …
根据上表，猜想正n边形有 条对称轴．
25．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1；
（2）在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；
（3）在直线m上画一点P，使得C1P+C2P的值最小．
26．如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．在下面每个网格中画出一种符合要求的图形（画出三种即可）．
2019年沪科新版八年级上册数学《第15章 轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】首先由角平分线的性质可知DF＝DE＝2，然后由S△ABC＝S△ABD+S△ACD及三角形的面积公式得出结果．
【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF＝DE＝2．
又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝4，
∴7＝×4×2+×AC×2，
∴AC＝3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质；利用三角形的面积求线段的大小是一种很好的方法，要注意掌握应用．
2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
【分析】先根据题意得出AB是线段CD的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AC＝AD，BC＝BD，
∴AB是线段CD的垂直平分线．
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
3．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°
【分析】先知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【解答】解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．
4．正三角形ABC所在平面内有一点P，使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（ ）
A．1个 B．4个 C．7个 D．10个
【分析】（1）点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，所以点P是三角形的外心；
（2）点P在三角形的外部时，每条边的垂直平分线上的点只要能够使顶点这条边的两端点连接而成的三角形是等腰三角形即可．
【解答】解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；
（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．
每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．
故选：D．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质；要注意分点在三角形内部和三角形外部两种情况讨论，思考全面是正确解答本题的关键．
5．如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是
①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD＝CE．（ ）
A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，
∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，
∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，
∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，
∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．
∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，
∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
6．把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（ ）
（1）F，R，P，J，L，G，（ ）
（2）H，I，O，（ ）
（3）N，S，（ ）
（4）B，C，K，E，（ ）
（5）V，A，T，Y，W，U，（ ）
A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，X C．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M
【分析】分析各组的对称性与字母D、M、Q、X、Z，的对称性，即可作出判断．
【解答】解：（1）不是对称图形，5个子母中不是对称图形的只有：Q，Z；
（2）有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则规律相同的是：X；
（3）是中心对称图形，则规律相同的是：Z；
（4）是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，满足规律的是：D；
（5）是轴对称图形，对称轴是竖直的直线，满足规律的是：M．
故各个空，顺序依次为：Q，X，Z，D，M．
故选：D．
【点评】本题主要考查了图形的对称性，正确找到各组数的规律是解决本题的关键．
7．下列说法正确的是（ ）
A．任何一个图形都有对称轴
B．两个全等三角形一定关于某直线对称
C．若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC≌△A′B′C′
D．点A，点B在直线l两旁，且AB与直线l交于点O，若AO＝BO，则点A与点B关于直线l对称
【分析】根据轴对称的性质，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、轴对称图形才有对称轴，故错误；
B、两个全等三角形一定关于某直线对称，由于位置关系不明确，不能正确判定，故错误；
C、若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则对应的线段、角都相等，则△ABC≌△A′B′C′，故正确；
D、点A，点B在直线1两旁，且AB与直线1交于点O，若AO＝BO，则点A与点B关于直线l对称，由于位置关系不明确，不能正确判定，故错误．
故选：C．
【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
8．下列表情中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确找出对称轴的位置．
9．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（ ）
A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与12：01成轴对称，所以此时实际时刻为10：51，
故选：C．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
10．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1，还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2，按上述方法不断操作下去…经过第2018次操作后得到的折痕D2017E2017到BC的距离记为h2018，若h1＝1，则h2018的值为（ ）
A．2﹣ B． C．1﹣ D．2﹣
【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DA＝DA'＝DB，从而可得∠ADA'＝2∠B，结合折叠的性质可得∠ADA'＝2∠ADE，可得∠ADE＝∠B，继而判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得AA1⊥BC，得到AA1＝2，求出h1＝2﹣1＝1，同理h2＝2﹣，h3＝2﹣×＝2﹣，于是经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn＝2﹣，据此可得答案．
【解答】解：连接AA1．
由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA＝DA1，
又∵D是AB中点，
∴DA＝DB，
∴DB＝DA1，
∴∠BA1D＝∠B，
∴∠ADA1＝2∠B，
又∵∠ADA1＝2∠ADE，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴AA1⊥BC，
∴AA1＝2，
∴h1＝2﹣1＝1，
同理，h2＝2﹣，h3＝2﹣×＝2﹣
…
∴经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn＝2﹣．
∴h2018＝2﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，平行线等分线段定理，找出规律是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD＝4，则PC等于 8 ．
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质求出PE，根据直角三角形的性质和平行线的性质解答即可．
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PD＝4，
∵OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵PC∥OB，
∴∠ECP＝∠AOB＝30°，
∴PC＝2PE＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
12．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长＝ 19 cm．
【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD＝CD，AC＝2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，
又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，
∴AB+BD+CD＝13cm，
即AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19（cm）．
故答案为：19．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
13．等腰三角形的一边长是3cm，另外一边长是5cm，则它的第三边长是 3或5 ．
【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．
【解答】解：∵题中没有指明哪个是底哪个是腰，
根据三角形三边关系，
∴这个等腰三角形的第三条边长是3或5cm．
故答案为：3或5．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键，难度适中．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有 6 个．
