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八年级数学·上
新课标
[北师大版]
第四章
一次函数
1
函数
甘肃省
兰州市第五中学
潘琰琰
学习目标
1.初步掌握函数的概念，能判断两个变量间的关系是不是函数
关系．（重点）
2.从具体情境中感受函数的三种表示方式.（重点）
3.会求函数的值，并能确定自变量的取值范围．（难点）
4.会对一个具体实例进行概括抽象使之成为数学问题.（难点）
你坐过摩天轮吗？你坐在摩天轮上时，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
情境引入
问题情景一
下图反映了摩天轮上一点的高度h（米）与旋转时间t（分）之间的关系.
t/分
0
1
2
3
4
5
······
h/米
······
3
14
37
47
35
12
（1）
根据上图填表
问题情景一
2.对于给定的时间t，相应的高度h的值确定吗？
3.其中，对于给定的每一个时间t,高度h对应有几个值？
1.上述问题中有几个变量？
思考：
问题情景一
罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放.
层数n
1
2
3
4
5
······
物体总数y
······
1
3
6
10
15
思考：
1.上述问题中有几个变量？
2.对于给定的层数n，相应的物体总数y的值确定吗？
问题情景二
3.其中,对于给定的每一个层数n，物体总数y对应有几个值？
在平整的公路上，车子紧急刹车后仍
将滑行s
m，一般有经验公式
，
其中v表示刹车前车子的速度（单位：km/h）.
思考：
1.计算当v分别为50，60，100时，相应的滑行距离s是多少？
汽车速度v
滑行距离s
问题情景三
3.给定一个v值，相应的滑行距离s的值确定吗？
4.其中对于给定的每一个速度v，滑行距离s
对应有几个值？
2.上述问题中有几个变量？
议一议：
1.
上述三个问题情景中，有什么共同特点？
小组合作讨论
探究新知
2.
上述三个问题中的每两个变量间的关系，是否为函数关系？
层数n
1
2
3
4
5
······
物体总数Y
······
1
3
6
10
15
汽车速度v
滑行距离s
3.
表示函数的方法有哪几种？
自变量t的取值范围:__________
t≥0
自变量n的取值范围：_________.
n取正整数
自变量v的取值范围：_________
v＞0
4.
自变量的取值范围各是多少？
5.
函数与函数值有怎样的联系与区别？
学以致用
目标一：
1.课本77页随堂练习；
2.课本78页联系拓广。
目标二：
两人为单位，各寻找生活中的一个变化过程，说明其中的函数关系，并指出自变量的取值范围。
游戏来啦！
1.（2018哈尔滨·中考）小明的爸爸早晨出去散步，从家走了
20
min到达距离家800
m的公园，他在公园休息了10
min，
然后用30
min原路返回家中，那么小明的爸爸离家的距离s
（单位：m）与离家的时间t（单位：
min）之间的函数关系
图象大致是（
）
D
直击中考
2.(2018·长沙)小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明
从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映
了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．
根据图象，下列说法正确的是(
)
A．小明吃早餐用了25
min
B．小明读报用了30
min
C．食堂到图书馆的距离为0.8
km
D．小明从图书馆回家的速度为0.8
km/min
直击中考
B
3.
(2018·随州)“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行最终贏得比赛，下列函数图象可以体现这一故事过程的是(
)
A
B
C
D
直击中考
B
D
1.
通过本节课的学习，你的知识树上
又结出了哪些果实？
2.
本节课你用到了哪些数学思想方法？
3.
你还存在哪些疑问吗？
知识小结、思维升华第四章
一次函数
1.
函数
（单元教学设计
共1课时）
甘肃省
兰州市第五中学
潘琰琰
I、本单元教材内容解析
一、《标准》要求
1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解函数的概念；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用函数进行表述的方法.
2.通过用函数表述数量关系的过程,体会建模思想,建立符号意识；能独立思考,体会数学的基本思想和思维方式.
3.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力.
4.在运用数学表述解决问题过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会数学的价值.
5.探索简单实例中的数量关系和变化规律,了解常量、变量的意义.
6.结合实例,了解函数的概念和三种表示法,能举出函数的实例.
7.能结合图象对简单问题中的函数关系进行分析.
8.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,并会求函数值.
9.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.
10.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论.
11.结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式.
12.能利用待定系数法确定一次函数的表达式.
13.能画出一次函数的图象,根据一次函数的图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时,图象的变化情况.
14.能用一次函数解决简单实际问题.
二、教材分析
函数是数学中重要的基本概念之一,它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质,是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型.本章是学习函数的入门,也是进一步学习一次函数的基础.教材通过具体的实例引入一次函数的概念,并通过练习巩固对一次函数意义的认识；通过让学生动手操作,让学生认识到一次函数的图象是一条直线,从而得出两点法作一次函数图象的方法；通过具体的取值结合函数的图象,让学生逐步得出一次函数的性质,体会一次函数在实际生活中的应用.教材注重让学生参与知识的形成过程,自始至终都采用让学生动手尝试、交流、归纳的方式,鼓励学生通过观察、猜想、验证,主动获取知识.
三、本单元教学目标及重难点
教学目标：1.经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，进一步发展符号意识；经历一次函数的图象及其性质的探索过程，在合作与交流活动中发展合作交流的意识和能力.
2.经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展应用意识；经历函数图象信息的识别与应用过程，发展几何直观.
3.初步理解函数的概念，在实际背景中感受自变量取值范围的意义；体会一次函数和正比例函数的意义，能根据所给信息确定一次函数表达式.
4.能画一次函数的图象，理解一次函数图象的变化情况，并利用一次函数图象解决简单的实际问题.
5.在画一次函数的图象、探索一次函数图象的变化情况、利用一次函数的图象解决实际问题等过程，体会数形结合的思想方法与一次函数中k与b的实际意义.
教学重难点：
【重点】1.初步理解函数的概念.
2.画一次函数的图象.
3.通过一次函数图象解决生活中的简单问题.
【难点】1.一次函数图象的特点.
2.一次函数y=kx+b中k与b的实际意义.
II、学生学情分析
学生的知识技能基础：在七年级上册《整式及其加减》一章的学习中，学生已经结合丰富的现实情景，体会了字母表示数的必要性，并能列出相应的代数式，实质上这里已经渗透了初步的函数思想；在七年级下册《变量之间的关系》一章的学习中，通过大量贴近学生生活的丰富实例，让学生体会变量之间相依关系的普遍性，直观感受学习变量间关系的必要性，并通过表格、关系式、图象等几种方式呈现变量间的关系，揭示其本质，同时也暗示函数的三种表示方式.这些学习均为本章的深入学习奠定了坚实有力的基础.
学生的活动经验基础：在七年级上、下册相关内容的学习中，教材为学生提供了大量生动有趣的现实情境，通过观察、操作、交流、设计等活动，使学生在活动中自觉体会变量之间的关系，获得了初步的数学活动经验和体验；同时在活动中也培养了学生良好的情感态度，以积极的态度投入到初中函数的学习过程中来，并且已具备了一定的主动参与、合作意识和初步的观察、分析、抽象概括的能力.
III
、教学策略分析
1、
注重学生概念的自我生成
课堂设计体现了“问题情境—建立数学模型—自然生成概念—解释、应用与拓展”的教学模式，让学生从实际问题情境中抽象出函数概念.尽可能为学生提供生动有趣的问题情境，提供观察、探究、交流、归纳等数学活动，在活动中达到对数学知识的自然生成，通过活动进一步加深对知识的理解，发展学生的数学思维.
2、
注重学生数形结合及几何直观的培养
本节课通过预设一个生活中熟知的“龟兔赛跑”故事，引出变量间的关系这个主题词；进一步通过三个问题情境设置，将学生带入数、形相结合的函数模型中,加强了对学生数形结合意识的培养；通过层层问题设置引导学生主动地从事观察、交流、归纳等探索活动；通过“游戏相伴”“直击中考”等环节的设置，激发学生应用新知的兴趣，从而进一步巩固新知.
综合起来，本节课共用到了主动参与教学、探究-发现-归纳教学、合作学习、联系生活、启发式教学、问题式教学、情景式教学等教学策略.
IV
、教学目标解析
教学目标：
【知识目标】：
1．初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可看作函数.
2．根据两个变量间的关系式，给定其中一个量，相应地会求出另一个量的值.
3．会对一个具体实例进行概括抽象成为数学问题.
【能力目标】
1．通过函数概念，初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.
2．经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维能力.
【情感目标】
1．经历函数概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想.
2．让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，形成自己对数学知识的
理解和有效的学习模式.
教学重难点：
1.理解函数概念.
2.判断两个变量之间的关系是否可看作函数.
3.能把实际问题抽象概括为函数问题.