【分析】分类讨论：AB＝AP时，AB＝BP时，AP＝BP时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．
【解答】解：①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P．
②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．
③当AP＝BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．
综上所述：符合条件的点P共有6个．
故答案为：6．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键．
15．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，∠1＝∠2，若∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1等于 60° ．
【分析】利用∠2+∠3＝90°，进而求出∠2的度数，再利用∠1＝∠2即可得出答案．
【解答】解：∵由题意可得：∠2+∠3＝90°，∠3＝30°，
∴∠2＝60°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝60°．
故答案为：60°．
【点评】此题主要考查了生活中的轴对称现象，得出∠2的度数是解题关键．
16．如图，在∠AOB的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若△PCD的周长为30cm，则线段MN的长为 30 cm．
【分析】利用对称性得到CM＝PC，DN＝PD，把求MN的长转化成△PCD的周长，问题得解．
【解答】解：∵点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，
∴MC＝PC，ND＝PD，
∴MN＝CM+CD+ND＝PC+CD+PD＝30cm．
故答案为：30．
【点评】本题考查轴对称的性质，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．
17．在一些缩写符号SOS，CCTV，BBC，WWW，TNT中，成轴对称图形的是 WWW，BBC ．
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
根据定义可得答案．
【解答】解：由定义得，WWW，BBC为轴对称图形．
【点评】本题涉及轴对称图形的相关知识，难度一般．
18．小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是 10：51 ．
【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际时间．
【解答】解：∵是从镜子中看，
∴对称轴为竖直方向的直线，
∵2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，
∴这时的时刻应是10：51．
故答案为：10：51．
【点评】考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5．
三．解答题（共8小题）
19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
【分析】（1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离即DE＝CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出CF＝EB；
（2）设CF＝x，则AE＝12﹣x，再根据题意得出△ACD≌△AED，进而可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在△CDF与△EDB中，
∵，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在△ACD与△AED中，
∵，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，
解得x＝2，即CF＝2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
20．作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，
并且到点A、C的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹）
【分析】先作出∠ABC的角平分线，再连接AC，作出AC的垂直平分线，两条平分线的交点即为所求点．
【解答】解：①以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC、AB于D、E两点；
②分别以D、E为圆心，以大于DE为半径画圆，两圆相交于F点；
③连接BF，则直线BF即为∠ABC的角平分线；
⑤连接AC，分别以A、C为圆心，以大于AC为半径画圆，两圆相交于H，G两点；
⑥连接GH交BF延长线于点M，则M点即为所求．
【点评】本题考查的是角平分线及线段垂直平分线的作法，需同学们熟练掌握．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．
（1）求证：AM∥BC；
（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明即可；
（2）利用平分线的定义和平行线的性质进行解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝．
∵AM平分∠EAC，
∴∠EAM＝∠MAC＝．
∴∠MAD＝∠MAC+∠DAC＝＝．
∵AD⊥BC
∴∠ADC＝90°
∴∠MAD+∠ADC＝180°
∴AM∥BC．
（2）△ADN是等腰直角三角形，
理由是：∵AM∥BC，
∴∠AND＝∠NDC，
∵DN平分∠ADC，
∴∠ADN＝∠NDC＝∠AND．
∴AD＝AN，
∴△ADN是等腰直角三角形．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定与性质解答．
22．在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H，
①求证：△APF是等腰三角形；
②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．
【分析】①根据题意作出图形，根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠4，同位角相等可得∠2＝∠P，再根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，然后求出∠4＝∠P，根据等角对等边的性质即可得证；
②根据两直线平行，内错角相等可得∠5＝∠B，再求出∠H＝∠1＝∠3，然后利用“AAS”证明△BEF和△CDH全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝CH，再求出AC＝CH，再根据AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，整理即可得解．
【解答】①证明：∵EF∥AD，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠P，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠4＝∠P，
∴AF＝AP，
即△APF是等腰三角形；
②AB＝PC．理由如下：
证明：∵CH∥AB，
∴∠5＝∠B，∠H＝∠1，
∵EF∥AD，
∴∠1＝∠3，
∴∠H＝∠3，
在△BEF和△CDH中，
∵，
∴△BEF≌△CDH（AAS），
∴BF＝CH，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠H，
∴AC＝CH，
∴AC＝BF，
∵AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，
∴AB＝PC．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行线的性质，题目较为复杂，熟记性质与判定是解题的关键，作出图形更形象直观．
23．如图，P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，MN分 别交OA、OB于E、F．
（1）若△PEF的周长是10cm，求MN的长．
（2）若∠AOB＝30°，试求∠MON的度数．
【分析】（1）根据轴对称的性质可得ME＝PE，NF＝PF，然后求出MN＝△PEF的周长；
（2）结合线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质推知OP＝OM，∠MOA＝∠AOP，同理，∠BOP＝∠BON，则∠MON＝2∠AOB＝60°．
【解答】解：（1）∵M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，
∴ME＝PE，NF＝PF，
∴MN＝ME+EF+FN＝PE+EF+PF＝△PEF的周长，
∵△PEF的周长等于10cm，
∴MN＝10cm；
（2）如图，连接OP、OM、ON．
∵OA垂直平分MP，
∴OP＝OM，
∴∠MOA＝∠AOP，
同理，∠BOP＝∠BON，
∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝30°．
∴∠MON＝2∠AOB＝60°．
【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
24．画图：试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格，
正多边形的边数 3 4 5 6 7 …
对称轴的条数 …
根据上表，猜想正n边形有 n 条对称轴．
【分析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．
【解答】解：如图，
故填3，4，5，6，7，n．
【点评】正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键，本题是一个基础题．
25．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1；
（2）在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；
（3）在直线m上画一点P，使得C1P+C2P的值最小．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A1B1C1即可；
（2）根据轴对称的性质画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2即可；
（3）连接C1C2交直线m于点P，则点P即为所求点．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）连接C1C2交直线m于点P，则点P即为所求点．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
26．如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．在下面每个网格中画出一种符合要求的图形（画出三种即可）．
【分析】根据轴对称的性质设计出图案即可．
【解答】解：如图所示．
．
【点评】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．