V
、教学过程设计
根据《数学课程标准》中“要引导学生投入到探索与交流的学习活动中”的教学要求，为充分发挥学生的主体性和教师的主导作用，本节课设计了六个教学环节：
第一环节 创设情境，故事引入
第二环节 问题教学，合作探究
第三环节 自然生成概念及相关知识点
第四环节
学以致用--游戏相伴，直击中考
第五环节 知识小结，思维升华
第六环节 作业布置
具体设计过程呈现如下：
第一环节 创设情境，故事引入
大千世界，姹紫嫣红！生活中充满着许许多多不变和变化的量，你能举出一些来吗？
紧接着引出我们熟知的“龟兔赛跑”的故事，让学生寻找故事里存在的常量和变量，进一步引出本节课的主题：探索变量之间的关系.
第二环节 问题教学，合作探究
通过三个问题情境的设置，让学生从“数与形”不同角度初步感知“函数”模型.
出示教材图4
-
1及相关问题,并由学生讨论完成题目.
问题情境1:摩天轮问题
你坐过摩天轮吗？你坐在摩天轮上时，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？上右图反映了摩天轮上一点的高度h（米）与旋转时间t（分）之间的关系.
根据上图填表：
t/分
0
1
2
3
4
5
……
h/米
3
11
37
45
37
11
……
思考：1.上述问题中有几个变量？
2.对于给定的时间t，相应的高度h的值确定吗？
3.其中，对于给定的每一个时间t,高度h对应有几个值？
问题情境2:圆柱体堆放问题
瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
填写下表：
层数n
1
2
3
4
5
…
物体总数y
1
3
6
10
15
…
思考：1.上述问题中有几个变量？
2.对于给定的层数n，相应的物体总数y的值确定吗？
3.其中,对于给定的每一个层数n，物体总数y对应有几个值？
问题情境3:刹车时滑行距离问题
在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行S米，一般地有经验公式,其中V表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时）
思考：
1.计算当v分别为50，60，100时，相应的滑行距离s是多少？
2.上述问题中有几个变量？
3.给定一个v值，相应的滑行距离s的值确定吗？
4.其中对于给定的每一个速度v，滑行距离s对应有几个值？
小组合作探究：议一议
1.
上述三个问题情景中，有什么共同特点？
2.
上述三个问题中的每两个变量间的关系，是否为函数关系？
3.
表示函数的方法有哪几种？
4.
自变量的取值范围各是多少？
5.
函数与函数值有怎样的联系与区别？
设计目的：通过三个问题情境及相关问题的设置，尽可能多地提供给学生观察、思考、探究、交流、归纳等数学活动的机会，让学生从实际情境中抽象出函数概念，在活动中达到对数学知识的自然生成，通过活动进一步加深对知识的理解，发展学生的数学思维；另外，问题层层递进给出，依次引导学生进一步归纳得出如何判断某一个变化过程是否存在函数关系、函数的三种表示方法、自变量的取值范围、如何理解函数与函数值等知识点.
第三环节 自然生成概念及相关知识点
1.函数的概念
一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
2.函数的三种表示方法：
图象法
、
列表法
、
关系式法
3.自变量的取值范围
4.函数与函数值
设计目的：：以填空形式给出，更加突显知识的重点之处.
第四环节
学以致用--游戏相伴，直击中考
目标一：
课本练习相伴
1.课本77页随堂练习；
2.课本78页联系拓广.
目标二：
游戏相伴
两人为单位，各寻找生活中的一个变化过程，说明其中的函数关系，并指出自变量的取值范围.
目标三：直击中考
1.（2018哈尔滨·中考）小明的爸爸早晨出去散步，从家走了20
min到达距离家800
m的公园，他在公园休息了10
min，然后用30
min原路返回家中，那么小明的爸爸离家的距离s（单位：m）与离家的时间t（单位：
min）之间的函数关系图象大致是（
）
2.(2018·长沙)小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．
根据图象，下列说法正确的是(
)
A．小明吃早餐用了25
min
B．小明读报用了30
min
C．食堂到图书馆的距离为0.8
km
D．小明从图书馆回家的速度为0.8
km/min
3.
(2018·随州)“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行最终贏得比赛，下列函数图象可以体现这一故事过程的是(
)
4.(2016南宁)下列各曲线中表示y是x的函数的是（
）
设计目的：通过两道课后练习，进一步让学生体会函数模型，以及如何判断是否为函数模型，加深对新知的理解和应用；通过“游戏相伴”“直击中考”等环节的设置，激发学生应用新知的兴趣，从而进一步巩固新知.
第五环节 知识小结，思维升华
1.
通过本节课的学习，你的知识树上又结出了哪些果实？
2．在你运用这些知识时，你需要注意哪些问题或者细节？
3.
你还存在哪些疑问吗？
设计目的：鼓励学生畅所欲言，总结本节课的收获和体会，自主建构知识体系，锻炼学生的口头表达能力，培养学生的自信心.
第六环节 作业布置
B．习题4.1
1、2、3题；
A.
在如图所示的三个函数图像中，有两个函数图像能近似地刻画如下a、b两个情境：
情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回家里找到了作业本再去学校；
情境b:小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．
（1）情境a，b所对应的函数图像分别为_______,______.(填写序号)
（2）请你为剩下的函数图像写出一个适合的情境。
设计目的：作业布置分A、B、两类，这样的设计可以让不同层次的学生根据自己的能力得到不同程度的训练，各有所得.通过作业进一步激发探索兴趣，巩固所学知识.
附：板书设计
4.1
函数
变量
变量1.函数的定义
一个t值
一个h值2.函数的表示方法
多媒体
一个n值
对应唯一
一个y值3.自变量的取值范围
一个v值
一个s值4.函数与函数值
VI、课堂教学目标检测
【基础巩固】
1.下列变量间的关系不是函数关系的是
( )
A.长方形的宽一定,其长与面积
B.正方形的周长与面积
C.等腰三角形的底边长与面积
D.圆的周长与半径
2.下列是关于变量x和y的四个关系式:①y=x;②y2=x;③2x2=y;④y2=2x.其中y是x的函数的有
( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.弹簧挂上物体后伸长,已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如下表:
物体的质量/kg
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度/cm
10
12.5
15
17.5
20
22.5
下列说法错误的是
( )
A.没挂物体时,弹簧的长度为10
cm
B.弹簧的长度随所挂物体的质量的变化而变化,物体的质量是因变量,弹簧的长度是自变量
C.在弹簧的弹性限度内,如果物体的质量为m
kg,那么弹簧的长度y
cm可以表示为y=2.5m+10
D.当物体的质量为4
kg时,弹簧的长度为20
cm
4.下列各题中,哪些是函数关系 哪些不是函数关系
(1)匀速运动所走的路程和速度;
(2)在平静的湖面上投入一粒石子,泛起的波纹的周长与半径;
(3)x+3与x;
(4)正方形的面积和梯形的面积;
(5)水管中水流的速度和水管的长度.
【能力提升】
5.如图(1)所示,在长方形ABCD中,动点E从点B出发,沿BADC方向运动至点C处停止.设点E运动的路程为x,ΔBCE的面积为y,如果y关于x的函数图象如图(2)所示,则当x=7时,点E应运动到
( )
A.点C处
B.点D处
C.点B处
D.点A处
6.如下图所示的是桂林冬季某一天的气温随时间的变化图象,请根据图填空: 时气温最低,最低气温为 ℃,当天最高气温为 ℃,这一天的温差为 ℃.(所有的结果都取整数)
【拓展探究】
7.如图所示,正方形ABCD的边长为1,E是CD的中点,P为正方形ABCD边上一个动点,动点P从点A出发,沿A→B→C→E运动.若点P经过的路程为x,ΔAPE的面积为y,则当y=时,求x的值.
【答案与解析】
1.C(解析:A.长=;B.面积=;C.高不能确定,共有三个变量;D.周长=2π·半径.故选C.)
2.B(解析:①③是y关于x的函数.)
3.B(解析:因为表中的数据主要涉及弹簧的长度和所挂物体的质量,所以反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系,所挂物体的质量是自变量,弹簧的长度是因变量,故选项B错误,符合题意.故选B.)
4.解:(1)匀速运动所走的路程和速度符合s=vt,是函数关系. (2)在平静的湖面上投入一粒石子,泛起的波纹的周长L与半径r符合L=2πr,是函数关系. (3)x+3与x,设y=x+3,即可得出是函数关系. (4)正方形的面积和梯形的面积没有关系,所以不是函数关系. (5)水管中水流的速度和水管的长度没有关系,所以不是函数关系.所以(1)(2)(3)是函数关系,(4)(5)不是.
5.B(解析:当E在AB上运动时,ΔBCE的面积不断增大,当E在AD上运动时,面积不变,当E在DC上运动时,ΔBCE的面积不断减小,所以当x=7时,点E应运动到点D处.故选B.)
6.4 -2 10 12
7.解:①当点P在AB上运动时,如图(1)所示,y=x(0≤x<1).当y=时,x=.②当点P在BC上运动时,如图(2)所示,y=1-×1×(x-1)-(2-x)-×1,整理得y=-x(1≤x<2).当y=时,-x,解得x=.③当点P在CE上运动时,如图(3)所示,EP=-x,y=×1×,即y=-x(2≤x≤2.5).当y=时,-x,解得x=.因为不在2≤x≤2.5内,所以此情况不符合要求.所以当y=时,x的值为或.
第6题
